江蘇省鹽城市東臺市第二教育聯(lián)盟2024年中考一模

九年級數學試卷

（分值：150分時間：120分鐘）

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.5的相反數是（）

A.-2B.-1C.；D.2

【答案】C

【解析】

【分析［根據和為0的兩個數是互為相反數即可求解.

【詳解】解：根據題意可知：的相反數為

故選：C.

【點睛】本題考查了相反數的定義，熟記定義是解題的關鍵.

2.已知二元一次方程2x+3y=3,其中x與），互為相反數，則x,），的值為（）

A.1=-4,y=4B.x=4,y=-4C.x=3,>=-3D.x=-3,y=3

【答案】A

【解析】

【分析】x與1y互為相反數，那么然后聯(lián)立解方程組即可求解.

【詳解】解：由題意得：rh=0，即y=r,

代人已知方程得：2x-3x=4,

解得：x=-4,

則y=4.

故選：A.

【點睛】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解本題的關鍵.

3.下列運算中，計算正確的是（）

A.trr+nt'=2/??5B.（-

C.（a—b）—ci~~b~D.^/6-j-=\/3

[]D

【解析】

【分析】本題考查了合并同類項，積的乘方，完全平方公式，二次根式的除法運算，熟練掌握運算法則和公

式是解答本題的關鍵.根據合并同類項，積的乘方，完全平方公式，二次根式的除法法則逐項分析即可.

【詳解】解：A.雨2與不是同類項，不能合并，故不正確：

B.(-2/)=-8a",故不正確；

C.(6Z-Z?)2=a2-2ab+b2,故不正確；

D.+=正確；

故選D.

4.實數。、〃、c在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子中正確的有()

cba

」?」」____________________?+i+」a

-2-10123

①〃+c>0；@a+b>a+c\③be<ac；?ab>ac.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了實數與數軸，不等式的性質，解題的關鍵是利用數軸確定“、b.。的取值范

圍.先由數軸可得且〃>|d，再判定即可.

【詳解】解：由數軸可得a>〃>O>c，月.〃>M，

???Oa+c>0,正確；

@a+b>a+c,正確；

由。>b,c<()得到〃c>ac,③錯誤;

?ab>ac,正確；共3個正確.

故選：C.

5.如圖，己知在平面直角坐標系中，6c的頂點A(0,3),6(3,0),ZA6C=90°,函數

4

y=—(x>0)的圖象經過點。，則4c的長為()

.V

【答案】B

【解析】

【分析】如圖(見解析)，過點C作軸于點。，根據點46的坐標可得

OA=OB=3,NO84=45。，從而可得NC3Z)=45。，再根據等腰直角三角形的判定與性質可得

BD=CD,設3D=Cr>=〃，從而可得點C的坐標為C(3+a,a),然后利用反比例函數的解析式可求出

。的值，最后利用兩點之間的距離公式即可得.

【詳解】如圖，過點。作CO_Lx軸于點。，

???A(0,3),4(3,0),

:.0A=0B=3,

.?.RtcAOB是等腰直角三角形，/O84=45。，

???ZA8C=90。，

:"CBD=180°-NOBA-ZABC=45°,

/.RJBCD是等腰直角三角形，

.\BD=CD,

設BD=CD=a,則。。=03+30=3+4,

/.C(3+a,a),

44

將C(3+4a)代入y=—(x>0)得：——=a,

解得。=1或a=Y<0(不符題意，舍去)，

C(4,l),

由兩點之間的距離公式得：AC=7(4-0)2+(1-3)2=2>/5?

故選:B.

【點睛】本題考查了反比例函數的幾何應用、等腰直角三角形的判定與性質、兩點之間的距離公式等知識

點，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質是解題關鍵.

6.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F為CD邊的兩個三等分點，連接AF、BE交于點G,則

C.1：9D.9：1

【答案】C

【解析】

【詳解】【分析】先證明△EFGS/^BAG,然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可解決問題.

