知識必備03函數(shù)基礎(chǔ)知識與一次函數(shù)

廣方法清單

方法一：平面直角坐標系中的規(guī)律問題

一.選擇題（共5小題）

1.（2023?花都區(qū)?模）數(shù)軸上表示整數(shù)的點叫整點，某數(shù)軸單.位長度為km,若在數(shù)軸

上隨意畫一條長為2015?！ǖ木€段AB,則線段AB蓋住的整點的個數(shù)為（）

A.2015B.2014C.2015或2014D.2015或

2016

【分析】根據(jù)數(shù)軸與實數(shù)的對應關(guān)系，分線段四起點在整數(shù)點與不在整數(shù)點兩種情況

討論.

【解答】解：依題意可知，

當線段m起點在整數(shù)點時，能覆蓋2016個數(shù)：

當線段反起點不在整數(shù)點，即在兩個整點之間時，能覆蓋2015個數(shù)，

故選：D.

【點評】本題考查數(shù)軸與實數(shù)的對應關(guān)系，是基礎(chǔ)考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解

題關(guān)鍵.

2.（2023?太平區(qū)二模）如圖，在左面八BCD上建立平面直角坐標系，每個小正方形邊

長為一個單位長度,小球從點P（-4,0）出發(fā),撞擊桌面的邊緣發(fā)生反彈，反射角等于入

射角，若小球以每秒立個單位的速度沿圖中箭頭方向運動，則第2023秒時小球所在位

A.2B.1C.-1D.-2

【分析】根據(jù)小球的運動方向可得出小球運動一周所走的路程4&x4=16應，再由運

動速度得出運動一周所用的時間，從而得出第2023秒的小球所在位置

【解答】解：根據(jù)題意得：

小球運動一周所走的路程4及x4=16&.

?.?小球以每秒應個單位長度的速度運動,

,小球運動一周所用的時間為16&+夜=16(秒),

?.?2023-16=126...7(秒)，

/.第2023秒的小球所在位置為(3,-1)

二縱坐標為-1，

故選：C.

【點評】本題考查了規(guī)律型：點的坐標，坐標確定位置，掌握勾股定理以及坐標的表示

方法是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?通州區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OCQE是一個矩形,

小球P從點4(2,6)出發(fā)沿直線向點8運動，到達點8時被第一次反彈，每當小球尸沿

直線運動碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球戶第100次碰到矩形

的邊時，小球P所在位置的坐標為()

A.(4,0)B.(8.6)C.(5,12)D.(12,4)

【分析】按照原題所給規(guī)律依次求出小球坐標發(fā)現(xiàn)小球坐標的變化是每6次循環(huán)，用

100除以6,余數(shù)4,則第4次為答案.

【解答】如圖，小球第1次碰到矩形邊時的坐標為(8.0),

小球第2次碰到矩形邊時的坐標為(12.4),

小球第3次碰到矩形邊時的坐標為(10.6),

小球第4次碰到矩形邊時的坐標為(4.0),

小球第5次碰到矩形邊時的坐標為(0.4),

小球第6次碰到矩形邊時的坐標為(2.6),

小球第7次碰到矩形邊時的坐標為(&0)，

小球坐標的變化是6次循環(huán)，

100+6=16…4,

當小球。第100次碰到矩形的邊時，小球P所在的位置坐標為(4,0).

5'

6

°123456789101112x

故選：A.

【點評】本題考查了點的變化規(guī)律，根據(jù)圖形找點是解題關(guān)健.

4.(2023?扎蘭屯市三模)在平面直角坐標系中，正方形A3CZ)的頂點分別為41,1)、

3(1,-1)、C(-L-l)、0(-11)，)，軸上有一點P(0,2).作點尸關(guān)于點A的對稱點/；,

作耳關(guān)于點8的對稱點鳥，作點鳥關(guān)于點C的對稱點八，作4關(guān)于點。的對稱點

巴，作點E關(guān)于點A的對稱點八，作人關(guān)于點3的對稱點凡…，按如此操作下去,

則點的坐標為()

--PQ2)

A.(0.2)B.(2,0)C.(0-2)D.(-2,0)

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及坐標變化得出對應點的坐標，再利用變化規(guī)律得出點

鳥0”的坐標與6坐標相同，即可得出答案.

【解答】解：?.?作點P關(guān)于點A的對稱點4,作《關(guān)于點8的對稱點鳥，作點鳥關(guān)于

點。的對稱點八，作八關(guān)于點。的對稱點乙，作點乙關(guān)于點A的對稱點A，作

關(guān)于點8的對稱點不…，按如此操作下去,

.?.每變換4次?循環(huán)，

二點的坐標為：2011+4=502…3,

點4”的坐標與&坐標相I可，

二點/”的坐標為：(-2,0),

故選：D.

【點評】此題主要考查了坐標與圖形的變化以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)圖形的變化得出點

的坐標與P,坐標相同是解決問題的關(guān)鍵.

5.(2023?方城縣模擬)如圖，在平面直角坐標系中，?動點從原點。山發(fā)，按向上、

向右、向下、向右的方向不斷地移動，每次移動一個單位，得到點4(0,1)、4(1,1)、

4(1,0)、4(2,0),那么點4g的坐標為()

A.(1011,0)B.(1011,1)C.(2022,0)D.(2022,1)

【分析】觀察圖形結(jié)合點的坐標的變化，可得出點為自然數(shù))的坐標為(2〃+1,1),

依此規(guī)律即可得出結(jié)論.

