第13講解析幾何解答壓軸題

1.(內(nèi)蒙古赤峰市?高三月考?(文))已知橢圓E:=+與=l(a>b>0)的離心率如，其左，右集點(diǎn)為耳，鳥(niǎo),

a-b-3

過(guò)點(diǎn)6的直線/與橢圓E交于",N兩點(diǎn)、&MNB的周長(zhǎng)為4石.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)過(guò)E右焦點(diǎn)的直線//互相垂直，且分別交橢圓E于48和四點(diǎn)，求MM+|CQ|的最小值

【答案】(1)—+^-=1；(2)最小值為2石.

62

【分析】

(1)利用橢圓離心率“=q，AMNK的周長(zhǎng)為4々=4指，求出即可得到橢圓的方程.

(2)分類討論直線的斜率存在與否，當(dāng)其中一條直線斜率為0.一條直線斜率不存在，可利用橢圓性

質(zhì)求叫4邳+|?！?上半；當(dāng)兩條直線斜率均存在，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出

\AB\,\CD\,再利用二次函數(shù)的值域求法與不等式的性質(zhì)求得結(jié)果.

【詳解】

(1)由橢圓的定義知，△仞明的周長(zhǎng)為4々=4幾，.?.〃=&

由e="即￡=逅,得c=2

3a3

/.b2=a2—c2=2>b=V2

X2v2

故橢圓的方程為：—+^-=1

62

(2)由(1)得，橢圓右焦點(diǎn)為(2,0),設(shè)/($,必)，B(x2,y2),C(xi,yi),D(x4,y4)

①當(dāng)直線4的斜率為0,直線6的斜率不存在時(shí)，

2b242痣

直線4：?=0,此時(shí)H卻=2。=2后；直線6：x=2,此時(shí)|CQ|

|/8|+|。|=2〃+半=半

②當(dāng)直線，2的斜率為0,4直線的斜率不存在時(shí)，|力用+|。|=2"+半=半；

③當(dāng)直線4，/,的斜率都存在，設(shè)直線乙的方程為工=〃2歹+2（〃2工0）,則直線，2的方程為x=-'y+2

m

22

[xv1

聯(lián)立162，整理得（加2+3）p2+4加、-2=0

x=my+2

4/w

%+%=--r-r

+2

△=16〃/+8(m2+3)>0恒成立，則?m

2

y^2=--7-T

m+3

|相|二衍|必一為=衍）必+%）2-"科=行3蕭）2-4（再二冬/

--)2+1

2向〃/+])

同理可得|CD|=m

3+33癡+1

m

川+1川+18癡(小+1)2

則網(wǎng)+|CD|=2后~7----1A

(m+33m+3)3-+10加2+3

令/+1=￡，則g(')一3'+4/—4—F(f>l)

+-+3-(--1)2+4

j_1]

當(dāng)/€(l,+oo)時(shí)，-(y-D2+4e(3,4],則8⑴二三廳+7,453j

所以|,48|+|CQ歸2瓜

綜上可知，|4B|+|CD|w2A/6,,/同+|CZ）|的最小值為

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：解決直線與橢網(wǎng)的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：

（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件;

（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、

三角形的面積等問(wèn)題.

2.（河南新鄉(xiāng)市?高三二模（理））已知橢圓C：W+《=l（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,E為C

上不同于A,8的動(dòng)點(diǎn)，直線4E,89的斜率左花，匕用滿足左花次8￡二一：，石.赤的最小值為-4.

（1）求。的方程；

（2）0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)。的兩條直線4,4滿足"/4E，Q/BE,鳧I、,4分別交。于M，N和尸，。?試

判斷四邊形的面枳是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

【答案】⑴—+2^=1;（2）是定值，8VL

84

【分析】

.22

（1）由/（一d0）,8（4,0）,設(shè)￡（%,九），可得的￡?魘￡=一勺，AEBE=^xl-c2,結(jié)合已知列方程

aa

求參數(shù)a、b、c,寫出橢圓方程即可；

（2）由橢圓對(duì)稱性知：SMPNQ=4SQMP，設(shè)4，4的斜率分別為勺，42，由題設(shè)知尢?左2二一5,討論直

線M尸的斜率，聯(lián)立直線與橢圓方程，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系確定SWNQ是否為定值.

