專題31概率小題綜合訓(xùn)練【考點預(yù)測】一、必然事件、不可能事件、隨機事件在一定條件下：=1\*GB3①必然要發(fā)生的事件叫必然事件；=2\*GB3②一定不發(fā)生的事件叫不可能事件；=3\*GB3③可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件．二、概率在相同條件下，做次重復(fù)實驗，事件A發(fā)生次，測得A發(fā)生的頻率為，當(dāng)很大時，A發(fā)生的頻率總是在某個常數(shù)附近擺動，隨著的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數(shù)叫做A的概率，記作．對于必然事件A，；對于不可能事件A，=0．三、基本事件和基本事件空間在一次實驗中，不可能再分的事件稱為基本事件，所有基本事件組成的集合稱為基本事件空間．四、古典概型條件：1、基本事件空間含有限個基本事件2、每個基本事件發(fā)生的可能性相同五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次實驗中不能同時發(fā)生的事件稱為互斥事件．事件A與事件B互斥，則．2、對立事件事件A，B互斥，且其中必有一個發(fā)生，稱事件A，B對立，記作或．．3、互斥事件與對立事件的聯(lián)系對立事件必是互斥事件，即“事件A，B對立”是”事件A，B互斥“的充分不必要條件．六、條件概率與獨立事件（1）在事件A發(fā)生的條件下，時間B發(fā)生的概率叫做A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率，記作，條件概率公式為．（2）若，即，稱與為相互獨立事件．與相互獨立，即發(fā)生與否對的發(fā)生與否無影響，反之亦然．即相互獨立，則有公式．（3）在次獨立重復(fù)實驗中，事件發(fā)生次的概率記作，記在其中一次實驗中發(fā)生的概率為，則．【典型例題】例1．（2024·遼寧遼陽·一模）將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個地區(qū)，每個地區(qū)至少分配2人，則甲、乙、丙分到同一個地區(qū)的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個地區(qū)，每個地區(qū)至少分配2人，則有3人分到一個地區(qū)，分配方法共有種，其中甲、乙、丙分到同一個地區(qū)的分配方法有，故所求的概率為，故選：D例2．（2024·廣西·二模）從1，2，3，4，5這5個數(shù)中隨機地取出3個數(shù)，則該3個數(shù)的積與和都是3的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】從1，2，3，4，5這5個數(shù)中隨機地取出3個數(shù)，共有種不同的取法；其中這3個數(shù)的積與和都是3的倍數(shù)的有：，有4種取法，所以該3個數(shù)的積與和都是3的倍數(shù)的概率為.故選：B.例3．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，設(shè)用該試劑檢測呈現(xiàn)陽性為事件B，被檢測者患病為事件A，未患病為事件，則，，，，故，則所求概率為.故選：C.例4．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為坐標(biāo)原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】區(qū)域表示以為圓心的圓環(huán)，且圓環(huán)面積為，滿足的區(qū)域為表示的圓環(huán)，面積為．故所求的概率為.故選：C．例5．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，A，B，C，D為四個不同的區(qū)域，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、黑4種顏色，對這四個區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同的顏色（A與C不相鄰，B與D不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】使用4種顏色給四個區(qū)域涂色，有種涂法；使用3種顏色給四個區(qū)域涂色，共有種涂法；（使用3種顏色給四個區(qū)域涂色有兩類情況：①區(qū)域A與區(qū)域C涂同一種顏色，區(qū)域B與區(qū)域D涂另外2種顏色；②區(qū)域B與區(qū)域D涂同一種顏色，區(qū)域A與區(qū)域C涂另外2種顏色）使用2種顏色給四個區(qū)域涂色，共有種不同的涂法．所以所有的涂色方法共有（種），故使用2種顏色給四個區(qū)域涂色的概率為．故選：B例6．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，已知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點位于的位置，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，當(dāng)時，的可能取值為1,3,5，且，所以.故選：D．例7．（2024·四川遂寧·二模）某校甲、乙、丙、丁4個小組到A，B，C這3個勞動實踐基地參加實踐活動，每個小組選擇一個基地，則每個基地至少有1個小組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】每個小組選擇一個基地，所有的選擇情況有種，每個基地至少有1個小組的情況有,故概率為，故選：C例8．