【解答】解：???點4(0,1)、4(1,1)、A(i,o)、4(2,0)、4(2,1)、4(3,1)、4(3,0)、

人(4,0)、A)(4,l)、....

點4“+式〃為自然數(shù))的坐標為(2〃+1,0),

二點&023的坐標為(1011，。)?

故選：A.

【點評】本題屬于循環(huán)類規(guī)律探究題，考查了學生歸納猜想的能力，結(jié)合圖象找準循環(huán)

節(jié)是解決本題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

6.（2023?利津縣一模）如圖.在單位為1的方格紙上，△耳424,△AAA，△AA4，

…，都是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2,4,6,…的等腰直角三角形，若△A&A的

頂點坐標分別為A（2,o）,A2（1J）,A,（0,0）.則依圖中所示規(guī)律，人網(wǎng)的坐標

【分析】首先確定角碼的變化規(guī)律，利用規(guī)律確定答案即可.

【解答】解：「各三角形都是等腰直角三角形，

/.直角頂點的縱坐標的長度為斜邊的一半，

A（0,0）,A（-2,0）,41,0）…，

?.2021+4=505余1,

.?.點在X軸正半軸，橫坐標是0，橫坐標是（2021+3）+2=1012,

二&^的坐標為（1012,0）.

故答案為：。012,0）.

【點評】本題是對點的坐標變化規(guī)律的考查，根據(jù)2021是奇數(shù)，求出點的角碼是奇數(shù)

時的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?鋼城區(qū)）規(guī)定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移

一個單位，一個點作“1”變換表示將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)魴，由數(shù)字0和1組成的序

列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換.例如：如圖，點，0,0）按序列“011…”作

變換，表示點O光向右平移一個單位得到Q（l,0）,再將。（I，。）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得

到Q(O,-I),再將a(o,-i)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Q(TO)…依次類推.點(o,i)經(jīng)

過“011011011”變換后得到點的坐標為—.

【分析】根據(jù)定義的規(guī)定平移再旋轉(zhuǎn)即可.

【解答】解：將點(0,1)經(jīng)過一次011變換，

即先向右平移一個單位得到(1,1),

再繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90得到(1,-1),

再繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90得到(T,T)；

如此將點(-1,-1)經(jīng)過011變換得到點(0,1),

再將點(0,1)經(jīng)過0U變換得到點(-1,-1).

【點評】本題考查了點的坐標，平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識，理解定義的變換方式并

靈活運用是解題關(guān)鍵.

8.(2023?孟村縣校級模擬)?只跳蚤在第一象限及x軸、)軸上跳動，在第一秒鐘,

它從原點跳動到然后接著技圖中箭頭所示力向跳動[即(U,。)->(。，1)—(1,

1)—(1,0)^...],且每秒跳動一個單位，那么第36秒時跳蚤所在位置的坐標是一

【分析】根據(jù)題目中所給的質(zhì)點運動的特點，從中找出規(guī)律，即可得出答案.

【解答】解：跳蚤運動的速度是每秒運動一個單位長度，(0,0)->(0.1)7(1,

1)—(1,0)用的杪數(shù)分別是1秒，2秒，3杪，到(2.0)用4秒，至1J(2,2)用6秒，到

(0,2)用8秒,到(0,3)用9秒,到(3,3)用12秒,到(4,0)用16秒,

可知當點離開x軸時的橫坐標為時間的平方，當點離開y軸時的縱坐標為時間的平方,

依此類推，到(6,0)用36秒.

則第36秒時跳蚤所在位置的坐標是(6.0).

故答案為：(6.0).

【點評】本題主要考查點的坐標問題，解決本題的關(guān)鍵是讀情題意，能夠正確確定點運

動的規(guī)律，從而可以得到到達每個點所用的時間.

9.(2023?東昌府區(qū)二模)在直角坐標系中，點A從原點出發(fā)，沿如圖所示的方向運動，

到達位置的坐標依次為A2。。，4(1,1),4(一1,1),^(-1,-1),A(2.T),4(2.2),

….則A2023的坐標為

【分析】？找到點的運動的循環(huán)節(jié)，用2023除以循環(huán)節(jié)，由余數(shù)得到點的位置，再探究

同一位置的點的坐標的規(guī)律即可.

【解答】解：由圖得點A的運動規(guī)律為每4次運動?循環(huán),

?.2023+4=505……3,

.?.A?岡的坐標位于第三個位置,

??A(1J),4(2⑵，4(3,3)一

...Azg的坐標(506,506).

故答案為：(506,506).

【點評】本題考查了坐標系中點的規(guī)律先關(guān)應用，準確找到點的運動的循環(huán)式及數(shù)列規(guī)

律是解題關(guān)鍵.

