第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)專題一內(nèi)容索引0102必備知識(shí)?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識(shí)?精要梳理1.函數(shù)的概念(1)求函數(shù)定義域的方法是依據(jù)使含自變量x的代數(shù)式有意義列出相應(yīng)的不等式(組)求解.(2)求函數(shù)的值域要優(yōu)先考慮定義域,常用方法:配方法、分離常數(shù)法(分式函數(shù))、換元法、單調(diào)性法、基本不等式法、數(shù)形結(jié)合法.溫馨提示函數(shù)的定義域與值域必須寫成集合或區(qū)間的形式.2.函數(shù)的性質(zhì)(1)奇偶性

這是函數(shù)具有奇偶性的重要前提

①定義:若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則有f(x)是偶函數(shù)?f(-x)=f(x)=f(|x|),f(x)是奇函數(shù)?f(-x)=-f(x).②判斷方法:定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù)).(2)單調(diào)性判斷方法:定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法、復(fù)合函數(shù)同增異減.(3)周期性

等式中自變量x的系數(shù)同號(hào)

常用結(jié)論:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±

(a≠0),則T=2a;若f(x+a)=f(x-b),則T=a+b;若f(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸x=a和x=b(a≠b),則函數(shù)f(x)的一個(gè)周期T=2|b-a|;若f(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0)和(b,0)(a≠b),則函數(shù)f(x)的一個(gè)周期T=2|b-a|(可類比正、余弦函數(shù)).特別提醒若f(x)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義,則f(0)=0;若函數(shù)f(x)是周期為T的奇函數(shù),則必有3.函數(shù)的圖象(1)函數(shù)圖象的判斷方法:①找特殊點(diǎn);②看性質(zhì),根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷圖象的位置、對(duì)稱性、變化趨勢(shì)等;③看變換,看函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的.等式中自變量x的系數(shù)異號(hào)

(3)函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)y=f(a-x)與y=f(b+x)的圖象關(guān)于直線

對(duì)稱,y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(4)利用圖象可解決函數(shù)的最值問(wèn)題,求方程與不等式的解,求參數(shù)的取值范圍,等等.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點(diǎn)一函數(shù)的定義及其表示命題角度1

函數(shù)的定義域與值域[例1-1]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,1],則函數(shù)

的定義域?yàn)?

)A.[0,1] B.[0,1)C.(0,1] D.(0,1)DA方法點(diǎn)撥確定函數(shù)定義域的基本方法(1)對(duì)于給出解析式的函數(shù),其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合,只需構(gòu)建不等式(組)求解即可.(2)對(duì)于復(fù)合函數(shù),若已知f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則其復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求得.(3)對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù),確定其定義域時(shí),要根據(jù)具體情況對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.對(duì)點(diǎn)練1(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)任意的x∈D,都存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”.下列為“H函數(shù)”的是(

)A.y=sinxcosx B.y=lnx+exC.y=2x

D.y=x2-2xAB解析

由題意,得“H函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.A中,其值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故A中函數(shù)是“H函數(shù)”;B中,函數(shù)y=ln

x+ex的值域?yàn)镽,故B中函數(shù)是“H函數(shù)”;C中,因?yàn)閥=2x>0,故C中函數(shù)不是“H函數(shù)”;D中,y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,其值域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故D中函數(shù)不是“H函數(shù)”.命題角度2

分段函數(shù)及其應(yīng)用

A.g(-1)=0B.方程g(x)=2有3個(gè)實(shí)數(shù)根C.方程g(x)=-2的所有實(shí)根之和為-1D.當(dāng)x<0時(shí),f(x)≤g(x)ACD解析

