教案教學(xué)基本信息課題直線與直線垂直學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級高一教材書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修A版第二冊出版社：人民教育出版社出版日期：2019年8月教學(xué)設(shè)計參與人員姓名單位設(shè)計者趙賀北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心實(shí)施者趙賀北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心指導(dǎo)者李淑敬北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心課件制作者趙賀北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心其他參與者教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)1.理解兩條異面直線所成角、兩條異面直線互相垂直以及00角的概念，會求兩條異面直線所成的角.2.

通過對解題思路的剖析與解決，學(xué)會尋找求異面直線所成角的方法，體會轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)推理論證能力和空間想象能力.3．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)、提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：求兩條異面直線所成的角的大小，證明兩條異面直線互相垂直.教學(xué)難點(diǎn)：兩條異面直線所成角的構(gòu)造.教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖講授新知觀察：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1C1與直線AB，直線A1D1與直線AB都是異面直線，那么直線A1C1與A1D1相對于直線AB的位置相同嗎？如果不同，那么如何表示這種差異呢？DDCC1D1BAB1A1通過觀察，很顯然，是有些不同的，那么如何來表示這種差異呢？在初中我們學(xué)習(xí)過，平面內(nèi)兩條相交直線形成四個角，其中不大于900的角稱為這兩條直線所成的角（或者稱為兩條直線的夾角）。我們用它刻畫了一條直線相對于另一條直線的傾斜程度.那么同學(xué)們，類似地，我們也可以用“異面直線所成的角”來刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系.a'b'a'b'Obaα經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O，分別作直線a'//a，直線b'//b我們就把這兩條相交直線a'，b'所成的角，叫作異面直線a,b所成的角（或者叫作異面直線a,b的夾角）.這樣，我們利用定義，就將兩條異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)兩條相交直線所成的角，這是研究異面直線所成的角時經(jīng)常使用的方法，這種把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題的思想方法很重要，同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中一定要認(rèn)真體會！DCC1D1BAB1A1現(xiàn)在，我們再過回頭看剛才的問題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1C1與直線AB，直線A1D1與直線AB都是異面直線，但直線ADCC1D1BAB1A1如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線A1C1與AB所成的角的大小.解：∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴A1B1//AB.∴∠B1A1C1為異面直線A1C1與AB所成的角.∵∠B1A1C1=450，∴異面直線A1C1與AB所成的角為450.下面我們再求異面直線A1D1與AB所成的角的大小.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線A1D1與直線AB所成的角的大小.解：∵ABCD-A1B1C1D1是正是方體，∴A1B1//AB.∴∠B1A1D1為異面直線A1D1與AB所成的角.∵∠B1A1D1=900，∴異面直線A1D1與AB所成的角為90.由上可知，異面直線A1C1與AB所成的角為450，異面直線A1D1與AB所成的角為900，，這就說明直線A1C1與A1D1相對于直線AB的傾斜程度是不同的，直線A1D1相對于直線AB的傾斜程度更大一些.所以我們說異面直線所成的角可以刻畫兩條異面直線中一條直線相對于另一條直線的傾斜程度.注意：如果兩條異面直線a,b所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直。并記作a⊥b.如果空間兩條直線a,b互相平行，我們就規(guī)定它們所成的角為00.空間兩條直線a,b所成角α的取值范圍是兩條異面直線a,b所成角α的取值范圍是提出問題，引發(fā)學(xué)生思考講授兩條異面直線所成的角的概念，滲透把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的轉(zhuǎn)化思想.解決問題，并給出兩條異面直線互相垂直的和00角的概念.例題講解例題如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1.哪些棱所在的直線與直線AA1垂直？求直線BA1與CC1所成的角的大??；求直線BA1與AC所成的角的大小.DDCC1D1BAB1A1解：（1）正方體一共有12條棱，我們先來看下底面的4條棱，顯然這4條棱所在的直線都與直線AA1垂直，同樣道理，上底面的4條棱所在的直線也都與直線AA1垂直，而正方體的側(cè)棱BB1，CC1，DD1所在的直線都與直線AA1平行.因此棱AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1所在的直線與直線AA1垂直.（2）∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴BB1//CC1.∴∠A1BB1為直線BA1與CC1所成的角.∵∠A1BB1=450，∴直線BA1與CC1所成的角等于450.