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第四章微分法:積分法:互逆運算不定積分二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)第四章一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1.若在區(qū)間I上定義的兩個函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個原函數(shù).則稱F(x)為f(x)定理1.

存在原函數(shù).不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線.將代入上式,且解：依題意

因此這樣的曲線有無窮多條，而通過的曲線只有一條，因此曲線方程為在任意一點例已知曲線處的切線斜率為曲線通過點,求曲線方程。二、基本積分表從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k為常數(shù))或或三、不定積分的性質(zhì)內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)習題已知求A,B.解:等式兩邊對x求導,得二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法換元積分法第二類換元法第一類換元法基本思路

一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)例1.求解:令則故原式=注:當時常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如（4）“1”的妙用例.求解:原式二、第二類換元法第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，2.常用基本積分公式的補充例.求解法1解法2例已知求解:兩邊求導,得則(代回原變量)

第三節(jié)由導數(shù)公式積分得:或分部積分法分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗:“指三冪對反”,選擇v3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式習題.求不定積分解：方法1(先分部,再換元)令則方法2(先換元,再分部)令則故一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例第四節(jié)有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理函數(shù)相除多項式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和例求解:已知二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設表示三角函數(shù)有理式,令萬能代換t的有理函數(shù)的積分1.三角函數(shù)有理式的積分則例求解:令則例.求解法1令原式例.求解法2令原式例.求1.解:

2解:

分母次數(shù)較高,宜使用倒代換.令則,故2.簡單無理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡單根式的有理式,可通過根式代換化為有

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