重難點(diǎn)04圓的基本性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系命題趨勢(shì)中考數(shù)學(xué)中《圓的基本性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系》部分主要考向分為十類(lèi)：一、垂徑定理及其應(yīng)用（每年1道，3~12分）二、圓周角定理（每年1~2道，3~12分）三、圓內(nèi)接四邊形（每年1題，3~6分）四、三角形的外接圓與外心（每年1~2題，3~8分）五、直線與圓的位置關(guān)系（每年1題，3~10分）六、切線的性質(zhì)與判定（每年1~2題，3~13分）七、三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心（每年1題，3~4分）八、正多邊形和圓（每年1題，3~10分）九、弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算（每年1題，3~4分）十、圓錐的計(jì)算（每年1題，3~4分）中考數(shù)學(xué)中，圓的基本性質(zhì)與直線與圓的位置關(guān)系一直都是必考的考點(diǎn)，難度從基礎(chǔ)到綜合都有，通常選擇、填空題會(huì)出圓的基本性質(zhì)，如垂徑定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)與面積的求法、切線的性質(zhì)等，基本都是基礎(chǔ)應(yīng)用，難度不大，個(gè)別會(huì)出選擇題的壓軸題，難度稍大。簡(jiǎn)答題部分，一般會(huì)把切線的判定和相似三角形、銳角三角函數(shù)等結(jié)合考察，此時(shí)難度變大，綜合性較強(qiáng)，需要認(rèn)真應(yīng)對(duì)?？枷蛞唬捍箯蕉ɡ砑捌鋺?yīng)用【題型1垂徑定理及其推論】滿分技巧1.圓中模型“知2得3”由圖可得以下5點(diǎn)：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD過(guò)圓心O；④；⑤；以上5個(gè)結(jié)論，知道其中任意2個(gè)，剩余的3個(gè)都可以作為結(jié)論使用。2.常做輔助線：連半徑、作弦心距、見(jiàn)直接連弦長(zhǎng)得直徑所對(duì)圓周角1．（2023?宜昌）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC，OB交于點(diǎn)D．若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m3．（2023?永州）如圖，⊙O是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，⊙O的半徑為10cm，水的最深處到水面AB的距離為4cm，則水面AB的寬度為cm．4．（2023?東營(yíng)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度為寸．5．（2023?貴州）如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接EA，EB．（1）寫(xiě)出圖中一個(gè)度數(shù)為30°的角：，圖中與△ACD全等的三角形是；（2）求證：△AED∽△CEB；（3）連接OA，OB，判斷四邊形OAEB的形狀，并說(shuō)明理由．考向二：圓周角定理【題型2圓周角定理及其推論】滿分技巧圓中模型“知1得4”由圖可得以下5點(diǎn)：①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；以上5個(gè)結(jié)論，知道其中任意1個(gè)，剩余的4個(gè)都可以作為結(jié)論使用。1．（2023?山西）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC，BD為對(duì)角線，BD經(jīng)過(guò)圓心O．若∠BAC＝40°，則∠DBC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．（2023?吉林）如圖，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半徑，點(diǎn)P為OB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），連接CP．若∠BAC＝70°，則∠BPC的度數(shù)可能是（）A．70° B．105° C．125° D．155°3．（2023?宜賓）如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，C為的中點(diǎn)．若∠BAC＝35°，則∠AOB等于（）A．140° B．120° C．110° D．70°4．（2023?阜新）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．40° D．50°5．（2023?蘇州）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C，D在半圓上，，連接OC，CA，OD，過(guò)點(diǎn)B作EB⊥AB，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．設(shè)△OAC的面積為S1，△OBE的面積為S2，若，則tan∠ACO的值為（）A． B． C． D．6．（2023?溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長(zhǎng)分別為（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，7．（2023?臺(tái)灣）圖1為一圓形紙片，A、B、C為圓周上三點(diǎn)，其中AC為直徑，今以AB為折線將紙片向右折后，紙片蓋住部分的AC，而AB上與AC重疊的點(diǎn)為D，如圖2所示，若＝35°，則的度數(shù)為何（）A．105° B．110° C．120° D．145°8．（2023?武漢）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB＝2∠BAC．（1）求證：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，，求⊙O的半徑．9．（2023?衡陽(yáng)）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)H，DB交AC于點(diǎn)G．（1）求證：AF＝DF．（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半徑．考向三：圓內(nèi)接四邊形【題型3圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及其推論】滿分技巧1、性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；2、推論：圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角；1．（2023?西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．65° B．115° C．130° D．140°2．（2023?赤峰）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．則∠CBD的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°3．（2023?襄陽(yáng)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上．若∠ADE＝70°，則∠AOC＝度．4．（2023?北京）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；（2）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長(zhǎng)．考向四：三角形的外接圓與外心【題型4外心的確定及其性質(zhì)】滿分技巧1、三角形的外心：三角形三邊中垂線的交點(diǎn)；實(shí)際畫(huà)圖時(shí)只需要畫(huà)兩條中垂線的交點(diǎn)即可！2、三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；常做輔助線：連結(jié)三角形內(nèi)心和頂點(diǎn)的線段1．（2023?陜西）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝72°．過(guò)點(diǎn)O作BC的垂線交于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的度數(shù)為（）A．64° B．54° C．46° D．36°2．（2023?湖北）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱(chēng)為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1，圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣3．如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分別為D，E，F(xiàn)，連接DE，EF，F(xiàn)D．若DE+DF＝6.5，△ABC的周長(zhǎng)為21，則EF的長(zhǎng)為（）A．8 B．4 C．3.5 D．34．（2023?呼和浩特）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，連接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，則BD＝，CD＝．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線，垂足為D，分別交直線BC，于點(diǎn)E，F(xiàn)，射線AF交直線BC于點(diǎn)G．（1）求證AC＝CG．（2）若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，且EB＝CG，求∠BAC的度數(shù)．（3）當(dāng)BC＝6時(shí)，隨著CG的長(zhǎng)度的增大，EB的長(zhǎng)度如何變化？請(qǐng)描述變化過(guò)程，并說(shuō)明理由．考向五：直線與圓的位置關(guān)系【題型5直線與圓的位置關(guān)系的確定】滿分技巧直線與圓的位置關(guān)系的確定方法：1．（2023?宿遷）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（）A．2 B．5 C．6 D．82．（2023?鎮(zhèn)江）已知一次函數(shù)y＝kx+2的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，r為半徑作⊙O．若對(duì)于符合條件的任意實(shí)數(shù)k，一次函數(shù)y＝kx+2的圖象與⊙O總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則r的最小值為．