§2.2

等差數(shù)列(二)第二章數(shù)列1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的常用性質(zhì).2.能運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題．學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考1

知識點一等差數(shù)列通項公式的推廣已知等差數(shù)列{an}的首項a1和公差d能表示出通項an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m項am和公差d，又如何表示通項an?答案設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，則am＝a1＋(m－1)d，變形得a1＝am－(m－1)d，則an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等差數(shù)列通項公式可變形為an＝dn＋(a1－d)，其圖象為一條直線上孤立的一系列點，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是這條直線上的點．d為直線的斜率，故兩點(1，a1)，(n，an)連線

思考2

的斜率解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？你能聯(lián)系直線答案等差數(shù)列{an}中，若公差為d，則an＝am＋(n－m)d，當(dāng)n≠m時，梳理知識點二等差數(shù)列的性質(zhì)利用1＋100＝2＋99＝….在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….思考

答案還記得高斯怎么計算1＋2＋3＋…＋100的嗎？推廣到一般的等差數(shù)列，你有什么猜想？梳理在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋

＝ap＋

.特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.anaq知識點三由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.∴{an＋an＋2}是公差為2d的等差數(shù)列．思考

答案若{an}是公差為d的等差數(shù)列，那么{an＋an＋2}是等差數(shù)列嗎？若是，公差是多少？梳理若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))題型探究例1

在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求數(shù)列的公差及通項公式．類型一等差數(shù)列推廣通項公式的應(yīng)用解答因為a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因為an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以減少運(yùn)算．反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

數(shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8等于A.0 B.3 C.8 D.11答案解析

∵{bn}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b1＋a1＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.類型二等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系例2

已知數(shù)列{an}的通項公式an＝pn＋q，其中p，q為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？若是，首項和公差分別是多少？取數(shù)列{an}中任意相鄰兩項an和an－1(n>1)，求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列.由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，所以首項a1＝p＋q，公差d＝p.解答反思與感悟本題可以按照解析幾何中的直線問題求解，但是，如果換個角度，利用構(gòu)造等差數(shù)列模型來解決，更能體現(xiàn)出等差數(shù)列這一函數(shù)特征，這種解答方式的轉(zhuǎn)變，同學(xué)們要在學(xué)習(xí)中體會，在體會中升華.跟蹤訓(xùn)練2

某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解答由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且首項a1＝200，公差d＝－20.所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損.例3

已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此數(shù)列的通項公式.解答類型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用方法一因為a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因為a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.方法二設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5，

①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，將①代入上式，得

(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，

②解①，②組成的方程組，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1.在例3中，不難驗證a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?解答設(shè)公差為d，則am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d，∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.2.在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝___.∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.答案解析20反思與感悟解決等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般方法：一是靈活運(yùn)用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)；二是利用通項公式，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的首項與公差的求解，屬于通項方法；或者兼而有之.這些方法都運(yùn)用了整體代換與方程的思想.跟蹤訓(xùn)練3

在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值.解答方法一∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差數(shù)列.∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.方法二∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝39，∴a1＋3d＝13，

①∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝3a1＋12d＝33.∴a1＋4d＝11，

②∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.當(dāng)堂訓(xùn)練1.在等差數(shù)列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d等于A.3 B.－6 C.4 D.－3√123答案解析

由等差數(shù)列的性質(zhì)得a8－a3＝(8－3)d＝5d，1232.在等差數(shù)列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，則a15等于A.32 B.－32C.35 D.－35√答案解析由a8－a4＝(8－4)d＝4d，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.1233.等差數(shù)列{an}中，a4＋a