【詳解】

（1）設(shè)雙四%）,則與+與=1,故,4（一。,0）,8（。,0）,

a~b~

a2)_b2,

凡二比

2

又4七?8￡=(%+4)(/_4)+?；=(x0+a)(x0-a)+Z)1--1

a2=8

由題意知：<靛二-5,解得，

b2=4

???橢圓C的方程為片十二=1.

84

(2)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，可知OM=OW,OP=OQt

???四邊形MW。為平行四邊形，所以5“,、.0=450藥

設(shè)4，4的斜率分別為占，a尸(工2，P2)，則弘=尢玉①，y2=k2x2@.

又IJME,l2//BE,即尢,左2="住,原￡=一］.

當(dāng)M尸的斜率不存在時(shí)，必=一y2，X\=x2-

由①'②，得一療二集2父二一〈石2,結(jié)合K+左=1，解得㈤=2,W=&.

284

二5嬴°=4%的=4xgx|2%|x㈤=80.

當(dāng)A/P的斜率存在時(shí)，設(shè)直線”產(chǎn)的方程為丁=履+用，

y=kx+rn

聯(lián)立方程組得〈公y2_,得（2左2+1,2+45優(yōu)+2〃?2—8=0,則

一+

8T-

A=（4^）2-4（2F+l）（2w2-8）=8（8^2+4-m2）＞0,即與+毛二一^^,再了=一：

.?k卜-A21-g+〃7丘i+m_尸蟲(chóng)2+癡（％+.）+/__1

X.x,x,x.xx,2

.2ni2-8.（4km）

k2-i——-\-kin\---1——+m2

2k+1I24+"1敝川舛->.2今

-------------------------------=——，整理得：皿=4Ak+2.

2m282

2k2+\

由直線MP過(guò)（0,相），

SMPNQ=4sMp=4xgx|加|卜-司=21機(jī)14（芯+工2）2一4x/2

?4km丫2〃/_84向〃斗如2+4-m2

=2陽(yáng)?4----——-4x——=---!一!-；------------，

將nr=4/+2代入，整理得SgQ=88.

綜上，四邊形MPVQ的面積為定值，且為8枝.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)應(yīng)用兩點(diǎn)斜率公式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求《花?心￡，荏.而關(guān)于橢圓參數(shù)的代數(shù)式，結(jié)合已

知條件列方程求參數(shù)，寫出橢圓方程；

(2)利用橢圓的對(duì)稱性，由直線與橢圓的位置關(guān)系，討論直線斜率的存在性，結(jié)合直線與橢圓方程及根與

系數(shù)關(guān)系，求四邊形的面積并判斷是否為定值.

3.(天津?yàn)I海新區(qū)?高三月考)己知橢圓C：5+(=l(Q>b>0)過(guò)點(diǎn)。(2,1),后、鳥(niǎo)分別為橢圓。的

左、右焦點(diǎn)，且兩?配=一1.

(1)求橢圓。的方程；

(2)過(guò)P點(diǎn)的直線4與橢圓。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線4平行于。尸(。為原點(diǎn))，且與橢圓C交于4、

8兩點(diǎn)，與直線x=2交于點(diǎn)M介于,4、8兩點(diǎn)之間).

(力當(dāng)面積最大時(shí)，求4的方程；

(?)求證：|PZ|,|M3|=|P3|-|M4|.

221

【答案】(1)—+21=1；(2)(/)y=9-五;</7)證明見(jiàn)解析.

822

【分析】

(1)根據(jù)條件求出。乃，即可寫出橢圓方程；

(2)⑴設(shè)直線6的方程為^=,1+￡,聯(lián)立橢圓方程，表示出SDM，可求出5“四最大時(shí)，的值，即可

得出4的方程;

\PA\\PB\

(ii)要證明結(jié)論，只需證明七/二*;$,即證直線x=2為NZP8的平分線，轉(zhuǎn)化成證明：kpA+kpB=0.

【詳解】

(1】設(shè)耳(-c,0),瑪(。,0),則兩=(—c—2,—l),P^=(c-2,-l),

PF、,PF?=-c?+4+1=—1,c=，

41

又尸(2,1)在橢圓上，故r+F=l,

a~b2

又/=〃+6,解得/=8,8=2,

故所求橢圓C的方程為—+^=1.

