河南專升本高數(shù)真題及答案新編

資料僅供參考

河南省普通高等學(xué)校

選拔優(yōu)秀專科畢業(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試

高等數(shù)學(xué)

題號三四五總分

分值602050128150

1.函數(shù)y=+x+arctaxn，的定義域是

A.[t,+功B.(y+00)

C.[TO)(o,+8)D.(TO)(0,+oo)

解：14+X-°=>x>-4fLr^0.選c.

2.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是

A?y=爐-Iog3(l-x)B.y=xsinx

C?y=ln(71+x+x)D.y=e'

解：A、D為非奇非偶函數(shù)，B為偶

函數(shù)，C為奇函數(shù)。選B.

資料僅供參考

3.當(dāng)30時，下列無窮小量中與ln(l+2x)等價(jià)

的是

A.xB?—xC?x2D.2x

2

解：x-0時，ln(l+2x)~2x?選D.

4.設(shè)函數(shù)/U)=sin2-9則x=0是的

X

A.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)

C.跳躍間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)

解：x=0處沒有定義，顯然是間斷點(diǎn)；

又口。時sin」的極限不存在，故是第二類間斷

X

點(diǎn)。選D.

5.函數(shù)片正在點(diǎn)x=o處

A.極限不存在B.間斷

C.連續(xù)但不可導(dǎo)D.連續(xù)且可導(dǎo)

解：函數(shù)的定義域?yàn)?9,包)，

lim>/x=limifx=/(O)=0，顯然是連續(xù)的；又

XT。*XT。-

工'(0)=lim?一°=lim-^==+oo=/_f(0)，因此在該點(diǎn)處不可

xTTXxT)+4

導(dǎo)。選C.

資料僅供參考

6.設(shè)函數(shù)/(x)=|X以?，其中e(x)在工=0處連續(xù)且

0(0)。0,則:(0)

A.不存在B.等于“(0)

C.存在且等于0D.存在且等于奴0)

解：易知/(0)=0>且

f：(0)=lim'例幻°=limp(x)=0(0),

Xf0-Xx->0*

r(0)=lim1卬⑴一。=lim-^(x)=一°(0)*￡(0)?故尸(0)不存在。

A->0_Xx->0

選A.

7,若函數(shù)y=f(〃)可導(dǎo)，〃=e”,則dy=

A.rowB.re)de)

C.f\x)e^xD."e)]'de‘

解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知：

dy=r(〃)d〃=r(o選B.

8.曲線y有水平漸近線的充分條件是

/(X)

lim/(A)=0?lim/(x)=oo

A?If8BX->00

limf(A)=0?lim/(x)=oo

C?x->0x-D>0

解：根據(jù)水平漸近線的求法可知：當(dāng)

資料僅供參考

lim/(x)=8時，lim-!-=0,即y=0時y=—)—的一^條水

XX…/(X)*f(X)

平漸近線，選B.

9.設(shè)函數(shù)y=x-：sinx,則?=

2dy

A?1——cosyB.1——COSX

22

C.D.

2-cosy2-cosJV

解：對…-3”兩邊同時求微分有:

dy=dx——cosxdx，因此

蟲?選D.

dy2-cosx

10.曲線.=可在點(diǎn)(o,D處的切線斜

1+sinx,x<()

率是

A.oB.1C.2D.3

解：易知/(0)=l,￡(0)=limX+1-1=l,

x->o+x

￡(0)=lim皿士l=lim叫=1,故八0)=]?選B.

KT。-XX”X

11.方程x3+3x+c=0(其中c為任意實(shí)數(shù))在

區(qū)間(Ql)內(nèi)實(shí)根最多有

A.4個B.3個C.2個D.1個

資料僅供參考

解：令/(x)=V+3x+c,則有尸(x)=3x2+3>0,

即函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，故最多只

有一個實(shí)根。選D.