【詳解】???四邊形ABCD是平行四邊形,

ACD=AB,CD〃AB,

VDE=EF=FC,

AEF：AB=1：3,

VCD#AB,

/.△EFG^ABAG,

?S^EFG'EF、

??~=-，

q

'BAG同9

故選C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，熟練掌握和靈活運用

平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

7.如圖，在正方形A3CO中，￡尸分別是A3、8C的中點，CE交DF于點、G,連接AG.下列結

論：①CE=DF；②CE上DF；③/E4G=30。；④ZAGE=/CDF.其中正確的是()

A①②B.??C.①②④D.?@@

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質等知識.此題綜合性很強，

難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用.

根據正方形的性質得到AB=3C=CO=AD,N3=NBCO=9()。，得到,根據

22

全等三角形的性質得到/上C4=/C"",C‘￡="",故①正確；求得NCGO=90。，根據垂直的定義得到

CE1DF,故②正確；推導出△ADG不是等邊三角形，進而得到NE4GW30。，故③錯誤；延長CE■交

ZM的延長線于“，根據線段中點的定義得到AE=BE,根據全等三角形的性質得到3C=A3=AO,

由AG是斜邊的中線，得到AG=LO〃=A。，求得NA￡>G=NAG。，根據余角的性質得到

2

ZAGE=/CDF.故④正確.

【詳解】解：???四邊形A3C。是正方形，

AAB=BC=CD=AD.ZB=/BCD=90°,

???旦尸分別是4民8。的中點，

???BE=LAB,CF='BC,

22

???BE=CF,

在1與二DW中，

BC=CD

<ZB=/BCD,

BE=CF

,「CBEADCF(SAS),

???乙ECB=4CDF,CE=DF,故①正確;

??,4BCE+/ECD=90。,

???Z￡CD+ZC￡)F=90%

???ZCGD=90°,

:?CE±DF,故②正確：

CF=-BC=-CD

22t

???/CD~30。，

/.ZADG^60°,

???AD=AG,

???AsADG不是等邊三角形，

???/￡4Gw30。，故③錯誤;

??,CE1DF,

/.ZEGD=90°,

???點我是42的中點，

:?AE=BE，

???/AHE=NBCE,ZAEH=/CEB、AE=BE,

AiAEH^BEC(AAS),

???BC=AH=AD,

???AG是斜邊的中線，

/.AG=-DH=AD

29

ZADG=ZAGD,

QAAGE+ZAGD=90。,/CDF+ZADG=90°,

:.扭GE=/CDF.故④正確:

故選：C.

8.如圖，拋物線y=ad+公+。經過點4一1,0）、8Q〃,0）,且1<加<2,有下列結論：①人<0；②

（2、內、

a+〃:>0；③0<a<—c；④若點在拋物線上，則X>>2?其中，正確的結論有

（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【解析】

【分析】拋物線），=a?+法+c經過點4—1,0）、8（根,0）,且1<機<2,,可以得到。>0,

0<-—<-,從而可以得到。的正負情況，從而可以判斷①；繼而可得出-/?<。，則。+〃>0,即可

2a2

判斷②；由圖象可知，當x=T時，），=0,即a-b+c=0,所以有。+。=〃，從而可得出

0<a<-c,即可判斷③；利用:一（一弓］=：一:，再根據0<-二<］，所以

2I3J322a2

b25b

<,從而可得必<必，即可判斷④?

2aI3J3五

【詳解】解:???拋物線丁二奴？+法+C的圖象開口向上,

4>0，

???拋物線〉=改2+岳:+C經過點4一1,。）、B（m,0）,且

.八bl

??0<----<一，

2a2

?"<0,故①正確;

*.*0<-----<—,6Z>0?

2a2

/.-b<a

+故②正確;

由圖象可知，當工二-1時，y=0,即。一人+。＜0,

:?a+c=b

???〃>o,〃<0,

??.()<〃<-c,故③正確;

11

22

???拋物線＞=內2+公+。的圖象開口向上，

???MV%，故④錯誤?

???正確的有①②⑤共3個，

故選:B.

【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，二次函數的性質，熟練掌握根據二次函數圖象性質是解題

的關鍵.

二、填空題(每小題3分，共24分)

9.若x+y=3,y=2,則fy+x)，2的值是.

【答案】6

【解析】

【分析】先提公因式分解原式，再整體代值求解即可.

【詳解】解：x2y+xy2=x)^+y),

?：x+y=3,y=2f

:.x=1?