（2024·寧夏固原·一模）現(xiàn)從3男2女共5名志愿者中選出3人前去A鎮(zhèn)開展防電信詐騙宣傳活動，向村民普及防詐騙、反詐騙的知識，則女志愿者至少選中1人的概率為．（用數(shù)字作答）【答案】/0.9【解析】記3名男志愿者分別為，2名女志愿者分別為，則從5人中選出3人的情況有，共10種，其中女志愿者至少選中1人的情況有,共9種，故所求概率為故答案為：例9．（2024·高三·浙江·階段練習(xí)）甲、乙兩人爭奪一場羽毛球比賽的冠軍，比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為.【答案】/0.4【解析】設(shè)甲獲得冠軍為事件A，比賽共進(jìn)行了3局為事件B，則AB表示在甲獲得冠軍的條件下，比賽共進(jìn)行了3局，，，所以.故答案為：.例10．（2024·全國·模擬預(yù)測）小明同學(xué)進(jìn)行射箭訓(xùn)練，每次射擊是否中靶相互獨立，根據(jù)以往訓(xùn)練情況可知小明射擊一次中靶的概率為，則小明射擊3次恰好有2次中靶的概率為．【答案】【解析】由題可知小明同學(xué)射擊3次恰好有2次中靶的概率為.故答案為：.例11．（2024·高三·安徽·階段練習(xí)）從中任意選1個數(shù)字，從中任意選2個數(shù)字，得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).在所組成的三位數(shù)中任選一個，則該數(shù)是偶數(shù)的概率為.【答案】【解析】根據(jù)題意可知：若從中任意選1個不為0的數(shù)字有種選法，從中任意選2個數(shù)字有種選法，由選出的3個數(shù)字組成三位數(shù)有！種組法，共種方法，其中偶數(shù)有個；若從中選0，再從中任意選2個數(shù)字有種選法，由選出的3個數(shù)字組成三位數(shù)有種組法，共種方法，其中偶數(shù)有個；所以該數(shù)為偶數(shù)的概率為.故答案為：例12．（2024·高三·河北·開學(xué)考試）小明上學(xué)要經(jīng)過兩個有紅綠燈的路口，已知小明在第一個路口遇到紅燈的概率為，若他在第一個路口遇到紅燈，第二個路口沒有遇到紅燈的概率為，在第一個路口沒有遇到紅燈，第二個路口遇到紅燈的概率為，則小明在第二個路口遇到紅燈的概率為．【答案】/0.25【解析】由全概率公式可得小明在第二個路口遇到紅燈的概率為，故答案為：例13．（2024·廣西來賓·一模）根據(jù)氣象統(tǒng)計，某地3月份吹西北風(fēng)的概率為0.7，既吹西北風(fēng)又下雨的概率為0.5，則該地3月在吹西北風(fēng)的條件下下雨的概率為.【答案】【解析】設(shè)事件：某地3月份吹西北風(fēng)，事件：某地3月份下雨，根據(jù)題意，可得，則該地3月在吹西北風(fēng)的條件下下雨的概率為.故答案為：.例14．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為．【答案】//【解析】設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；乙盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；丙盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件A，所以，；記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件，黑球總共有個，白球共有個，所以，．故答案為：；．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）2023年“中華情·中國夢”中秋展演系列活動在廈門舉辦，包含美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會，中秋文藝晚會等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有2幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書法作品、2幅不同的攝影作品，將這7幅作品排成一排掛在同一面墻上，則美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品不能相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知這7幅作品所有的不同掛法有種，美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品相鄰時不同的掛法有種，美術(shù)作品不能掛兩端時不同的掛法有種，則美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品不能相鄰的不同的掛法有種，所以事件美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品不能相鄰的概率為，故選：B2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）第31屆世界大學(xué)生夏季運動會將于2023年7月28日在中國成都舉行，運動會期間將安排來自A大學(xué)2名和B大學(xué)4名，共計6名大學(xué)生志愿者到體操比賽場館服務(wù)，現(xiàn)從這6名志愿者中隨機抽取2人擔(dān)任組長，至少有一名A大學(xué)志愿者擔(dān)任組長的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知試驗發(fā)生包含的事件是從6個人中隨機的抽取兩個人，共有15種結(jié)果，滿足條件的事件是包括兩種情況共種結(jié)果，至少有一名A大學(xué)志愿者擔(dān)任組長的概率是.