橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1/15/20251/15/20251/15/2025問題1：怎樣才能判斷圖形是橢圓？怎樣來畫橢圓？1/15/2025怎樣畫橢圓呢？1/15/2025F1F2M1/15/2025平面內(nèi)與兩定點的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點F1F2叫做橢圓的焦點兩焦點的距離F1F2叫做焦距一、橢圓定義：M（大于|F1F2|）1/15/2025幾點說明：

1、F1、F2是兩個不同的定點；

如果2a=2c，

如果2a<2c，

2、M是橢圓上任意一點，且MF1+MF2=常數(shù)；M則M點的軌跡是線段F1F2.則M點的軌跡不存在.通常這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c3、通常這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c；1/15/2025問題2：如何建立橢圓的方程？1/15/2025yxOr設(shè)圓上任意一點P(x，y)以圓心O為原點，建立直角坐標(biāo)系兩邊平方，得1.建系2.設(shè)坐標(biāo)3.列等式4.代坐標(biāo)坐標(biāo)法5.化簡方程1/15/2025橢圓方程的建立：步驟一：建立直角坐標(biāo)系步驟二：設(shè)動點坐標(biāo)步驟四：代入坐標(biāo)步驟五：化簡方程步驟三：列等式1/15/2025設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點P到F1，F(xiàn)2

的距離的和為2a(2a>2c)．PF1F21/15/2025以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(－c，0)，(c，0)．步驟一：建立直角坐標(biāo)系xyOPF1F21/15/2025設(shè)橢圓上任意一點P的坐標(biāo)為(x，y)，步驟三：列等式根據(jù)橢圓定義知：PF1＋PF2＝2a，步驟四：代入坐標(biāo)即：．步驟二：設(shè)動點坐標(biāo)1/15/2025步驟五：化簡方程兩邊再平方得：

a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．移項得：，兩邊平方得：，整理得：．1/15/2025步驟五：化簡方程因為a2(a2－c2)

≠0，所以兩邊同除以a2(a2－c2)得：，又因為a2－c2＞0，所以可設(shè)a2－c2＝b2(b＞0)，于是得：．1/15/2025XyO1/15/2025如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點在哪個坐標(biāo)軸上？(a>b>0)(a>b>0)1/15/2025橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。1/15/2025例題精析例1、填空：(1)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標(biāo)為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點F1的弦，則△F2CD的周長為________543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD1/15/2025(2)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標(biāo)為：___________焦距等于__________;曲線上一點P到F1的距離為3，則點P到另一個焦點F2的距離等于_________，則△F1PF2的周長為___________21(0,-1)、(0,1)2PF1F21/15/20251.求下列橢圓的焦點和焦距。練焦點為：解：因為所以焦點在X軸上焦點為：焦距為：2焦距為：所以焦點在Y軸上因為1/15/2025例2、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）滿足a=4,b=1，焦點在X軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________（2）滿足a=4,b=，焦點在Y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________或c1/15/2025變式：若方程4x2+ky2=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，求k的取值范圍。解：由4x2+ky2=1因為方程表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓即：0<k<4所以k的取值范圍為0<k<4。1/15/2025xOy例3、已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點到兩個焦點的距離和為3m，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程F1F2P解：以兩個焦點F1，F(xiàn)2所在的直線為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為根據(jù)題意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1/15/2025例4、將圓x2+y2=4上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線.x2+（2y）2=4,所以x2+4y2=4,即這就是變換后所得曲線的方程,它表示一個橢圓oxy解：設(shè)所得曲線上任一點P坐標(biāo)為（x，y），圓x2+y2=4上的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為（x,2y),由題意可得PP′1/15/2025

平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。橢圓定義：橢圓定義1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

21/15/2025推導(dǎo)橢圓的方程建立直角坐標(biāo)系列等式設(shè)點坐標(biāo)代入坐標(biāo)化簡方程1/15/2025定義圖形方程焦點F(±c，0)F(0，±c)

a,b,c的關(guān)系{P|PF1+PF2=2a,2a>F1F2}12yoFFPxyxo