試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浙江省杭州市公益中學(xué)2025-2026學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)期中考試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．“在一副除去大小王的撲克牌中，抽取一張撲克牌恰好是紅桃”這一事件是（

）A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機(jī)事件 D．確定性事件2．拋物線的對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線3．如圖，在中，，如果把的各邊都擴(kuò)大為原來的4倍，則的值（

）A．不變 B．縮小為原來的倍C．?dāng)U大為原來的2倍 D．?dāng)U大為原來的4倍4．某林業(yè)局將一種樹苗移植成活的情況繪制成統(tǒng)計圖，如圖所示，由此可估計這種樹苗移植成活的概率約為（

）A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.805．如圖，在中，，，，，則的長為（

）A． B． C． D．6．如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．7．凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體到焦點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（

）A． B． C． D．8．已知二次函數(shù)中自變量和函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表：則方程的一個解的取值范圍下列可能的是（）A． B．C． D．9．如圖，在中，平分分別交，，延長線于點(diǎn)，，，記與的面積分別為，，若，則的值是（

）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)均在二次函數(shù)圖像上，若則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則二、填空題11．一個不透明的袋子里裝有4個紅球、3個黃球和1個黑球，它們除顏色外其余均相同．從袋中任意摸出一個小球?yàn)榧t球的概率是．12．將二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，向上平移2個單位長度，平移后的二次函數(shù)解析式為．13．已知點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，，若，則．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，過D點(diǎn)作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，BC=6，sinA=，則DE=．15．已知兩個不同的點(diǎn)，都在二次函數(shù)．的圖象上，則代數(shù)式的值為．16．如圖，在中，，為上的中線，將沿直線翻折得到，與交于點(diǎn)，連接與，分別交于點(diǎn)，，連接，則．若，則．三、解答題17．（1）計算：；（2）已知，求的值．18．?dāng)?shù)學(xué)文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備了4張除正面外完全相同的卡片，上面分別寫著質(zhì)數(shù)2，3，5，7．(1)小組成員從中隨機(jī)抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字是偶數(shù)的概率為．(2)小組成員從中隨機(jī)抽取2張卡片，求這2張卡片上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率．19．已知二次函數(shù)經(jīng)過和．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式和對稱軸．(2)當(dāng)時，求該二次函數(shù)的最大值和最小值．20．在如圖所示的12個小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上．僅用無刻度的直尺按要求完成下列作圖．(1)在圖1網(wǎng)格中找格點(diǎn)D，作射線，使得；(2)在圖2網(wǎng)格中找格點(diǎn)E，作直線交AC于點(diǎn)Q，使得．21．如圖，已知：四邊形是平行四邊形，點(diǎn)E在邊的延長線上，交于點(diǎn)F，(1)求證：；(2)若，求的值．22．某超市為了銷售一種新型飲料，對月銷售情況作了如下調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)每月銷售量瓶與銷售單價元滿足一次函數(shù)關(guān)系．所調(diào)查的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：已知每瓶進(jìn)價為元，每瓶利潤銷售單價進(jìn)價單價元銷售量瓶(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．(2)該新型飲料每月的總利潤為元，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出單價為多少元時利潤最大，最大利潤是多少元？(3)由于該新型飲料市場需求量較大，廠家進(jìn)行了提價．此時超市發(fā)現(xiàn)進(jìn)價提高了元，每月銷售量與銷售單價仍滿足第(1)問函數(shù)關(guān)系，當(dāng)銷售單價不超過元時，利潤隨著x的增大而增大，求的最小值．23．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；(2)點(diǎn)在拋物線上，其中．①若的最小值是，求的值；②若對于，都有，求t的取值范圍．24．如圖，已知正方形的邊長為，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合）過點(diǎn)作，交邊的延長線于點(diǎn)，直線分別交射線、射線于點(diǎn)、．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)在邊上時，如果，，求的正切值；(3)當(dāng)點(diǎn)在邊延長線上時，設(shè)線段，求關(guān)于的函數(shù)解析式．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《浙江省杭州市公益中學(xué)2025-2026學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)期中考試卷》參考答案題號12345678910答案CCABBDACCB1．C【分析】本題主要考查了隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件；必然事件：在一定條件下，一定會發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件；隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件．根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義來判斷即可．【詳解】“在一副除去大小王的撲克牌中，抽取一張撲克牌恰好是紅桃”這一事件是隨機(jī)事件故選：C．2．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的解析式，可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出其對稱軸，可得答案.【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），∴拋物線的對稱軸是直線x=-1.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的解析式可直接得出其對稱軸，若二次函數(shù)的解析式為一般式，可利用對稱軸公式來求解.3．A【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識，明確正弦等于對邊比斜邊是解題的關(guān)鍵．求出擴(kuò)大前后的值即可求解．【詳解】解：∵在中，，∴．如果把的各邊都擴(kuò)大為原來的4倍，∴，∴的值不變．故選：A．4．B【分析】本題考查了由頻率估計概率，由圖可得，這種樹苗成活的頻率穩(wěn)定在0.90，即可得解．【詳解】解：由圖可得，這種樹苗成活的頻率穩(wěn)定在0.90，故成活的概率約為0.90.故選：B．5．B【分析】由，得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，，∴，即：，∴AE=4，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，列出比例式，是解題的關(guān)鍵．6．D【詳解】解：A．當(dāng)∠ABP=∠C時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯誤；B．當(dāng)∠APB=∠ABC時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯誤；C．當(dāng)時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯誤；D．無法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)正確．故選：D．7．A【分析】先證出四邊形為矩形，得到，再根據(jù)，求出，從而得到物體被縮小到原來的幾分之幾．