82

（2）⑺由于左op=g,設(shè)4的方程為歹=]X+Z，4（%,乂），/七以），

1

y=—x+t

2

由《，2消去y整理得V+2戊+2/一4=0,

x-y]

82

x,+x2=-It

由韋達(dá)定理可得:x)x2=2『一4

A=-4(r-4)>0=>r2<4

則IAB1=J"；+寸)2-4玉%2=浮52-4(2*-4)

=J16-4/=\JS\l4-t2'

2

\t\_2\t\

d

又點(diǎn)P到，2的距離Tk訪,

所以S△…妙而甥=所3當(dāng)，=2.

當(dāng)且僅當(dāng)4—r=",即*=2時(shí)，等號(hào)成立.

又M介于4、8兩點(diǎn)之間，-故t=一叵.

故直線48的方程為：y=^x-42.

⑺要證結(jié)-A論成-立,只H須證IP川明局二局

由角平分線性質(zhì)即證：直線x=2為/力P8的平分線,

轉(zhuǎn)化成證明：kp#kpB=O.

由于3%=與+工

[(:再+，-1(工2-2)+[(1工2+1-1(X|-2)

(x,-2)(x2-2)

_芭X?+?_2)a+工2)_4”T)_2/_4_2?-2)_4(1)_-4+4-4/+4_0

(馬-2)(超-2)(芭-2)(”2)(X,-2)(A2-2)

因此結(jié)論成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求法，考查弦長(zhǎng)公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查橢圓中三角形面積利用基本不

等式求最值問(wèn)題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于難題.

4.(山東泰安市?高三月考)已知橢圓C:三十與=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)尸(2,1),耳,鳥(niǎo)分別為橢圓C的左、

(1)求橢圓。的方程;

(2)過(guò)尸點(diǎn)的直線乙與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線乙平行于。尸(O為原點(diǎn))，且與橢圓C交于兩點(diǎn)

A、B,與直線x=2交于點(diǎn)M(M介于4、8兩點(diǎn)之間).

(力當(dāng)△P/8面積最大時(shí)，求，2的方程；

5)求證：|尸訓(xùn)八例=|尸訓(xùn)M4|,并判斷//，尸4尸8的斜率是否可以按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列.

221

【答案】(1)土+匕=1；(2)(/)y=-x±y/2；5)證明見(jiàn)解析，不可能構(gòu)成等比數(shù)列.

822

【分析】

(1)設(shè)6(-c,0),瑪(c,0).求出兩，西的坐標(biāo)，根據(jù)兩?麗=一1,求出c.把點(diǎn)P(2,l)代入橢圓

方程，結(jié)合/=/+°2,求出/力2,即得橢圓。的方程；

(2)［力設(shè)6方程為y=+4(4％),8(￡,必).把直線4的方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理、弦

長(zhǎng)公式求出|力用.由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)尸到乙的距離d，則5，>48=；|力以4,根據(jù)基本小等式求

面積的最大值，即求/，的方程；(//)要證結(jié)論成立，只須證明冊(cè);=慝］即證直線x=2為N/P8的

|A￡4||MB|

平分線，轉(zhuǎn)化成證明2&+4網(wǎng)=0.

又(與c有一個(gè)公共點(diǎn)，即4為橢圓的切線，可求勺=川皿=一；，又k二.由題意一；，y,kpA，

-女山四個(gè)數(shù)按某種順序成等比數(shù)列，推出矛盾，故不可能構(gòu)成等比數(shù)列.

【詳解】

(1)設(shè)耳(一。,0),月(c,0),

則0a=(—c—2,—1),0戶2=(。-2,-1).

???所配=-/+4+1=-1,...c=〃.

41

又尸(2,1)在橢圓上，故=+7r=1,

a~b~

又。2=/+6,解得/=8,b?=2'

故所求方程為=+或=1.

82

(2)u)由于左0p=—>

設(shè)《方程為y=-x+f，/（%,為）,8（%,必）.

2

1

y=—x+t

2

消y整理得公+2a+2,一4=0,

---1---—1

82

%1+x2=-2t

x}x2=2/2—4

A=-4(r2-4)>0=>r2<4

則I48I=Jl+"J(xi+X2p_4X/2

二手"4/一4(2/—4)=與V16-4/2

S.PAB，+（：T）=2.

當(dāng)且僅當(dāng)4—*=*,2*=4,即*=2時(shí)，等號(hào)成立.

故直線的方程為：y=-x±y/2.

2

\PA\\PB\

（ii）要證結(jié)論成立，只須證明：匕蕓=力3，

由角平分線性質(zhì)即證：直線x=2為N4尸8的平分線，

轉(zhuǎn)化成證明：曷乂+kPB=0.