考向六：切線的性質(zhì)與判定【題型6切線的性質(zhì)】滿分技巧切線的性質(zhì)：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線；延伸：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的直徑也垂直于圓的這條切線常用輔助線及規(guī)律：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直！2、切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)所作的圓的兩條切線長(zhǎng)相等；1．（2023?重慶）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，則OC的長(zhǎng)度是（）A．3 B． C． D．62．（2023?眉山）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，連結(jié)OA交⊙O于點(diǎn)C，BD∥OA交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，若∠OCD＝25°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．40° D．45°3．（2023?山西）中國(guó)高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（即圓弧），高鐵列車(chē)在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為A，曲線終點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)A，B的兩條切線相交于點(diǎn)C，列車(chē)在從A到B行駛的過(guò)程中轉(zhuǎn)角α為60°．若圓曲線的半徑OA＝1.5km，則這段圓曲線的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4．（2023?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E，若，則sinC的值是（）A． B． C． D．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，連接DE．若AC＝8，BC＝6，則DE的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．6．（2023?青島）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），P（﹣1，0），⊙P過(guò)原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)D，AB為⊙P的切線，B為切點(diǎn)，BC是⊙P的直徑，則∠BCD的度數(shù)為°．7．（2023?北京）如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點(diǎn)D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若∠AOC＝45°，BC＝2，則線段AE的長(zhǎng)為．8．（2023?衢州）如圖是一個(gè)圓形餐盤(pán)的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤(pán)正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與BC邊相切，則此餐盤(pán)的半徑等于cm．（多選）9．（2023?湘潭）如圖，AC是⊙O的直徑，CD為弦，過(guò)點(diǎn)A的切線與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B，若AB＝AC，則下列說(shuō)法正確的是（）A．AD⊥BC B．∠CAB＝90° C．DB＝AB D．AD＝BC10．（2023?金華）如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，⊙A與x軸相切于點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C，D，連結(jié)AB，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H．（1）求證：四邊形ABOH為矩形．（2）已知⊙A的半徑為4，OB＝，求弦CD的長(zhǎng)．11．（2023?濟(jì)南）如圖，AB，CD為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，∠ABC＝2∠BCP，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，弦CE，BD相交于點(diǎn)F．（1）求∠OCB的度數(shù)；（2）若EF＝3，求⊙O直徑的長(zhǎng)．12．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，將矩形ABCD（AD＞AB）沿對(duì)角線BD翻折，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，r為半徑畫(huà)圓，⊙A與BC′相切于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA交⊙A于點(diǎn)F，連接EF交AB于點(diǎn)G．（1）求證：BE＝BG；（2）當(dāng)r＝1，AB＝2時(shí)，求BC的長(zhǎng)．【題型7切線的判定】滿分技巧切線的判定方法1：圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線；切線的判定方法2：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；切線證明常見(jiàn)輔助線及規(guī)律：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直；無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑；1．（2023?遼寧）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，點(diǎn)F在線段AB的延長(zhǎng)線上，且∠AFE＝∠ABC．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若BF＝1，sin∠AFE＝，求BC的長(zhǎng)．2．（2023?齊齊哈爾）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是斜邊AC上一點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)F，連接DF．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BD＝5，，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）3．（2023?東營(yíng)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的長(zhǎng)．4．（2023?鄂州）如圖，AB為⊙O的直徑，E為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半徑長(zhǎng)．5．（2023?西藏）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AD垂直于過(guò)點(diǎn)C的直線，交⊙O于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，AC平分∠BAD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的長(zhǎng)．考向七：三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心【題型8內(nèi)心的確定及其性質(zhì)】滿分技巧三角形的內(nèi)心：三角形條角平分線的交點(diǎn)；實(shí)際畫(huà)圖時(shí)只需要畫(huà)兩條角分線的交點(diǎn)即可！2、三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；常做輔助線：作內(nèi)心到三邊的垂線段1．（2023?廣州）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分別為（）A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，2．（2023?威海）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．1＜AB＜7 B．S△ABC≤6C．△ABC內(nèi)切圓的半徑r＜1 D．當(dāng)AB＝時(shí)，△ABC是直角三角形3．（2023?攀枝花）已知△ABC的周長(zhǎng)為l，其內(nèi)切圓的面積為πr2，則△ABC的面積為（）A．rl B．πrl C．rl D．πrl4．（2023?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問(wèn)勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個(gè)直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問(wèn)該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書(shū)中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)勾、股，求得弦長(zhǎng)．用勾、股、弦相加作為除數(shù)，用勾乘以股，再乘以2作為被除數(shù)，商即為該直角三角形內(nèi)切圓的直徑，求得該直徑等于步（注：“步”為長(zhǎng)度單位）．5．（2023?湖北）如圖，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC分別相切于點(diǎn)D，E，連接DE，AO的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)F，則∠AFD＝．考向八：正多邊形和圓【題型9幾個(gè)必記的正多邊形】滿分技巧其中，r表示圖形外接圓的半徑，AB表示正多邊形的一條邊長(zhǎng)另：圓內(nèi)接正三角形的每個(gè)內(nèi)角=60°，中心角=120°，弦心距=半徑；圓內(nèi)接正方形的每個(gè)內(nèi)角=90°，中心角=90°，弦心距=半徑；圓內(nèi)接正六邊形的每個(gè)內(nèi)角=120°，中心角=60°，弦心距=半徑；1．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接OC，OD，則∠BAE﹣∠COD＝（）A．60° B．54° C．48° D．36°2．（2023?福建）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)⊙O的面積，可得π的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得π的估計(jì)值為（）A． B．