方法二：平面直角坐標系中的兩點間距離公式

一.填空題(共4小題)

1.(2023?靜安區(qū)二模)在立面直角坐標系xO『中，我們定義點A(x,)，)的“關(guān)聯(lián)點”為

R(x+y,x-y),如果已知點A在直線y=x+3上，點3在。的內(nèi)部，。的半徑長為

【分析】根據(jù)題意設(shè)點A的坐標為(4。+3),則點8的坐標為(2〃+3,-3),利用兩點間

距離公式表示出08,根據(jù)點3在O的內(nèi)部可得到不等式，解出不等式即可.

【解答】解：???點A在直線y=x+3上，

???設(shè)點A的坐標為(a,a+3),則點8的坐標為(2a+3,-3),

OB=J(2a+3j+(-3)2,

.?點8在［O的內(nèi)部，

J(2a+3)~+(-3)2<3\/2,

整理得：a'+MvO，

-3<。<0，

二點A的橫坐標x的取值范圍是—3<x<0.

故答案為：—3<xvO.

【點評】本題主要考查?次函數(shù)圖象上點的坐標特征、兩點間的距離公式、點與圓的位

置關(guān)系，理解新定義，熟知兩點間的距離公式，并根據(jù)點與圓的位置關(guān)系列出不等式是

解題關(guān)鍵.

2.(2023?荊州模擬)如圖，在平面宜角坐標系中，長為3的線段CD(點。在點。右

側(cè))在x軸上移動，點4(0,2)、8(0,4)是)，軸上定點，連接AC、8D,則AC+9Z)的最

【分析】平移使點。落在點8處，連接5C,則點。平移后為點8',即在C=3O,

進而得出8'(-3,4),再作點A關(guān)于x軸的對稱點4,則A'(0,-2),進而得出AC+9的

最小值為A8',即可求解答案.

【解答】解：如圖，平移CD使點。落在點8處，連接4C,則點。的對應點為8',即

/.點或-3,4),

作點A關(guān)于x軸的對稱點A,此時點A,C,3,在同一條線上時，AC+8D最小,

40,2),

A'(0,-2),

連接NR,則AC+⑺的最小值為SB'=J(-3尸+(4+2)2=3后.

故答案為：3M.

【點評】此題主要考查了對稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，將AC+以)的最小值轉(zhuǎn)化為4?是

解本題的關(guān)鍵.

3.(2023?四川模擬)已知二次函數(shù)丁=f-。3>0)交”軸于他(點A在5的左側(cè))兩

點，平面上有任意點尸，使得抬=2尸8,則A/W5面積的最大值為.(用含有〃的

代數(shù)式表示)

【分析】設(shè)點P的坐標為由,〃)，先求出二次函數(shù)與x軸的交點坐標得4-G.0),

8(6,0),再根據(jù)兩點間的距離公式得產(chǎn)/=5+而)2+*,PB2=(m-4^)2+H2,根

據(jù)抬=2必得而2=4而，進而得到(利+4)2+〃2=4[(/〃—6)2+角，整理得

3,r—10，L〃+3a+3〃2=0,再由根的判別式得▲=(-106)?—4x3x(34+3/)..0,即

4—4/—IL

-上，出舊26，再根據(jù)三角形面積公式得SVM/,=L48|〃|=G-|〃|,求出其最大值即

332

可.

【解答】解：設(shè)點尸的坐標為(見而，

在二次函數(shù)y=x2-a=(x+\/a)(x-4a)(a>0)中，令y=0得(%+右)(無一G)=0,

解得：x=±&,

.?點A在4的左側(cè)，

A(-\^,0),,

：.PA2=(m+4a)2+n2,PB2=(ni-4(i)2+n2,

1.PA=2PB，

E42=4PB2,

(m+G)2+tv=4[(m—Vfl)2+n2],

整千里"卜3，〃'-10Glm+3a+3〃、=0,

.,關(guān)于/?的方程3〃』一IO&，〃+3a+3，/=0有實數(shù)根，

;.▲=(一10&尸一4x3x(3a+3〃2)..0,

/.64〃-36/2~..0,

:,———\[a.

33

?,S?"=；A8|，“=4a-1771.

?.,一gx/S8加g"，

0^!|n|—A/G?

3

L4L4

:."AB血積的最大值為-—a

33

故答案為：ga.

【點評】本題主要考杳二次函數(shù)與拋物線的交點，兩點間的距離公式、根的判別式，根

據(jù)兩點間的距離公式得出關(guān)于6的方程，再根據(jù)根的判別式得出〃的取值范圍是解題關(guān)

鍵.

4.（2023?新北區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，4、B、C三點的坐標分別

為（■!■/），（4』），⑶0）,點。為線段上的一個動點，連接PC，過點〃作尸Q_LPC

2

交y軸丁點Q,當點尸在人B上運動時，點Q隨之運動，設(shè)點Q的坐標為（0J）,貝打的

取值范圍是.