，原式=1x2x3=6,

故答案為：6.

【點睛】本題主要考杳因式分解，熟練掌握因式分解方法，利用整體思想方法是解答的關鍵.

10.紅細胞的直徑約為0.0000077m,0.0000077用科學記數法表示為.

【答案】7.7xl(y6

【解析】

【分析】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為4X10"的形式，其中修時<10,〃

為整數，表示時關鍵要正確確定”的值以及〃的值.科學記數法的表示形式為ax10〃的形式，其中

1<|5|<10,〃為整數.確定〃的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小

數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，〃是正數；當原數的絕對值vl時，〃是負數.

【詳解】解：0.0000077=7.7xlO*6.

故答案為：7.7x10-6

11.已知關于X的方程二匚"=1的解是正數，則加的取值范圍為.

x-\

【答案】m>1且mH2.

【解析】

【分析】先解關于x的分式方程，求得x的值，然后再依據“解是正數”建立不等式求m的取值范圍.

【詳解】原方程整理得：2x-m-x-l

解得：x=m-l

因為x>0,所以即m>l.①

又因為原式是分式方程,所以,x用，即所以m#2.②

由①②可得，則m的取值范圍為in>1且m.2.

故答案為：m>l且m，2.

【點睛】考核知識點：解分式方程.去分母，分母不等于。是注怠點.

12.如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30。，測得底部。的俯角為60。，此時航拍

無人機與該建筑物的水平距離A。為90米，那么該建筑物的高度8c約為米.（精確到1米，

參考數據：6”73）

【答案】208.

【解析】

【詳解】試題解折；由題意可得：320。=變=￡2=也，

AD903

解得：BD=30G，

同理，DC=90V3

故該建筑物的高度為：BC=BD+DC=\2()43.

13.如圖，已知圓柱底面周長為4,高為2,在圓柱的側面上，過點A和點。鑲嵌一圈金屬絲，則這圈金

屬絲的周長最小值為

【答案】4人

【解析】

【分析】把圓柱的側面展開，得到矩形，根據勾股定理求解即可:

【詳解】解：把圓柱的側面展開，得到矩形，如下圖：

A

則這圈金屬絲的周長最小值為2AC的長度;

???圓柱的底面周長為4,高為2,

??.A3=2,BC=BC=2

???AC=VF+27=25/2

則這圈金屬絲的周長最小值為4行

故答案為：472

【點睛】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，正確運用勾股定理進行求解.

14.如圖，在平面直角坐標系中，已知點4(1,0),點3(0,-3),點。在x軸上，且點。在點A右方，連接

AB，BC,若tan/A3C=；,則點。的坐標為

【解^5]

【分析】根據已知條件得出NA30=NA8C,根據等面積法得出生=也，設。(〃7,0),則

OAOBv7

AC=m-\,進而即可求解.

【詳解】解：二?點4(1,0),點月(0,—3),

OA=1,OB=3,

tanZOBA=-,

3

：lan/ABC二一，

3

???ZABO=ZABC,

過點A作ADSAC于點

VAOrBO.ADrBC,A6是/06c的角平分線,

**?AO=AD=1

-OAxOB-OBxOA

..3cA86>__2__________2________

上ACXOB-BCXAD

22

?A"_CB

''~0A~~0B

設。（九0）,則AC=〃?-1,BC=V32+m2

.m-\A/32+m2

??----二---------

13

9

解得：m=—或“2=0（舍去）

4

???C件。）

故答案為：

【點睛】本題考查了正切的定義，角平分線的性質，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵.

15.如圖，以AB為直徑的半圓。內有一條弦AC,P是弦AC上一個動點，連接BP,并延長交半圓。于點

【解析】

【分析】過。作OE_LAC于E,過。作。尸_LAC于扛作OG_L￡>E于G,連接0。，BC,得到8C〃

DE,根據勾股定理得到BC7AB2-AC?=3,根據相似三角形的性質即可得到結論.