2 C．3 D．23．（2023?山西）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P，Q，M均為正六邊形的頂點(diǎn)．若點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，（0，﹣3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）4．（2023?上海）如果一個(gè)正多邊形的中心角是20°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為18．5．（2023?杭州）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則＝．考向九：弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算【題型10弧長(zhǎng)及扇形面積的公式及其計(jì)算】滿分技巧；公式可以直接應(yīng)用，也可以由弧長(zhǎng)（或面積）的數(shù)值求解對(duì)應(yīng)的圓心角或者半徑1．（2023?青島）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．π D．2．《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓弧，N是AB的中點(diǎn)．MN⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)l的近似值計(jì)算公式：l＝AB+．當(dāng)OA＝4，∠AOB＝60°時(shí)，則l的值為（）A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣43．（2023?阜新）如圖，四邊形OABC1是正方形，曲線C1C2C3C4C5…叫作“正方形的漸開(kāi)線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，C1循環(huán)，當(dāng)OA＝1時(shí)，點(diǎn)C2023的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，﹣2022） B．（﹣2023，1）C．（﹣1，﹣2023） D．（2022，0）4．（2023?金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則弧DE的長(zhǎng)為cm．5．如圖，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，則扇形OAB（陰影部分）的面積是（）A．12π B．6π C．4π D．2π6．（2023?濱州）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為1cm的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓⊙O1，⊙O2，⊙O3相互經(jīng)過(guò)彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為（）A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm27．（2023?廣元）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD＝CE，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．8．（2023?永州）已知扇形的半徑為6，面積為6π，則扇形圓心角的度數(shù)為60度．考向十：圓錐的計(jì)算【題型11圓錐側(cè)面積公式及其計(jì)算】滿分技巧；1．（2023?牡丹江）用一個(gè)圓心角為90°，半徑為8的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面直徑是（）A．6 B．5 C．4 D．32．如果圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積是15π，母線長(zhǎng)是5，則這個(gè)圓錐的底面半徑是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023?十堰）如圖，已知點(diǎn)C為圓錐母線SB的中點(diǎn)，AB為底面圓的直徑，SB＝6，AB＝4，一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為（）A．5 B． C． D．4．（2023?揚(yáng)州）用半徑為24cm，面積為120πcm2的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為cm．5．（2023?宿遷）若圓錐的底面半徑為2cm，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是cm．6．（2023?內(nèi)江）如圖，用圓心角為120°半徑為6的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則這個(gè)圓錐的高是．重難通關(guān)練（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023?涼山州）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，則OC＝（）A．1 B．2 C．2 D．42．（2023?荊州）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，B為上一點(diǎn)，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，則的長(zhǎng)為（）A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm3．（2023?牡丹江）如圖，A，B，C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．20° B．18° C．15° D．12°4．（2023?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°5．（2023?樂(lè)山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x﹣2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，C、D是半徑為1的⊙O上兩動(dòng)點(diǎn)，且CD＝，P為弦CD的中點(diǎn)．當(dāng)C、D兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PAB面積的最大值是（）A．8 B．6 C．4 D．36．（2023?淄博）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E．若AD＝2，DE＝3，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．7．（2023?泰安）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，則陰影部分的面積是（）A．π B．π C．π D．π8．（2023?聊城）如圖，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，連接OB，IA．若∠CAI＝35°，則∠OBC的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．25°9．（2023?河北）如圖，點(diǎn)P1～P8是⊙O的八等分點(diǎn)．若△P1P3P7，四邊形P3P4P6P7的周長(zhǎng)分別為a，b，則下列正確的是（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＞b D．a(chǎn)，b大小無(wú)法比較10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半徑為3，則的長(zhǎng)為（）A．π B．2π C．3π D．6π11．（2023?通遼）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于點(diǎn)D，點(diǎn)C是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OA＝1，則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．12．（2023?張家界）“萊洛三角形”也稱(chēng)為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于（）A．π B．3π C．2π D．2π﹣13．（2023?連云港）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是（）A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．2014．如圖，某小區(qū)要綠化一扇形OAB空地，準(zhǔn)備在小扇形OCD內(nèi)種花，在其余區(qū)域內(nèi)（陰影部分）種草，測(cè)得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，則種草區(qū)域的面積為（）A． B． C． D．15．（2023?廣安）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積是（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．2π﹣4 D．4π﹣416．（2023?長(zhǎng)沙）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，則OE的長(zhǎng)度為．17．（2023?寧夏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，已知∠AOC＝140°那么∠CDE＝°．18．（2023?河南）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，則CA的長(zhǎng)為．19．為了測(cè)量一個(gè)圓形光盤(pán)的半徑，小明把直尺、光盤(pán)和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，則這張光盤(pán)的半徑是cm．（精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：≈1.73）20．（2023?上海）在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在CD延長(zhǎng)線上，且CD＝DE，如果⊙B過(guò)點(diǎn)A，⊙E過(guò)點(diǎn)D，若⊙B與⊙E有公共點(diǎn)，那么⊙E半徑r的取值范圍是2≤r≤2．21．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．