廣東省清遠市2023-2024學年高二下學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題注意事項:1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.通過計算樣本相關(guān)系數(shù)可以反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度，以下四個選項中分別計算出四個樣本的相關(guān)系數(shù)，則反映樣本數(shù)據(jù)成正相關(guān)，并且線性相關(guān)程度最強的是（）A. B.C. D.2.以下求導計算正確的是（）A. B.C. D.3.某市高二數(shù)學統(tǒng)考，滿分為150分.假設(shè)學生考試成績，如果從高到低按照的比例將考試成績分為四個等級，則等級分數(shù)線大概為（）（參考數(shù)據(jù):若，則A.134 B.120 C.116 D.1104.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.5.生活經(jīng)驗告訴我們，兒子身高與父親身高是線性相關(guān)的.有人調(diào)查了5位學生的身高和其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表:父親身高166169170172173兒子身高168170171175176并利用相關(guān)知識得到兒子身高關(guān)于父親身高的經(jīng)驗回歸方程為.根據(jù)該經(jīng)驗回歸方程，已知某父親身高為，預測其兒子身高為（）A. B. C. D.6.在數(shù)學試卷的單項選擇題中，共有8道題，每道題有4個選項，其中有且僅有一個選項正確，選對得5分，選錯得0分，如果從四個選項中隨機選一個，選對的概率是0.25.某同學8道單選題都不會做，只能在每道單選題的選項中隨機選擇一個作為答案，設(shè)他的總得分為，則的方差（）A1.5 B.7.5 C.20.5 D.37.57.甲、乙兩選手進行象棋比賽，每局比賽相互獨立，如果每局比賽甲獲勝的概率均為，比賽沒有和局的情況，比賽采用5局3勝制，則甲通過4局比賽獲得勝利的概率是（）A. B. C. D.8.現(xiàn)要對三棱柱的6個頂點進行涂色，有4種顏色可供選擇，要求同一條棱的兩個頂點顏色不一樣，則不同的涂色方案有（）A.264種 B.216種 C.192種 D.144種二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知離散型隨機變量的分布列如下表所示:012則下列選項中正確的是（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)，則下列選項中正確的是（）A.的值域為B.在處取得極小值為2C.在上是增函數(shù)D.若方程有2個不同的根，則11.現(xiàn)有數(shù)字下列說法正確的是（）A.可以組成個沒有重復數(shù)字的六位數(shù) B.可以組成個沒有重復數(shù)字的六位偶數(shù)C.可以組成個六位數(shù) D.可以組成個相鄰兩個數(shù)字不相同的八位數(shù)三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為____________.13.在的展開式中，含項的系數(shù)為____________.14.若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為__________.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步聚.15.某醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療某種疾病.采用簡單隨機抽樣的方法從接受甲、乙兩種療法的患者中各抽取了100名，其中接受甲種療法的患者中治愈的有65名;接受乙種療法的患者中治愈的有85名.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表（單位:人）療法療效合計未治愈治愈甲乙合計并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好;（2）根據(jù)療效按照分層抽樣的方法，從這200名患者中抽取8名患者，再從這8名患者中隨機抽取2名患者做進一步調(diào)查，記抽取到未治愈患者人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.參考公式:，其中.0.150.100.050.00500012.0722.7063.8417.87910.82816.如圖，在正四棱錐中.（1）求證:;（2）若，求平面CPD與平面PBD的夾角的余弦值.17.在端午節(jié)吃“粽子”是我國的一個傳統(tǒng)習俗，現(xiàn)在有一些形狀、顏色和大小一致的“粽子”，其中甲同學有4個蛋黃餡的“粽子”和3個綠豆餡的“粽子”，乙同學有3個蛋黃餡的“粽子”和2個綠豆餡的“粽子”.（1）若從甲同學的“粽子”中有放回依次隨機抽取3次，每次任取1個“粽子”，記抽取到綠豆餡的“粽子”個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望;（2）若先從甲同學的“粽子”中任取2個送給乙同學，然后再從乙同學的“粽子”中任取1個，求取出的這個“粽子”是綠豆餡的概率.18設(shè)函數(shù).