PAGE10-第2講古典概型基礎學問整合1．基本領件的特點(1)任何兩個基本領件是eq\o(□,\s\up1(01))互斥的．(2)任何事務(除不行能事務)都可以表示成eq\o(□,\s\up1(02))基本領件的和．2．古典概型(1)古典概型的定義具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．eq\x(有限性)—eq\x(試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領件\o(□,\s\up1(03))只有有限個)|eq\x(等可能性)—eq\x(每個基本領件出現(xiàn)的可能性\o(□,\s\up1(04))相等)(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\o(□,\s\up1(05))eq\f(A包含的基本領件的個數(shù),基本領件的總數(shù)).一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特征的概率模型才是古典概型．正確的推斷試驗的類型是解決概率問題的關鍵．1．一枚硬幣連擲2次，恰好出現(xiàn)1次正面的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D．0答案A解析列舉出全部基本領件，找出“恰有1次出現(xiàn)正面”包含的結果．一枚硬幣連擲2次，基本領件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4個，而恰有1次出現(xiàn)正面包括(正，反)，(反，正)，2個，故其概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).2．為美化環(huán)境，從紅，黃，白，紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析從紅，黃，白，紫4種顏色的花中任選2種有以下選法：(紅，黃)，(紅，白)，(紅，紫)，(黃，白)，(黃，紫)，(白，紫)，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種，所以所求事務的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故選C.3．(2024·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色調筆的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)答案C解析從5支彩筆中任取2支不同顏色調筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫、黃藍、黃綠、黃紫、藍綠、藍紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色調筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故選C.4．(2024·金華模擬)從1,2,3,4,5,6六個數(shù)中任取2個數(shù)，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案D解析從1,2,3,4,5,6六個數(shù)中任取2個數(shù)共有15種狀況，取出的兩個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)的有5種狀況，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P＝1－eq\f(5,15)＝eq\f(2,3).5．(2024·江蘇高考)某愛好小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學生去參與活動，則恰好選中2名女生的概率為________．答案eq\f(3,10)解析把男生編號為男1，男2，女生編號為女1，女2，女3，則從5名學生中任選2名學生有：男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，共10種狀況，其中選中2名女生有3種狀況，則恰好選中2名女生的概率為eq\f(3,10).6．甲、乙兩人玩猜數(shù)字的嬉戲，先由甲任想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”．現(xiàn)隨意找兩個人玩這個嬉戲，則他們“心有靈犀”的概率為________．答案eq\f(5,8)解析兩人分別從1,2,3,4四個數(shù)中任取一個，有16種狀況，其中滿意|a－b|≤1的狀況有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10種，故他們“心有靈犀”的概率為eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).核心考向突破考向一簡潔的古典概型考向一簡潔的古典概型例1袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標號分別為1,2,3；藍色卡片兩張，標號分別為1,2.(1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一張標號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率．解(1)將標號為1,2,3的三張紅色卡片分別記為A，B，C，標號為1,2的兩張藍色卡片分別記為D，E.從五張卡片中任取兩張的全部可能結果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10種．由于每一張卡片被取到的機會均等，因此這些基本領件的出現(xiàn)是等可能的．從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的結果為(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3種．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的概率為eq\f(3,10).(2)將標號為0的綠色卡片記為F.從六張卡片中任取兩張的全部可能結果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．由于每一張卡片被取到的機會均等，因此這些基本領件的出現(xiàn)是等可能的．從六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的結果為(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，F(xiàn))，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共8種．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的概率為eq\f(8,15).1．求古典概型概率的步驟(1)推斷本試驗的結果是不是等可能事務，設出所求事務A；(2)分別求出基本領件的總數(shù)n與所求事務A中所包含的基本領件個數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事務A的概率．2．基本領件個數(shù)的確定方法方法適用條件列表法此法適用于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標法樹狀圖法樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適合于有依次的問題及較困難問題中基本領件數(shù)的探求[即時訓練]1.