【分析】分三種情況討論：①當點尸在人B之間時，當延長R4交y軸于點N,即過點

C作CW_LA4,垂足為M,根據(jù)已知條件證明&VPQs&wpc.得到理二絲，設(shè)

PMCM

PN=x,則PM=3—x,NQ=y,從而得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，求出最值，從而求出

，的最值即可：

②過點。作CM_LA8,延長區(qū)4交），軸于點N,連接CQ,當點P運動到點A處時，根

據(jù)已知條件求出N,“兩點坐標，再根據(jù)其它各點坐標求出/W,NQ,OQ,AM,

MC,從而根據(jù)勾股定理求出AQ和AC的平方和，。。于OC的平方和，列出方程求出

t即nJ：

③過點3作軸于點M,延長區(qū)4交），軸于點N,連接CQ,當點尸運動到點3

時，根據(jù)已知條件求出N,用兩點坐標，再根據(jù)其它各點坐標求出QV,RN，BM,

CM,從而根據(jù)勾股定理求出8C,BQ,和BC的平方和，O。于OC的平方和，列

出方程求出，即可；

【解答】解：①如圖所示：當點。在之間時，當延長84交)，軸于點N,即過點C

作CM_LAB,垂足為M.

.?.Z/WQ=NCAM=90。，

.?.NNC4+Z4PQ=90°,

?;PQ1PC,

：.NQPC=90°,

ZAP(2+Z￡?PC=9O°.

：.ANQA=ZBPC,

s.ANPQ^^MPC,

.NQNP

設(shè).PN=x,則PM=3-x,NQ=y,

V-l<0.■!■知Jr3,

2

.?.當工二^時，y有最大值:，

,95

/./=1—=——，

44

當x=3時，y有最小值0,

/.r=1,

的取值范圍為：-2資1

4

②如圖1所示，過點C作CWJ_A8.延長K4交)，軸丁?點N.連接CQ,當點P運動到

點A時，

v4(1,1),5(4.1),

2

.?.A8〃x軸，

/.N(0,l),

.?.4N=l—g=B，NQ=\-t,

?「C(3,0),0(0,0),A8〃x軸，

..OC=MN=3,

：.AM=MN-AN=),

2

?.?4(一，1),8(4,1),CMLAB

2

:.AQ1=AN2+NQ2=(l)2-(l-r)2=/2-2r+-,PC?=AM:+MC2=(-)2+12=—,

2424

?x軸_Ly軸，

/.NCVQ=90°,

QC2=0Q2+OC2=r:+32=r+9,

,.?PQ_L尸。，

NCPQ=90。，

/.QC2=AQ2+PC2=r-2i+-+—=l2-2t+—，

444

/.r2-2r+-=r2+9,

4

—2/=—,

2

1

??^=--?

③如圖2所示，過點8作8W_1_工軸丁點M,延長44交)，軸丁?點N,連接CQ,當點

產(chǎn)運動到點4時，

vA(-J),8(4.1),

2

48〃x軸，

:.BN=OM=4,BM=1,

00,0),Q(0,t),

:.NQ=t-\,ON=\.OQ=l,

'：C(3,0),軸，

:.OC=3,

:.CM=OM-OC=1,

?.8W_Lx軸，

，N8MO=900,

/.BC-=BM2+CM2=12+12=2.BQ2=NQ2BN2=(t-\)2+42=r-2t+\1,

.PQA.PC,

NC/Q=90。，

QC2=B02+BC-=/2-2/+17+2=r-2r+I9,

x軸_Ly軸，

NQOC=90°,

QC1=OQ2+OC?=r+32=r+9

:.r-2t+\9=t2+9,

:?/=59

的取值范圍是：-1加5,

4

綜上可知：-3副5,

4

故答案為：-上捌5.

4

【點評】本題主要考查了坐標與圖形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出有關(guān)點的坐標

和有關(guān)線段.

方法三：根據(jù)題目信息識別和判斷函數(shù)圖象

一.選擇題（共8小題）

I.（2023?鐵鋒區(qū)三模）把一個長方體鐵塊放在如圖所示的圓柱形容器內(nèi)，現(xiàn)按?定的

速度向容器內(nèi)均勻注水，山，加后將容器內(nèi)注滿.那么容器內(nèi)水面的高度m）與注水時

間”s）之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）

【分析】根據(jù)題意可知，在注滿水的過程中，水面均是勻速上升，下面部分的底面積小

于上面部分，所以水面上升速度較快，由此可得出答案.

【解答】解?：根據(jù)題意可知，按一定的速度向容器內(nèi)均勻注水，

所以函數(shù)圖象均為勻速上升，

由此可排除B,C選項，

剛開始時由于長方體鐵塊在圓柱體容器內(nèi)，

注水部分的底面積為圓柱體容器的底面積減去長方體的底面積，

所以水面以較快速度均勻上升，

當水淹沒長方體鐵塊后?直到水注滿容器，

底面積是圓柱體的底面積，

所以水面以較慢速度均勻上升，

所以排除A選項，選項。符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)圖象的意義，深刻理解實際問題中函數(shù)圖象所代表的意義，是快

速解出這道題的關(guān)鍵.

2.（2023?溫縣校級二模）如圖，在RlAABC中，ZACB=9O°,AC=3,3c=4,點P

為邊鉆上一動點，過點P作直線/_LM，交折線AC"于點Q.設(shè)AP=x,CQ=y,

則y關(guān)于1的函數(shù)圖象大致是（）

【分析】分兩種情況：當點。在AC時，當點Q在3c時，結(jié)合相似-：角形的判定和性

質(zhì)，即可求解.

【解答】解：\ZAC?=90%4c=3,8c=4,

二AB=y/AC2+BC2=5.