22．圖1是4×4方格繪成的七巧板圖案，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為，現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“房子”造型（如圖2），過(guò)左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形CDEF作為題字區(qū)域（點(diǎn)A，E，D，B在圓上，點(diǎn)C，F(xiàn)在AB上），形成一幅裝飾畫(huà)，則圓的半徑為．若點(diǎn)A，N，M在同一直線上，AB∥PN，DE＝EF，則題字區(qū)域的面積為．23．（2023?蘇州）如圖，在?ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足為H，AH＝．以點(diǎn)A為圓心，AH長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB，AC，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．若用扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r1；用扇形AHG圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r2，則r1﹣r2＝．（結(jié)果保留根號(hào)）24．（2023?揚(yáng)州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且∠BCD＝∠A，點(diǎn)O在BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若sinB＝，⊙O的半徑為3，求AC的長(zhǎng)．25．（2023?湖州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在邊AC上，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的半圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)E，連結(jié)OB．（1）求證：BD＝BC．（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的長(zhǎng)．26．（2023?天津）在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為D，∠AOC＝60°，E為弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上一點(diǎn)．（1）如圖①，求∠AOB和∠CEB的大?。唬?）如圖②，CE與AB相交于點(diǎn)F，EF＝EB，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線，與CO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，若OA＝3，求EG的長(zhǎng)．27．（2023?遼寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)N，求的長(zhǎng)．28．（2023?朝陽(yáng)）如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F在BC上，∠CDF＝∠ABD．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若＝，tan∠CDF＝，BC＝，求⊙O的半徑．培優(yōu)爭(zhēng)分練（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024?臨潼區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，且AE＝CD＝8，．則BE的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．2．（2024?安徽一模）如圖，⊙O的內(nèi)接正五邊形ABCDE，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，連接OA，OC，則∠EAO+∠APC的度數(shù)為（）A．126° B．144°C．150° D．隨著點(diǎn)P的變化而變化3．（2024?子洲縣校級(jí)一模）如圖，這是一扇拱形門(mén)的示意圖，BC為門(mén)框底，∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2m，門(mén)框頂部是一段圓心角為90°的圓弧，E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到門(mén)框底BC的距離是（）A． B． C． D．4．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)三模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ADC＝108°，，連接OA，OD，OC，則∠COD的度數(shù)為（）A．24° B．48° C．72° D．96°5．（2024?西安校級(jí)二模）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD，BE相交于點(diǎn)F，若CE＝6，CD＝5，則EF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD為直徑的圓與AD交于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)是（）A．3π B． C．4π D．5π7．（2024?驛城區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的點(diǎn)，．若∠CBD＝35°，則∠ABD的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．40° D．70°8．（2024?瀘縣一模）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，則它的外接圓⊙O的半徑為（）A． B． C．3cm D．9．（2024?南崗區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC分別相切于點(diǎn)D，E，連接DE，AO的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)F，則∠AFD的大小是（）A．35° B．40° C．45° D．50°10．（2024?瑤海區(qū)一模）如圖，在△ABC中，，I是△ABC的內(nèi)心，連接BI、CI，則∠BIC的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．140°11．（2023?青島）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．π D．12．（2024?義烏市模擬）如圖，點(diǎn)B、E是以AD為直徑的半圓O的三等分點(diǎn)，弧BE的長(zhǎng)為，∠C＝90°，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．13．（2023?涼山州模擬）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D為BC邊的中點(diǎn)，以AD上一點(diǎn)O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為．14．如圖，在矩形ABCD中，CD是⊙O直徑，E是BC的中點(diǎn)，P是直線AE上任意一點(diǎn)，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于點(diǎn)M、N，當(dāng)∠MPN最大時(shí)，PM的長(zhǎng)為．15．（2024?驛城區(qū)一模）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，已知Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且∠BAC＝90°，點(diǎn)M為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AM的長(zhǎng)為半徑作圓與邊BC相切于點(diǎn)N，已知為該圓的一部分．則圖中由線段CN，CM及所圍成的陰影部分的面積為．16．（2024?西山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，E為BC的中點(diǎn)，連接AE，DE．以E為圓心，EB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與AE，DE交于點(diǎn)M，N．則圖中陰影部分的面積和是（結(jié)果保留π）．17．（2024?偃師區(qū)模擬）黃金分割比是讓無(wú)數(shù)科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、藝術(shù)家為之著迷的數(shù)字．黃金矩形的長(zhǎng)寬之比為黃金分割比，即矩形的短邊為長(zhǎng)邊的倍．黃金分割比能夠給畫(huà)面帶來(lái)美感，令人愉悅，在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它．比如蝸牛殼的螺旋中就隱藏了黃金分割比．如圖，用黃金矩形ABCD框住整個(gè)蝸牛殼，之后作正方形ABFE，得到黃金矩形CDEF，再作正方形DEGH，得到黃金矩形CFGH……，這樣作下去，我們以每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧線，然后連接起來(lái)，就是黃金螺旋．已知，則陰影部分的面積為．18．（2024?渭城區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BD為直徑，點(diǎn)D為弧AC的中點(diǎn)，連接CD．延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，DF為⊙O的切線．（1）求證：DF平分∠CDE；（2）若DF＝EF＝4，求AD的長(zhǎng)．19．如圖，AB為⊙O的直徑，E為⊙O上一點(diǎn)，∠EAB的平分線AC交⊙O于C點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，延長(zhǎng)DC與AB的延長(zhǎng)線交于P點(diǎn)．（1）求證：DP為⊙O的切線；（2）若DC＝，∠DAC＝30°，求陰影部分的面積．20．如圖，正方形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，PE是⊙O的直徑，連接AE，PD交于點(diǎn)F．（1）判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由．（2）過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若DG＝1，，求線段AE的長(zhǎng)．