【詳解】解：如圖，過。作。￡_LAC于E,過。作OFJ_AC于F,作OG_LO￡于G,連接0。，BC,

AB

G

則BC〃?！?/p>

??N8是。。的直徑，

；?ZACB=90°,

VZC=4,AB=5,

:.BC=JAB?-AC?=3，

,DE〃BC,

:,APDEs4PBC,

DPDE

BPBC

■:OFX.AC,

：,AF=CF,

13

0F=—BC=—,

22

：￡OFE=NFEG=ZG=90°,

???四邊形O正G是矩形,

：.EG=OF=-,

2

5

'：DE+EG=DG<OD=-,

2

：.DE<\,

.DPDE1

??---=----w-,

BPBC3

故卷色的最大值是—.

J

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關

鍵.

16.如圖，正方形ABC。中，點E是CD邊上一點，連結BE,以BE為對角線作正方形BGEE邊E尸與正

方形48CO的對角線B。相交于點”，連結4片有以下五個結論：①/ARF=/DRE；②

.ABFSLDBE；?AF±BD；④2BG?=BH?BD；⑤若CE:￡>E=1:3,則8〃：OH=17:16,你

認為其中正確的是_____（填寫序號）

DEC

【答案】①②③?

【解析】

【分析】①四邊形尸和四邊形A4CO均為正方形，BD,8石是對角線，得/44。=/口/=45°,根

據等式的基本性質確定出/A班'=/。8七：②再根據正方形的對角線等于邊長的0倍，得到兩邊對應

成比例，再根據角度的相減得到夾角相等，利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可判斷；④根

據兩角相等的兩個三角形相似得到△砧〃從而得到比例式，根據代換即可作出

判斷；③由相似三角形對應角相等得到NA4"=N8。E=45°,可得出A/在正方形A8CO對角線上，根

據正方形對角線垂直即可作出判斷.⑤設C￡=x,DE=3x,則BC=CQ=4x,結合用?=/汨求出

DH,即可判斷.

【詳解】解：①???四邊形BGE/和四邊形A8C7）均為正方形，BD,BE是對角線,

/.ZABD=ZFBE=45°,

又1?ZABF=450-ZDBFtNDBE=45。一/DBF,

：?ZABF:ZDBE，

，選項①正確；

②1?四邊形3G￡/J和四邊形44C0均為正方形，

：.AD=AB,BF=BE,

???8。=&4B,BE=&8F,

出=里=叵

ABBF

乂?：NABF=/DBE，

???&ABFs,.DBE,

，選項②正確;

④：四邊形BGE尸和四邊形ABCZ）均為正方形，BD,BE是對角線,

:?/BEH=NBDE=450,

又?：NEBH=NDBE,

:.區(qū)EBHs叢DBE,

BDBEe

——=——，即niIBU=BH?BD,

BEBH

又,：BE=6BG,

???2BG2=BH?BD，

???選項④確；

③由②知：&ABFSQBE，

乂1?四邊形A4CO為正方形，3。為對角線,

：.^BAF=ZBDE=45°,

???4尸在正方形另外一條對角線上,

：.AF±BD,

???③正確，

@VCE:DE=1:3,

???設CE=x,DE=3x,則8C=CO=4x,

???BE=dcE?+3c2=&+（旬2=/x，BD=46X

?:BU=BH*BD,

2

??.BH=Q=T]7x=1—7夜X,

BD限叵x8

WBH=4幾一吟a呼

???BH:DH=17:15,

故⑤錯誤，

綜上所述：①②?④正確，

故答案是：①②③

【點睛】此題考杳了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及正方形的性質，熟練掌握

相似三角形的判定和性質是解本題的關鍵.

三、解答題

1Y1

17.（1）計算：卜2|+2sin45c—-+V18

3>

x3

（2）解方程：^—=2———

2x—11—2A

【答案】⑴5+4后⑵k-g

【解析】

【分析】（I）先根據絕對值的意義，特殊角的三角函數值，負整數指數箱的意義，二次根式的性質化簡，再

根據實數混合運算的順序計算;

（2）兩邊都乘以（21-1）化為整式方程求解，然后驗根即可.

2

=2+員3+3近

=5+4夜

(2)止I"一盒

兩邊都乘以（2元一1）,得

x=2（2x-l）+3

解得x=--

3

檢驗：當天二?，時，2x—lw0,

3

???刀二■《是原方程的解.