,.Vi-1y）-T

因?yàn)榕c+即s=4^+/^

x-2

tX2-2

+］一1(工2-2)+(f-2)

(%1-2)(x2-2)

F“2+('-2)(再+x2)—4。-1)

二(X)-2)(X2-2)

2t2-4-2t(t-2)-4(t-\)-4+4/-4Z+4八

(W—2)(與一2)(x,-2)(X2-2)

因此結(jié)論成立.

又4與c有一個(gè)公共點(diǎn)，即(為橢圓的切線，

由—+^―=1得y?=2—X2

824

令％>0,y>0,

所以丁'匕2=_：，所以4=.；，

故所研究的4條直線的斜率分別為-；，y,kpA，-kPA,

若這四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且其公比記為小

則應(yīng)有g(shù)=-1或?yàn)?=-1,或/=_]

因?yàn)椤?一1不成立，所以9=-1,

而當(dāng)9=-1時(shí)，％=萬(wàn)，%=-5,

此時(shí)直線P8與《重合，不合題意，

故小k，PA，心的斜率無(wú)論怎樣排序都不可能構(gòu)成等比數(shù)歹ij.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的方程，考查弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式和等比數(shù)列等知識(shí)，考查學(xué)生的

邏輯推理能力和運(yùn)算能力，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

5.(浙江紹興市?高三一模)已知拋物線匕：/=4?和橢圓G：[+[=l如圖，經(jīng)過(guò)拋物線G焦點(diǎn)戶的

直線/分別交拋物線C1和橢圓G于4,B,C,力四點(diǎn)，拋物線G在點(diǎn)4,B處的切線交于點(diǎn)尸.

(1)求點(diǎn)P的縱坐標(biāo):

(2)設(shè)M為線段的中點(diǎn)，PM交C1于點(diǎn)、Q,8。交力P于點(diǎn)廠記的面積分別為Sp52.

(i)求證：。為線段QW的中點(diǎn);

5.8

(ii)若肅=5,求直線/的方程.

【答案】(I)-1；(2)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)y=x+l或y=-x+l.

【分析】

(1)假設(shè)點(diǎn)48坐標(biāo)并得到直線/的方程，同時(shí)得到點(diǎn)力，8處的切線方程，然后得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)

直線/與拋物線聯(lián)立方程，使用韋達(dá)定理可知結(jié)果.

2

(2)⑴得到P,河,。的坐標(biāo)，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得結(jié)果；(ii)依據(jù)S〃B=§SAP48,得到

S8\CD\

知=丁上景，然后利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算|CQ|J48|,最后根據(jù)等式進(jìn)行計(jì)算即可.

3)3

【詳解】

(1)解：設(shè)點(diǎn)z,B學(xué)，直線/的方程為y=Ax+l.

4J

2

x2=4v=>v=—可知拋物線在點(diǎn)4,8處的切線的斜率分別為土，寇

4222

拋物線Cl在點(diǎn)A,B處的切線方程分別為y='1一手）二會(huì)工一今,

X+xX]X

聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為122

29~

y=kx-\-\,,

由《二，得d—4Ax—4=0,A.=16（A:2+l）＞0,

x，=4y

所以演+工2=4攵，x[x2=-4,所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2%,-1）,

即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-1.

（2）⑴證明：由（1）得尸（2公一1）,加（2%,2%2+1）,0（2七公），

因?yàn)镼F+1）+（7）=2公，

所以，點(diǎn)0是線段的中點(diǎn).

（ii）解：因?yàn)镸,。分別為線段NS的中點(diǎn)，所以NT=2TP

2113

=

所以=sSaFdB,所以S?=S?BP=]SGMBP=gSsB?

S|_S.D_§S^TCD=§I。必

所以不一3s一1%—鼠畫-

O0^TAB

設(shè)點(diǎn)C,。的橫坐標(biāo)分別為七，XA,

[y=kx+\

2

由卜2+4/-12=0'得（4%2+3卜2+弧-8=0,4=96（2^+1）＞0,

w、[8k8

所以…=-E，5LE'

所以如百」（…y-而正RE*）

4K+3

由（D得|陽(yáng)=J1+.2.."、）2_知2=4代+]）.

