曲面方程曲面方程前面兩節(jié)我們學(xué)習(xí)了空間幾何中比較簡(jiǎn)單的平面和直線方程的建立和位置關(guān)系.從本節(jié)開始將學(xué)習(xí)空間幾何中更為一般的曲面和曲線方程的建立和圖形分析，為多元函數(shù)微積分學(xué)打好基礎(chǔ).一、曲面方程的一般概念在平面解析幾何中，我們學(xué)習(xí)了平面曲線方程的一般概念，把曲線看作動(dòng)點(diǎn)M(x,y)在一定條件下運(yùn)動(dòng)的幾何軌跡，而這一條件表現(xiàn)為動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足的代數(shù)方程.現(xiàn)在我們把空間曲面也看作動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)在一定條件下運(yùn)動(dòng)的幾何軌跡，而這一條件仍然表現(xiàn)為動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)滿足的代數(shù)方程，仿照平面解析幾何中曲線方程的概念，給出曲面方程的一般定義.一、曲面方程的一般概念定義4在空間直角坐標(biāo)系中，如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有如下關(guān)系：(1)曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足三元方程F(x，y，z)=0.(2)以三元方程F(x，y，z)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y，z)一定是曲面S上的點(diǎn).

則我們稱方程F(x，y，z)=0為曲面S的方程，而曲面S為方程F(x，y，z)=0的圖形.一、曲面方程的一般概念建立球心在點(diǎn)M0(x0，y0，z0)、半徑為R的球面的方程.解設(shè)M(x，y，z)是球面上任一點(diǎn)，則有|MM0|=R，所以

(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=R，即

(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=R2，(725)這就是球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程，即為所求的球心在點(diǎn)M0(x0，y0，z0)、半徑為R的球面方程.特別地，若球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，則有

x2+y2+z2=R2.【例27】一、曲面方程的一般概念設(shè)有點(diǎn)A(5，2，3)和B(2，-3，4)，求線段AB的垂直平分面的方程.解由題意知，所求的平面就是與A和B等距離的點(diǎn)的幾何軌跡.設(shè)所求平面上的任何一點(diǎn)為M(x，y，z)，由于|AM|=|BM|，所以

(x－5)2+(y－2)2+(z－3)2=(x－2)2+(y+3)2+(z－4)2，

兩邊平方，化簡(jiǎn)得

6x+10y－2z－9=0，

即為所求平面.通過建立曲面方程的概念，我們就可以用代數(shù)的方法來研究空間幾何的一些問題.下面我們來建立在今后學(xué)習(xí)中常見的曲面方程.【例28】二、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程定義5平行于定直線L且沿定曲線C移動(dòng)的直線L′所形成的曲面稱為柱面，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線稱為柱面的母線.下面來建立母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程.不妨設(shè)柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線是xOy面上的曲線C(見圖7-28)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C的方程為F(x，y)=0.圖7-28二、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程在柱面上任取一點(diǎn)M(x,y,z)，過M作平行于z軸的直線，此直線交xOy面于點(diǎn)M0，則M0的坐標(biāo)為M0(x,y,0),M0在準(zhǔn)線C上，即滿足方程F(x,y)=0，所以M的坐標(biāo)M(x,y,z)滿足方程F(x,y)=0.反之，任一滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)M(x,y,z)一定在過點(diǎn)M0(x,y,0)且平行于z軸的直線上，即M(x,y,z)在柱面上.綜上所述，方程F(x,y)=0就是所求的母線平行于z軸的柱面方程.由此可見，在空間直角坐標(biāo)系下，母線平行于z軸的柱面方程F(x,y)=0的特征是：方程中不含有變量z，其準(zhǔn)線是xOy平面上的曲線C：F(x,y)=0.二、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程同理，在空間直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)(y,z)=0表示母線平行于x軸的柱面方程；F(z,x)=0表示母線平行于y軸的柱面方程.例如，