21．（2024?常州模擬）對(duì)于⊙C和⊙C上的一點(diǎn)A，若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：射線AP與⊙C交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q可以與點(diǎn)P重合，且，則點(diǎn)P稱(chēng)為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“陽(yáng)光點(diǎn)”．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A（﹣1，0）．（1）若點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“陽(yáng)光點(diǎn)”，且點(diǎn)P在x軸上，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“陽(yáng)光點(diǎn)”，且，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)t的取值范圍；（3）直線與x軸交于點(diǎn)M，且與y軸交于點(diǎn)N，若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“陽(yáng)光點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出b的取值范圍是．22．如圖1，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的弦，垂足為E，連結(jié)BC，BD，OC．（1）求證：∠BCO＝∠ABD．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，交CD于G，求證：CE＝EG．（3）如圖3，在（2）的條件上，連結(jié)BG，若BG恰好經(jīng)過(guò)圓心O，若⊙O的半徑為5，，求AB的長(zhǎng)．23．（2024?廣東一模）如圖1，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，連接BD．（1）求證：△ACE～△BCD；（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代數(shù)式表示）（3）如圖2，DE的中點(diǎn)為G，連接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝，求OG的長(zhǎng)．

重難點(diǎn)04圓的基本性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系考向一：垂徑定理及其應(yīng)用【題型1垂徑定理及其推論】滿分技巧1.圓中模型“知2得3”由圖可得以下5點(diǎn)：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD過(guò)圓心O；④；⑤；以上5個(gè)結(jié)論，知道其中任意2個(gè)，剩余的3個(gè)都可以作為結(jié)論使用。2.常做輔助線：連半徑、作弦心距、見(jiàn)直接連弦長(zhǎng)得直徑所對(duì)圓周角1．（2023?宜昌）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC，OB交于點(diǎn)D．若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根據(jù)垂徑定理的推論得OB⊥AC，再根據(jù)勾股定理得OA＝＝＝10，即可求出答案．【解答】解：∵AD＝CD＝8，∴OB⊥AC，在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，∴OB＝10，∴BD＝10﹣6＝4．故選：B．2．（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m【分析】設(shè)主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【解答】解：由題意可知，AB＝37m，CD＝7m，設(shè)主橋拱半徑為Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半徑，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝（m），在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R＝≈28．故選：B．3．（2023?永州）如圖，⊙O是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，⊙O的半徑為10cm，水的最深處到水面AB的距離為4cm，則水面AB的寬度為cm．【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，由垂徑定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，即可得出AB的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，∴，由題意知，OA＝10cm，CD＝4cm，∴OC＝6cm，在Rt△AOC中，（cm），∴AB＝2AC＝16（cm），故答案為：16．4．（2023?東營(yíng)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度為寸．【分析】連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r寸，由垂徑定理得到AE＝AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圓的直徑長(zhǎng)．【解答】解：連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r寸，∵直徑CD⊥AB，∴AE＝AB＝×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+52，∴r＝13，∴直徑CD的長(zhǎng)度為2r＝26寸．故答案為：26．5．（2023?貴州）如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接EA，EB．（1）寫(xiě)出圖中一個(gè)度數(shù)為30°的角：，圖中與△ACD全等的三角形是；（2）求證：△AED∽△CEB；（3）連接OA，OB，判斷四邊形OAEB的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，可知點(diǎn)O為外心，故CD為AB的中線、垂線、∠ACB平分線（三線合一），并利用HL定理證明△ACD≌△BCD；（2）利用兩三角形兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，可證明兩三角形相似；（3）根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，可證得四邊形OAEB四條邊相等，從而證明它為菱形．【解答】（1）解：∵已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，∴點(diǎn)O是等邊三角形ABC的外心，∴CE⊥AB，∠1＝∠2＝30°．∴∠ADC＝∠BDC＝90°，又∵AC＝BC，CD＝CD，∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL定理）．故答案為：∠1（答案不唯一），△BCD．（2）證明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°＝∠2，∴△AED∽△CEB．（3）四邊形OAEB為菱形．證明：∵∠CAE＝90°，∠1＝30°，∴AE＝CE．同理可證，BE＝CE．∴OA＝OB＝AE＝BE，∴四邊形OAEB為菱形．考向二：圓周角定理【題型2圓周角定理及其推論】滿分技巧圓中模型“知1得4”由圖可得以下5點(diǎn)：①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；以上5個(gè)結(jié)論，知道其中任意1個(gè)，剩余的4個(gè)都可以作為結(jié)論使用。1．（2023?山西）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC，BD為對(duì)角線，BD經(jīng)過(guò)圓心O．若∠BAC＝40°，則∠DBC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由圓周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵BD經(jīng)過(guò)圓心O，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，故選：B．2．（2023?吉林）如圖，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半徑，點(diǎn)P為OB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），連接CP．若∠BAC＝70°，則∠BPC的度數(shù)可能是（）A．70° B．105° C．125° D．155°【分析】利用圓周角定理求得∠BOC的度數(shù)，然后利用三角形外角性質(zhì)及等邊對(duì)等角求得∠BPC的范圍，繼而得出答案．【解答】解：如圖，連接BC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝20°，∵點(diǎn)P為OB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），∴0°＜∠OCP＜20°，∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝140°+∠OCP，∴140°＜∠BPC＜160°，故選：D．3．（2023?宜賓）如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，C為的中點(diǎn)．若∠BAC＝35°，則∠AOB等于（）A．140° B．120° C．110° D．70°【分析】連接OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又C為的中點(diǎn)．故∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．【解答】解：連接OC，如圖：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，∵C為的中點(diǎn)．∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝70°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，故選：A．4．（2023?阜新）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．40° D．