PAGE3-第2講兩條直線的位置關(guān)系[考綱解讀]1.能用方程組的方法求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)兩條直線的斜率能推斷兩條直線的平行或垂直．(重點(diǎn))2．能夠利用兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題．(難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講內(nèi)容很少獨(dú)立命題．預(yù)料2024年高考會與其他學(xué)問結(jié)合考查兩直線的位置關(guān)系、求直線方程(如與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線結(jié)合)、面積等問題．題型為客觀題，試題難度一般不大，屬中檔題型.1.兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系條件兩直線位置關(guān)系斜率的關(guān)系兩條不重合的直線l1，l2，斜率分別為k1，k2平行eq\o(□,\s\up1(01))k1＝k2k1與k2都不存在垂直eq\o(□,\s\up1(02))k1·k2＝－1k1與k2一個為零、另一個不存在2．三種距離三種距離條件公式兩點(diǎn)間的距離A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝eq\o(□,\s\up1(01))eq\r(x1－x22＋y1－y22)點(diǎn)到直線的距離P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為dd＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩平行線間的距離直線Ax＋By＋C1＝0到直線Ax＋By＋C2＝0的距離為dd＝eq\o(□,\s\up1(03))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))3．常用的直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.1．概念辨析(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，肯定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)假如兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積肯定等于－1.()(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．()(4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小題熱身(1)若直線mx＋2y＋m＝0與直線3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，則m的值為()A．7 B．0或7C．0 D．4答案B解析∵直線mx＋2y＋m＝0與直線3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，∴m(m－1)＝3m×2，∴m(2)原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離是________．答案eq\r(5)解析原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離d＝eq\f(|－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).(3)經(jīng)過直線l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－1＝0的交點(diǎn)且垂直于直線2x＋y－3＝0的直線方程為________．答案x－2y＋1＝0解析聯(lián)立直線l1與l2的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0，,x－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))所以直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，設(shè)所求直線的方程為x－2y＋C＝0，將點(diǎn)(3,2)的坐標(biāo)代入直線方程得3－2×2＋C＝0，解得C＝1，因此，所求的直線方程為x－2y＋1＝0.(4)已知點(diǎn)P(－1,1)與點(diǎn)Q(3,5)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為________．答案x＋y－4＝0解析∵直線PQ的斜率k1＝1，∴直線l的斜率k2＝－1，又線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，∴直線l的方程為x＋y－4＝0.題型一兩條直線的位置關(guān)系1．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為________．答案－9解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴點(diǎn)(1,2)滿意方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.2．已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿意下列條件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1過點(diǎn)(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等．解(1)由已知，得l2的斜率存在，且k2＝1－a.若k2＝0，則1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又l1過點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝eq\f(4,3)(沖突)，∴此種狀況不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在且不為0.∵k2＝1－a，k1＝eq\f(a,b)，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即eq\f(a,b)(1－a)＝－1.①又l1過點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.由①②聯(lián)立，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線l1的斜率存在，k1＝k2，即eq\f(a,b)＝1－a，③又坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2，∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即eq\f(4,b)＝b，④聯(lián)立③④，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))∴a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.1．已知兩直線的斜率存在，推斷兩直線平行垂直的方法(1)兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等．(2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1.2．由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)留意：在推斷兩直線位置關(guān)系時，比例式eq\f(A1,A2)與eq\f(B1,B2)，eq\f(C1,C2)的關(guān)系簡單記住，在解答選擇、填空題時，建議多用比例式來解答.1．