專題01，初識極值點偏移

一、極值點偏移的含義

眾所周知，函數(shù)/(X)滿足定義域內(nèi)任意自變量尢都有/(%)=/(2相一工)，則函數(shù)/3)

關(guān)于直線x=m對稱；可以理解為函數(shù)f(x)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若

/*)為單峰函數(shù)，則％=相必為/(x)的極值點.如二次函數(shù)/(x)的頂點就是極值點與,

若f(x)=c的兩根的中點為土尹■,則剛好有土尹■二%,即極值點在兩根的正中間，

也就是極值點沒有偏移.

A

\-F/

X2k

—-------------------------

O

若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點偏移：若單峰函數(shù)f(x)的極值點為相，且函數(shù)f(x)滿

足定義域內(nèi)x=加左側(cè)的任意自變量x都有f(x)>/(2加一x)或/")</(2加一x),則函

數(shù)/(為極值點機左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù))(x)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)M，芍

滿足y(x.)=/(x2),則五券與極值點m必有確定的大小關(guān)系：

若〃2〈上士三，則稱為極值點左偏；若“,土上，則稱為極值點右偏.

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如函數(shù)g(x)=4的極值點工。=1剛好在方程g(x)=c的兩根中點空強的左邊，我們稱

e2

之為極值點左偏.

1

二、極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：

L若函數(shù)/（X）存在兩個零點用,工2且為工工2，求證：Xy+X2>2x0（%為函數(shù)/（X）的

極值點）；

2.若函數(shù)/（X）中存在芭,工2且X。工2滿足/*1）=/（工2），求證：\+X2>2XQ（%為

函數(shù)/（X）的極值點）；

3.若函數(shù)f（x）存在兩個零點修，.7且4］工/，令及）=%；二,求證：y（x0）>0;

4.若函數(shù)/（%）中存在芭,々且工滿足f（M）=/（X2），令M="1,求證：

f'M>o.

三、問題初現(xiàn)，形神合聚

2

★函數(shù)f（x）=X-2x+l+〃/有兩極值點晶,々，且M<X2.

證明：x,+x2>4.

2

【解析】令鼠力=，(力=2x-2+*x,則毛,巧是函數(shù)g@)的兩個零點?

令以力=0,得。=—竺山，

e

令方(x)=-絲辿，則力(均)=版石)，

Q

2x—4

力，(力=￡/，可得力S)在區(qū)間(TR2)單調(diào)遞遍，在區(qū)間(2,m)單調(diào)遞熠，

e

所以當(dāng)<2<巧，

^H(x)=h(2+x)-h(2-x),

2x(e2~x―戶)

貝西'(力="Q+%)—力'(2-x)=]“，

Q-Q

當(dāng)0<x<2時，H\x)<Q,笈(力單調(diào)遞減，有笈(%)<笈(0)=0,

所以h(24-x)<h(2-x),

所以h(xt)=〃(々)=〃[2+(x2-2)]<〃[2-(x2-2)]=〃(4-x2),

因為X<2,4-x2<2,人(幻在(一8,2)上單調(diào)遞減

所以司>4一石，即E十七>4.

★已知函數(shù)/(x)=lnx的圖象G與函數(shù)8*)=3〃2+版(。工0)的圖象。2交于P,Q，

過P。的中點R作入軸的垂線分別交G，。2于點M,N,問是否存在點R,使G在M處

的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

3

【分析】設(shè)式孫Ji).C(孫為)Ci工項)，則龍(當(dāng)產(chǎn)

點的橫坐標>”=%="巴，

當(dāng),項是函數(shù)F(x)=/(x)-歐門的兩個零點，

原問題即探究/'(昔區(qū))>￡仁等)的大小關(guān)系,

即尸(^1^)=/-g<^^)的符號，

實質(zhì)也是探究F(力的極值點是否偏移中點.

★過點P(T,O)作曲線f(x)=e'的切線.

(1)求切線的方程；

(2)若直線與曲線yf-(aWR)交于不同的兩點內(nèi)\必)，BCx?yj),求證：Xj+X,<-4.

f(x)

【答案】(1)y=x+l(2)見解析

【解析】

試題分析：(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率y'lx=o=1，再根據(jù)點斜式求切線方程y=x+1.

4

（2）本題是極值平移問題，先根據(jù)極值點-2構(gòu)造函數(shù)：g（x）=f（xbf（-4-xb利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)8岡單調(diào)性:

在（-2.單調(diào)遞增，及最小值大于零，即得不等式式'”（4七），再根據(jù)等量轉(zhuǎn)換及單調(diào)性可得不等式:

xx<-4-x2,即<-4.

X0

丁產(chǎn)e

試題解析：⑴八島設(shè)切點的，電則飛兀，解得y。,

因此人?0=1,?的方程是v="i.

（2）依題意有,所以[X]?l)e1=(x+l)e

a2

設(shè)電）:,+1儲卿。）=妁）.

f(x)=(x+2)e\當(dāng)x&2時，f'(x)<0,當(dāng)x>-2時，f(x)>Oj

所以他)在[---2)單調(diào)遞遍，在I-2.?F單調(diào)遞增.

因為乂*巧,不妨設(shè)x1v-2,x2>-2.

設(shè)g(x)=f(x)-f(-4-x)>則g(x)=f(x)+f(-4-x)=(x+2)ex(l-e*2(2+力：

當(dāng)x>?2時，g'(x)>0,8儀)在(-2,+8)單調(diào)遞增，