一、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：①是直徑②③④弧?、莼』≈腥我?個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧二、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①；②；③；④弧弧三、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：∵和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角∴2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧；即：在⊙中，∵、都是所對(duì)的圓周角∴推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在⊙中，∵是直徑或∵∴∴是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．四、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙中，∵四邊形是內(nèi)接四邊形∴垂徑定理例題1、基本概念1．下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)是（）A．平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B．平分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦C．弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心D．在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和它所對(duì)弦的直線必過這個(gè)圓的圓心2．下列命題中，正確的是（）．A．過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的弧B．過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心C．弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦，且過圓心D．弦的垂線平分弦所對(duì)的弧例題2、垂徑定理在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm，那么油面寬度AB是________cm.2、在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，，如果油面寬度是48cm，那么油的最大深度為________cm.3、如圖，已知在⊙中，弦，且，垂足為，于，于.（1）求證：四邊形是正方形. （2）若，，求圓心到弦和的距離.4、已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長(zhǎng)．5、如圖，F(xiàn)是以O(shè)為圓心，BC為直徑的半圓上任意一點(diǎn)，A是的中點(diǎn)，AD⊥BC于D，求證：AD=BF.例題3、度數(shù)問題1、已知：在⊙中，弦，點(diǎn)到的距離等于的一半，求：的度數(shù)和圓的半徑.2、已知：⊙O的半徑，弦AB、AC的長(zhǎng)分別是、.求的度數(shù)。例題4、相交問題如圖，已知⊙O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的長(zhǎng).AABDCEO例題5、平行問題在直徑為50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB與CD之間的距離例題6、同心圓問題如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點(diǎn)，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為.求證：.3、如圖，AB是⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E，∠BAC=45°，給出下列五個(gè)結(jié)論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正確結(jié)論的序號(hào)是圓周角和圓心角1、下列語句中正確的是（）A、相等的圓心角所對(duì)的弧相等B、平分弦的直徑垂直于弦長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧D、經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸2、有下列說法：①等弧的長(zhǎng)度相等；②直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；③相等的圓心角對(duì)的弧相等；④圓中90°角所對(duì)的弦是直徑；⑤同圓中等弦所對(duì)的圓周角相等．其中正確的有（）考點(diǎn)一：圓心角，弧，弦的位置關(guān)系考點(diǎn)二：圓周角定理如圖，△ABC中，∠A=60°，BC為定長(zhǎng)，以BC為直徑的⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．連接DE，已知DE=EC．下列結(jié)論：①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正確的有（）2、一個(gè)圓形人工湖如圖所示，弦AB是湖上的一座橋，已知橋AB長(zhǎng)100m，測(cè)得圓周角∠ACB=45°，則這個(gè)人工湖的直徑AD為（）如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN^的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）4、如圖AB是⊙O的直徑，AC^所對(duì)的圓心角為60°，BE^所對(duì)的圓心角為20°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，則∠FDG的度數(shù)為（）考點(diǎn)三：內(nèi)接圓的四邊形的性質(zhì)1、如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD=110°，則