(2024·淮南模擬)設(shè)λ∈R，則“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件答案A解析當(dāng)λ＝－3時，兩條直線的方程分別為6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此時兩條直線平行；若兩條直線平行，則2λ·(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，兩者均符合，綜上，“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要條件．2．(2024·湖北十堰模擬)已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A(－4,7)，C(6，－5)，BC邊所在直線過點(diǎn)P(8，－1)．求：(1)AD邊所在直線的方程；(2)對角線BD所在直線的方程．解(1)kBC＝eq\f(－5－－1,6－8)＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2.∴AD邊所在直線的方程為y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0.(2)kAC＝eq\f(－5－7,6－－4)＝－eq\f(6,5).∵菱形的對角線相互垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝eq\f(5,6).∵AC的中點(diǎn)(1,1)，也是BD的中點(diǎn)，∴對角線BD所在直線的方程為y－1＝eq\f(5,6)(x－1)，即5x－6y＋1＝0.題型二距離問題1．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2A.eq\f(4\r(2),3) B．4eq\r(2)C.eq\f(8\r(2),3) D．2eq\r(2)答案C解析若l1∥l2，則1×3－a(a－2)＝0，解得a＝－1或3.經(jīng)檢驗(yàn)a＝3時，兩條直線重合，舍去．所以a＝－1，此時有l(wèi)1：x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，即x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1與l2之間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(12＋－12))＝eq\f(8\r(2),3).2．(2024·重慶巴蜀中學(xué)模擬)已知曲線y＝eq\f(2x,x－1)在點(diǎn)P(2，4)處的切線與直線l平行且距離為2eq\r(5)，則直線l的方程為()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0答案B解析y′＝eq\f(2x－1－2x,x－12)＝－eq\f(2,x－12)，當(dāng)x＝2時，y′＝－eq\f(2,2－12)＝－2，因此kl＝－2，則設(shè)直線l方程為y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由題意知eq\f(|2×2＋4－b|,\r(5))＝2eq\r(5)，解得b＝18或b＝－2，所以直線l的方程為2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故選B.3．已知點(diǎn)A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，當(dāng)|AB|取得最小值時，實(shí)數(shù)a答案eq\f(1,2)解析由題意，得|AB|＝eq\r(a＋1－52＋[a－4－2a－1]2)＝eq\r(a－42＋a＋32)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(49,2))，所以當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，|AB|取得最小值．距離問題的常見題型及解題策略(1)求兩條平行線間的距離．要先將直線方程中x，y的對應(yīng)項系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離公式求解，也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問題．如舉例說明1.(2)解決與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問題．應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般考慮待定系數(shù)法(如舉例說明2)，若待定系數(shù)是斜率，必需探討斜率是否存在．(3)求兩點(diǎn)間的距離．關(guān)鍵是確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入公式即可，一般用來推斷三角形的形態(tài)等．1．若點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)答案C解析設(shè)P(x,5－3x)，則d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，化簡得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．2．若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上隨意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(9,5) B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10) D.eq\f(29,5)答案C解析易知直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值就是這兩條平行線間的距離.6x＋8y＋5＝0可化為3x＋4y＋eq\f(5,2)＝0，則這兩條平行線間的距離是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－12－\f(5,2))),\r(32＋42))＝eq\f(29,10).題型三對稱問題1．已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________．答案6x－y－6＝0解析設(shè)點(diǎn)M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，所以所求直線的方程為eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.2．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．解(1)設(shè)A′(x，y)，再由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)必在m′上．設(shè)對稱點(diǎn)為M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，∴由兩點(diǎn)式得直線方程為9x－46y＋102＝0.(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4,3)，則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)M′，N′均在直線l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.解法二：設(shè)P(x，y)為l′上隨意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.