故選：C．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知6件產(chǎn)品中有2件次品，從中隨機抽取2件，其中恰好有1件正品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，設(shè)4件正品的編號分別為件次品的編號分別為，則從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件的所有情況為，,共15種.設(shè)恰好有1件正品為事件，則事件包含的情況有，共8種，則.故選：A.4．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）重慶，我國四大直轄市之一，這里資源豐富，旅游景點也多，不僅有山水自然風(fēng)光，還有人文歷史景觀．現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到重慶旅游，分別準(zhǔn)備從巫山小三峽、南川金佛山、大足石刻和酉陽桃花源4個國家5A級旅游景區(qū)中隨機選擇其中一個景區(qū)游玩．記事件：甲和乙至少一人選擇酉陽桃花源景區(qū)，事件：甲和乙選擇的景區(qū)不同，則概率（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】甲、乙兩位游客分別從4個景區(qū)選擇一個游玩的總情況數(shù)為種，其中甲和乙至少一人選擇酉陽桃花源景區(qū)的情況數(shù)為，則，事件表示：甲乙選擇的景區(qū)不同，且至少一個選擇酉陽桃花源景區(qū)，則符合要求的情況數(shù)為種，則，所以.故選：D5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）一數(shù)字電子表顯示的時間是四位數(shù)，如，那么在一天（24小時制）內(nèi)，所顯的四個數(shù)字和是23的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】一天顯示的時間總共有種，和為23有，，，總共有4種，故所求概率為．故選：D．6．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）甲、乙、丙3名同學(xué)從4門課程中任選一門作為選修課，則3名同學(xué)所選課程不全相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】甲、乙、丙3名同學(xué)從4門課程中任選一門有（種）選法，3名同學(xué)所選課程全相同有4種，所以3名同學(xué)所選課程不全相同的概率為，故選：D.7．（2024·陜西銅川·二模）從這九個數(shù)字中任取兩個，這兩個數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】這九個數(shù)字中任取兩個，有種取法，和為質(zhì)數(shù)有，共14種情況，因此所求概率為.故選：C.8．（2024·高三·四川綿陽·階段練習(xí)）在高考的任一考場中，都安排6行5列共30名考生，考號機選，考場使用卷和卷兩種答卷以防作弊，且每名考生拿到卷和卷都是均等的，且相鄰考生答卷不相同，甲乙兩名同學(xué)在同一考場，已知甲乙同列的情況下，則他們都拿到卷的概率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于甲乙同列，則甲乙的座位選擇有種，若甲乙拿到卷時，甲乙的座位選擇有種，故概率為，故選：A9．（2024·全國·二模）某單位選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊.選哪支隊是隨機的，其中選“初心”隊獲勝的概率為0.8，選“使命”隊獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊參加比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，記選“初心”隊為事件，選“使命”隊為事件，該單位獲勝為事件，則,因此，所以選“使命”隊參加比賽的概率.故選：D二、多選題10．（2024·高三·貴州安順·期末）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概率為，則（

）A．B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．D．第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種【答案】ABD【解析】由題意可知，要使得n次傳球后球在甲手中，則第次球必定不在甲手中，所以，，即，因為，則，所以，，則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故B正確；則，即，故C錯誤；且，故A正確；若第4次傳球后球在甲手中，則第3次傳球后球必不在甲手中，設(shè)甲，乙，丙對應(yīng)，則，，，，，，所以一共有六種情況，故D正確；故選：ABD11．（2024·高三·遼寧·期末）已知甲運動員的投籃命中率是0.8，乙運動員的投籃命中率是0.9，甲?乙投籃互不影響.若兩人各投籃一次，則（

）A．都沒有命中的概率是0.02B．都命中的概率是0.72C．至少一人命中的概率是0.94D．恰有一人命中的概率是0.18【答案】AB【解析】都沒有命中的概率為，正確；都命中的概率為，正確；至少一人命中的概率為，錯誤；恰有一人命中的概率為，錯誤.故選：.12．（2024·全國·模擬預(yù)測）袋中有大小形狀相同的5個小球，其中黑球3個，白球2個，從中有放回地取球3次，每次取1個，記為取得黑球次數(shù)，為取得白球次數(shù)，則（