12.若八X)連續(xù)，則下列等式正確的是

A.[J/(x)dx]=/(x)B.=

C.Jdf(x)=/(x)D.d[j/(x)dx]=/(x)

解：B、C的等式右邊缺少常數(shù)C,D

選項(xiàng)是求微分的，等式右邊缺少dx.選A.

13.如果小)的一個原函數(shù)為x-arcsinx,貝!|

?1H---r+C?1—I+C

1+/V17?

C?x-arcsinx+CD?1+,-----+C

解：/(x)的一個原函數(shù)為x-arcsinx,那么

所有的原函數(shù)就是

x-arcsinx+C?因此[/(x)dx=x-arcsinx+C?選c.

14.設(shè)八x)=l,且/(0)=l,則J/*)dx=

A.?cB.—x2+x+C

2

資料僅供參考

+x+CD.

解：因?yàn)閞w=i因此

f

/(x)=jf(x)dx=jdv=x+C9又/(0)=19故

f(x)=x+1?jf(x)dx=j(x+=~x2+x+CB?

20,22

15.Af(_cos/)d/=

drJ$mx

A?-cosxB?cos(sinx)2cosx

C.xcosxD.cos(sinx2)

解：本題是變下限積分的題。利用公

式可知

—[20，"(-cos/2)d/=cos(sinx)2-cosx?選B.

drJSinx

16.J。2x3e-rdx=

Ae1Be0C.l-2e-'DeC

解

j^2x3e-v2dx=-j\2e-v2d(-x2)=-j\2de-x2=-x2e~x2+j^e^dx2

=-娛-，卜?*「=l-2eT.選C.

17.下列廣義積分收斂的是

A.[1—Inxdx

J°xB.JoX\fx

資料僅供參考

C.J*—InxdxD.J；e"Lr

解:A選項(xiàng)中J,lnxdx=JJnxdlnx="iln2x|j)=-oo,

故發(fā)散；

B選項(xiàng)中根據(jù)結(jié)論「總沖，當(dāng)2時發(fā)散，本

題中g(shù)］，故發(fā)散；

c選項(xiàng)中根據(jù)結(jié)論匚島當(dāng)y時發(fā)散，

本題中k=-l,故發(fā)散；

D選項(xiàng)中半=#,故收斂。選D.

18.微分方程魯+井川是

dxdx

A.二階非線性微分方程B.二階線

性微分方程

C.一階非線性微分方程D.一階線

性微分方程

解：最高階導(dǎo)數(shù)是二階導(dǎo)數(shù)，而且不

是線性的。選A.

19.微分方程某虹吧的通解為

dry

22

A.y=cos2x+CB?y=sin2x+C

資料僅供參考

C?y=siiTx+CD?y=cos2x+C

解：這是可分離變量的方程。有

)dy=sinxcosxdx9兩邊同時積分有

^y2=-^sin2x+C*9BPv2=sin2x+C?選B.

20.在空間直角坐標(biāo)系中，若向量”與必軸

和供軸正向的夾角分別為45。和60。，則向量“與

O.,軸正向的夾角為

A.30°B.60°C.45°D.60°

或120。

解：對空間的任意一個向量有

cos2a4-cos2p+cos2/=1，現(xiàn)有a==m，從而解得

46

cosy=±g9因此7為60?；?20°.選D.

21.直線+=1=彳與平面的位置關(guān)

系是

A.直線在平面內(nèi)B.平行

C.垂直D.相交但不垂直

解：直線的方向向量為'{T2,3},平面

資料僅供參考

的法向量為"={2,1,0},且〃/=0,直線上的點(diǎn)（0,1,一2）

不在平面內(nèi)，因此故該直線和平面平行。選

B.

22.下列方程在空間直角坐標(biāo)系中表示的

圖形為旋轉(zhuǎn)曲面的是

22

A.—+—=1B?z=x-y

32

2222

C.y=x-zD.z-x2=2y

解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)，有兩

個平方項(xiàng)的系數(shù)相同，故選C.

