第17講卡根思想在導數(shù)中的應用（高階拓展）（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年全國甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導數(shù)中的應用.求在曲線上一點處的切線方程用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)極值求參數(shù)由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù)2023年全國乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導數(shù)中的應用利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導數(shù)研究不等式恒成立問題2022年新I卷，第22題,12分卡根思想在導數(shù)中的應用利用導數(shù)研究方程的根由導數(shù)求函數(shù)的最值(含參)2022年全國乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導數(shù)中的應用求在曲線上一點處的切線方程(斜率利用導數(shù)研究函數(shù)的零點2021年全國甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導數(shù)中的應用利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導數(shù)研究方程的根2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導數(shù)解決函數(shù)基本問題2能用卡根思想結(jié)合零點存在性定理綜合解題【命題預測】在零點個數(shù)及方程的根等綜合問題研究中，參變分離和數(shù)形結(jié)合都是解題的方法，但也都有局限性，同時對函數(shù)圖像畫法要求較高；包括在零點個數(shù)研究中還有放縮方法，但是放縮的不等式變化較多，這樣對學生又提出了比較嚴苛能力要求。此時卡根法是此類題型的另一方法。同時卡根法也常應用于導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的過程中，其本質(zhì)是虛設零點（設而不求），利用零點滿足的關系式化簡，從而得到范圍或符號。高考中常用的解題方法，需要學生復習中綜合掌握知識講解“卡根”問題的一般方法，其具體步驟如下根據(jù)函數(shù)的增長速度判斷函數(shù)值變化的趨勢，以便確定是否存在零點;根據(jù)函數(shù)表達式的特點進行拆分，一般拆分成和或乘積形式;根據(jù)函數(shù)的增長速度，將指、對數(shù)函數(shù)放縮成冪函數(shù)及其和的形式;根據(jù)相關不等式的解集，利用零點存在定理來確定零點存在的區(qū)間零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點，即，使得注：零點存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點不一定存在考點一、卡根思想在導數(shù)中的綜合應用1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點.3．（2022·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值.【能力提升】1．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設函數(shù)有兩個極值點，，證明：．2．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎?1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，為較小的零點，求證：．3．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W校考二模）已知.(1)若在處取到極值，求的值；(2)直接寫出零點的個數(shù)，結(jié)論不要求證明；(3)當時，設函數(shù)，證明：函數(shù)存在唯一的極小值點且極小值大于.4．（卓越高中千校聯(lián)盟2020屆高考理科數(shù)學終極押題卷）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當，時，①證明：函數(shù)恰有一個零點；②設為的極值點，為的零點，證明：.參考數(shù)據(jù)：5．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．6．（2022·河南·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明函數(shù)存在最小值，并求出函數(shù)的最大值.7．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，曲線和在原點處有相同的切線l．(1)求b的值以及l(fā)的方程；(2)判斷函數(shù)在上零點的個數(shù)，并說明理由．8．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考三模）設函數(shù)．(1)討論函數(shù)在上的零點的個數(shù)；(2)證明：．9．（2023春·陜西渭南·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，，令．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．10．（2022·江蘇連云港·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，判斷的零點個數(shù)；(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．11．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當a＝0時，若存在使得關于x的不等式成立，求k的最小整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）12．（2022·江蘇南京·南京市江寧高級中學?？寄M預測）設函數(shù)．(1)當時，恒成立，求b的范圍；(2)若在處的切線為，且，求整數(shù)m的最大值．13．（2022·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？寄M預測）已知函數(shù)，，其中，．(1)試討論函數(shù)的極值；(2)當時，若對任意的，，總有成立，試求b的最大值．14．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)（）.(1)，求證：；(2)證明：.()15．（2022·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，證明：.16．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，試討論在內(nèi)的零點個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）17．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).(1)證明：恰有一個零點；(2)設函數(shù).若至少存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.18．（2022春·福建廈門·高三廈門一中校考階段練習）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關于的不等式．恒成立，求整數(shù)的最小值．19．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若在上有零點，①求a的取值范圍；②求證：．20．（2022·四川雅安·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)當時，曲線在點處的切線方程；(2)若為整數(shù)，當時，，求的最小值．21．（2022·青海·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，．(1)若，證明：；(2)若恒成立，求a的取值范圍．22．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若的最小值為，求a的值；(2)若，證明：函數(shù)存在兩個零點，，且．【真題感知】1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取