）A．隨機變量的可能取值為B．隨機變量的可能取值為C．隨機事件的概率為D．隨機變量與的數(shù)學(xué)期望之和為3【答案】AD【解析】隨機變量的可能取值都為，A正確，B錯誤；隨機事件的概率為，C錯誤，因為，且，所以，D正確．故選：AD．13．（2024·全國·模擬預(yù)測）排球是一項深受人們喜愛的運動項目，排球比賽一般采用5局3勝制．在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對方得1分．在決勝局（第五局）采用15分制，某隊只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對方2分為勝．現(xiàn)有甲、乙兩隊進(jìn)行排球比賽，則下列說法正確的是（

）A．已知前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局，若甲隊最后贏得整場比賽，則甲隊將以或的比分贏得比賽B．若甲隊每局比賽獲勝的概率為，則甲隊贏得整場比賽的概率也是C．已知前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局，且接下來兩隊贏得每局比賽的概率均為，則甲隊最后贏得整場比賽的概率為D．已知前四局比賽中甲、乙兩隊已經(jīng)各贏兩局比賽．在決勝局（第五局）中，兩隊當(dāng)前的得分為甲、乙各14分．若兩隊打了個球后甲贏得整場比賽，則的取值為2或4【答案】AD【解析】對于選項A:若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局，若甲隊最后贏得整場比賽，則甲隊將以或的比分贏得比賽，故A正確;對于選項B:甲隊贏得整場比賽的概率是:，故B錯誤;對于選項C:若甲隊以的比分贏得比賽，則第4局甲贏，若甲隊以的比分贏得比賽，則第4局乙贏，第5局甲贏，所以甲隊最后贏得整場比賽的概率為，故C錯誤;對于選項D:若前四局比賽中甲、乙兩隊已經(jīng)各贏兩局比賽．在第五局中，兩隊當(dāng)前的得分為各分，若兩隊打了個球后甲贏得整場比賽，所以甲接下來可以以或贏得比賽，則x的取值為2或4，故D正確.故選:AD．三、填空題14．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）若每經(jīng)過一天某種物品的價格變?yōu)樵瓉淼?.1倍的概率為0.5，變?yōu)樵瓉淼?.9倍的概率也為0.5，則經(jīng)過4天該物品的價格不低于原來價格的概率為．【答案】/0.3125【解析】設(shè)物品原價格為1，因為，，，故經(jīng)過4天該物品的價格較原來價格增加的情況是4天中恰好是3天升高1天降低和4天升高,則經(jīng)過4天該物品的價格較原來價格增加的概率為.故答案為：.15．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知某果園中獼猴桃單果的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，若從該果園中隨機挑選4個獼猴桃，則恰有2個單果的質(zhì)量均不低于的概率為.【答案】/0.375【解析】由題可知，若從該果園中隨機挑選4個獼猴桃，則恰有2個單果的質(zhì)量均不低于的概率為.故答案為：.16．（2024·高三·上海浦東新·期中）某校面向高一全體學(xué)生共開設(shè)3門體育類選修課，每人限選一門.已知這三門體育類選修課的選修人數(shù)之比為，考核優(yōu)秀率分別為20%、16%和12%，現(xiàn)從該年級所有選擇體育類選修課的同學(xué)中任取一名，其成績是優(yōu)秀的概率為.【答案】0.18【解析】設(shè)事件“任取一名同學(xué)，成績?yōu)閮?yōu)秀”，“抽取的選修第門選修課的同學(xué)”（），則，且兩兩互斥，依題意，，，所以成績是優(yōu)秀的概率為.故答案為：0.1817．（2024·高三·上?！るA段練習(xí)）甲乙兩人射擊，每人射擊一次.已知甲命中的概率是，乙命中的概率是，兩人每次射擊是否命中互不影響.已知甲、乙兩人至少命中一次，則甲命中的概率為.【答案】【解析】設(shè)事件A為“兩人至少命中一次”，事件B為“甲命中”，，，所以.故答案為：18．（2024·貴州貴陽·一模）核桃（又稱胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并稱為世界著名的“四大干果”．它的種植面積很廣，但因地域不一樣，種植出來的核桃品質(zhì)也有所不同：現(xiàn)已知甲、乙兩地盛產(chǎn)核桃，甲地種植的核桃空殼率為（空殼率指堅果，谷物等的結(jié)實性指標(biāo)，因花未受精，殼中完全無內(nèi)容，稱為空殼），乙地種植的核桃空殼率為，將兩地種植出來的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃數(shù)分別占總數(shù)的，，從中任取一個核桃，則該核桃是空殼的概率是．【答案】【解析】設(shè)事件所取核桃產(chǎn)地為甲地為事件，事件所取核桃產(chǎn)地為乙地為事件，事件所取核桃為空殼為事件，則，，，，所以.故答案為：19．（2024·天津河?xùn)|·一模）某地區(qū)人群中各種血型的人所占比例如表1所示，已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任何一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血，小明是B型血，因病需要輸血，任找一個人，其血可以輸給小明的概率為；任找兩個人，則小明有血可以輸?shù)母怕蕿椋虯BABO該血型的人占比【答案】0.70.91【