當點。在AC時,

???直線

ZAPQ=ZACB=90°,

?.ZA=ZA.

/.A4PQSA4C3,

.APAQ

~AC~~AB'

即￡=土2,

35

解得：y=-gx+3;

當點。在8c時，如圖,

.?./BPQ=ZAC8=90°,

/B=/B，

ABPQ^^BCA,

nr_HQ

即上？=匕

45

59

解得:—x——

44

綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是:

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)

鍵.

3.（2023?海淀區(qū)校級模擬）下面的四個選項中都有兩個變量.其中變量），與變量x之間

的困數(shù)關(guān)系口J以用如圖所小的圖象表不的是（）

丁

A.圓的面積），與它的半徑x

B.正方形的周長,，與它的邊長x

C.小麗從家騎車去學校，路程?定時，勻速騎行中所用時間），與平均速度x

D.用長度一定的鐵絲圍成一個矩形，矩形的面積），與一邊長x

【分析】根據(jù)每個選項的描述，分別寫出兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系即可判斷.

【解答】解：A.圓的面積），與它的半徑x的關(guān)系式為

,//r>0.

,該函數(shù)圖象的開口應向上，

.?.變量）,與變量x之間的函數(shù)關(guān)系不可以用如圖所示的圖象表示，故不符合題意:

8..正方形的周長y。它的邊長x的關(guān)系式為y=4x,

.?.變量），與變量x之間的函數(shù)關(guān)系不可以用如圖所示的圖象表示，故不符合題意:

C.設(shè)小麗從家騎車去學校的路程為s（s為常數(shù)），則y=2，

X

???變量），與變量”之間的函數(shù)關(guān)系不可以用如圖所示的圖象表示，故不符合題意;

D.設(shè)鐵絲的長度為。3為常數(shù)），則），=1.三幺=-2+（我，

二變量）,與變量X之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示，故符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了函數(shù)的圖象，解題關(guān)犍在于根據(jù)選項的描述，正確判斷出兩個變量

之間滿足的函數(shù)關(guān)系式.

4.（2023?龍巖模擬）已知點A（-1，M，5（1,-/n）,。（-2,6一1）在同一個函數(shù)圖象上，則

這個函數(shù)圖象可以是（）

【分析】由點,。（-2,機-1）在同一個函數(shù)圖象匕可得4與8關(guān)于

原點對稱，當x<0時，y隨x的減小而減少，繼而求得答案.

【解答】解：:?點A（-1,m）,B（I,-/?/）?

二.A與6關(guān)于原點對稱，故C.O錯誤，不符合題意：

,.1A（-1,/〃）,C（-2,，〃-1）,

.?.當xvO時，y隨x的減小而減少，故8正確，A錯誤.

故選：B.

【點評】此題考查了函數(shù)的圖象.注意掌握排除法在選擇題中的應用是解此題的關(guān)鍵.

5.（2023?合肥三模）如圖，正方形A8CD中，AB=4cm,動點、P,。分別從A,。同

時出發(fā)，點P以每秒2a〃的速度沿A-AfC運動，點Q以每秒Is?的速度沿。-C運

動，P點到達點C時運動停止.設(shè)P點運動.V（秒）時，A4PQ的面積y（加），則y關(guān)

公式得到），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系；當點。在8c上，即2<工,4時，此時

SgPQ=S正方形ABCD—SMBP—SGCPQ-,利用正方形和三角形面積公式得到y(tǒng)關(guān)于x的

函數(shù)關(guān)系.進而可得），關(guān)于X的分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式即可判斷函數(shù)圖象.

【解答】解：當點P在人8上，即磷2時，如圖，

此時，AP=2.Vcm,

y=；八夕.BC=g.2x.4=4x(cm2)：

當點尸在BC上,即2<&4時,如圖,

此時，RP=(2x-4)cm,DQ=xcm,

CP=(8-2x)cm,CQ=?-x)cm,

2

SM2=s正方捌院;，一SM切一S“、“一SAAR=AB-^-ABBP-^CPCQ-^ADDQ,

4x(0矽k2)

綜上,

-xy+2x十8(2<.q,4)

故選：B.

【點評】本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象，學會利用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想解

決問題是解題關(guān)鍵.

6.（2023?錦州一模）如圖，在四邊形43CD中，AD/iBC，NC=90。，AD=\.5,CD=2,

BC=5.5,E是線段4?上一動點，BE=x,EF上AB交BC于點F,將ME產(chǎn)沿EF

折疊得到AG*',AGEF與四邊形/WC￡＞重疊部分的面積為y,則下列圖象能大致反映

y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

［分析］先求出當點E在不超過BA中點時的情況，再求超過中點但未超過點A時的

情況即可.

【解答】解：當點E運動不超過BA中點，即AGM在四邊形ABCD內(nèi)部時，

所以AB=26.

在RlAABM中，tan=sinZfi=—

25

則變=故防=工工，

BE22

所以yJxxxLJj.

-224

據(jù)此可以排除掉C、。.

BC

因為BE=GE=x,則AG=2x-2內(nèi),

又AD//3C，則

口-I”AGAPzo.n\/55

所以——=——，得AP=-x——

BGBF24

又sinNGAyV=sinNB,則8L=,

AG5

據(jù)此可以排除掉A,

所以正確答案是8.