23.lim?=

（x,＞'）-＞（1,1）孫一1

A.oB.1C.1D.2

23

解：

lim田二lim（而7）（3+1）=.4」.選8?

（x,＞-）-＞（1,I）Xy-\a，＞'）—?D（孫一1）（J孫+1）（"TLDjw+12

24.函數(shù)Z=f（x,y）在點(diǎn)（x0,%）處可微是f（x,y）在該

點(diǎn)處兩個偏導(dǎo)數(shù)去和后存在的

dxoy

A.充分條件B.必要條件

C.充分必要條件D.既非充分又非

資料僅供參考

必要條件

解：可微能夠退出偏導(dǎo)數(shù)存在，可是

僅有偏導(dǎo)數(shù)存在退不出可微，故是充分而非

必要條件。選A.

25.已知z=x+y+sin(xy)9則類=

dxdy

A.?sin(xy)B?sin(孫)(1+.)

C?cos(x)0—X)Jsin(x)OD?一冷，cos(.yy)

t—=\+ycos(xy);°Z=cos(孫)-xysin⑸)?C?

dxdxdy

26.募級數(shù)復(fù)T〃平的和函數(shù)S(x)為

”=0nl

A?e-vB.e-2xC.D.2e-2r

解：由,可，可知力二史吟

?=0加〃=0加n〃=.00加

選B.

27.F列級數(shù)發(fā)散的是

A.3-4/B.

占(鹿+1)(〃+2)n+\

C.復(fù)-叫D.

iw=,(2n+1)2

解：A選項(xiàng)中一般項(xiàng)趨于7工。，故發(fā)

資料僅供參考

散；

B、C選項(xiàng)是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茨定理，

故收斂；D選項(xiàng)根據(jù)結(jié)論中時收斂，本

n=i〃

題中展|,故收斂。選A.

28.若級數(shù)在點(diǎn)…處條件收斂，則

〃=0

在x=7,x=2,x=3,x=4,x=5中使該級數(shù)收斂

的點(diǎn)有

A.o個B.?個C.2個D.3個

解：該級數(shù)的中心點(diǎn)是2,又在點(diǎn)戶。

處條件收斂，因此能夠確定收斂區(qū)間為(。,4).

故在32,x=3處收斂。選C.

29.若/,是曲線y=d上從點(diǎn)(L1)到(T.1)的一條

連續(xù)曲線段，則曲線積分j,(ey+y-2)dx+(xey+x-3y)dy

的值為

A?e-1+e-4B?-e-1-e-4

?-e-e+4D?0

:P(x,y)=ey+y-29Q(x,y)=xey+x-3y，

資料僅供參考

J+甘,因此該積分與積分路徑無關(guān)。令

dyox

該積分沿直線y="上點(diǎn)(…)到TT)積分，可有

1(e>+y-2)dx+(Aev+x-3y)dy=(e'+北-x-T)dx=-e-1-e+4?

c.

30.設(shè)/=/(x,y)dy+J：dxjy)dy9則交換積

分次序后，/可化為

A?J：d)Jf(x,y)dvB.j；dyj；'f(x,y)dx

C?(x,y)dxD?「dyj；)@)，)dx

解：積分區(qū)域可寫為:

D=|(x,y)|0<x<l,0<y<x2|u1(x,y)|l<x<2,0<y<2-xJ9圖象《

中表示為

由此可知，積分區(qū)域還可表示為

。={(工,)，)忤”1，6"?2一),}.因此積分可表示為

)')讓?選A.

資料僅供參考

二、填空題(每小題2分，共20分)

31.已知f(X-\)=X2-X9則/(?)=?

解：/(x-l)=(x-l)x,/(/)=r(r+D，因此

+\)=x-^\[x?

32?設(shè)函數(shù)f(x)=limfl+—1(x*0)9則/(In2)=______.

