專題L2解三角形?結(jié)構(gòu)不良型

考向解讀

（1）“結(jié)構(gòu)不良問題”是2020年高考出現(xiàn)的新題型：題目所給的三個可選擇的條件是平

行的，即無論選擇哪個條件，都可解答題目，而且，在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件

讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會得滿分.

（2）一般先選擇條件，再根據(jù)正余弦定理化簡求值、計算.可以從兩方面思考：

①從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；

②從式子結(jié)構(gòu)來選擇.

（3）在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題

中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、

余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時，注意角的限制范圍.

（4）求解三角形中有關(guān)邊長、角、面積的最值（范圍）問題時，常利用正弦定理、余

弦定理與三角形面積公式，建立a+6,ab,/+〃之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利

用函數(shù)或基本不等式求解.

（5）在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或

余弦定理得到答案，要選擇“邊化制’或“角化邊”，變換原則如下：

①若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理"角化邊

②若式子中含有。、b、。的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

③若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

④代數(shù)式變形或者二角恒等變換前置；

⑤含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

⑥同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

最新模擬題賞析

1.在①sinC+QcosC=2，②C=2A,③2?=勿這三個條件中任選一個，補充在下面

問題中，若問題中的三角形存在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在“15。，它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為b,c,且

（3c-2b）cosA=2acosB,c=1,?

【試題來源】廣東省揭陽市2021屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量測試

【答案】答案見解析.

【解析】由（3c-2Z?）cosA=2acosB結(jié)合正弦定理可得

（3sinC-2sinB）cosA=2sin4cosB,

所以3sinCeosA=2sinAcosB+2cosAsinB=2sin（A+B）=2sinC.

2

因為sinCwO,所以cos4=—.

3

［選擇條件①的答案］

所以sinA=—.

3

由sinC+GcosC=2得2sinC+1］=2,所以sin（c+g=1.

因為?！辏?,%），所以C+所以。=工.

326

且

萬csinA32逐

由正弦定理，一二—J得〃=------=-7-=-----

sinAsinCsinC13

2

［選擇條件②的答案］

所以sinA=—.

3

因為C=2A,所以sinC:=sin2A=2sinAcosA='逐

9

旦

由正弦定理，一二二一^a=￡sinA3=3

sinAsmCsinC45/54

~9~

［選擇條件③的答案］

所以sinA=—.

3

由8=2。得sinB=2sinA.

因為sinA=立，所以sin8=2sinA=2叵＞1.所以三角形不存在.

33

2.在①tantan3=1,b='豆；②b=4c,sinA=，^c中任選一個，補充到下面的橫

24

線中，并求解.

在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為c,面積s=4百，且.求aABC

的周長.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【試題來源】遼寧省名校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三3月份聯(lián)合考試

【答案】答案見解析.

【解析】若選①：由tan4tan8=1，可得sinAsin8=cosAcos3,即8s(A+5)=0,

由0<A+8<Jt,所以4+8=—,可知C二—?

22

b旦

又由，2,解得。=4,6=2石，所以c=J16+12=2>/7

-ab=4y/3

[2

故AABC的周長為4+26+2萬?

若選②：由S='〃csin4=立?力。2=46，解得加2=32

28

又由力=4。，可得4?=32,解得c=2,則8=8,

因為sin人=3。=3，所以A=g或@,

4233

當(dāng)4=巴時，nj#c=J4+64-2x2x8x-!-=2x/i3,

3V2

當(dāng)4=@時，可得c=j4+64+2x2x8x'=20

3V2

故AA6c的周長為10+2或10+2e.

3.在①6sinB=5sinA,②ab=4,③"一々一2=0這三個條件中任選一個，補充在下

面問題中，若問題中的三角形存在，求A的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△A5C,它的內(nèi)角4，B,C的對邊分別為。，b,J且c=3,

9cos3=3。+人，?

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分.

【試題來源】山東省泰安市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末

【答案】答案見解析

22r2

【解析】因為9cosB=3a+6，c=3,所以9“+、=3〃+b，

2ac

整理得3a2+36+2"=27.

方案一：選條件①，因為6sinB=5sinA,所以6Z?=5a.

\6b=5aI0I[0—I百1

由7+3從+2加27解得或（舍去）?所以八2‘巴J

因此，選條件①時問題中的三角形存在，此時國

因為|岡|,所以方程無解.

因此，選條件②時問題中的三角形不存在.

方案三.選條件③

由一。一2=0，解得〃=2或|叵]|（舍去）.所以。=2.

4.從①cosB+cos—=0；②sin2A-sin2B+sin2C+sinAsinC=0;③

2

b?cosC+（勿+c）cos8=0,這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.