一個盒子里裝有三張卡片，分別標有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．解(1)由題意，得(a，b，c)全部可能的結果為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．設“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”為事務A，則事務A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事務B，則事務eq\o(B,\s\up6(－))包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種．所以P(B)＝1－P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f(8,9).精準設計考向，多角度探究突破考向二較困難的古典概型角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))古典概型與平面對量的交匯例2(1)(2024·寧波模擬)連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的概率是()A.eq\f(5,12)B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12)D.eq\f(5,6)答案C解析cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(m－n,|a||b|).∵θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴m≥n.(m，n)一共有6×6＝36(種)不同組合．滿意m≥n的有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(種)．所以所求的概率P＝eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).(2)(2024·宿遷模擬)已知k∈Z，Aeq\o(B,\s\up6(→))＝(k,1)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(2,4)，若|Aeq\o(B,\s\up6(→))|≤4，則△ABC是直角三角形的概率是________．答案eq\f(3,7)解析因為|Aeq\o(B,\s\up6(→))|＝eq\r(k2＋1)≤4，所以－eq\r(15)≤k≤eq\r(15)，因為k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，當△ABC為直角三角形時，應有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由Aeq\o(B,\s\up6(→))·Aeq\o(C,\s\up6(→))＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因為Beq\o(C,\s\up6(→))＝Aeq\o(C,\s\up6(→))－Aeq\o(B,\s\up6(→))＝(2－k,3)，由Aeq\o(B,\s\up6(→))·Beq\o(C,\s\up6(→))＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3，由Aeq\o(C,\s\up6(→))·Beq\o(C,\s\up6(→))＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC為直角三角形的k值為－2，－1或3，所以所求概率P＝eq\f(3,7).角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))古典概型與平面幾何、解析幾何的交匯例3(1)(2024·山東省試驗中學模擬)已知直線l1：x－2y－1＝0，直線l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，則直線l1與l2的交點位于第一象限的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案A解析l2的斜率小于l1的斜率時，直線l1與l2的交點位于第一象限，此時共有六種狀況：a＝1，b∈{3,4,5,6}；a＝2，b∈{5,6}．因此所求概率為eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).故選A.(2)(2024·洛陽統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．答案eq\f(7,12)解析依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6)＝36個，其中滿意直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿意eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，a2≤b2的數(shù)組(a，b)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(3))古典概型與函數(shù)的交匯例4(1)(2024·亳州質檢)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中隨意一點，O為坐標原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)答案C解析易知過點(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有4×4＝16個元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選C.(2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是()A.eq\f(9,16) B.eq\f(7,16) C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,16)答案A解析記事務A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)”．因為f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.當函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)時，f′(x)≥0在R上恒成立．又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥eq\f(b2,3).當b＝1時，有a≥eq\f(1,3)，故a可取1,2,3,4，共4個數(shù)；當b＝2時，有a≥eq\f(4,3)，故a可取2,3,4，共3個數(shù)；當b＝3時，有a≥3，故a可取3,4，共2個數(shù)；當b＝4時，有a≥eq\f(16,3)，故a無可取值．綜上，事務A包含的基本領件有4＋3＋2＝9種．又a，b∈{1,2,3,4}，所以全部的基本領件共有16種．故所求事務A的概率為P(A)＝eq\f(9,16).故選A.