解法三：∵l∥l′，∴設(shè)l′的方程為2x－3y＋c＝0(c≠1)，∴由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|－2＋6＋c|,\r(22＋32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得c＝－9或c＝1(舍去)，∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.1．中心對稱問題的兩個類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進(jìn)而求解．(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱問題的主要求解方法①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程．如舉例說明2(3)．②求出一個對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．2．軸對稱問題的兩個類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．如舉例說明1,2(1)．(2)直線關(guān)于直線的對稱一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種狀況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行．已知直線l：3x－y＋3＝0，求：(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對稱點(diǎn)；(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對稱的直線方程；(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線．解(1)解法一：設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即eq\f(y′－y,x′－x)×3＝－1.①又PP′的中點(diǎn)在直線3x－y＋3＝0上，∴3×eq\f(x′＋x,2)－eq\f(y′＋y,2)＋3＝0.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)，③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5).④))把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2,7)．解法二：設(shè)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對稱點(diǎn)為M(m，n)．∵PM與l垂直，且PM的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋4,2)，\f(n＋5,2)))在直線l上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－5,m－4)×3＝－1，,3×\f(m＋4,2)－\f(n＋5,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝7，))∴點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對稱點(diǎn)為(－2,7)．(2)解法一：用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y，得關(guān)于l對稱的直線方程為eq\f(－4x＋3y－9,5)－eq\f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，化簡得7x＋y＋22＝0.解法二：設(shè)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對稱的直線為l′.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2)，))即兩直線的交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))，則點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))在直線l′上．取直線x－y－2＝0上一點(diǎn)Q(2,0)，則點(diǎn)Q(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)Q′(a，b)在l′上．∵QQ′與l垂直，且QQ′的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)，\f(b,2)))在l上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)×3＝－1，,3×\f(a＋2,2)－\f(b,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(17,5)，,b＝\f(9,5)，))∴Q′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))，∴l(xiāng)′的斜率為eq\f(\f(9,5)＋\f(9,2),－\f(17,5)＋\f(5,2))＝－7，∴直線l′的方程為y＋eq\f(9,2)＝－7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))，即7x＋y＋22＝0.(3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點(diǎn)M(0,3)，設(shè)關(guān)于(1,2)的對稱點(diǎn)M′(x′，y′)，∴eq\f(x′＋0,2)＝1，x′＝2，eq\f(y′＋3,2)＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．∵l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l，∴k＝3，∴對稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.組基礎(chǔ)關(guān)1．已知過點(diǎn)A(m＋1,0)，B(－5，m)的直線與過點(diǎn)C(－4,3)，D(0,5)的直線平行，則m的值為()A．－1 B．－2C．2 D．1答案B解析由題意得，kAB＝eq\f(m－0,－5－m＋1)＝eq\f(m,－6－m)，kCD＝eq\f(5－3,0－－4)＝eq\f(1,2).由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以eq\f(m,－6－m)＝eq\f(1,2)，所以m＝－2.2．若直線l1：(m－2)x－y－1＝0與直線l2：3x－my＝0相互平行，則m的值等于()A．0或－1或3 B．0或3C．0或－1 D．－1或3答案D解析當(dāng)m＝0時，兩條直線方程分別化為－2x－y－1＝0,3x＝0，此時兩條直線不平行；當(dāng)m≠0時，由于l1∥l2，則eq\f(m－2,3)＝eq\f(1,m)，解得m＝－1或3，閱歷證滿意條件．綜上，m＝－1或3.故選D.3．過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為()A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0答案D解析解法一：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))可得兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7)))，又因?yàn)樗笾本€過原點(diǎn)，所以其斜率為－eq\f(3,19)，方程為y＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.解法二：依據(jù)題意可設(shè)所求直線方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因?yàn)榇酥本€過原點(diǎn)，所以4＋5λ＝0，λ＝－eq\f(4,5).