對(duì)于A選項(xiàng),由題意知f(-1)=0,則g(-1)=f(f(-1))=f(0)=0,所以選項(xiàng)A正確.對(duì)于B選項(xiàng),令f(x)=u,則求g(x)=f(f(x))=2的根,即求f(u)=2的根.因?yàn)榉匠蘤(u)=2沒(méi)有實(shí)根,所以g(x)=2沒(méi)有實(shí)根,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)x<0時(shí),g(x)=f(x+1),則將函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)g(x)的圖象(如圖所示),當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)g(x)的圖象在f(x)的圖象的上方(可以部分點(diǎn)重合),所以選項(xiàng)D正確.故選ACD.A.(-4,0) B.(-3,0)C.[-4,0) D.[-3,0)B由圖可知a+b=-4,0<c<1.所以af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c-4)f(c)=(c-4)c3=c4-4c3.令g(c)=c4-4c3(0<c<1),則g'(c)=4c3-12c2=4c2(c-3).因?yàn)?<c<1,所以g'(c)<0,所以g(c)=c4-4c3在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g(1)<g(c)<g(0),即-3<g(c)<0.所以af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范圍是(-3,0).方法總結(jié)解決分段函數(shù)問(wèn)題的基本策略(1)分類討論:已知函數(shù)值(或范圍)求自變量的值(或范圍)時(shí),先根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值(或范圍)是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍,然后綜合各段的結(jié)果下結(jié)論.(2)數(shù)形結(jié)合:求解分段函數(shù)問(wèn)題時(shí),可畫出函數(shù)的圖象,對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,結(jié)合圖形直觀地分析判斷,可以快速準(zhǔn)確地解決問(wèn)題.A當(dāng)x≥0時(shí),f(x)的圖象為開口向上的拋物線的一部分,對(duì)稱軸為直線x=3,最小值為32-6×3+6=-3;當(dāng)x<0時(shí),f(x)為直線y=3x+4的一部分.不妨設(shè)x1<x2<x3,f(x1)=f(x2)=f(x3)=m,由圖象可知m∈(-3,4),令3x+4=-3,突破點(diǎn)二函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用命題角度1

函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用[例2-1]設(shè)函數(shù)

,則f(x)(

)A.是奇函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減C.是偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減A[例2-2]已知定義在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足f(x)=g(x)-g(-x)+2,對(duì)任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,則關(guān)于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集為(

)B解析

設(shè)h(xf(x)-2=g(x)-g(-x)(x∈(-1,1)),因?yàn)閷?duì)任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)為增函數(shù),則h(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)為增函數(shù),又h(-x)=g(-x)-g(x)=-h(x),所以h(x)為奇函數(shù).又因?yàn)椴坏仁絝(3x+1)+f(x)>4可化為f(3x+1)-2+f(x)-2>0,即h(3x+1)+h(x)>0,亦即h(3x+1)>-h(x)=h(-x),B而f(x)=(x+a)g(x)為偶函數(shù),有f(-x)=(-x+a)g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x),故x-a=x+a,則a=0.故選B.名師點(diǎn)析函數(shù)單調(diào)性與奇偶性應(yīng)用中應(yīng)注意的問(wèn)題(1)判斷函數(shù)的奇偶性,必須先檢驗(yàn)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,復(fù)合函數(shù)的奇偶性可回歸到奇偶性的定義進(jìn)行判斷,分段函數(shù)的奇偶性,要分段討論,也可以利用圖象判斷.(2)已知奇偶性求參數(shù)值時(shí),一般利用奇、偶函數(shù)的定義,也可采用特殊值法.特別地,若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義,則可利用f(0)=0求得參數(shù)值.(3)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用主要涉及利用單調(diào)性求最值、比較大小、解抽象函數(shù)不等式等.解題時(shí)要注意幾個(gè)方面:一是函數(shù)定義域的限制,二是函數(shù)單調(diào)性的判定,三是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.如已知f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,那么形如f(m)>f(n)的不等式均可轉(zhuǎn)化為f(|m|)>f(|n|),從而有|m|>|n|,這樣避免了分類討論,可簡(jiǎn)化解題過(guò)程.DA解析

因?yàn)閒(x+1)為偶函數(shù),所以f(x+1)=f(-x+1),所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,又因?yàn)楹瘮?shù)y=2|x+m|,y=log3(x+m)2的圖象均只有一條對(duì)稱軸,即直線x=-m,可知函數(shù)f(x)的圖象只有一條對(duì)稱軸為直線x=-m,則-m=1,可得m=-1,所以f(x)=2|x-1|+log3(x-1)2.當(dāng)x>1時(shí),f(x)=2x-2+2log3(x-1).因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-2,y=2log3(x-1)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.令g(x)=ex-x-1,則g'(x)=ex-1,當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)>g(0)=0,即ex>x+1(x>0),命題角度2