5.8\CD\8&d2k2+1

S?DJ=—?J=---------------------------------■

s?3\AB\3（4公+3）護(hù)IT

二88

一亍44公+3）2伙2+1）

2x+1-16/-203-5

設(shè)/(》)=(xNO),則，(％)<0,

(4X+3)2(X+1)(4X+3)3(X+1)2

所以/（X）在［0,+8）上單調(diào)遞減.

因?yàn)榕d=學(xué).”（巧號(hào),所以/（六）=5^",所以42=1，即人士1,

經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件，所以直線/的方程為N=x+1或P=-x+l.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：第（1）問(wèn)，①假設(shè)直線/的方程并與拋物線方程聯(lián)立，使用韋達(dá)定理；②得到在A,B處切線

S8\CD\

方程并聯(lián)立得到點(diǎn)p坐標(biāo)；③計(jì)算即可.第（2）問(wèn)，①得到面積的比值②利用弦長(zhǎng)公式得

S23\AB\

到|C0|,|45|；③計(jì)算得到h

6.（江蘇鹽城市?高三二模）已知直線/：產(chǎn)x+機(jī)交拋物線C:歹2=公于4B兩點(diǎn).

（1）設(shè)直線/與入軸的交點(diǎn)為T.若萬(wàn)=2而，求實(shí)數(shù)〃z的值;

（2）若點(diǎn)A1,N在拋物線C上，且關(guān)于直線/對(duì)稱，求證：48,M,N四點(diǎn)共圓.

【答案】（1）m=-8：（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】

（1）設(shè)力（西,弘）,8（工2，%），直線方程代入拋物線方程后由判別式得用的范圍，由韋達(dá)定理得必十%，必必，

再由向量的數(shù)乘可得乂+2%=0,結(jié)合韋達(dá)定理可得乂，必，機(jī)值；

（2）設(shè)“（工3，%）”（工4,乂），由對(duì)稱性得乂二-4-必，X4二-4-2加」.q.再由",N在拋物線上，代入變

形得以與根的關(guān)系，然后計(jì)算忘?福，得M4LMB,

同理得證四點(diǎn)共圓.

【詳解】

y=x+m.

解：由〈2,得V-4y+4m=0.

y=4x”

設(shè)4（演*）,8（和力），

則必%=4,%為=4M.

因?yàn)橹本€/與C相交，

所以A=16-16加>0,

得加<1.

（1）由萬(wàn)=2而，得必+28=0，

所以4+為二0,解得出二一4,

從而M=8,

因?yàn)閥跖二4見(jiàn)

所以4%-32,解得〃尸-8.

（2）設(shè)"（0%）,"（匕,乂），

因?yàn)镸,N兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱，

居一%=乂一乃=4_]

則/一七yL_yL居+/

44

解得為二一4一%.

又三士區(qū)=—+加

22

TBT一%+歹3%+工3

于是----1_￡1=———L+m

22

解得七二-4-2m-當(dāng)?

又點(diǎn)N在拋物線上，

2

于是（-4-y3）=4（-4-2m-x3）.

因?yàn)?2=4%3,

所以J、？+4歹+316+4機(jī)=0,

于是總?標(biāo)=（%—七）（七一七）十（必一必）（外一必）

=（號(hào)~一號(hào)-X三-一年）（必-乃乂歹2?%）

=里士g[（必一%）（乃-乃川6]

J"坐f）[必為+乃（兇+力"+】6]

=里號(hào)戶1（4〃?+4%+4+16）=0

因此M4_LMB,

同理NA1NB,

于是點(diǎn)M,N在以AB為直徑的圓上，

即48,",N四點(diǎn)共圓.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線相交問(wèn)題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法，如設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為

4（』,M）,5（%,%），直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理可得凹+%,必先，再利用向量的線性運(yùn)算

求得乂，必關(guān)系，從而可求得必,為，加值?

7.（內(nèi)蒙古赤峰市?高三月考（理））已知橢圓E：W+《=l（a>b>0）的離心率為四，且過(guò)點(diǎn)（0,1）.

a2b23

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)橢圓E右焦點(diǎn)的直線小4相互垂直，且分別交橢圓E于45和。、。四點(diǎn)，求+的最小

值.

【答案】（1）+-^—=1:（2）2m.

62

【分析】

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為捺+/=1，將點(diǎn)（省」）代入方程，由?=乎，結(jié)合即可求解.