是母線平行于z軸，準(zhǔn)線為xOy面上橢圓的橢圓柱面方程；

1是母線平行于y軸、準(zhǔn)線為zOx面上雙曲線的雙曲柱面方程；z2=2y是母線平行于x軸、準(zhǔn)線為yOz面上的拋物線的拋物柱面方程.平面x-y=0也可看成母線平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線是xOy面上的直線x-y=0，所以它是過z軸的平面.二、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程討論方程x2+y2=R2所表示的曲面.解因?yàn)榉匠蘹2+y2=R2中不含變量z，與母線平行于z軸的柱面方程F(x,y)=0的特征一致，且與xOy面的交線是圓，所以該方程表示的曲面是圓柱面.【例29】三、旋轉(zhuǎn)曲面方程設(shè)有一條平面曲線C繞著同一平面的一條定直線L旋轉(zhuǎn)一周，這樣由C旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，曲線C稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，定直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸.現(xiàn)在，我們求以z軸為旋轉(zhuǎn)軸，以yOz坐標(biāo)面內(nèi)一條曲線C為母線旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.設(shè)在yOz坐標(biāo)面上有一已知曲線C，其方程為f(y,z)=0.把曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個(gè)以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面(見圖7-29)，下面來建立這個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面的方程.圖7-29三、旋轉(zhuǎn)曲面方程在旋轉(zhuǎn)曲面上任取一點(diǎn)M(x,y,z)，過點(diǎn)M作垂直于z軸的平面，則此平面與旋轉(zhuǎn)曲面的交線為一個(gè)圓，與曲線C的交點(diǎn)為M1，其坐標(biāo)為(0,y1,z1)，顯然，y1,z1應(yīng)滿足方程f(y1,z1)=0.又因?yàn)辄c(diǎn)M1和M在垂直于z軸的同一個(gè)圓上，M1又在yOz坐標(biāo)面上，所以有所以點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程f(±x2+y2,z)=0，即為所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.三、旋轉(zhuǎn)曲面方程由此得到求旋轉(zhuǎn)面方程的法則：求母線為yOz平面上的曲線f(y,z)=0，繞z軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面方程，只需在平面曲線方程f(y,z)=0中，把y換成±x2+y2即可.同理，母線為f(y,z)=0，繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面方程為f(y,±x2+z2)=0.類似地可以得到，在xOy(zOx)平面內(nèi)的曲線繞x軸或y軸(z軸或x軸)旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程，請(qǐng)讀者自己把它們寫出來.三、旋轉(zhuǎn)曲面方程例如，(1)yOz平面上的直線z=ay(a>0)繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面稱為圓錐面，其方程為

z2=a2(x2+y2).(7-26)(2)zOx平面上的拋物線z=ax2(a>0)繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面，其方程為

z=a(x2+y2).(7-27)(3)xOy平面上的橢圓

繞x,y軸所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面，其方程分別為(7-28)三、旋轉(zhuǎn)曲面方程寫出下列曲線繞指定軸旋轉(zhuǎn)而生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.(1)xOy坐標(biāo)面上橢圓4x2+9y2=36繞y軸.【例30】四、二次曲面由前面的討論可知，球面、柱面和旋轉(zhuǎn)曲面等曲面方程都是三元二次方程，我們稱這種三元二次方程所表示的曲面為二次曲面.相應(yīng)地，稱三元一次方程所表示的平面為一次曲面.二次曲面的圖形一般較為復(fù)雜，很難用描點(diǎn)法繪圖.一般用“平行截割法”來討論二次曲面的形狀，即用與坐標(biāo)面平行的平面去截割曲面，從所得截痕的形狀加以綜合來想象這個(gè)曲面的形狀.“平行截割法”又稱“截痕法”.下面介紹幾類常見的二次曲面.這里不作詳細(xì)討論，只將某些曲面的方程和圖形給出，供大家在今后學(xué)習(xí)中參考.四、二次曲面1.

表示母線平行于z軸的柱面(見圖7-29),它的準(zhǔn)線是xOy面上的橢圓四、二次曲面2.表示母線平行于z軸的柱面(見圖7-30)，它的準(zhǔn)線是xOy面上的雙曲線圖7-30四、二次曲面拋物柱面x2=ay3.表示母線平行于z軸的柱面(見圖7-31)，它的準(zhǔn)線是xOy面上的拋物線x2=ay.圖7-31四、二次曲面4.首先應(yīng)用截痕法了解一下此曲面的特征.以垂直于z軸的平面z=t截此曲面,得一橢圓該式表示一族橢圓，但這些橢圓的長(zhǎng)短軸比例不變.t=0時(shí)，得一點(diǎn)0,0,0.當(dāng)t從大到小直至達(dá)到0時(shí),這族橢圓將從大變到小直至縮為一點(diǎn)，因此,橢圓錐面的形狀如圖7-32所示.圖7-32四、二次曲面5.用截痕法來討論這個(gè)曲面的形狀.用xOy面z=0和平行于xOy面的平面z=hh≤c去截曲面，其截痕分別為橢圓，且h由0逐漸增大到c時(shí)，橢圓由大變小，逐漸縮為一點(diǎn).同樣用zOx面與平行于zOx面的平面去截曲面和用yOz面與平行于yOz面的平面去截曲面，它們的交線與上述結(jié)果類同.綜上所述，橢球面的形狀如圖7-33所示.圖7-33四、二次曲面6.四、二次曲面7.圖7-34四、二次曲面8.用截痕法來分析.用xOy面去截曲面，截痕是一點(diǎn)0,0，稱為橢圓拋物面的頂點(diǎn).用平行于xOy面的平面z=hh>0截此曲面，其交線為z=h平面上的橢圓，且當(dāng)h增大時(shí)，橢圓的半軸也隨著增大.若用平面x=h或y=h截曲面，其交線分別為拋物線.綜上所述，橢