函數(shù)的奇偶性、周期性及其應(yīng)用

D解析

因?yàn)閒(x+1)是奇函數(shù),所以f(-x+1)=-f(x+1)①;因?yàn)閒(x+2)是偶函數(shù),所以f(x+2)=f(-x+2)②.因?yàn)楫?dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b,所以當(dāng)x=1時(shí),由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得f(3)=f(1)=a+b,因?yàn)閒(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6?a=-2,令x=0,由①得f(1)=-f(1)?f(1)=0?a+b=0?b=2,所以當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=-2x2+2.(方法二)∵f(x+1)是奇函數(shù),∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函數(shù),∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函數(shù)f(x)的周期為4.名師點(diǎn)析函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用技巧(1)具有奇偶性的函數(shù),在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上,函數(shù)值、單調(diào)性、圖象都有密切的聯(lián)系,可通過(guò)原點(diǎn)一側(cè)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)得出另一側(cè)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì).(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象、性質(zhì),將不在已知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問(wèn)題進(jìn)行求解.(3)函數(shù)的周期性常通過(guò)奇偶性與對(duì)稱性得到,當(dāng)函數(shù)有兩條對(duì)稱軸(或兩個(gè)對(duì)稱中心、一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心)時(shí),都能推出函數(shù)的周期.例如,若函數(shù)f(x)有一條對(duì)稱軸為直線x=a和相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心(b,0),則4|a-b|就是f(x)的一個(gè)周期.對(duì)點(diǎn)練4(2024·河北石家莊二模)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(1+x)=f(1-x),當(dāng)-1≤x<0時(shí),f(x)=log2(-6x+2),則

的值為(

)A.-1 B.-2 C.2 D.1B解析

由題意知f(1+x)=f(1-x),則f[1+(x-1)]=f[1-(x-1)],即f(x)=f(2-x),所以f(x+2)=f[2-(x+2)]=f(-x).又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).所以f(x+2)=-f(x),所以f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),即f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4.命題角度3

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

BC∴f(-1)=f(4).故C正確;∵g(2+x)為偶函數(shù),∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.∵g(x)=f'(x),g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,t)(t∈R)對(duì)稱.∴f(x)與g(x)均是周期為2的函數(shù).∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A錯(cuò)誤;構(gòu)造函數(shù)f(x)=sin(πx)符合題目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos

2π=π,故D錯(cuò)誤.故選BC.規(guī)律總結(jié)關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的常用結(jié)論:(1)若f(x+a)為偶函數(shù),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.(2)若f(x+a)為奇函數(shù),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.對(duì)點(diǎn)練5(多選題)(2024·湖南邵陽(yáng)一模)已知函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)g(x)的定義域均為R,且f(x)-x與g(1-2x)均為偶函數(shù),則下列說(shuō)法一定正確的有(

)A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱B.

的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱C.g(x+2)+g(x)=2D.f(0)=1BC解析

對(duì)于A項(xiàng),因?yàn)間(1-2x)為偶函數(shù),所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.若f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則導(dǎo)函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,這與g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱矛盾,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B項(xiàng),因?yàn)閒(x)-x為偶函數(shù),所以f(x)-x=f(-x)+x,即f(x)-f(-x)=2x,所以

,故B正確;對(duì)于C項(xiàng),因?yàn)閒(x)-x為偶函數(shù),所以f'(x)-x'=g(x)-1為奇函數(shù),所以g(x)-1的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱,所以g(-x)+g(x)=2.又g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以g(1+(x+1))=g(1-(x+1)).所以g(x+2)=g(1+(x+1))=g(1-(x+1))=g(-x)=2-g(x).所以g(x+2)+g(x)=2,故C正確;對(duì)于D項(xiàng),由上可知,g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱,g(0)=1,但f(0)=1無(wú)法確定,故