（1）當時，求在上最大值;（2）討論的單調(diào)性;（3）若，證明只有一個零點.19.若各項為正的無窮數(shù)列滿足:對于，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列為指形數(shù)列;若數(shù)列滿足:，且時，有，則稱數(shù)列為凹形數(shù)列.（1）若，判斷數(shù)列是不是指形數(shù)列?若是，證明你結(jié)論，若不是，說明理由;（2）若，證明指形數(shù)列也是凹形數(shù)列;（3）若指形數(shù)列是遞減數(shù)列，令，求使得成立的最小正整數(shù).廣東省清遠市2023-2024學年高二下學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題注意事項:1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.通過計算樣本相關(guān)系數(shù)可以反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度，以下四個選項中分別計算出四個樣本的相關(guān)系數(shù)，則反映樣本數(shù)據(jù)成正相關(guān)，并且線性相關(guān)程度最強的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)程度越強，及為正相關(guān)進行分析判斷.【詳解】因為相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)程度越強，且為正相關(guān)，所以時，線性相關(guān)程度最強，且為正相關(guān)，故選：A2.以下求導計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由基本初等函數(shù)的求導公式以及復合函數(shù)的求導法則代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤；故選：C3.某市高二數(shù)學統(tǒng)考，滿分為150分.假設(shè)學生考試成績，如果從高到低按照的比例將考試成績分為四個等級，則等級分數(shù)線大概為（）（參考數(shù)據(jù):若，則A.134 B.120 C.116 D.110【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性計算得解.【詳解】依題意，，顯然，所以等級分數(shù)線大概為分.故選：D4.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程即可.【詳解】函數(shù)，求導得，則，所以所求切線方程為，即.故選：B5.生活經(jīng)驗告訴我們，兒子身高與父親身高是線性相關(guān)的.有人調(diào)查了5位學生的身高和其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表:父親身高166169170172173兒子身高168170171175176并利用相關(guān)知識得到兒子身高關(guān)于父親身高的經(jīng)驗回歸方程為.根據(jù)該經(jīng)驗回歸方程，已知某父親身高為，預測其兒子身高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖表，先求出，進而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，解得，所以，當時，，故選：C.6.在數(shù)學試卷的單項選擇題中，共有8道題，每道題有4個選項，其中有且僅有一個選項正確，選對得5分，選錯得0分，如果從四個選項中隨機選一個，選對的概率是0.25.某同學8道單選題都不會做，只能在每道單選題的選項中隨機選擇一個作為答案，設(shè)他的總得分為，則的方差（）A1.5 B.7.5 C.20.5 D.37.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目可知，服從二項分布，從而得到方差公式計算即可.【詳解】根據(jù)題目可知，服從二項分布，從而得到方差公式.故選：A7.甲、乙兩選手進行象棋比賽，每局比賽相互獨立，如果每局比賽甲獲勝的概率均為，比賽沒有和局的情況，比賽采用5局3勝制，則甲通過4局比賽獲得勝利的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應用獨立事件概率乘積公式結(jié)合比賽的規(guī)則求解即可【詳解】因為比賽采用5局3勝制，則甲通過4局比賽獲得勝利時前3局勝2局第4局勝共有種情況，所以甲通過4局比賽獲得勝利的概率是故選：B8.現(xiàn)要對三棱柱的6個頂點進行涂色，有4種顏色可供選擇，要求同一條棱的兩個頂點顏色不一樣，則不同的涂色方案有（）A.264種 B.216種 C.192種 D.144種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合排列、組合計數(shù)問題列式計算即得.【詳解】依題意，求不同涂色方案問題，有用4種顏色和用3種顏色兩類辦法，用4種顏色，先涂點有種方法，再在中選一點涂第4色，另兩點有3種涂色方法，因此不同涂色方法數(shù)為；用3種顏色，先涂點有種方法，再涂有2種方法，因此不同涂色方法數(shù)為，所以不同的涂色方案有（種）.故選：A【點睛】思路點睛：涂色問題，可以按用色多少分類，再在每類中探求同色方案列式求解.