50°【分析】先利用圓周角定理求出∠AOB＝50°，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝25°，∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，∵∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝40°，故選：C．5．（2023?蘇州）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C，D在半圓上，，連接OC，CA，OD，過(guò)點(diǎn)B作EB⊥AB，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．設(shè)△OAC的面積為S1，△OBE的面積為S2，若，則tan∠ACO的值為（）A． B． C． D．【分析】如圖，過(guò)C作CH⊥AO于H，證明∠COD＝∠BOE＝∠CAO，由，即，可得＝，證明tan∠A＝tan∠BOE，可得，設(shè)AH＝2m，則BO＝3m＝AO＝CO，可得OH＝3m﹣2m＝m，CH＝m，再利用正切的定義可得答案．【解答】解：如圖，過(guò)C作CH⊥AO于H，∵，∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO，∵，即，∴，∵∠A＝∠BOE，∴tan∠A＝tan∠BOE，∴，即，設(shè)AH＝2m，則BO＝3m＝AO＝CO，∴OH＝3m﹣2m＝m，∴CH＝，∴tan∠A＝＝，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴tan∠ACO＝；故選A．6．（2023?溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長(zhǎng)分別為（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，【分析】由平行線的性質(zhì)，圓周角定理，垂直的定義，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等邊三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性質(zhì)求出圓的半徑長(zhǎng)，求出∠OAD的度數(shù)，即可得到BC的長(zhǎng)，∠CAO的度數(shù)．【解答】解：連接OB，OC，∵BC∥AD，∴∠DBC＝∠ADB，∴＝，∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，∵DB⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠CAD＝∠BDA＝45°，∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB，∵OA＝OD，∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴AD＝OA＝，∴OA＝1，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故選：C．7．（2023?臺(tái)灣）圖1為一圓形紙片，A、B、C為圓周上三點(diǎn)，其中AC為直徑，今以AB為折線將紙片向右折后，紙片蓋住部分的AC，而AB上與AC重疊的點(diǎn)為D，如圖2所示，若＝35°，則的度數(shù)為何（）A．105° B．110° C．120° D．145°【分析】由折疊的性質(zhì)得到：、的度數(shù)相等，又AC是圓的直徑，即可求出的度數(shù)．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得到：＝，∵的度數(shù)＝35°，AC是圓的直徑，∴的度數(shù)＝180°﹣35°﹣35°＝110°．故選：B．8．（2023?武漢）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB＝2∠BAC．（1）求證：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，，求⊙O的半徑．【分析】（1）利用圓周角定理可得，，結(jié)合∠ACB＝2∠BAC可證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)O作半徑OD⊥AB于點(diǎn)E，可得AE＝BE，根據(jù)圓周角、弦、弧的關(guān)系可證得BD＝BC，即可求得BE＝2，，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圓的半徑．【解答】（1）證明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC；（2）解：過(guò)點(diǎn)O作半徑OD⊥AB于點(diǎn)E，連接DB，∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．∵AB＝4，，∴BE＝2，，在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴，在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝（OB﹣1）2+22，解得，即⊙O的半徑是．9．（2023?衡陽(yáng)）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)H，DB交AC于點(diǎn)G．（1）求證：AF＝DF．（2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）由D是弧AC的中點(diǎn)，得出，再由垂徑定理得出，根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可證明出結(jié)論．（2）證明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE＝，設(shè)AE＝x，根據(jù)勾股定理求出x，再求出直徑即可．【解答】（1）證明：∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴，∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直徑，∴，∴，∴∠ADH＝∠CAD，∴AF＝DF．（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠B＝90°，∵∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠B，∴sin∠ADE＝，∴tan∠ADE＝，設(shè)AE＝x，則DE＝2x，∵DF＝AF＝，∴EF＝2x﹣，∵AE2+EF2＝AF2，∴x＝2，∴AD＝＝2，∴AB＝，∴AB＝10，∴⊙O的半徑為5．考向三：圓內(nèi)接四邊形【題型3圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及其推論】滿分技巧1、性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；2、推論：圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角；1．（2023?西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．65° B．115° C．130° D．140°【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出∠DCB的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可求出∠BOD的度數(shù)．【解答】解：∵∠DCE＝65°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠DCB＝180°，∴∠BAD＝65°，∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故選：C．2．（2023?赤峰）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．則∠CBD的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理求得∠BOD的度數(shù)，再結(jié)合已知條件求得∠COD的度數(shù)，然后利用圓周角定理求得∠CBD的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝105°，∴∠A＝75°，∴∠BOD＝2∠A＝150°，∵∠BOC＝2∠COD，∴∠BOD＝3∠COD＝150°，∴∠COD＝50°，∴∠CBD＝∠COD＝25°，故選：A．3．（2023?襄陽(yáng)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上．若∠ADE＝70°，則∠AOC＝度．【分析】首先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠B＝∠ADE＝70°，再根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系即可得出∠AOC的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADE＝70°，∴∠B＝∠ADE＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°．故答案為：140．4．（2023?北京）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長(zhǎng)．【分析】（1）由圓周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；（2）由垂徑定理推出△ACD是等邊三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行線的性質(zhì)求出∠F＝90°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性質(zhì)得到BC＝BD，因?yàn)锽D是圓的直徑，即可得到圓半徑的長(zhǎng)是4．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圓的直徑，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝180°，∴∠F＝90°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圓的直徑，∴圓的半徑長(zhǎng)是4．考向四：三角形的外接圓與外心【題型4外心的確定及其性質(zhì)】滿分技巧1、三角形的外心：三角形三邊中垂線的交點(diǎn)；實(shí)際畫(huà)圖時(shí)只需要畫(huà)兩條中垂線的交點(diǎn)即可！2、三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；常做輔助線：連結(jié)三角形內(nèi)心和頂點(diǎn)的線段1．（2023?陜西）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝72°．過(guò)點(diǎn)O作BC的垂線交于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的度數(shù)為（）A．