【詳解】解：∵，，，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，即∴物體被縮小到原來的．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，從實(shí)際問題中找到相似三角形并利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先根據(jù)表格數(shù)值可得二次函數(shù)的對稱軸為直線，又由表可知，當(dāng)時，隨的增大而增大，據(jù)此即可求解，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵或時，，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，又由表可知，當(dāng)時，隨的增大而增大，∴當(dāng)時，其中一個解，故選：．9．C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義得出，推出，設(shè)，，則，，，證明，得出，證明，得出，推出，，從而得出，，求出得到，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴，即，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，正確表示出三角形之間的面積關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．10．B【分析】依據(jù)題意，由二次函數(shù)為，從而對稱軸是直線x1，又在二次函數(shù)上，且，故，則為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷可以得解．【詳解】解：由題意，∵二次函數(shù)為，∴對稱軸是直線，又∵在二次函數(shù)上，且，∴．∴為二次函數(shù)的頂點(diǎn)．∴當(dāng)時，點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離比到頂點(diǎn)的距離小，則若時，則；若時，則，故選項(xiàng)A錯誤，不符合題意；若，則n為最大值，故拋物線開口向下，可得，故選項(xiàng)B正確，符合題意當(dāng)時，點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離比到頂點(diǎn)的距離大，則若時，則；若時，則，故選項(xiàng)C錯誤，不符合題意；若，則n為最大值，故拋物線開口向下，可得，故選項(xiàng)D錯誤，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．11．/【分析】本題主要考查概率計算公式，一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為，掌握概率計算公式是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：有4個紅球、3個黃球和1個黑球，袋中任意摸出一個球是紅球的概率，故答案為：．12．【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，左右平移改變自變量的值：左加右減；上下平移改變因變量的值：上加下減．據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：平移后的二次函數(shù)解析式為：，即：，故答案為：13．/【分析】本題考查黃金分割的概念．根據(jù)黃金分割的定義，得到，求出的長，進(jìn)而求出的長，即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，∴．∵，∴．∴．故答案為：．14．【詳解】∵在Rt△ABC中，BC=6，sinA=∴AB=10∴．∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=AB=5．∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A∴△ADE∽△ACB，∴即解得：DE=．15．【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，，由二次函數(shù)得到，即可得到答案．【詳解】解：點(diǎn)，都在二次函數(shù)．的圖象上，是方程，，點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等，，即，點(diǎn)，都在二次函數(shù)．的圖象上，，即，．故答案為：．16．【分析】由折疊的性質(zhì)可得垂直平分線段，，即，由題意可得，推出，進(jìn)而可得，由中位線定理可得，設(shè)，則，再由平行線分線段成比例定理計算即可得解．【詳解】解：∵將沿直線翻折得到，∴垂直平分線段，∴，∵為上的中線，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴設(shè)，則，，∴，∴，∴，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．17．（1）2；（2）【分析】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，分式的性質(zhì)．（1）原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果；（2）利用分式的性質(zhì)化簡，求出值即可．【詳解】解：（1）；（2）由得，，解得，∴．18．(1)(2)【分析】本題考查了隨機(jī)事件的概率，列表法或樹狀圖法求概率，根據(jù)概率公式計算概率等知識點(diǎn)，利用列表法或樹狀圖法列出所有等可能的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．（1）利用概率公式計算概率即可；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖，列出所有等可能的結(jié)果及所求的結(jié)果，然后利用概率公式計算概率即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意：小組成員從中隨機(jī)抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字是偶數(shù)的概率為，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中和是偶數(shù)的結(jié)果共有6種，∴這2張卡片上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為．19．(1)表達(dá)式為；對稱軸為直線(2)最小值為，最大值為【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先將和，分別代入求出二次函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)對稱軸公式作答即可；（2）先確定開口方向，再根據(jù)對稱軸確定最大值和最小值即可．【詳解】（1）解：∵經(jīng)過和，∴，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；∴對稱軸為直線；（2）解：由（1）可知的開口向上，∵二次函數(shù)的對稱軸為直線在內(nèi)，∴當(dāng)時，有最小值；∵直線距直線最遠(yuǎn)，∴當(dāng)時，有最大值．20．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）找出格點(diǎn)D，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到即可；（2）找出格點(diǎn)E，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求得，即可．【詳解】（1）解：如圖，格點(diǎn)D，射線即為所作，；（2）解：格點(diǎn)E，直線即為所作，∵，，，，，∴，∴，即，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．21．(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)：（1）由四邊形是平行四邊形、可得，為公共角可得；（2）由可得，進(jìn)而有，根據(jù)得，即：，可得答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，即，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴．22．(1)(2)，單價為元時利潤最大，最大利潤是元(3)【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，待定系數(shù)法求解析式即可求解．（2）根據(jù)每一瓶的利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)題意得，根據(jù)銷售單價不超過元時，利潤隨著x的增大而增大，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為由題意得：解得：關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為．（2）由題意得：，當(dāng)時，有最大值元．∴w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為w=-10x2+240x-800，單價為元時利潤最大，最大利潤是元．（3）由題意得：二次函數(shù)的對稱軸為：，當(dāng)銷售單價不超過元時，利潤隨著的增大而增大，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．(1)(2)①7

②或【分析】（1）