在AABC中，a,b,c分別是角.4,B,。的對邊，若,

（1）求8；

（2）若△A5C面積的最大值為無，求b.

12

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【試題來源】浙江省金華十校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末

【答案】（1）(2)1.

【解析】（1）若選①：因為cos5+cosO=0,所以

2

解得或0（舍去）,

］,所以［回］

所以,乂向

所以0.刈［7|所以

若選③：由正弦定理邊化角可得應(yīng)

所以a

所以仞

所以I臼,由基本不等式得向

所以眄J,當(dāng)且僅當(dāng)前二］時等號成立,

所以因

又AABC的面積的最大值為且，所以反

12

【名師點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦定理、余弦定理、面積公式，并靈活應(yīng)用，在求面

積最大值時，需結(jié)合基本不等式求解，考查計算求值的能力，屬中檔題.

5.在AASC中，asinB=hcos\A-—,_________

k6

（1）求A;

（2）若c=5，求b.

從①a=7,@C=f，③a=辰這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.（注:

如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分）

【試題來源】湖北省襄陽市部分優(yōu)質(zhì)高中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期2月聯(lián)考

【答案】條件選擇見解析；（1）（2）答案見解析.

【解析】(1)因為〃sin8=〃cos(A-工J,0

所以0

因為國一b所以回

即1回],因為I區(qū)回

(2)若選①a=7

則在AASC中，由余弦定理|岡

得I區(qū)~|，解得6二8或瓦二|（舍去），所以b=8

7T

若選②c=

4

則回

由正弦定理回，得，解得兇，所以兇

若選③a=?，由余弦定理而~|得|回

B_c3

6.在①2a8SC+C=2/?,②cos2-------cosBcosC=—,③

24

（sinB+sinC）2=sin2A+3sinBsinC這三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加

以解答.

在AABC中，角4,B,C所對的邊分別為。，b,c,且.

（1）求角力的大??；

（2）若。=2,求AABC面積的最大值.

【試題來源】江蘇省南通市通州區(qū)、啟東市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末

【答案】（1）啊J（2）回

選②，因為0

選③，因為(sinB+sinC)2=sin2A+3sin8sinC,

所以|叵|

所以由正弦定理得從+,2一/=%，

（2）由（1）M回又。=2,由余弦定理

所以國二］，當(dāng)且僅當(dāng)后|時取得等號，

故0,當(dāng)且僅當(dāng)同同?取得等號,

所以△A^C面積的最大值為同.

7.在ZU8C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,C,請在①b+灰03c=6csinB；②

（2Z?-^）cosC=ccosA：③/+/”2=￥^詆這三個條件中任意選擇一個，完成

下列問題：

（1）求NG

（2）若a=5,c=l,延長CB到。，使cos/ADC=±，求線段8。的長度.

7

【試題來源】江蘇省無錫市2021屆高三下學(xué)期2月教學(xué)質(zhì)量檢測

【答案】（1）答案見解析；（2）5.

【解析】（1）選①

因為b+bcosC=&sinB，及正弦定理，所以|回|，

因為在△44C中，舊J所為,I，所以|回

所以0,

因為在AA6c中，Cw（O,?）,所以回，所以區(qū)，則回.

選②

囚為（2Z?-a）8sC=ccosA,及正弦定理，所以后

所以回

因為在△44C中，|回仁

所以0,所以回

因為在△ABC中，?！辏?,萬），所以

選③

由余弦定理得□

因為在△A3C中，Cw（O,乃），圻以

（2）第一問的答案都一樣巴

在中，因為a,由余弦定理得

所以I區(qū)

0

由正弦定理得a,所以,則

由余弦定理得a

在AABC中，cosZADC=—?所以a

7

所以0

0

由正弦定理得a，則

【名師點睛】本題需要熟練運用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，遇到多三角形問題，可以從要求

的結(jié)果山發(fā)，把所求量放在一個三角形中，然后逆向思考.

8.在①tanB=2tanC,?3b2-a2=12>③bcosC=2ccos8三八條件中任選一個，補

充在下面問題中的橫線上，并解決該問題.

