多選題加練(六)數(shù)列1.(2024·溫州模擬)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，則(

) A.a＋c＝0 B.b是數(shù)列{an}的公比 C.ac<0 D.{an}可能為常數(shù)列ABC解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.當q＝1時，Sn＝na1，顯然是一次函數(shù)，不是常數(shù)函數(shù)形式，故不滿足，所以D錯誤；2.(2024·岳陽模擬)已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，且an＋1>an，則(

)A.a3＋a7＝a4＋a6 B.a3·a7>a4·a6C.數(shù)列{a2n＋1}是等差數(shù)列

D.數(shù)列{a2n}是等比數(shù)列AC解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，對于A，由等差數(shù)列性質(zhì)可得a3＋a7＝a4＋a6，故A正確；對于B，a4·a6－a3·a7＝(a1＋3d)·(a1＋5d)－(a1＋2d)·(a1＋6d)＝3d2>0，則a3·a7<a4·a6，故B錯誤；對于C，因為a2n＋1－a2n－1＝2d，則數(shù)列{a2n＋1}是等差數(shù)列，故C正確；對于D，如數(shù)列{an}為1，2，3，4，5，6，…，顯然數(shù)列{a2n}不是等比數(shù)列，故D錯誤.BC解析若a2＝2，a4＝2，根據(jù)推遞關(guān)系可知，當n為奇數(shù)，即n＝2n＋1時，a2n＋1＝2n＋1(n∈N)，故B正確；若an＝n，則n2(n－2)(n＋2)＝(n2－4)n2成立，故數(shù)列{an}可以是等差數(shù)列，即C正確；若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，假設(shè)公比為q，BD解析若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為d，則a1＋a3＋a8＝3a1＋9d，2a6＝2a1＋10d，顯然當a1＝d才相等，故A錯誤；(S6－S3)－S3＝9d＝(S9－S6)－(S6－S3)，故B正確；5.(2024·廣州調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且nSn＝(n＋1)Sn－1＋(n－1)n(n＋1)

(n≥2，n∈N*)，若S1＝－50，則下列結(jié)論正確的有(

) A.a5>0 B.數(shù)列{an}單調(diào)遞減 C.當n＝4時，Sn取得最小值

D.Sn>0時，n的最小值為7AC解析由nSn＝(n＋1)Sn－1＋(n－1)n(n＋1)(n≥2，n∈N*)，解得2Sn＝n3－51n－50(n≥2，n∈N*)，當n＝1時，S1＝－50滿足上式，又a1＝－50，a2＝－22，所以數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且a1<a2<a3<a4<0<a5<a6<…，所以當n≤4時，{Sn}單調(diào)遞減，當n≥5時，{Sn}單調(diào)遞增，且S4<S5，所以當n＝4時，Sn取得最小值，故B錯誤，C正確；6.(2024·錦州模擬)如果有限數(shù)列{an}滿足ai＝an－i＋1(i＝1，2，…，n)，則稱其為“對稱數(shù)列”，設(shè){bn}是項數(shù)為2k－1(k∈N*)的“對稱數(shù)列”，其中bk，bk＋1， …，b2k－1是首項為50，公差為－4的等差數(shù)列，則(

) A.若k＝10，則b1＝10

B.若k＝10，則{bn}所有項的和為590 C.若k＝13，則{bn}所有項的和最大

D.{bn}所有項的和可能為0BC解析∵{bn}是項數(shù)為2k－1(k∈N＋)的對稱數(shù)列，∴b1＝b2k－1，b2＝b2k－2，…，bk－1＝bk＋1，對于C，{bn}的和S2k－1＝－4(k－13)2＋626，當k＝13時，和最大，正確；對于D，S2k－1＝－4k2＋104k－50＝0，方程無正整數(shù)解，錯誤.7.已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn，a1＝10，公差d＝－2，則(

)A.S4＝S7B.當n＝5或6時，Sn取得最小值為30C.數(shù)列{|an|}的前10項和為50D.當n≤2023時，{an}與數(shù)列{3m＋10}(m∈N*)共有671項互為相反數(shù)AC解析因為a1＝10，d＝－2，所以an＝10－2(n－1)＝－2n＋12，記{|an|}的前10項和為T10，因為an＝－2n＋12，當an＝－2n＋12≥0時，解得n≤6，當an＝－2n＋12<0時，解得n>6，所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＋|a10|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10，因為Sn＝－n2＋11n，所以S10＝10，所以T10＝2×30－10＝50，故C正確；記bm＝3m＋10，因為an＝－2n＋12，n≤2023，所以a2023＝－4034，所以當n≤2023時，an≥－4034，由an＝－2n＋12，n≤2023，可知an為偶數(shù)，若bm與an互為相反數(shù)，則bm≤4034，且bm為偶數(shù)，由bm＝3m＋10，所以bm－10為偶數(shù)，即3m為偶數(shù)，即m為偶數(shù)，即3m≤4024，故這樣的m有670個，故D錯誤.AC所以數(shù)列{Sn}是首項為1，公比為9的等比數(shù)列，即Sn＝9n－1，故A正確；由Sn＋1＝9Sn可得Sn＝9Sn－1(n≥2)，兩式相減得，an＋1＝9an，并且n＝1時，S2＝9S1，當n≥2時，設(shè)數(shù)列{Sn－an}的前n項和為Tn，則Tn＝(S1－a1)＋(S2－a2)＋…＋(Sn－an)＝(S1＋S2＋…＋Sn)－(a1＋a2＋…＋an)