…Ii)

解：/(x)=lim9.\/(ln2)=e2,n2=4.

*7

33.如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)〃處可導(dǎo)且/(〃)為f(x)的

極小值，則r(a)=.

解：因?yàn)闃O值點(diǎn)是ra)=o或者廣⑶不存在的

點(diǎn)，現(xiàn)已知函數(shù)/(x)在點(diǎn)a處

可導(dǎo)，因此八4)=0.

34.曲線y=*的拐點(diǎn)是.

解：y=(l-x)e-\<=(_2+工)"'.令y"=0,可得x=2,此時y=搟;

而且當(dāng)，>2時,r>o；當(dāng)皿時，八0.因此拐點(diǎn)為哈.

35.不定積分

資料僅供參考

2

[----\----dx=f(—.....-)dx=—[―d(x-1)-f—tZr=—In|A-~

J-1|—In|x|+C

Jx(x2-l)Jx2-lx2JX2-1X2

36.微分方程—+2^=e-?滿足y（o）=o的特解

dv

為—.

解：原方程對應(yīng)的齊次線性微分方程為

■+2沖=0,可解得V=CM.用常數(shù)

dr

變易法，可求得非齊次線性微分方程的通解

為y=（x+C）e~j2.將y（o）=o代入有c=。.因此對應(yīng)的特

解為y=xe~C.

37.向量a={\,-1,2）在b={0,3,4}上的投影

為—.

ab=-3+S=591?1=\/6,|/?|=59COS(?,Z?)=i-n-rr=-7=9

1111\a\-\b\V6

故向量a在向量b上的投影Piha=\a\cos（a,b）=1.

38.設(shè)方程xy+xz+yz=0所確定的隱函數(shù)為

z=z(x,y)9則旨=____.

OXx=0

產(chǎn)I

解：令F(xyy,z)=xy-\-xz+yz.則有F；=y+z,F；=x+y,因

此

資料僅供參考

導(dǎo)=_烏=_21￡.由于A0，產(chǎn)］時，z=0.代入可知

oxFzx+y

dz.

—=-1?

dxx=o

>=i

22

39.設(shè)積分區(qū)域D為：x+y<4y貝！Jjjdxdy=.

9D

解：,岫=5〃，而積分區(qū)域。表示的是以（0,2）為

D

圓心，2為半徑的圓，因此

S”=44,BPjjdrdy=4萬?

D

40.若（攵>0）,則正項(xiàng)級數(shù)%”的斂

Jl=l

散性為—.

解：lim%=lim牛=%>0,由比較判別法的極限形

n—>30n—>oo1

n

式可知，級數(shù)Jx和

n=lrt=l〃

有相同的斂散性，故正項(xiàng)級數(shù)￡〃”是發(fā)散的。

W?1

三、計(jì)算題（每小題5分，共50分）

41.求極限lim嗎A皿.

XTOe-J

（1八

.一,?sinx\---------1

解：原式=Hm卜灣J

Xf0rJ

資料僅供參考

..sinx1—cosx1

=hm-------------------

JOxxCOSX

sinx..?i-11

=lim--------hm-?hm--------=―?

DxXTOxxfOCOSX2

42.已知參數(shù)方程）x=a(l-sinO（,為參數(shù)）,

y=6?(l-cosz)

求乎

dx-

sb

解：因?yàn)閐-.\=dL-as\nt

dx-dx-acost

dr

43.求不定積分/4心.

解：令向=t,貝！h=*_],且dx=2Mf

于是

原式=2pe'dr=2Pde'=2(次一je'dr)=2(，-l)er+C

|U=2(7x71-l)ex，T7T+C?

44.求]im

x—>01_e*Jo

解：原式二lim卑二.一.

45.求微分方程2暮+哼+3i的通解.

dx~dx

資料僅供參考

解：原方程的特征方程為

2r+4r+3=0

特征方程的根為

r=-\±—i

2

因此原方程的通解為

y=eC(cos——x+C2sin——x?