問題：已知MBC的內(nèi)角A8,C及其對邊a,b,c,若c=2,且滿足.求AABC

的面積的最大值（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

【試題來源】福建省名校聯(lián)盟優(yōu)質(zhì)校2021屆高三大聯(lián)考

【答案】條件選擇見解析；最大值為位

［解析］選擇條件①：因為Ir~|，所以|因|，

根據(jù)正弦定理可得抗2SC=2CCOSB，

由余弦定理得回，

又由c=2,可得幼2-/=12，

根據(jù)余弦定理得國

所以

所以當(dāng)且僅當(dāng)I回二I時，AA灰：面積取得最大值，最大值為位

選擇條件②：因為3〃—/=12,

由余弦定理得回

0

所以

所以當(dāng)且僅當(dāng)叵二］時，A48C面積取得最大值，最大值為垃

選擇條件③：因為bcosC=2ccos3,

由余弦定理得a

因為c=2,可得36一/=i2,

又由余弦定理得a

所以

0

所以當(dāng)且僅當(dāng)叵二|時，AA"。面積取得最大值，最大值為比

9.在銳角aABC中，設(shè)角A,B,C所對的邊長分別為。，b,%且8sinA="〃.

2

（1）求8的大?。?/p>

（2）若舊|,弧J,點。在邊回上，，求同的長.

請在①I區(qū)②國卜③回這三個條件中選擇一個,補充在上

面的橫線上，并完成解答（如選多個條件作答，按排列最前的解法評分）.

【試題來源】廣東省中山市2021屆高三上學(xué)期期末

【答案】（1）叵!（2）答案見解析.

【解析】（1）在△A6C中，由正弦定理區(qū)及〃sinA

因為AA6c為銳角三角形，所以回，所以|兇|.所以回

(2)若選①.

在AABC中，由余弦定理，得

所以回，所以因

在I回仲，由余弦定理，得后

即

在區(qū)?中,由余弦定理，得卮

即晅

又I回I，所以國

所以S,所以岡

若選②.

在AAbC中,0

即0

即回，解得回

若選③.

在AABC中，由余弦定理，得且

,所以a

10.已知AA8c的內(nèi)角I區(qū)||所對的邊分別是I岡I在以下三個條件中任先一個:①

回②回；③回；

并解答以下問題：

(1)若選[J步序號垃求I臼I的值;

（2）在（1）的條件下，若回,當(dāng)AABC有且只有一解時，求實數(shù)甲^勺

范圍及△A4C面積S的最大值.

【試題來源】湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（六）

【答案】（1）條件選擇見解析；|岡卡（2）0

【解析】（1）若選①，由已知化簡得后

由止弦定理得"+c2-a2=be

由余弦定理得回

因為舊I，所以I區(qū)I；

若選②，由二倍角公式兇，故回

因為I回二~I，所以I區(qū)I；

若選③，由題設(shè)及正弦定理得回

因為國1,1區(qū)I所以回

攵回

0古

因為兇，回故回0,因此|回|；

（2）由已知|回卜當(dāng)AABC有且只有一解時，|因】或|回

即兇或|回副百或|回~|，0一~",

①當(dāng)值~~1時，△A4C為直角三角形，8為直角，|回故c=l,所

②當(dāng)|回1時0

由余弦定理可得［回

當(dāng)且僅當(dāng)向時等號成立,

母丁:角形面積為區(qū)

即△A6C面積的最大值回

綜上，△A3C面積的最大值E

11.現(xiàn)有三個條件①|(zhì)回|，②回，③

回請任選一個，填在下面的橫線上，并完成解答.

已知AA/C的內(nèi)角A5,c所對的邊分別是a,b,C,若

(1)求角B；

(2)若國,求6c周長的最小值，并求周長取最小值時AABC的面積.

【試題來源】江蘇省南京市中華中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期1月學(xué)情暨期末

【答案】(1)區(qū)!(2)

乂舊I，則因

又里|；所以|回

則△AbC周長的最小值為回

所以△43C的面積為0

則0

（2）由（1）知回

,當(dāng)且僅當(dāng)叵時取等號;

乂向],則

<區(qū)I，所以|區(qū)］

則△ABC周長的最小值為g

此時同，所以AA6C的面積為0

若選③：（1）區(qū)|

B'I國1|_0

回

0-1回

即a（舍）；

（2）由（1）知回

0

,當(dāng)且僅當(dāng)向時取等號;

又|區(qū)I1貝1J區(qū)，

乂I國I，所以|回一I,

則△46C周長的最小值為|國卜

此時I區(qū)］~I，所以△A6C的面積為回

【名師點睛】本題首先利用正弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，輔助角公式以

及余弦定理進(jìn)行化簡求角；其次利用余弦定理，基本不等式，三角形面積公式求解.

12.在①國，②回，倒國|這三個條

件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的AABC存在，求出其面積；若不存在，說

明理由.

問題：是否存在△48C,它的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、且|回上

厄一I，-----------?