故選：B.

【點評】本題是一道動點函數(shù)圖象題，得出重合部分的而枳y與1的函數(shù)表達式是解

題的關(guān)鍵.

7.（2023?綏中縣二模）如圖，四邊形A8C￡＞是正方形，AB=2,點P為射線8。上一

點，連接。P,將。尸繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EP,過3作EP平行線交DC延長

線于人設(shè)8P長為x,四邊形母EP的面枳為y，下列圖象能正確反映出），與x函數(shù)關(guān)

【分析】方法一：根據(jù)。點在C點右側(cè)時，3P越大，則四邊形的面積越大，即

可以得出只行。選項符合要求：

方法二：分兩種情況分別求出），與X的關(guān)系式，根據(jù)X的取值判斷函數(shù)圖象即可.

【解答】解：方法-：由題意知，當尸點在C點右側(cè)時，BP越大，則四邊形3莊P的

面積越大，

故。選項符合題意；

方法二：如圖，當「點在反'之間時，作EH工BC于H,

:.NDPC+NEPH=X3

?.ZDPC+Z/?/X?=90°,

/.4EPH=ZP/X?,

在^EPH和A/7X?中，

/EPH=NPDC

-4PHE=/DCP,

PD=EP

;.AEPH="DC(AAS),

?,BP=x,AB=BC=2,

:.PC=EH=2-x,

：.四邊形BPEF的面積y=M2-A)=-x2+2x,

綜上所述，當0<xv2時，函數(shù)圖象為開口方向向下的拋物線，當x>2時，函數(shù)圖象為

開口方向向上的拋物線，

故選：D.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)

鍵.

8.（2023?武威模擬）如圖矩形A3CZ）中，AB=3,8c=4,動點尸由點A出發(fā)，沿

4TAfC的路徑勻速運動，過點2向?qū)蔷€AC作垂線，垂足為Q,設(shè)AQ=x,

AAPQ的面積為），，則下列圖象中，能表示），與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

根據(jù)點尸的運動，需要分段討論：當點P在AB上時,

易證AAPQSAACB,由A0=X,可得PQ=gx,根據(jù)三角形面枳公式得到：當點P

在8。上時，易得△CPQ-A68,根據(jù)比例可求得PQ的長，再根據(jù)三角形面積公式

得到y(tǒng)與x的關(guān)系，最后結(jié)合選項判斷即可.

【解答】解：在矩形A4C。中，A3=3,Z?C=4,

由勾股定理可得AC=5,

根據(jù)點產(chǎn)的運動，需要分段討論:

①當點。在A4上時，

vPQLAC,

：.ZAOP=N8=90°,

zaAC=za4C?

.^APQ^^ACB,

.PQ:AQ:AP=BC:AB:AC=4:3:5,

AQ=x?

45

/.PQ=-x>AP=-x;

33

此時囁Ex3,即僅軟2,

35

.?.），=[.x.3x=2f；是開口向上的一段拋物線：排除3,C,

233

當點。在3c上時，

?.PQLAC,

.,.NCQP=NB=90。，

?：ZBCA=ZBCA,

ACPQsA4cB，

:.CQ:PQ:CP=BC:AB:AC=4:3:5,

AQ=x?

..CQ=5-x,

35

.?.PQ=2（5—X）,AP=工（5—x）：

44

此時。<2（57）..4,即2<X.5,

45

...）,=:\（57）5=-？/一匹工，開口向下的拋物線，

故選：A.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應用信息

廣泛，通過看圖獲取信息、，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、

解決問題的能力.解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想求出），與-V的函數(shù)關(guān)系式.

方法四：從函數(shù)圖象中獲取信息

一.選擇題（共6小題）

1.（2023?南寧一模）人體生命活動所需能量主要由食物中的糖類提供.如圖是小南早

餐后一段時間內(nèi)血糖濃度變化曲線圖.卜列描述正確的是（）

早餐

A.從9時至10時血糖呈下降狀態(tài)

B.10時血糖最高

C.從11時至12時血糖呈上升狀態(tài)

D.這段時間有3個時刻血糖濃度達到mol-匚'

【分析】根據(jù)圖象逐項判斷即可.

【解答】解：A.從9時至10時血糖呈下降狀態(tài)，故說法正確，符合題意：

區(qū)9時血糖最高濃度最高，故說法錯誤，不符合題意;

C.從11時至12時，血糖先上升后下降，故說法錯誤，不符合題意；

D.段時間有2個時刻血罐濃度達到7.0,加山.廣，故說法錯誤，不符合題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象，理解函數(shù)圖象中橫縱坐標的實際意義，從函數(shù)圖象

中獲取相關(guān)信息是解題關(guān)鍵.

2.（2023?西寧一模）如圖1,矩形A8CZ）中，點E為4。的中點，點。沿4c從點8運

動到點C,設(shè)8,P兩點間的距離為x,PA-=點尸運動時），隨x變化的函數(shù)圖

象如圖2所示，則8C的長是（）

A.2瓜B.5C.6D.4G

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得，當、=（）.即點P與點3率合時，BA-PE=\,再根據(jù)三

角形的三邊可得y有最大值為AE=5，設(shè)/汨=a,則姑=a+l,在RtAABE中，利用

勾股定理建立方程，求解即可.