（2）當(dāng)直線4的斜率為。時(shí)，分別求出可得|4?|+|CZ）|；當(dāng)直線乙的斜率不存在時(shí)，求出

\AB\-^\CD\；當(dāng)直線（的斜率存在且不為。時(shí)，直線乙的方程可設(shè)為x=〃少-2（掰工0）,可得直線〃的方

程為x=—/y+2,分別符直線與橢圓聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出HM，|C4,可得

|陰+|8|=:嚴(yán)令加2+1=/，構(gòu)造函數(shù)g（r）=3產(chǎn)+'4/-4即可求解.

【詳解】

解.：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為馬+￡=

1

a~b~

由”邁，即￡=返

3a3

再由〃2=/+。2

可得°=屈①

31

將點(diǎn)（G』）代入橢圓方程，可得1②

7+記

由①②可解得a-底、b=xf2

故橢圓的方程為工+匕=1

62

（2）由（2）知，橢圓右焦點(diǎn)為（2,0）,

設(shè)4（和必）,8（%2，%）,。（=3，%），。（%，”）

當(dāng)直線4的斜率為。時(shí)，|”|=2Q=2在，直線，2：X=2,可得|CQ|=平

所以|AD\十\CD\-2A/6+與不-

當(dāng)直線4的斜率不存在時(shí)，直線12的斜率為0,|^5|+\CD\=半

當(dāng)直線4的斜率存在且不為。時(shí)，直線/,的方程可設(shè)為x=即+2（mw0）,

則直線4的方程為x=--y+2

m

2

xy2

..「％+萬(wàn)整理得（〃尸+3）/+4町y-2=0

x=my+2

△=16機(jī)2+8（"/+3）＞0恒成立,

4m

必+改

+3

則.

2

必％=一m2+3

2

而|/理=A/I+W\y{-y2\=Ji+"/J（M+8y-4凹力

2回加2+1）

聯(lián)立直線人與橢圓方程可得|CQ|=3W2+1

22

m2+1m2+18X/6（W+1）

則M"+|C0|=2&-7-------17

〃/+33m2+1）3〃J+10〃/+3

令冽?+i=.

111

令g（尸訴kr一p*7T+3T/七-1YJ+4”°

當(dāng)]?L+oo）時(shí),-±-1+4.3,4]

If>

所以|,4卸+仁。伯2灰，半,

.Z

綜上，MM+IC&W2迎當(dāng)，

???當(dāng)加2=1時(shí)，|4即+|8|的最小值為2卡.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是利用弦長(zhǎng)公式以及韋達(dá)定理得

出l＜S|i|g）l=86（二+1）,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算以及分類討論的思想?

11,13/W4+10W2+3

8.（全國(guó)大聯(lián)考（理））已知拋物線C：/=2px（p〉0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與C交

于48兩點(diǎn)，aAOBl點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)￡（0,。）（。＞0）的兩直線小4的傾斜角互補(bǔ)，直線乙與拋物線C交于〃,N兩點(diǎn)，直線4與

拋物線C交于尸,0兩點(diǎn)，△EMN與△RP。的面積相等，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2

【答案】（1）y=4Xi（2）（O,1）U（1,V2）.

【分析】

（1）由焦點(diǎn)尸（存,。），求得點(diǎn)43的坐標(biāo)，然后根據(jù)從408的曲積為2求解；

y2=4x

x-t（y-y結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求得l"N|，以

{a

及焦點(diǎn)廠到直線4的距離，求得Smm，將，用T替換，得到S.Q,由S?v=S△尸pQ,可得f與。的關(guān)

系，然后再結(jié)合判別式大于零求解.

【詳解】

⑴因?yàn)榻裹c(diǎn)/7g0）,所以點(diǎn)43的坐標(biāo)分別為停p）,俘一P1

所以以?力即齊2,故〃=2?

故拋物線C的方程為V=4x.

（2）由題意可知直線/”4的斜率存在，且不為。，設(shè)直線/］：%=，＞一。）.

點(diǎn)”［不，必）,"（彳2，%）?

y2=4x、

聯(lián)立方程可得（y_a）,消去工,可得/-4夕+44=0.

則4=16/一16?。?.

因?yàn)镸+必=4，,乂必=4al，

2

所以MM=V1+/\y}-y2\=J1+*業(yè)6(/_叫=4，l+?G-at,

,\\+ta\

焦點(diǎn)尸到直線/,的距離d=-^=1,

所以s△尸“N=14屈不」『一窺x4=^=242-at\\+ta\.

