第13講“設而不求”（教師版）一、第13講“設而不求”（例題部分）1.一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個粗細相同的進水管.打開4個進水管時，需要5小時注滿水池.打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池.現(xiàn)在要在2小時內將水池注滿，至少要打開多少個進水管?【答案】解：設每個進水管1小時的注水量為a，排水管1小時的排水量為b,設2小時注滿水池需要打開x個進水管，則由題意，得這方程組只有兩個方程，卻有三個未知數(shù).在一般情況下是不能確定這三個未知數(shù)的值的.但由方程組的特點，我們可以求出x的值，而不用具體求出輔助未知數(shù)a、b的值.由①得4a-6=6b-3b，即a=b.

③將③代入②，得2(ax-a)一15(2a-a)，2ax=17a.所以x=8.5.水管當然不能有半個，所以至少要打開9個進水管，才能在2小時內將水池注滿.答：至少需打開9個進水管.【解析】【分析】本題若只設一個未知數(shù)x，等量關系就不太明顯,因此，我們又設了輔助未知數(shù)a與b，從而列出了含有三個未知數(shù)、兩個方程的方程組.再根據(jù)這個方程組本身的特點，在不求a與b的情況下，求得x的值.2.小強上山時的速度為3千米／時.到達山頂后，沿原路下山，下山時的速度為5千米／時.求小強在整個過程中的平均速度.【答案】解：設小強上山時的路程為s千米，則上山所用的時間為小時.下山的路程也是s千米，下山所用時間時.因此，在整個過程中，總的路程為2s，總的時間為了+，根據(jù)平均速度的計算公式；得=答：小強在整個過程中的平均速度為千米／時.【解析】【分析】不可粗心地認為平均速度為=4(千米／時).這種錯誤是由于對平均速度的概念不太清楚.我們知道，平均速度=總路程÷總時問，而題設中并未給出這個總路程：因此我們引入了輔助未知數(shù)s.在列出算式后，我們發(fā)現(xiàn)s并不用求，它在計算過程中自然消去了.3.小明和小亮同時出發(fā)，從甲地往乙地.小明走完全程的一半時，小亮才走了l6千米.小亮走完全程的一半時，小明已走了25千米.小明走完全程時，小亮未走完的路程還有多少千米?【答案】解：設半程長為s千米，小明的速度為每小時x千米，小亮的速度為每小時y千米.由于在相同時問里走過的距離與速度成正比，所以由①、②得即由s≥0，得s=20.2×(20-16)=8.答:小亮未走完的路程還有8千米.【解析】【分析】設半程長為s千米，小明的速度為每小時x千米，小亮的速度為每小時y千米.由于在相同時問里走過的距離與速度成正比，根據(jù)題意列出方程，從而得出半程s值，再由題意求得答案.4.A、B、C、D、E五個人做一項工作．若A、B、C、D四人一起做，8天可完工．若B、C、D、E四人一起做，6天可完工.若A、E兩人一起做，12天可完工．若A一個人單獨做，多少天才能完工?【答案】解：設總工作量為1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分別為a、b、c、d、e．根據(jù)題意得①-②得a-e=-

④③十④得2a=a=所以，A一人單獨做，需=48（天）才能完工.答：A一人單獨做，需48天才能完工．【解析】【分析】設總工作量為1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分別為a、b、c、d、e．根據(jù)工作效率=工作總量÷工作時間，結合題意列出方程，解之可求得A的工作效率，再由工作時間=工作總量÷工作效率求得答案.5.如圖，在一個梯形內有兩塊面積分別為10和12的三角形．已知梯形的上底長是下底長的，求圖中陰影部分的面積．【答案】解：設這個梯形的上底長為2a，下底長為3a．梯形的高是面積為10、12的兩個三角形的高的和，即為梯形的面積為：所以，陰影部分面積為45-10-12=23.【解析】【分析】根據(jù)題意設這個梯形的上底長為2a，下底長為3a；再由題中給出的兩個三角形的面積以及三角形面積公式可求得梯形的高為，根據(jù)梯形面積=（上底+下底）×高，由此求得梯形面積，陰影部分面積=梯形面積-兩個三角形面積即可求得.6.一個十位數(shù)字為0的三位數(shù)，恰好等于數(shù)字和的67倍.交換個位與百位數(shù)字后得到一個新的三位數(shù)．新的數(shù)是數(shù)字和的m倍，求m的值．【答案】解：設原三位數(shù)的百位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y．由題意，得①

+②得由x+y>0，得67+m=101，m=34．答:m的值為34．【解析】【分析】設原三位數(shù)的百位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據(jù)題意列出方程，再兩個方程相加，由x+y>0得67+m=101，解之即可得m值.7.設a1，a2，…，a1999,a2000都是正數(shù)，M=(a1+a2+…+a1999)(a2+a3+…+a2000)，N=(a1+a2+…+a2000)(a2+a3+…+a1999)．試比較M與N的大小．【答案】解：設x=a2+a3+…+a1999，則M=(a1+x)(x+a2000)=x2+(a1+a2000)x+a1a2000，N=(a1+x+a2000)x=x2+(a1+a2000)x．所以，M-N=a1a2000．由于以a1>0，a2000>0，

故a1a2000>0，

即M-N>0，

亦即M>N．答:M>N．【解析】【分析】分析本題粗看之下，與“設而不求”好像沒有什么關系．但仔細觀察本題的特點，發(fā)現(xiàn)不管M和N的哪一個因式，都有a2+a3+…+a1999．若用乘法展開