3

【點睛】本題考查了對值的意義，特殊角的三角函數值，負整數指數哥的意義，二次根式的性質，以及分

式方程的解法，熟練掌握特殊角的三角函數值、二次根式的性質以及分式方程的解法是解答本題的關鍵.

4（x+l）<7x+13

18.解不等式組（x-8，并寫出該不等式組的整數解.

x-4<----

3

【答案】-3<x<2整數解有一3、一2、一1、0、1

【解析】

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，先分別解幾個不等式，然后把它們的解集的公共部分作為原不等

式的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中間，大于小的小于大的為空集”，是解題的

關鍵；

分別解出兩不等式的解集，再根據大于小的小于大的取中間得到不等式組的解集即可求解.

4(x+l)<7x+13@

【詳解】解:

x-4<1②

解不等式①得XN-3

解不等式②得XV2,

則不等式組的解集為：-3〈XV2,

.??天等式組的整數解有：一3、一2、一1、0、1

（4}/

19.先化簡，再求值：〃+2+---其中。=3.

Ia-2）〃-4。+4

.心心、〃一21

【答案】-----，-

a3

【解析】

【分析】先將除法變成乘法，再把分子、分母進行化簡，最后把得數代入即可求得結果.

【詳解】解：原式:（a2）（a+2）+4.^.

a-26r-4。+4

:/（〃2）2

4—2a3

a-2

a

代入a=3,原式=’.

3

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，解題時要注意把分式化到最簡，再把得數代入是解題的關鍵.

20.某校九年級舉辦“自強不息?百題闖關”活動，分為自強賽和不息賽.已知年級所有學生都分別參加

了兩個階段的活動.為了解年級活動情況，現在隨機抽取〃名學生，將他們兩次得分情況分別按以下六組

進行整理（得分用x表示）；

A：70Vx<75,B：75<x<80,C：80<x<85,

D：85<x<90,E：90<x<95,F：95<x<100,

并繪制自強賽測試成績頻數分布直方圖和不息賽測試成績扇形統(tǒng)計圖，部分信息如F：

86,85,87,86,85,89,88.

請根據以上信息，完成下列問題：

（1）n=,a=；

（2）不息賽測試成績的中位數是

（3）若測試成績不低于90分，則認定該學生獲得“闖關之星”稱號,請說明在抽取的〃名學生中，自強

賽和不息賽同時獲得“闖關之星”稱號的人數至多是多少？并給出理由.

【答案】（1）20,4

（2）86.5

（3）自強賽和不息賽同時獲得“闖關之星”稱號的人數至多是II人.

【解析】

【分析】（1）根據不息賽。等級的人數以及所占比例可求得樣本容量〃，再用樣本容量減去自強賽其他等級

的人數即可求得。的值；

（2）根據中位數的定義即可求解；

（3）求出自強賽和不息賽同時獲得“闖關之星”稱號的人數和即可.

【小問1詳解】

解：〃=7?35%=20,

20-1-2-3-6

a=-------------------=44，

2

故答案為:20,4：

【小問2詳解】

解：不息賽人等級的人數為：20x5%=1（人）；

8等級的人數為：20x5%=l（人）；

C等級的人數為：20x35%=7（人）：

。等級的人數為：20x20%=4（人）；

將抽取的20名學生的成績從小到大排列，處于中間位置的兩個數的平均數為吃咆=86.5,

2

故答案為：86.5

【小問3詳解】

解：20X*+20X（1-5%-5%-20%-35%）=4+7=11（人）；

答：自強賽和不息賽同時獲得“闖關之星”稱號的人數至多是11人.

【點睛】本題考查了頻數分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖，掌握“頻率二頻數+總數”是正確解答的前提.

21.如圖，點￡是矩形ABC。的邊8C上的一點，且A￡=AO.

（1）尺規(guī)作圖（請用2B鉛筆）：作上ZME的平分線A尸，交。。的延長線于點八連接D尸.（保留作

圖痕跡，不寫作法）；

（2）試判斷四邊形AEFD的形狀，并說明理由.

【答案】（1）見解析（2）四邊形是菱形，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據題意結合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；

（2）根據矩形的性質和平行線的性質得出〃4/=NA莊，結合角平分線的定義可得NE￡4=NE4尸，則

AE=EF，然后根據平行四邊形和菱形的判定定理得出結論.