【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得，當x=0,即點尸與點B重合時，BA-BE=\,

在AEAE中，

???三角形任意兩邊之差小于第三邊，

:.PA-PE<AE,

當且僅當點P與點石重合時有Q4-PE=AE,

二.y有最大值為A￡，

:.AE=5,

設(shè)BE為a,則批=q+1，

在RtAABE中，AB-+BE2=AE2,

：.（a+1）2+a2=52,

解得：4=3,a2=-4（舍去）,

BC=2fSE=2zz=2x3=6.

故選：C.

【點評】本題以矩形為背景考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得到線段之間的

關(guān)系，利用勾股定理求出線段的長是解題關(guān)鍵.

3.（2023?廣饒縣校級模擬）如圖1,RtAABC中，點E為8C的中點，點P沿8C從點

3運動到點C,設(shè)3,尸兩點間的距離為x,PA—PE=y,圖2是點。運動時），隨x

變化的關(guān)系圖象，則8C的長為（）

【分析】當x=0,即夕在5點時，BA—BE=2；利用三角形兩邊之差小于第三邊，得

到P4-P&AE，得y的最大值為AE=10：在RtAABE中，由勾股定理求出跖的長,

再根據(jù)BC=2BE求出3。的長.

【解答】解：由函數(shù)圖象知：當x=0,即尸在5點時，B/\-BE=2.

利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到PA-P&AE.

的最大值為AE，

/.AE=\O.

在RtAABE中，由勾股定理得：BA-+BE2=AE2=KX),

設(shè)BE的長度為f,

則EA=1+2，

.-.(/+2)2+r2=100,

即：/+，-48=0,

.\(/+8)(z-6)=O.

由于1>0,

..1+8>0，

.?./-6=0,

/.z=6.

.?.4C=2座=27=2x6=12.

故選：D.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)勾股定理求出跖的長是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?西工區(qū)一模）如圖①，在AABC中，AB=AC,AQJ_8。于點0（50>4。），

動點尸從8點出發(fā)，沿折線ZMfAC方向運動，運動到點C停止，設(shè)點。的運動路程

為的面積為y,y與x的函數(shù)圖象如圖②，則8C的長為（）

【分析】根據(jù)題意可得：AB=AC=J萬，-ADBD=3,然后利用等腰三角形的三線

2

合一性質(zhì)可得AC=2H/）,再在RtAABD中，利用勾股定理可得入獷+臺獷=胞，從而

利用完全平方公式可得AO+8Q=5,最后在RtAABD中，利用勾股定理進行計算即可

解答.

【解答】解：由題意得：4B+4C=2j萬，AABD的面積=3,

?.AB=AC,

AB=AC=4B,

-.ADIBC,

:.ZADB=90°,BC=2BD,

：,Alf+BD2=AB2,

：.AD2+BD2=13,

△ABO的面積=3,

I

2-ADRD=3,

AD-BD=6，

2

.-.（AD+BO/=AD2+2BDAD+BD

=13+2x6

=25,

：.AD+8D=5s^AD+BD=-5（舍去）,

?.ADr+BDr=AB2，

：.心+（5-80）2=13,

:.BD=2^BD=3,

當㈤=2時，AD=5-BD=3（舍去），

當BO=3時，AD=5-BD=2,

;.BC=2BD=6,

故選：B.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?延津縣三模）如圖（I）,在矩形A3CZ）中，點E是邊4）的中點，動點P從點

〃出發(fā)，沿著折線6皿1運動到點C停止.設(shè)動點P運動的路程為X,ABPC的面積為

y（當點P與點3，C重合時，令y=0）,y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖（2）所示，則

的面枳為（

圖⑴

A.4.8C.8D.6

【分析】根據(jù)題干條件結(jié)合圖（1）、圖（2）,列出相關(guān)的等式，最后利用相關(guān)聯(lián)的條件

解出。值，問題即可迎刃而解.

【解答】解：結(jié)合圖1、圖2可知，當點Q從點B運動到點C時，對應橫坐標為。，

:.5+ED-^CD=a.

由點E是AD的中點及矩形對邊相等知，

AE=ED=-AD=-BC

22

:.5+-BC+CD=a,

2

E|JCD+-BC=?-5?,

2

結(jié)合圖I、圖2可知，當點P從點3運動到點E時，對應橫坐標為5,對應的ABPC的

面積”，

/.EB=5，S^REC=Cl-

由勾股定理得，EB2=+AE2=CD2+(iAD)2=CD2+,

/.CD1+(-BC)2=52?,

2

:S^EC=；xBCxCD=(gBC)CD?且=a,

(-BC)CD=n(3),

2

/.CD2+(-BC)2=[CD+(-BC)F-2XCDX(-BC)=(a-5)2-2a=52，

222

解關(guān)于a的二次方程，得a=12或a=0(不合題意，舍去).

的面枳為：-ABAE=-CD-BC,

222

結(jié)合③式可得：=-6/=-X12=6.

故選：D.