64° B．54° C．46° D．36°【分析】連接CD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BDC＝180°﹣∠A＝108°，根據(jù)垂徑定理得到E是邊BC的中點(diǎn)，得到BD＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODB＝∠ODC＝∠BDC，即可求出∠ODB的度數(shù)．【解答】解：連接CD，∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∠A＝72°，∴∠CDB+∠A＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠A＝108°，∵OD⊥BC，∴E是邊BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝54°．故選：B．2．（2023?湖北）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱(chēng)為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1，圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣【分析】作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△AOC是直角三角形，從而可得∠AOC＝90°，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，由題意得：OA2＝12+22＝5，OC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，∵AO＝OC＝，∴圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積＝﹣OA?OC﹣AB?1＝﹣××﹣×2×1＝﹣﹣1＝﹣，故選：D．3．如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分別為D，E，F(xiàn)，連接DE，EF，F(xiàn)D．若DE+DF＝6.5，△ABC的周長(zhǎng)為21，則EF的長(zhǎng)為（）A．8 B．4 C．3.5 D．3【分析】根據(jù)垂徑定理得到AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，根據(jù)三角形的中位線定理得到DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，∴DE，DF，EF是△ABC的中位線，∴DE＝，∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，∵DE+DF＝6.5，∴EF＝10.5﹣6.5＝4，故選：B．4．（2023?呼和浩特）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，連接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，則BD＝，CD＝．【分析】首先利用已知條件得到AB為直徑，然后可以證明△ADB為等腰直角三角形，由此求出BD，接著把△ACD繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE，證明△DCE為等腰直角三角形即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵△ABC內(nèi)接于⊙O且∠ACB＝90°，∴AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∵弦CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝5，AC＝4，∴CB＝3，AD＝BD＝，∴如圖把△ACD繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE，∴∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，∴∠DBC+∠DBE＝180°，∴C、B、E三點(diǎn)共線，∴△DCE為等腰直角三角形，∴CE＝AC+BC＝7，∴CD＝DE＝．故答案為：，．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線，垂足為D，分別交直線BC，于點(diǎn)E，F(xiàn)，射線AF交直線BC于點(diǎn)G．（1）求證AC＝CG．（2）若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，且EB＝CG，求∠BAC的度數(shù)．（3）當(dāng)BC＝6時(shí)，隨著CG的長(zhǎng)度的增大，EB的長(zhǎng)度如何變化？請(qǐng)描述變化過(guò)程，并說(shuō)明理由．【分析】（1）作直徑作AM，根據(jù)垂徑定理得AC⊥EF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角即可得到結(jié)論；（2）連接AE，過(guò)A作AH⊥BC于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（3）分三種情況討論：當(dāng)CG＝6，當(dāng)CG≥6，當(dāng)3＜CG＜6，再根據(jù)相似證明即可．【解答】（1）證明：過(guò)A作直徑AM，∵AB＝AC，∴AM⊥BC，∴∠E+∠EOM＝90°，∵AC⊥EF，∴∠OAD+∠AOD＝90°，∴∠E＝∠OAD，∵OA＝OF，∴∠OAD+∠DAF＝∠AFO＝∠E+∠G，∴∠DAF＝∠G，AC＝CG；（2）解：BAG＝∵AB＝AC，AM⊥BC，∴∠BAM＝∠CAM，設(shè)∠BAM＝∠CAM＝2α，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣2α，∵AC＝CG，∴∠CAG＝∠CGA＝45°﹣α，∴∠BAG＝2α+2α+45°﹣α＝45°+3α，如圖：連AE，∵EF⊥AC，又EF過(guò)圓心，∴EF垂直平分AC，∴EC＝AE，∵BH＝HC，又EB＝CG，∴HE＝HG，∴AM垂直平分EG，∴AE＝AG，∴EC＝AG，∵EB＝CG，∴EB+BC＝BC+CG，∴EC＝BG，∴AG＝BG，∴∠BAG＝∠ABG，∴45°+3α＝90°﹣2α，∴α＝9°，∴∠BAC＝4α＝36°；（3）答：當(dāng)CG＝6，BE＝0；當(dāng)CG≥6時(shí)，BE隨CG的增大而增大；當(dāng)3＜CG＜6時(shí)，BE隨CG的增大而減?。f(shuō)明：①當(dāng)BE＝0時(shí)，即點(diǎn)E與B重合，在△BOH和△AOD中，，∴△BOH≌△AOD（AAS），∴AD＝BH＝3，∴AC＝2AD＝6，∴AB＝AC＝BC＝6，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠CAG＝30°，∠CAG+∠G＝60°，∴∠G＝30°＝∠CAG，∴CA＝CG＝6；②當(dāng)CG≥6時(shí)，如圖：∵∠E＝∠CAH，∠EDC＝∠AHC＝90°，∴△ACH～△ECD，∴，∴，∴＝，∴BE＝CG2﹣6，∴BE隨CG的增大而增大．③當(dāng)3＜CG＜6時(shí)，如圖，∵∠ACM＝∠DCE，∠EDC＝∠AMC＝90°，∴△AMC～△EDC，∴，∴，∴，∴BE＝﹣CG2+6，∴BE隨CG的增大而減?。C上所述：當(dāng)CG≥6時(shí)，BE隨CG的增大而增大；當(dāng)3＜CG＜6時(shí)，BE隨CG的增大而減?。枷蛭澹褐本€與圓的位置關(guān)系【題型5直線與圓的位置關(guān)系的確定】滿分技巧直線與圓的位置關(guān)系的確定方法：1．（2023?宿遷）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（）A．2 B．5 C．6 D．8【分析】根據(jù)圓心到直線l的距離為3，而圓的半徑為2，此時(shí)直線與圓相離，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在BO的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，根據(jù)題意畫(huà)出圖形進(jìn)行解答即可．【解答】解：如圖，由題意得，OA＝2，OB＝3，當(dāng)點(diǎn)P在BO的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，此時(shí)，點(diǎn)P到直線l的最大距離是3+2＝5，故選：B．2．（2023?鎮(zhèn)江）已知一次函數(shù)y＝kx+2的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，r為半徑作⊙O．若對(duì)于符合條件的任意實(shí)數(shù)k，一次函數(shù)y＝kx+2的圖象與⊙O總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則r的最小值為．【分析】在y＝kx+2中，令x＝0，則y＝2，于是得到一次函數(shù)y＝kx+2的圖象與y軸交于（0，2），求得一次函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（0，2），當(dāng)⊙O過(guò)（0，2）時(shí)，兩者至少有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，得到直線與圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，而當(dāng)⊙O半徑小于2時(shí)，圓與直線存在相離可能，于是得到結(jié)論．【解答】解：在y＝kx+2中，令x＝0，則y＝2，∴一次函數(shù)y＝kx+2的圖象與y軸交于（0，2），∴一次函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（0，2），當(dāng)⊙O過(guò)（0，2）時(shí)，兩者至少有一個(gè)交點(diǎn)，∵一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，∴直線與圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，而當(dāng)⊙O半徑小于2時(shí)，圓與直線存在相離可能，∴半徑至少為2，故r的最小值為2，故答案為：2．考向六：切線的性質(zhì)與判定【題型6切線的性質(zhì)】滿分技巧切線的性質(zhì)：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線；延伸：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的直徑也垂直于圓的這條切線常用輔助線及規(guī)律：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直！2、切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)所作的圓的兩條切線長(zhǎng)相等；1．（2023?重慶）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，則OC的長(zhǎng)度是（）A．