四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補充)三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積第二節(jié)一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分在幾何學上的應用第六章1/22/2025高等數(shù)學一、平面圖形的面積1.直角坐標情形設曲線與直線及x軸所圍曲則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為1/22/2025高等數(shù)學例1.

計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:由得交點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應用定積分換元法得當a=b時得圓面積公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值則曲邊梯形面積機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學例4.求由擺線的一拱與x軸所圍平面圖形的面積.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學2.極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學對應

從0變例5.計算阿基米德螺線解:點擊圖片任意處播放開始或暫停機動目錄上頁下頁返回結(jié)束到2

所圍圖形面積.1/22/2025高等數(shù)學例6.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)心形線目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學心形線(外擺線的一種)即點擊圖中任意點動畫開始或暫停

尖點:

面積:

弧長:參數(shù)的幾何意義1/22/2025高等數(shù)學例7.

計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學例8.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:1/22/2025高等數(shù)學二、平面曲線的弧長定義:若在弧AB上任意作內(nèi)接折線,當折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限,此極限為曲線弧AB的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱1/22/2025高等數(shù)學(1)曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長(P168)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學(3)曲線弧由極坐標方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):(自己驗證)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學例9.兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束下垂懸鏈線方程為1/22/2025高等數(shù)學例10.

求連續(xù)曲線段解:的弧長.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學例11.

計算擺線一拱的弧長.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學例12.

求阿基米德螺線相應于0≤

≤2

一段的弧長.解:(P349公式39)小結(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),則對應于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束上連續(xù),1/22/2025高等數(shù)學特別,當考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有當考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學例13.

計算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標方程則(利用對稱性)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當b=a時,就得半徑為a的球體的體積機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學例14.

計算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x軸,y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解:

繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學繞

y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注意上下限!注注目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學分部積分注(利用“偶倍奇零”)1/22/2025高等數(shù)學柱殼體積說明:

柱面面積機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學偶函數(shù)奇函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學例15.設在x≥0時為連續(xù)的非負函數(shù),且形繞直線x＝t旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:證:利用柱殼法則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故1/22/2025高等數(shù)學例16.

一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解:如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學思考:可否選擇y作積分變量?此時截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學垂直x軸的截面是橢圓例17.

計算由曲面所圍立體(橢球體)解:它的面積為因此橢球體體積為特別當a=b=c時就是球體體積.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的體積.1/22/2025高等數(shù)學例18.

求曲線與x軸圍成的封閉圖形繞直線y＝3旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94考研)解:

利用對稱性,故旋轉(zhuǎn)體體積為在第一象限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

(補充)設平面光滑曲線求積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學側(cè)面積元素的線性主部.若光滑曲線由參數(shù)方程給出,則它繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積△S的機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:側(cè)面積為1/22/2025高等數(shù)學例19.計算圓x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S.解:對曲線弧應用公式得當球臺高h＝2R

時,得球的表面積公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學例20.求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S.解:利用對稱性繞x軸旋轉(zhuǎn)星形線目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學星形線星形線是內(nèi)擺線的一種.點擊圖片任意處播放開始或暫停大圓半徑R＝a小圓半徑參數(shù)的幾何意義(當小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時,小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線)1/22/2025高等數(shù)學內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標方程2.平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標方程弧微分:直角坐標方程上下限按順時針方向確定直角坐標方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學3.已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞x軸:4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積側(cè)面積元素為(注意在不同坐標系下ds的表達式)繞y軸:(柱殼法)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/22/2025高等數(shù)學思考與練習1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A及邊界長s.提示:交點為弧線段部分直線段部分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束以x為積分變量,則要分兩段積分,故以y為積分變量.1/22/2025高等數(shù)學2.試用定積分求圓繞x軸上半圓為下求體積:提示:方法1利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積V及表面積S.1/22/2025高等數(shù)學方法2用柱殼法說明:上式可變形為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束上半圓為下此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).1/22/2025高等數(shù)學求側(cè)面積:利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束上式也可寫成上半圓為下它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.1/22/2025高等數(shù)學作業(yè)P2792(1),(3);3;4;5(2),(3);8(2);9;10;

22;

25;27;30第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束面積及弧長部分：

體積及表面積部分：P27913;14;15(1),(4);17;18補充題:設有曲線過原點作其切線,求由此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.1/22/2025高等數(shù)學備用題解：1.求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其它.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束又故在區(qū)域1/22/2025高等數(shù)學分析曲線特點2.

解:與x軸所圍面積由圖形的對稱性,也合于所求.

為何值才能使與x軸圍成的面積等機動