\/

46.求函數(shù)z(x,y)=y3r2+6%_i2y+10的極值.

解：由仁二解得駐點(diǎn)⑶2)，⑶/

又z.=-2,z/O,z?=6y

對于駐點(diǎn)(3,2),因?yàn)?/p>

A=ZQ.(3,2)=-2<0,3=Zp(3,2)=0,C=z?(3,2)=12

因此AC-B-=-24<0,于是點(diǎn)(3,2)不是函數(shù)的極值

點(diǎn).

對于駐點(diǎn)(3,-2)有

A=z￡3,-2)=-2<0,B=z￡3,-2)=0,C=z”(3,-2)=-12

于是AC-B2=24>0

因此函數(shù)在點(diǎn)(3,一2)處取極大值為

資料僅供參考

z(3,-2)=35.

47.求過點(diǎn)A(2,T7)且與直線/產(chǎn);3T=5平

A+2Z=1

行的直線方程.

解：因?yàn)樗笾本€平行于直線,產(chǎn)=5

x+2z=l

因此所求直線的方向向量為

iJk

s=23-1=6z-5j-3A:={6,-5,-3}

102

由直線的點(diǎn)向式方程可得，所求的直線方程

為

x-2_y+3_z+l

——?

6-5-3

48.求函數(shù)z=arctan—+lnyjx2+y2的全微分.

y

解：由于

dzyxv

-4----------------------------------

ocxx~2+y-o1x~2+y2x2+y2

dz_xy_y-x

dyx2+y2x2+y2x2+y2

因此

.dz.dz.x+y,y-x.

dz=—dx+—ay=-：~^-rdxd--5---z-dy?

dxdy；r+y-x+y

資料僅供參考

49.計(jì)算J]sin"+y2dxdy9其中。為圓環(huán):

7C2<x2+y2<4兀2?

解：在極坐標(biāo)系下，區(qū)域。（如第49題圖

所示）能夠表示為

D={（r,0|0<^<2K,Tt<r<2K}

因此

JIsinJ/2+y&dy=dej"sinrrdr

D

=-2句Xrdcosr

=-2Kfrcosr；，一J2"cosrd/*j=-6n2?

50.求基級數(shù)邙笆的收斂域.

"=0"〃+1

1_

解：因?yàn)?=年=lim瘡=1

J.+l

因此原級數(shù)的收斂半徑為

資料僅供參考

也就是，當(dāng)即l<x<3時，原級數(shù)收斂.

當(dāng)I時，原級數(shù)為名與工是交錯級數(shù)且滿足

71=0+1

11

limun=limJ—=0,因此它是收

=下耳,不存=%“-Kon-KcyJn+\

斂的;

當(dāng)』時，原級數(shù)為這是一個p=R

n=ONH+l2

的”級數(shù)，因此它是發(fā)散的；

因此，原級數(shù)的收斂域?yàn)閁,3).

四、應(yīng)用題(每小題6分，共12分)

51.求函數(shù)小)」在…時的最大值，并從數(shù)

列1,五,爬9^99標(biāo)，中選出最大的一

項(xiàng)(已知夜<內(nèi)).

解：因?yàn)槭?二］.匕瑪

I)Vx)X

令八x)=0,解得唯一駐點(diǎn)x=e.

又因?yàn)樵趨^(qū)間(0,e)內(nèi)/(x)>0,/(X)嚴(yán)格單調(diào)

增加；在區(qū)間(e,+⑼內(nèi)小)<0,f(x)嚴(yán)格單調(diào)減少;

而/⑴又在區(qū)間(0,+8)連續(xù)，因此/(幻在…處取

資料僅供參考

最大值，

已知夜＜冷，由上知冷＞物＞…＞宿＞…于是數(shù)

列的第三項(xiàng)6是此數(shù)列中最大的一項(xiàng).

52.過點(diǎn)“(3,0)作曲線y=