所以x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，整理得3x＋19y＝0.4．(2024·南昌檢測)直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線的方程是()A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0答案A解析在所求直線上任取一點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′(x，－y)在已知的直線3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.5．若直線l經(jīng)過點(diǎn)(－1，－2)，且原點(diǎn)到直線l的距離為1，則直線l的方程為()A．3x－4y－5＝0B．x＝－1C．3x－4y－5＝0或y＝－1D．3x－4y－5＝0或x＝－1答案D解析當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線方程為x＝－1，滿意原點(diǎn)到直線l的距離為1，∴x＝－1.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，由原點(diǎn)到直線l的距離為1，∴eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).從而得直線l的方程為y＋2＝eq\f(3,4)(x＋1)，即3x－4y－5＝0.綜上可得，直線l的方程為x＝－1或3x－4y－5＝0.6．(2024·葫蘆島模擬)當(dāng)點(diǎn)P(3,2)到直線mx－y＋1－2m＝0的距離最大時，mA．3 B．0C．－1 D．1答案C解析直線mx－y＋1－2m＝0可化為y＝m(x－2)＋1，故直線過定點(diǎn)Q(2,1)，當(dāng)PQ和直線垂直時，距離取得最大值，故m·kPQ＝m·eq\f(2－1,3－2)＝m·1＝－1，m＝－1.7．已知直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段的中點(diǎn)為P(－1,2)，則直線l的一般式方程為()A．3x－y＋5＝0 B．3x＋y＋1＝0C．x－3y＋7＝0 D．x＋3y－5＝0答案B解析設(shè)l與l1的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(a，y1)，l與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為B(b，y2)，∴y1＝－4a－3，y2＝eq\f(3b,5)－1，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\f(a＋b,2)＝－1，eq\f(y1＋y2,2)＝2，即a＋b＝－2，(－4a－3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3b,5)－1))＝4，解得a＝－2，b＝0，∴A(－2,5)，B(0，－1)，∴l(xiāng)的方程為3x＋y＋1＝0.8．點(diǎn)(2,1)關(guān)于直線x－y＋1＝0的對稱點(diǎn)為________．答案(0,3)解析設(shè)對稱點(diǎn)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－1,x0－2)＝－1，,\f(x0＋2,2)－\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝3，))故所求對稱點(diǎn)為(0,3)．9．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，則實(shí)數(shù)c的值是________．答案2或－6解析直線6x＋ay＋c＝0的方程可化為3x＋eq\f(a,2)y＋eq\f(c,2)＝0，由題意得eq\f(a,2)＝－2且eq\f(c,2)≠－1，解得a＝－4，c≠－2.依據(jù)兩平行直線的距離為eq\f(2\r(13),13)，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1－\f(c,2))),\r(32＋－22))＝eq\f(2\r(13),13)，所以1＋eq\f(c,2)＝±2，解得c＝2或－6.10．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)為頂點(diǎn)的△ABC，其邊AB上的高所在的直線方程是________．答案2x＋y－14＝0解析由A，B兩點(diǎn)得kAB＝eq\f(1,2)，則邊AB上的高所在直線的斜率為－2，故所求直線方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.組實(shí)力關(guān)1．已知b＞0，直線(b2＋1)x＋ay＋2＝0與直線x－b2y－1＝0垂直，則ab的最小值為()A．1 B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)答案B解析由已知兩直線垂直，得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b＞0，∴ab＝b＋eq\f(1,b).由基本不等式得b＋eq\f(1,b)≥2eq\r(b·\f(1,b))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時等號成立，∴(ab)min＝2.故選B.2．兩條平行線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1,2)，Q(2，－3)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是()A．(5，＋∞) B．(0,5]C．(eq\r(34)，＋∞) D．(0，eq\r(34)]答案D解析當(dāng)PQ與平行線l1，l2垂直時，|PQ|為平行線l1，l2間的距離的最大值，為eq\r(－1－22＋[2－－3]2)＝eq\r(34)，∴l(xiāng)1，l2之間距離的取值范圍是(0，eq\r(34)]．故選D.3．已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(2,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))答案D解析設(shè)l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0，易知l1與l2交于點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))，l3過定點(diǎn)B(0，－1)．因?yàn)閘1，l2，l3不能構(gòu)成三角形，所以l1∥l3或l2∥l3或l3過點(diǎn)A.當(dāng)l1∥l3時，m＝eq\f(2,3)；當(dāng)l2∥l3時，m＝－eq\f(4,3)；當(dāng)l3過點(diǎn)A時，m＝－eq\f(2,3)，所以實(shí)數(shù)m的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).故選D.4．(2024·保定模擬)設(shè)點(diǎn)P為直線l：x＋y－4＝0上的動點(diǎn)，點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)，則|PA|＋|PB|的最小值為()A．2eq\r(10) B.eq\r(26)C．2eq\r(5) D.eq\r(10)答案A解析依據(jù)題意作出圖象如下，設(shè)點(diǎn)B(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B1(a，b)，則它們的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)，\f(b,2)))，且|PB|＝|PB1|，由對稱性，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f