（3）如圖，連接A1C1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴AA1//CC1，且AA1=CC1.∴四邊形AA1C1C是平行四邊形.∴AC//A1C1.∴∠BA1C1為異面直線BA1與AC所成的角.連接BC1，易知△A1BC1是等邊三角形.∴∠BA1C1=600.∴異面直線BA1與AC所成的角等于600.DCC1D1BAB1A1O1例題如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，ODCC1D1BAB1A1O1證法一：如圖，連接B1D1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴BB1//DD1，且BB1=DD1.∴四邊形BB1D1D是平行四邊形.∴B1D1//BD.∴直線AO1與B1D1所成的角即為異面直線AO1與BD所成的角.連接AB1，AD1，易證AB1=AD1.∵O1為底面A1B1C1D1的中心，∴O1為B1D1的中點(diǎn).∴AO1⊥B1D1.∴AO1⊥BD.證法二：取BD的中點(diǎn)O，連接AO，C1O，C1O1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方體易證四邊形AA1C1C是平行四邊形.∴AC//A1C1，且AC=A1C1.又∵O，O1分別是AC和A1C1的中點(diǎn)，∴AO//O1C1，且AO=O1C1.∴四邊形AOC1O1是平行四邊形.∴AO1//C1O.∴直線C1O與BD所成的角即為直線AO1與BD所成的角.連接C1B，C1D，易證C1B=C1D.∵O為BD的中點(diǎn)，∴C1O⊥BD.∴AO1⊥BD.證法三：如圖，連接B1D1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴BB1//DD1，且BB1=DD1.∴四邊形BB1D1D是平行四邊形.∴B1D1//BD.∴直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成的角.連接AB1.不妨設(shè)正方體的棱長為2，∵在Rt△ABB1中，AB=BB1=2，∴.同理可證.∴.取BD的中點(diǎn)O，連接O1O和AO.∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴易知OO1=2，.∵△AOO1是直角三角形，∴.又，，∴.∴∠AO1B1=900.∴AO1⊥BD.本題是對異面直線垂直概念的應(yīng)用。首先應(yīng)該根據(jù)異面直線所成角的定義，構(gòu)造出這個角，這是解決問題的關(guān)鍵，再聯(lián)系等腰三角形的性質(zhì)或者勾股定理即可完成證明.剛才我們從不同的角度，用三種方法完成了這道題的證明，三種方法各有特點(diǎn)，通過對比，不難發(fā)現(xiàn)第一種方法的證明過程比較簡單，也就是將直線BD平移到直線B1D1位置的這種方法比較簡單，所以同學(xué)們當(dāng)遇到一個問題時，應(yīng)當(dāng)通過觀察，先思考，再下筆.另外這道例題的解答過程體現(xiàn)了解決立體幾何問題的重要思想----即轉(zhuǎn)化思想，將立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決，同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中要認(rèn)真體會這個思想！例題如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AC的中點(diǎn)，AB=BB1=2，求證BD⊥AC1.AABCA1B1C1D證明：如圖，取CC1的中點(diǎn)E，連接DE.∵D為AC的中點(diǎn)，∴DE//AC1.∴直線DE與BD所成的角即為直線AC1與BD所成的角.要求∠BDE，一般把這個角放在三角形中進(jìn)行求解，∴連接BE.為了求∠BDE的大小，下面需要求△BDE的三條邊.∵正三棱柱ABC-A1B1C1，且AB=BB1=2，∴AC=CC1=2.∴。∵DE是△ACC1的中位線，∴.∵AB=AC=BC=2，∴.∵在Rt△BCE中，BC=2，CE=1，∴.∴.∴BD⊥DE.∴BD⊥AC1.反思與感悟：通過以上這些例題的解答，我們可以看到，在求異面直線a,b所成的角時，雖然與點(diǎn)O選取的位置無關(guān)，但是為了方便，這個任一點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上，也就是平移其中的一條直線即可，例如取在直線b上，然后經(jīng)過點(diǎn)O作直線a'//a，那么a'與b所成的角就是異面直線a,b所成的角。在解題時，同學(xué)們要通過觀察，先思考，后落筆。在求角的大小時，我們可以利用一些特殊三角形的特點(diǎn)直接求出角的大小，也可以利用勾股定理證明是直角.鞏固異面直線所成角的概念，讓學(xué)生認(rèn)識到，在空間中垂直于同一條直線的兩條直線未必平行，求異面直線所成角的關(guān)鍵是構(gòu)造出異面直線所成的角.本題是對異面直線垂直概念的應(yīng)用.用三種方法完成了這道題的證明，發(fā)散學(xué)生思維，再次滲透將立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的轉(zhuǎn)化思想.本題是對異面直線垂直概念的應(yīng)用，滲透用勾股定理證明垂直問題的方法.總結(jié)我們來總結(jié)一下本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容：本節(jié)課是對異面直線的進(jìn)一步研究，我們學(xué)習(xí)了兩條異面直線所成的角的概念，兩條異面直線互相垂直的概念．知道了兩條異面直線所成的角是用來刻畫兩條異面直線中一條直線相對于另一條直線傾斜程度的量.我們要注意：空間兩條直線a，b所成角α的取值范圍是的閉區(qū)間.空間兩條異面直線直線a，b所成角α的取值范圍是左開右閉區(qū)間.通過例題的解答，我們知道了，求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是構(gòu)造出這個角.在本節(jié)課學(xué)習(xí)過程中，我們注重了直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)的提升.回顧本節(jié)課知識與技能、思想與方法.布置作業(yè)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的各條棱所在直線中，(1)與直線AB垂