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知離散型隨機變量的分布列如下表所示:012則下列選項中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用分布列的性質(zhì)，即可判斷出選項A和B的正誤；再利用期望和方差的計算公式，即可判斷出選項C和D的正誤.【詳解】由題知，解得，所以選項A錯誤，選項B正確，對于選項C，，所以選項C正確，對于選項D，因為，所以選項D正確，故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列選項中正確的是（）A.的值域為B.在處取得極小值為2C.在上是增函數(shù)D.若方程有2個不同的根，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，求導可得，即可得到函數(shù)的單調(diào)性以及值域，即可判斷ABC，再結(jié)合函數(shù)圖像即可判斷D【詳解】因為函數(shù)，則，令，即，解得或（舍），當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯誤；則時，函數(shù)有極小值即最小值，即，故B正確；且，，則函數(shù)值域為，故A正確；由函數(shù)的單調(diào)性以及值域可得函數(shù)的大致圖像，如圖所示，結(jié)合圖像可知，若方程有2個不同的根，則，故D錯誤；故選：AB11.現(xiàn)有數(shù)字下列說法正確的是（）A.可以組成個沒有重復數(shù)字的六位數(shù) B.可以組成個沒有重復數(shù)字的六位偶數(shù)C.可以組成個六位數(shù) D.可以組成個相鄰兩個數(shù)字不相同的八位數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解；對于B，根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求解；對于C，分析出六位數(shù)中可能有1個1，2個1，3個1三種情況，再根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求解；對于D，利用插空法和分步乘法計數(shù)原理，并減去0在首位的情況即可求解.【詳解】對于A，由題意，可選取的數(shù)字為：0，1，2，3，4，5，且首位不能為0，第一步，先排首位有種不同排法，第二步，再排其他5位數(shù)，有種排法，所以由分步乘法計數(shù)原理可知，可以組成個沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，故A正確；對于B，由題意，末位只能為：0，2，4，當末位為0時，有種排法；當末位為2時，有種排法；當末位為4時，有種排法，所以由分類加法計數(shù)原理可知，可以組成312個沒有重復數(shù)字的六位偶數(shù)，故B錯誤；對于C，由題意，六位數(shù)中可能有1個1，2個1，3個1三種情況.當六位數(shù)中有1個1時，由A選項知有600種排法；當六位數(shù)中有2個1時，分為有0與無0兩種情況，有0時，有種排法，無0時，有種排法；當六位數(shù)中有3個1時，分有0與無0兩種情況，有0時，有種排法，無0時，有種排法，所以由分類加法計數(shù)原理可知，可以組成個六位數(shù)，故C錯誤；對于D，因為相鄰兩個數(shù)字不相同，即3個1不能相鄰，故用插空法：第一步，先排，除1外的5個數(shù)字，有，每種排法留出6個空位，第二步，再將3個1插入6個空位，有種排法，所以由分步乘法計數(shù)原理可知，共有2400種排法，又因為0不能在首位，而0在首位時，有種排法，所以可以組成個相鄰兩個數(shù)字不相同的八位數(shù)，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查有限制條件的排列、組合和不相鄰問題，解題關(guān)鍵是遵循特殊位置優(yōu)先排、不相鄰問題插空排.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為____________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再解不等式得解.【詳解】函數(shù)的定義域為R，求導得，由，得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：13.在的展開式中，含項的系數(shù)為____________.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)條件，得到展開式的通項公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為展開式的通項公式為，令，得到，所以含項的系數(shù)為，故答案為：.14.若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】將導數(shù)方程參變分離，轉(zhuǎn)化為與由兩個交點的問題，利用導數(shù)討論的單調(diào)性，觀察變化趨勢，作出草圖，由圖象即可得解.【詳解】的定義域為，，令，得.令，則令，則，即，即.當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.