2Vl+r

設(shè)直線l2：x=-t（y-a）,與拋物線方程聯(lián)立可得△2=16*+16">0,

將，用T替換，可得S△卬0=2>//+〃小—1|

由S/kFMV=S△尸也可得2\lr-at|1+/?|=2yjt2+at忸,

即也」竺L1,兩邊平方并化簡(jiǎn)可得

\t-a\ta-\2-a2

所以2-/>。，解得0<々<&.

又由4>0且4>0得，<一?；?，>。，可知—>?2,

所以一二>。2,即（L-1）「0,所以

"。一2-a2

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（0,l）U（1,V2）.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：（1）解決直線與曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，往往先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn),

然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題.涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.

（2）解決直線與曲線的弦長(zhǎng)時(shí)，往往設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為48,川），8（冷，》2），

叫/同=’（1+/）［（%|+馬）2_4Vx2］=J（1+，）［（必+%）2—4%?T優(yōu)為直線斜率）?

注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零.

9.（江西八校4月聯(lián)考（理））已知橢圓￡：74=l（a>b>0）.左焦點(diǎn)尸（T,0）,點(diǎn)M（O,2）在橢

圓E外部，點(diǎn)N為橢圓上上一動(dòng)點(diǎn)，且AMW的周長(zhǎng)最大值為2逐+4.

（1）求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）點(diǎn)8、C為橢圓E上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，若直線力8、4。分別與歹軸交于P、。兩

點(diǎn)，試判斷以P0為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn).如果是請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（］）?+：=1；⑵是，定點(diǎn)為（6,0）和卜百,0）.

【分析】

（1）ANA"的三邊有一邊己經(jīng)確定，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，何時(shí)另外兩邊之和最大，結(jié)合橢圓的定義，以及三角形

兩邊之差小于第三邊即可確定思路；

（2）分直線BC斜率存在與不存在分別研究，不存在容易得出定點(diǎn)，存在時(shí)，可以設(shè)出斜率左,再聯(lián)立橢

圓方程，求出憶。坐標(biāo)，最后求出以月。為直徑的圓的方程，方程里面含有k,再令歹=0即可.

【詳解】

（1）設(shè)右焦點(diǎn)為"，則+2?=6=怛陷

.?.（I腦V|+|杯|）皿=4+2石-0=4+石

x-\NF\=2a-\NF\

:.\MN\+\NF^MN\-\NFx\+2a<\MF\+2a

即N點(diǎn)為M與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，周長(zhǎng)最大

v||=V5,所以2。+石=4+后=>a=2,c=1

b=\Ja2—c2=5/3

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+匕=1

43

（2）由（1）知4（一2,0）,設(shè)3（%,%）,則。（一與,一穌）

當(dāng)直線8。斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為丁="

2k

令x=0,得y----jP0,—=

1+/+產(chǎn)

同理得。

”。|=

設(shè)尸。中點(diǎn)為S,貝iJS（“一二

【2k

所以以00為直徑的圓得方程為

V23

699

即X2+1/+—y+-—^=—j+3

k4k4七

即工2+產(chǎn)+%―3=0

k

令歹=0，得x=±百

所以過(guò)點(diǎn)（6,0）和（一百,0）,且為定點(diǎn).

當(dāng)直線BC斜率不存在時(shí)，容易知道5（0,V3）,C（0,->/3）

此時(shí)P（0,百）,0（0,一百）

所以以尸。為直徑的圓是以原點(diǎn)為圓心，、回為半徑的圓，顯然也過(guò)定點(diǎn)（右,0）和（-J§,0）

綜上，此圓過(guò)定點(diǎn)（百,0）和（一班,0）

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，可以先通過(guò)特殊情況得到定點(diǎn)，再去證明一般得情況.

10.（天津南開(kāi)區(qū)?高三一模）已知橢圓］+方=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，鳥(niǎo)，右頂點(diǎn)為點(diǎn)A,

/L\

點(diǎn)E的坐標(biāo)為0,-,延長(zhǎng)線段耳石交橢圓于點(diǎn)加，摩_Lx軸.