【小問1詳解】

四邊形AE/7）是菱形：

理由：???矩形A8CO中，AD//BC,

，ZDAF=ZAFE,

???AF平分ND4E,

???ZZMF=ZE4F,

；?ZEFA=NEAF,

??Ah=",

VAE=AD,

:.AD=EF,

AD//EF，

???四邊形AEFD是平行四邊形，

XVAE=A￡＞，

???平行四邊形AEFD是菱形.

【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定，平行四邊形

的判定以及菱形的判定等知識，熟練掌握相關判定定理和性質定理是解題的關鍵.

22.如圖，己知4（一3,2）,8（幾一3）是一次函數廣依+力的圖象與反比例函數）=竺的圖象的兩個交點.

X

（1）求反比例函數的解析式；

（2）求AAOB的面積；

（3）在坐標軸上是否存在一點R使AAOP是等腰三角形？直接寫出點P的坐標.

【答案】（1）y=~-

x

（2）1

(3)（一6,0乂—厄0卜50]/,0）（0,4乂0,呵（0,一呵（0,

【解析】

【分析】（1）先把4（—3,2）代入y=%求得，〃的值即可；

X

（2）把3（〃,—3）代入反比例函數的解析式求得〃，最后把A,B兩點代入>=依+方即可求得一次函數解析

式，再利用一次函數的解析式求得點。的坐標，利用即可求解;

（3）分三種情況求解：①當OP=04時，②當AP=AO時，③當PA=P。時.

【小問1詳解】

???點A（—3,2）在反比例函數y=%的圖象上，

X

:.m==-3x2=-6,

???反比例函數的解析式為），二一一，

x

【小問2詳解】

?:點5（—3）在）,=—上，

X

n=2>

???4（-3,2）,3（2,-3）都在一次函數尸依+〃的圖象上，代入得:

一3攵+/?=2

2k+b=—3'

解得

???一次函數的解析式為y=-X-1；

如圖1,

/.C(-hO),

???OC=1,

?%的坐標為(—3,2),8的坐標為(2,-3),

SgOB~SzMOC+S&B0C

二OCIxd+；OC|%|

J

=lx1x(2+3)

J

5

=—?

9，

J

【小問3詳解】

①當。。=。4時,

???A（—3,2）,

22

；?OP=OA=A/（-3-0）+（2-0）=V13,

.^（713,0）,^（0,713）,^（-713,0）,^（0,-V13）：

???A（-3,2）,

???OE=2,

???0^=4,

A/?（0,4）.

同理可求乙（-6,0）；

③當/%=尸。時

設6（o，M，

則（一3_0）2+（2_〃?）2=〃?2,

解得m=u,

4

同理可求R--,0

kO

綜上可知，點P的坐標為（―6,0）卜舊,0）卜石,01（內,0）（0,4乂0,舊）（0,-加）［0，1）.

【點睛】此題考查了待定系數法，一次函數與反比例函數的交點，一次函數與坐標軸的交點，三角形的面積

公式，等腰二角形的性質，勾股定埋等知識，用分類討論和方程思想解決問題是解本題的關鍵.

23.如圖，在一ABC中，AB=AC,以48為直徑的C）O交BC于點。，過點。作比'人AC于點E,

交AB的延長線于點E

（I）判斷直線OE與二。的位置關系，并說明理由;

（2）如果A8=5,BC=6,求OE的長.

【答案】（1）相切，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，證明垂直即可.

(2)根據勾股定理，三角形面積不同表示法，計算即可.

【小問1詳解】

相切，理由如下：

連接AD,OD,

1?為。。的直徑,

,ZADB=90°.

:.AD1BC.

???AB=AC,

：.CD=BD=-BC.

2

'：OA=OB.

：,OD//AC.

:.NODE=NCED.

DE，AC,

AZODE=ZCED=90°.

IODIDE.

DE與。。相切.

【小問2詳解】

.由（1）知NADC=90。，

，在Rt二AOC中，由勾股定理得

AD=yjAC2-CD2=^AC2-=A/52-32=4.

VS=-2A2D?CD=-ACRE,

Z.—x3x4=—x5xDE.

22

DE=—.