，又當趨近于0時，趨近于；當趨近于時，趨近于0，作出的草圖如圖，由圖可知，當時，方程有兩個正根，從而函數(shù)有兩個極值點.【點睛】思路點睛：關(guān)于函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題，通常參變分離，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象相交問題，借助導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出草圖即可得解，其中需要注意觀察函數(shù)的變化趨勢.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步聚.15.某醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療某種疾病.采用簡單隨機抽樣的方法從接受甲、乙兩種療法的患者中各抽取了100名，其中接受甲種療法的患者中治愈的有65名;接受乙種療法的患者中治愈的有85名.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表（單位:人）療法療效合計未治愈治愈甲乙合計并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好;（2）根據(jù)療效按照分層抽樣的方法，從這200名患者中抽取8名患者，再從這8名患者中隨機抽取2名患者做進一步調(diào)查，記抽取到未治愈患者人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.參考公式:，其中.0.150.100.050.0050.0012.0722.7063.8417.87910.828【答案】（1）答案見解析；乙種療法的效果比甲種療法好（2）答案見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可完善列聯(lián)表，再由的計算公式代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由分層抽樣的公式可得抽取到未治愈的人數(shù)為2人，治愈的人數(shù)為6人，再由超幾何分布的概率公式代入計算，即可得到分布列，從而得到期望.【小問1詳解】療法療效合計未治愈治愈甲3565100乙1585100合計50150200假設(shè)：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，乙種療法的效果比甲種療法好.【小問2詳解】由分層抽樣可得，從200名患者中抽取8名患者，其中抽取到未治愈的人數(shù)為人，抽取到治愈的人數(shù)為人，且抽取到未治愈患者人數(shù)為，則，則，，，則分布列為012則期望.16.如圖，在正四棱錐中.（1）求證:;（2）若，求平面CPD與平面PBD的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，連接，利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.（2）以為原點建立空間直角坐標系，求出平面CPD與平面PBD的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】在正四棱錐中，連接，連接，則平面，而平面，則，由正方形，得，又平面，因此平面，而平面，所以.【小問2詳解】由（1）知，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，而，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，顯然平面的法向量，設(shè)平面CPD與平面PBD的夾角為，則，所以平面CPD與平面PBD的夾角的余弦值為.17.在端午節(jié)吃“粽子”是我國的一個傳統(tǒng)習俗，現(xiàn)在有一些形狀、顏色和大小一致的“粽子”，其中甲同學有4個蛋黃餡的“粽子”和3個綠豆餡的“粽子”，乙同學有3個蛋黃餡的“粽子”和2個綠豆餡的“粽子”.（1）若從甲同學的“粽子”中有放回依次隨機抽取3次，每次任取1個“粽子”，記抽取到綠豆餡的“粽子”個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望;（2）若先從甲同學的“粽子”中任取2個送給乙同學，然后再從乙同學的“粽子”中任取1個，求取出的這個“粽子”是綠豆餡的概率.【答案】（1）分布列見解析，期望為；（2）.【解析】【分析】（1）求出取出1個“粽子”是綠豆餡的概率，再求出的可能值，利用二項分布概率求出分布列及期望.（2）根據(jù)給定條件，利用全概率公式計算得解.【小問1詳解】依題意，抽取到綠豆餡的“粽子”的概率，的可能取值是，，，，，，所以的分布列為：0123數(shù)學期望.【小問2詳解】記甲同學取出的“粽子”是2個蛋黃餡的“粽子”、蛋黃餡的和綠豆餡的“粽子”各1個，2個綠豆餡的“粽子”的事件分別為，乙同學取出1個綠豆餡的“粽子”的事件為，，，因此，所以取出的這個“粽子”是綠豆餡的概率.18.設(shè)函數(shù).（1）當時，求在上的最大值;（2）討論的單調(diào)性;（3）若，證明只有一個零點.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先代入a的值，再求導函數(shù)得出單調(diào)性求出最大值；（2）先求導函數(shù)，再根據(jù)判別式分類討論得出單調(diào)性即可；（3）先判