3 B． C． D．6【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB＝AB＝2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OB，∵AC是⊙O的切線，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝2，∴OB＝AB＝2，∵BC＝3，∴OC＝＝＝，故選：C．2．（2023?眉山）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，連結(jié)OA交⊙O于點(diǎn)C，BD∥OA交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，若∠OCD＝25°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．40° D．45°【分析】連接OB，由切線的性質(zhì)得到∠ABO＝90°，由平行線的性質(zhì)得到∠D＝∠OCD＝25°，由圓周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．【解答】解：連接OB，∵AB切⊙O于B，∴半徑OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵BD∥OA，∴∠D＝∠OCD＝25°，∴∠O＝2∠D＝50°，∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．故選：C．3．（2023?山西）中國(guó)高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車(chē)在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為A，曲線終點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)A，B的兩條切線相交于點(diǎn)C，列車(chē)在從A到B行駛的過(guò)程中轉(zhuǎn)角α為60°．若圓曲線的半徑OA＝1.5km，則這段圓曲線的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】由圓的切線可得∠OAC＝∠OBC＝90°，進(jìn)而可證明A、O、B、C四點(diǎn)共圓，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求得∠AOB＝60°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算可求解．【解答】解：∵過(guò)點(diǎn)A，B的兩條切線相交于點(diǎn)C，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴A、O、B、C四點(diǎn)共圓，∴∠AOB＝α＝60°，∴圓曲線的長(zhǎng)為：（km）．故選：B．4．（2023?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E，若，則sinC的值是（）A． B． C． D．【分析】連接DB、DE，設(shè)AB＝m，由＝得CD＝3AB＝3m，再證明AB是⊙D的切線，而⊙D與BC相切于點(diǎn)E，則BC⊥DE，由切線長(zhǎng)定理得EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，由AB∥CD，得∠ABD＝∠CDB，則∠CBD＝∠CDB，所以CB＝CD＝3m，CE＝2m，由勾股定理得DE＝＝m，即可求得sinC＝＝，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：連接DB、DE，設(shè)AB＝m，∵＝，∴CD＝3AB＝3m，∵AD是⊙D的半徑，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切線，∵⊙D與BC相切于點(diǎn)E，∴BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD＝3m，∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，∵∠CED＝90°，∴DE＝＝＝m，∴sinC＝＝＝，故選：B．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，連接DE．若AC＝8，BC＝6，則DE的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【分析】首先求出AB＝10，先證△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性質(zhì)可求出OE，BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出CE的長(zhǎng)和AE的長(zhǎng)，然后再證△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DE．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：，連接AE，OE，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OE＝r，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC與半圓相切，∴OE⊥BC，∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴，即：，由得：，由得：，∴，在Rt△ACE中，AC＝8，，由勾股定理得：，∵BE為半圓的切線，∴∠BED＝∠BAE，又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴，∴DE?AB＝BE?AE，即：，∴．故選：B．6．（2023?青島）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），P（﹣1，0），⊙P過(guò)原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)D，AB為⊙P的切線，B為切點(diǎn)，BC是⊙P的直徑，則∠BCD的度數(shù)為°．【分析】先根據(jù)點(diǎn)A，P的坐標(biāo)得OP＝OA＝1，進(jìn)而得⊙P的半徑為1，然后再在Rt△ABP中利用銳角三角函數(shù)求出∠BAP＝30°，進(jìn)而得∠BPA＝∠CPD＝60°，最后再證△CPD為等邊三角形即可求出∠BCD的度數(shù)．【解答】解：∵點(diǎn)A（1，0），P（﹣1，0），∴OP＝OA＝1，∴AP＝OP+OA＝2∵⊙P過(guò)原點(diǎn)O，∴OP為⊙P的半徑，∵AB為⊙P的切線，∴PB⊥AB，PB＝OP＝1，在Rt△ABP中，BP＝1，AP＝2，sinA＝PB/AP＝1/2，∴∠BAP＝30°，∴∠BPA＝60°，∴∠CPD＝60°，又∵PC＝PD，∴三角形CPD為等邊三角形，∴∠PCD＝60°，即∠BCD的度數(shù)為60°．故答案為：60．7．（2023?北京）如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點(diǎn)D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若∠AOC＝45°，BC＝2，則線段AE的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠A＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OD＝CD，OA＝AE，根據(jù)垂徑定理得到CD＝，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵OA是⊙O的半徑，AE是⊙O的切線，∴∠A＝90°，∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，∴OD＝CD，OA＝AE，∵OA⊥BC，∴CD＝，∴OD＝CD＝1，∴OC＝OD＝，∴AE＝OA＝OC＝，故答案為：．8．（2023?衢州）如圖是一個(gè)圓形餐盤(pán)的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤(pán)正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與BC邊相切，則此餐盤(pán)的半徑等于cm．【分析】連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則點(diǎn)E為餐盤(pán)與BC邊的切點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，則四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，得CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝8cm，設(shè)餐盤(pán)的半徑為xcm，則OA＝OE＝xcm，OF＝（x﹣4）cm，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：由題意得：BC＝16cm，CD＝4cm，如圖，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則∠OEC＝90°，∵餐盤(pán)與BC邊相切，∴點(diǎn)E為切點(diǎn)，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），設(shè)餐盤(pán)的半徑為xcm，則OA＝OE＝xcm，∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴餐盤(pán)的半徑為10cm，故答案為：10．（多選）9．（2023?湘潭）如圖，AC是⊙O的直徑，CD為弦，過(guò)點(diǎn)A的切線與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B，若AB＝AC，則下列說(shuō)法正確的是（）A．AD⊥BC B．∠CAB＝90° C．DB＝AB D．AD＝BC【分析】利用圓周角定理即可判斷A；根據(jù)切線的性質(zhì)即可判斷B；利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷C；利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷D．【解答】解：A、∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故A正確；B、∵AC是⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，∴CA⊥AB，∴∠CAB＝90°，故B正確；C、∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°∵AD⊥BC，∴BD＝AB，故C錯(cuò)誤；D、∵AC＝AB，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵∠CAB＝90°，∴AD＝