【試題來源】山東省淄博市2021屆高三一?？荚?/p>

【答案】答案見解析

【解析】選擇條件①：

由正弦定理可得回，

由于sinCwO,可得回

由余弦定理可得回，解得百

，解得I叵1I，因此回

選擇條件②：因為0,即0

由正弦二倍角公式可得0

由已知可得回

由基本不等式可得區(qū)

，所以不存在滿足條件的△A5C：

選擇條件③：

由余弦二倍角公式可得|區(qū)］解得S（舍去），

因為畫二3,所以?回|

由余弦定理得0，解得|回

回，解得|臼I,因此啊；

13.在①6sin8=5sinA,②盾J,③|回修三個條件中任選一個,補充在下面問題

中，若問題中的三角形存在，求力的值；若問題中的三角形不存在，請明理由.

問題：是否存在△A3C,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為"，b,c,且直J,

98s3=3a+6,?

【試題來源】遼寧省丹東市2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測

【答案】答案見解析.

【解析】由9cosB=3a+〃及余弦定理可得|回.

因為向］，于為回....］（*）?

方案一：選條件①.

由6sin5=5sinA和正弦弦定理得口，代入（*）解得國,因

因此，選條件①時，問題中的三角形存在，此時

方案二：選條件②.

由于而=4'區(qū)［代入（*）得向

因為|國所以〃不存在.

因此，選條件②時，問題中的三角形不存在.

方案三：選條件③.

因為c=3,IBI-由余弦定理可行|因

代入（*）得后二］，因此，選條件③時，問題中的三角形不存在.

【名師點睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部

化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊

的二次式一般采用到余弦定理，應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用.

14.在AABC中，回，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

（1）|回|的值;

（2）AABC的面積.

條件①：I區(qū)I，耳I；條件②：舊I，△A5C為等腰三角形?

【試題來源】北京市2021屆高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科綜合能力測試試題

【答案】（1）回；（2）［g-|.

【解析】選擇條件①：后二］,回：

在小抽。中，S，應(yīng)二|，耳］;

（1）因為回

解得

所以0

即0,

(2)因，

即的面積為百］,

選擇條件②：舊|，8c為等腰一：角形；

(1)因為因，且。為鈍角.

所以只能正&所以|臼|.

由余弦定理區(qū)一牌因，解得［.I，

即區(qū)

(2)區(qū)1,即AABC的面積為叵］.

15.在①回，②區(qū)這兩個條件中任選一個作為

」知條件，補充到下面的橫線上并作答.

問題：AA8c的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,仇c,已知

(1)求8；

(2)若。為回的中點，|g|,求的面積的最大值.

【試題來源】河南省2021屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試?yán)頂?shù)試題

【答案】(1):?、苹?/p>

乂^I，

(2)有題意知舊一

回卜即I國.

乂I岡0（當(dāng)且僅當(dāng)回時等號成立）.

由三角形面積公式可知國

I區(qū)I的面積的最大值為|"^一|.

【名師點睛】本題考查正弦定理，考查兩角和與差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查基本不等

式，三角形面積公式，向量的線性運算，解題關(guān)鍵是用正弦定理進(jìn)行化邊為角，然后可由三

角函數(shù)恒等變換公式，基本不等式求解.

16.在①回，②回，③

0這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.

問題：在AABC中，角A、8、。對應(yīng)的邊分別為。、b、c,若|因,

求角8的值和人的最小值.

【試題來源】廣東省韶關(guān)市2021屆高三一模

【答案】條件選擇見解析；

【解析】若選擇①：在AA6c中，有［_0__________，

則由題可得0,

回，

區(qū)1，回

由余弦定理可得

岡-----------1岡----0_0_■______

[1,又

所以，當(dāng)回,即〃的最小值照;

時,0

若選擇②：在△A6c中，有向

則由題可得回

解得或I回......I（舍去），

代入上式得0

又sinCwO，所以|叵］

可回|，所以|回I

.（剩下同①）

(1)求A;

（2）若回,求△A6C的面積.

【試題來源】遼寧省沈陽市2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)卷（一）試題

【答案】（1）叮⑵a

【解析】由已知及正弦定理得g

所以區(qū)，所以0

乂區(qū)］,所以

所以舊〕所以

方案②：由已知正弦定理得

所以岡即日一

又CE(O,")，所以I叵］"I

所以,所以

乂H,所以向

回

所以所

畫由余弦定理

0，得回

,因為回所以0

所以

0

18.在AABC中，角AB,C所對的邊分別為|岡］已知回1，面積,再從以

下兩個條件中選擇其中一個作為已知，求三角形的周長.

0

(1)

⑵舊I.

注：如