\4/

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)拋物線/二當(dāng)云的焦點(diǎn)為尸，8為拋物線上一點(diǎn)，忸可=與方，直線即交橢圓于尸，。兩點(diǎn),

若M呼+|/°『=彳，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

AXI-

【答案】（1）葉,（2）504126

2--------

3131

【分析】

（1）由題意可得E為的中點(diǎn)，從而有內(nèi)叫=2|0?=g,則有g(shù)=g,得3=；，進(jìn)而可求出橢圓

的離心率；

（2）由拋物線的定義可得乙二手人從而可求得點(diǎn)5（當(dāng)仇與或3（弓力,_今53，當(dāng)

6（亨瓦與5與時(shí)，可得直線6尸的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去X,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得

必+為=一當(dāng)6,必歹2=一2心2,從而把|力尸『+|/°「表示出來(lái)，列方程得方/=羨，求出人=號(hào)，

進(jìn)而可求出橢圓的方程

【詳解】

解：（1）由題意得在△68"中有用Wl￡g,OEJL66，

因?yàn)?。為《工中點(diǎn)，則E為-M的中點(diǎn),

因?yàn)椤甑淖鴺?biāo)為（0,《），所以|。同=（,閨M=2|OE|=g,

12

令x=c,得y=±—,

則題意得“/>0,所以^-=2,得2=:,

a2〃2

所以離心率0=^=再=瀉

（2）因?yàn)閽佄锞€力爭(zhēng)小,所以尸（》0）,準(zhǔn)線方程為x=—?jiǎng)P

設(shè)尸（西,必）,。（々/2），

因?yàn)殁钪?—b?所以/=—6,代入/=—bx中得，y=±12yb,

5555

h26

當(dāng)8（亞b,左叵b）時(shí)，—=—,則直線3尸的方程為Xb

歲+

5-

5524,2

因?yàn)?=:，所以。=26,則橢圓方程為J+4=l,即/+4/=4/,

Q24〃b2

x2+4y2=4b2

'得知+4力-第2=o,

由《26,

x=ba

則必一必=一半仇必當(dāng)=一自2,

2I?2124

所以XI+X=y（必+y2）+—b=-—b+—b=2b,xx=—yy+

2yj5333}23x2

2222

所以|,4P『+\AQ^=（x,-2b）+y,+（x-2b）+x2

2

=Xj+必2+x2~+為2—4b（玉+X2）+8Z>2

=（演+%2）2+（%+必）2-2中2-2%必一46（不+/）+汕2

=4b2+-b2-—b2+—b2-4b.2b+8Z?2=—b2=—

5515155

得心等，

當(dāng)8（雙上一呸53時(shí)，同理可得/二號(hào)

綜上,等504

4/

"IT

2

—.y

所以橢圓方程為504126~

3131

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考瓷拋物線的定義的應(yīng)用，考行橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，

解題的關(guān)鍵是由已知條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出直線BF的方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組，然后利用根與

系數(shù)的關(guān)系，再由|/尸「+?92=日列方程求出從二號(hào)，從而可求出橢圓方程，考查計(jì)算能力，屬于

較難題.

22(

11.(四川成都市?高三二模(文))已知橢圓C：++q=1(〃>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)/1，￥,其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為

ab\>

2.

(I)求橢圓C的方程；

(H)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(-1,0)的直線/與橢圓C相交于。，七兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為下，直線。尸與

x軸相交于點(diǎn)G,求與的面積分別為E，求W-Szl的最大值.

丫23

【答案】(I)—/=1；(II)

4+-4

【分析】

(I)由長(zhǎng)軸長(zhǎng)知。=2,結(jié)合橢圓過(guò)力點(diǎn)，求。、b,寫出橢圓方程；

(0)由題意設(shè)直線/的方程為工=卯一1,。0),。(％,%)，后(5，8)，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得

13

乂+%,%必，進(jìn)而寫出直線。產(chǎn)的方程并求G坐標(biāo),而國(guó)一$2|=5忸6|?|必+為|=5瓦+%|，再通

過(guò)基本不等式求其最值.

【詳解】

x2v2

(I)由己知，得。=2.，橢圓。的方程為±+4=1.

4b2

???橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4，二一十一左=1,解得力2=].

1244廳

???橢圓。的方程為工+/=].

4.

（II）由題意，知直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的方程為x=W-l（"0）,。（和兇），后（工2，%）?

x=ty-l

由121消去x,得（『+4）/-2卯一3=0.

￡+y=1

△=4r+12*2+4)=16『+48>0,

2t3

???尸為點(diǎn)E關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)，???/（工2，一%）?

??.直線。八勺方程為y一切二合（"一、）

即

令尸0,則X3十一」+38二?一1）（必+乃：）一4十