第1節(jié)兩個計數(shù)原理、排列與組合1.掌握分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,理解兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系,能運用兩個計數(shù)原理分析并解決一些簡單的實際問題.2.理解排列、組合的概念,掌握排列數(shù)公式和組合數(shù)公式,能利用排列與組合的知識解決簡單的實際問題.1.兩個計數(shù)原理兩個計數(shù)原理目標策略過程方法總數(shù)分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法N=種不同的方法分步乘法計數(shù)原理需要兩個步驟做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法N=m×n種不同的方法分類加法計數(shù)原理中,完成一件事的方法屬于其中一類,并且只屬于其中一類.分步乘法計數(shù)原理中,各個步驟相互依存,步與步之間“相互獨立,分步完成”.2.排列與組合排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義排列:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列

組合:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合

排列數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號表示

組合數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號表示

公式排列數(shù)公式Anm組合數(shù)公式Cnm=A性質Ann=0!=1CnCnm=;Cnm備注n,m∈N*且m≤n1.解決排列、組合問題的五大技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準確分步.(3)排列、組合混合問題要先選后排.(4)相鄰問題捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.2.三個常用公式(1)Anm=n(2)(n+1)!-n!=n·n!.(3)kCnk=n1.已知某公園有4個門,從一個門進,另一個門出,則不同的走法的種數(shù)為()A.16 B.13 C.12 D.102.6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144 B.120C.72 D.243.(選擇性必修第三冊P11習題T2改編)如圖,從A城到B城有3條路,從B城到D城有4條路;從A城到C城有4條路,從C城到D城有5條路,則某旅客從A城到D城共有條不同的路線.

4.把5件不同產品擺成一排,若產品A與產品B相鄰,且產品A與產品C不相鄰,則不同的擺法有種.

分類加法、分步乘法計數(shù)原理1.如果一條直線與一個平面平行,那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”.在一個長方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數(shù)是()A.60 B.48 C.36 D.242.現(xiàn)有5種不同顏色的染料,要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色,要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色,則不同的涂色方法的種數(shù)是()A.120 B.140 C.240 D.2603.若橢圓x2m+5,6,7},則這樣的橢圓的個數(shù)為.

4.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B為集合M的非空子集,若對?x∈A,y∈B,x<y恒成立,則稱(A,B)為集合M的一個“子集對”,則集合M的“子集對”共有個.

1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,都是關于做一件事的不同方法的種數(shù)問題,區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了才算完成這件事.2.分類標準要明確,做到不重復不遺漏.3.混合問題一般是先分類再分步.4.切實理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步進行.排列問題1.某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.1682.(多選題)把5件不同產品A,B,C,D,E擺成一排,則()A.A與B相鄰有48種擺法B.A在C的左邊有60種擺法C.A,B相鄰又A,C相鄰,有12種擺法D.A與B相鄰,且A與C不相鄰有36種擺法3.6名同學站成1排照相,要求同學甲既不站在最左邊又不站在最右邊,共有種不同站法.

求解排列應用問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列,同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉化的方法組合問題1.(多選題)(2021·湖北麻城高三聯(lián)考)某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目,下列說法錯誤的是()A.若任意選擇三門課程,選法總數(shù)為AB.若物理和化學至少選一門,選法總數(shù)為CC.若物理和歷史不能同時選,選法總數(shù)為C73D.若物理和化學至少選一門,且物理和歷史不同時選,選法總數(shù)為C212.A,B,C,D四個家庭各有2個孩子共8個孩子,他們準備分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩,每車限坐4名(乘同一輛車的4個孩子不考慮位置),其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車,則乘坐甲車的4個孩子恰有2個來自于同一個家庭的乘坐方式共有()A.18種 B.24種 C.36種 D.48種3.某校有4個社團向高一學生招收新成員,現(xiàn)有3名同學,每人只選報1個社團,恰有2個社團沒有同學選報的報法有種(用數(shù)字作答).組合問題的2種題型及解法題型解法“含有”或“不含有”某些元素的組合“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取“至少”或“至多”含有幾個元素的組合解這類題型必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法分類復雜時,考慮逆向思維,用間接法處理排列與組合的綜合問題角度一整體均分問題國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教,現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教,有種不同的分派方法.

本題屬于整體均分問題,解題時要注意分組后,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以An角度二部分均分問題某人有中國古代四大名著:《三國演義》《西游記》《水滸傳》《紅樓夢》各一本,他要將這四本書全部借給三位同學,每位同學至少一本,但《西游記》《紅樓夢》這兩本書不能借給同一人,則不同的借法有種.

對于部分均分問題,解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個數(shù)相等,則分組時應除以m!,一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù).角度三不等分組問題若將6名教師分到3所中學任教,一所1名,一所2名,一所3名,則有種不同的分法.

對于不等分組問題,只需先分組,后排列,注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等,所以不需要除以全排列數(shù).[針對訓練]1.某校高二年級共有6個班級,現(xiàn)從外地轉入4名學生,要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名,則不同的安排方法種數(shù)為()A.A62CC