【點評】本題考查了矩形、運動軌跡與圖象之間的對應關(guān)系等相關(guān)知識點，找準圖象與

線段之間的關(guān)聯(lián)聯(lián)系，再利用乘法公式適當變形求得。值是解題的關(guān)錦所在.

6.(2023?海安市模擬)如圖1,在矩形A4C。中，AB<AD,對角線AC,皿)相交于

點E,動點P從點4出發(fā)，沿Af4fC—。向點。運動?設(shè)點。的運動路程為x,

AAEP的面積為戶,，與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，①四邊形A3CZ)的面積為⑵

②“>邊的長為4：③當x=2.5時，A4EQ是等邊三角形；④AAKP的面積為3時，工的

值為3或10,則以上結(jié)論正確的有()個.

圖1圖2

A.I個B.2個C.3個D.4個

【分析】注意圖2中的y表小的是AAEP的面枳，血圖1的AAEP的底邊AE是一個小

變的量，則A4￡尸的面積與點。到AE的距離有關(guān)，尋找點尸的特殊位置，對應），的函

數(shù)圖象，以此即可求解.

【解答】解：由圖2可知，當點。運動點3時，），=SM"=3，

?.四邊形ABC。為矩形，

S恥影ABCD=4sM8E=4X3=12，故①正確；

由圖2可知，當），=0,x=7,即點尸運動到點C,AB+BC=7,

四邊形ABC。為矩形，

:.AD=BC,AHBC=\2.

AB+BC=1

由，

ABBC=\2

/3=3-八8=4

解得:或,

BC=4-8c=3

?/AH<AD=BC

AH=3,HC=AD=4,故②正確：

當x=2.5時,即xv3，點尸在AB上,

在RtAABC中，lan/BAC=@=±wV5,

AB3

.-.Z￡tAC*60o.

.?.A4￡P(guān)不可能是等邊三角形，故③錯誤；

由結(jié)論①可得，當點。運動點8時，x=3,），=S&麻=3,

結(jié)合圖②，當點Q運動到點。時，3?=5^=3,

此時x=AB+HC+CD=\（）.

.?.根砂的面積為3時，x的值為3或10,故④正確.

故正確的結(jié)論有①?④，共3個.

故選：C.

【點評】本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象、矩形的性質(zhì)，理解題意，正確理解函數(shù)圖

象，利用特殊點的表示的實際意義解決問題是解題關(guān)犍.

方法五：一次函數(shù)的實際應用

一.選擇題（共5小題）

1.（2023?延慶區(qū)一模）如圖，用繩子圍成周長為10〃?的矩形，記矩形的一邊長為xm,

它的鄰邊長為ym.當x在一定范圍內(nèi)變化時，），隨％的變化向變化，則y與x滿足的

函數(shù)關(guān)系是（）

x

y

A.一次函數(shù)關(guān)系B.二次函數(shù)關(guān)系

C.正比例函數(shù)關(guān)系D.反比例函數(shù)關(guān)系

【分析】矩形的周長為2（%-），）=10,可用x來表示），即可.

【解答】解：由題意得，

2（%+），）=10,

:.x+y=5,

/.y=5-x,

即y與I是?次函數(shù)關(guān)系，

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用等知識，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握一次函數(shù)

的解析式形式是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?南崗區(qū)校級二模）在全民健身越野比賽中，乙選手勻速跑完全程，甲選手1.5

小時后的速度為每小時10二米，甲、乙兩選手的行程y（千米）隨時間z（時）變化的

圖象（全程）如圖所示.下列說法：

①起跑后半小時內(nèi)甲的速度為每小時16千米：

②第1小時兩人都跑了10千米；

③兩人都跑了20千米；

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中已知的數(shù)據(jù)，運用公式：路程+時間=速度，速度X時間=路

程，路程+速度=時間，進行計算即可得到正確結(jié)論.

【解答】解:①起跑后半小時內(nèi)甲的速度為8+0.5=16千米/小時，故①正確；

②根據(jù)函數(shù)圖象的交點坐標，可得第I小時兩人都跑了10千米，故②正確；

③根據(jù)甲I小時跑10k，，，可得2小時跑20切?.故兩人都跑了20千米，故③正確；

④根據(jù)。5~1.5小時內(nèi),甲半小時跑2初?，可得1小時跑4加I,故1.5小時跑了12k〃，

剩余的8也?需要的時間為870=0.8小時,根據(jù)1.5+0.8-2=0.3,可得甲比乙晚到0.3

小時，故④錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了?次函數(shù)的應用，觀察函數(shù)圖象的橫坐標，可得時間，觀察函數(shù)圖

象的縱坐標，可得相應的路程.

3.（2023?肅州區(qū)三模）甲、乙兩車從A城出發(fā)勻速行駛至8城.在整個行駛過程中，

甲、乙兩車離開A城的距離），（千米）與甲車行駛的時間，1小時）之間的函數(shù)關(guān)系如

圖所示.則下列結(jié)論：

①A,3兩城相距300千米：

②乙車比甲車晚出發(fā)I小時，卻早到I小時；

③乙車出發(fā)后2.5小時追上甲車；

④當甲、乙兩車相距50千乂時，/=』或生.

44

【分析】先根據(jù)圖象的出甲乙之間的距離與時間的關(guān)系即可解答.

【解答】解