較困難的古典概型問題的求解方法解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關的學問轉化為事務，列舉基本領件，求出基本領件和隨機事務的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算．[即時訓練]3.設平面對量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，記“a⊥(a－b)”為事務A，則事務A發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案A解析有序數(shù)對(m，n)的全部可能結果有4×4＝16(個)．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事務A包含的基本領件為(2,1)和(3,4)，共2個，所以P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).4．(2024·甘肅蘭州模擬)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其中a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且a，b取到其中每個數(shù)都是等可能的，則直線l：y＝x與雙曲線C的左、右支各有一個交點的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(5,8)答案B解析若直線l：y＝x與雙曲線C的左、右支各有一個交點，則eq\f(b,a)>1，基本領件總數(shù)為4×4＝16，滿意條件的(a，b)的狀況有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6個，故所求概率為eq\f(3,8).5．(2024·河南鄭州模擬)已知一組拋物線y＝eq\f(1,2)ax2＋bx＋1，其中a為2,4中任取的一個數(shù)，b為1,3,5中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中隨意抽取兩條，它們在與直線x＝1交點處的切線相互平行的概率是________．答案eq\f(2,15)解析拋物線共有6條，任取兩條共Ceq\o\al(2,6)＝15種狀況．∵y′＝ax＋b，∴在與直線x＝1交點處的切線斜率為a＋b，而a為2,4中任取的一個數(shù)，b為1,3,5中任取的一個數(shù)，保證a＋b相等的拋物線有2對，∴在與直線x＝1交點處的切線相互平行的概率為eq\f(2,15).考向三古典概型與統(tǒng)計的交匯問題例5(2024·長春模擬)某老師為了了解高三所教兩個班級的一模數(shù)學成果狀況，將兩個班的數(shù)學成果(單位：分)繪制成如圖所示的莖葉圖．(1)分別求出甲、乙兩個班級數(shù)學成果的中位數(shù)、眾數(shù)；(2)若規(guī)定成果大于等于115分為優(yōu)秀，分別求出兩個班級數(shù)學成果的優(yōu)秀率；(3)從甲班中130分以上的5名同學中隨機抽取3人，求至多有1人的數(shù)學成果在140分以上的概率．解(1)由所給的莖葉圖，知甲班50名同學的成果由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，出現(xiàn)次數(shù)最多的是103，故甲班數(shù)學成果的中位數(shù)是108.5，眾數(shù)是103；乙班48名同學的成果由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，出現(xiàn)次數(shù)最多的是92和101，故乙班數(shù)學成果的中位數(shù)是106.5，眾數(shù)為92和101.(2)由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，甲班中數(shù)學成果為優(yōu)秀的人數(shù)為20，優(yōu)秀率為eq\f(20,50)＝eq\f(2,5)；乙班中數(shù)學成果為優(yōu)秀的人數(shù)為18，優(yōu)秀率為eq\f(18,48)＝eq\f(3,8).(3)從5人中抽取3人的不同狀況共有Ceq\o\al(3,5)種，其中至多有1人的數(shù)學成果在140分以上的狀況有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,3)種，故至多有1人的數(shù)學成果在140分以上的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(7,10).求解古典概型與統(tǒng)計交匯問題的思路(1)依據(jù)題目的干脆描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計圖表給出的信息，提煉出須要的信息．(2)進行統(tǒng)計與古典概型概率的正確計算．[即時訓練]5.(2024·廣州五校聯(lián)考)某市為慶祝北京奪得2024年冬奧會舉辦權，圍繞“全民健身促健康、同心共筑中國夢”主題開展全民健身活動．組織方從參與活動的群眾中隨機抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組[20,30)，第2組[30,40)，第3組[40,50)，第4組[50,60)，第5組[60,70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)若電視臺記者要從抽取的群眾中選一人進行采訪，估計被采訪人恰好在第1組或第4組的概率；(2)已知第1組群眾中男性有3名，組織方要從第1組中隨機抽取2名群眾組成志愿者服務隊，求至少有1名女性群眾的概率．解(1)設第1組[20,30)的頻率為f1，則由題意，得f1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05.,被采訪人恰好在第1組或第4組的頻率為0.05＋0.020×10＝0.25.所以估計被采訪人恰好在第1組或第4組的概率為0.25.(2)∵第1組[20,30)的人數(shù)為0.05×120＝6.∴第1組中共有6名群眾，其中女性群眾共3名．記第1組中的3名男性群眾分別為A，B，C,3名女性群眾分別為x，y，z，從第1組中隨機抽取2名群眾組成志愿者服務隊包含(A，B)，(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共15個基本領件．至少有一名女性群眾包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共12個基本領件．∴從第1組中隨機抽取2名群眾組成志愿者服務隊，至少有1名女性群眾的概率P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).盒中有三張分別標有號碼3,4,5的卡片，從盒中隨機抽取一張登記號碼后放回，再隨機抽取一張登記號碼，則兩次抽取的卡片號碼中至少有一個為奇數(shù)的概率為________．答案eq\f(8,9)解析解法一：兩次抽取的卡片號碼有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9種，其中至少有一個是奇數(shù)有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共8種，因此所求概率為eq\f(8,9).解法二：所求事務的對立事務為“兩次抽取的卡片號碼都為偶數(shù)”，只有(4,4)這1種取法，而兩次抽取的卡片號碼有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9種，因此所求事務的概率