5

【點睛】本題考查了切線的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，中位線定理，

三角形面枳計算，熟練掌握切線判定和勾股定理，中位線定理是解題的關鍵.

24.為積極響應州政府“悅享成長?書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，困活動需

要，計劃給每個學生購買一套服裝.經市場調查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男

裝與購買5套女裝的費用相同.

（1）男裝、女裝的單價各是多少？

（2）如果參加活動的男生人數不超過女生人數的;，購買服裝的總費用不超過17000元，那么學校有幾

種購買方案？怎樣購買才能使費用最低，最低費用是多少？

【答案】（1）男裝單價為100元，女裝單價為120元.

（2）學校有11種購買方案，當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元

【解析】

【分析】（1）設男裝單價為％元，女裝單價為y元，根據題意列方程組求解即可；

⑵設參加活動的女生有〃人，貝!男生有（150-。）人，列不等式組找到。的取值范圍，再設總費用為卬元,

得到w與〃的關系，根據一次函數的性質可得當。取最小值時卬有最小值，據此求解即可.

【小問1詳解】

解：設男裝單價為x元，女裝單價為y元,

x+y=220

根據題意得:

6x=5y

x=100

解得：

y=120

答：男裝單價為100元，女裝單價為120元.

【小問2詳解】

解：設參加活動的女生有。人，則男生有（150-。）人,

2

150—。W—ci

根據題意可得彳3,

120?+100（150-?）＜17000

解得：90<?<100,

???a為整數,

???〃可取90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,一共11個數，

故一共有11種方案，

設總費用為卬元，則卬=120。+100（150—。）=15000+20。，

V20>0,

二當a=90時，卬有最小值，最小值為15000+20x90=16800（元）.

此時，150—〃=60（套）.

答：當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元.

【點睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，找到題中的等量關系或不等關系是解題的

關鍵.

25.如圖，拋物線），=一元2+版+￡經過氏一1,0）,以0,3）兩點，并交x軸于另一點8,點M是拋物線的頂

點，直線4例與軸交于點。.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）若點”是x軸上一動點，分別連接M",DH,求MH+O”的最小值；

（3）若點尸是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q,使得以D,M,P,Q為頂點的四邊形是平

行四邊形？若存在，請章琰寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）），=一/+21+3

⑵A/37

（3）存在，。（1,3）或0（1,1）或2（1,5）

【解析】

【分析】（1）待定系數法求出函數解析式即可;

⑵作點。關于K軸的對?稱點3,連接DM，與X軸的交點即為點H,進而得到例〃+￡)〃的最

小值為DM的長，利用兩點間距離公式進行求解即可；

(3)分DM,DP，MP分別為對角線，三種情況進行討論求解即可.

【小問I詳解】

解：???拋物線y=-x2+"+c,經過4(-1,0),。(0,3)兩點，

-l-b+c=0[b=l

l,解得：〈

[c=3c=3

y=—x~+2x+3；

【小問2詳解】

,**y=—x~+2.x+3=—（x-1）~+4,

設直線AM：＞=依+皿％。。)，

-k+"2=0k=2

則："=4’解得：

in=2

/.AM:y=2x+2,

當x=0時，y=2,

???D(0,2)；

作點。關于x軸的對稱點次，連凄DM,

則：Z7(O,-2),MH+DH=MH+UHNlyM，

???當M,H,Df三點共線時，MH+DH有最小值為DM的長,

V/y（0,-2）,M（1.4）,

:.+(4+2『二歷,

即：的最小值為：^37

【小問3詳解】

解：存在;

y=-x2+2x4-3=+4，

，對稱軸為直線x=l,

設P(p,。，(2(1,/?),

當以。，M,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形時:

l+p=0+l

①DM為對角線時：

f+〃=4+2'

當p=0時，，=3,

〃=3,

.-.2(1,3)；

0+〃=1+1

②當。產為對角線時：＜

2+f=4+〃'

當〃=2時，/=-22+2x2+3=3,

...〃=1,

???2(1,1)；

1+〃=0+1

③當MP為對角線時：

4+Z=2+〃

當「=0時，r=3,

n=5

Ae(l,5)；

綜上：當以Q,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，Q（l,3）或Q（l,l）或Q（l,5）.

【點睛】本題考查