專題13幾何綜合題(解答題25題，壓軸題)

一、解答題

1.(2024?上海寶山?統(tǒng)考一模)如圖，已知5c中，AI3=AC=\,。是邊AC上一點，且AO,過點C作CE〃A8,

并截取CE=A。，射線AE與40的延長線交于點尸.

BC

(I)求證：AF2=DF?BF;

⑵設(shè)AD=x,DF=y,求＞與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如果△八。下是直角三角形，求￡＞尸的長.

2.(2024.上海奉賢?統(tǒng)考一模)在直角梯形A8CD中，AD//BC,ZB=90°,AD=6,A8=4,BC＞AD,NAOC的

平分線交邊3c于點￡,點尸在線段OE上，射線C/與梯形A8CQ的邊相交于點G.

4

(1)如圖1,如果點G與A重合，當(dāng)tan/8c§時，求8E的長；

&G)n

(2)如圖2如果點G在邊4。上，聯(lián)結(jié)BG,當(dāng)Z)G=4,且VCGBsV84G時，求的zNBC。的值;

圖2

(3)當(dāng)尸是OE中點，且4G=1時，求CD的長.

3.(2024?上海松江?統(tǒng)考一模)在.ABC中，AC=8C.點。是射線AC上一點(不與4、C重合)，點尸在線段8C

上，直線。尸交直線A8于點E,CD?=CFCB.

D

(1)如圖，如果點。在AC的延長線上

①求證：DE=BD；

②聯(lián)結(jié)CE,如果CE//BD,CE=2,求E/的長.

(2)如果￡>F:OE=1:2,求：勺值.

4.(2024?上海青浦?統(tǒng)考一?模)在4ABe中，NACB=90。，AC=6,BC=8.點。、E分別在邊AB、BC±,連

接ED,將線段ED繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段EF.

圖1圖2圖3

(I)如圖I,當(dāng)點E與點C重合，EDJ.AB時，AF與ED相交于點O,求AO：O尸的值;

(2)如圖2,如果AB=5BD,當(dāng)點4、E、尸在一條直線上時，求BE長；

(3)如圖3,當(dāng)DA=DB,CE=2時，連接AF,求N'AFE的正切值.

5.(2024?上海崇明?統(tǒng)考一模)已知RtZXABC中，ZACB=90°tAC=3,AB=5,點。是A8邊上的一個動點(不

與點4、8重合)，點尸是邊8C上的一點，且滿足NCD/=NA,過點C作CE_LCD交OE的延長線于E.

(1)如圖1,當(dāng)C石〃A8時，求A。的長:

(2)如圖2,聯(lián)結(jié)8E,設(shè)人。=工，BE=y,求)，關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；

(3)過點C作射線質(zhì)的垂線，垂足為，，射線。，與射線交于點Q,當(dāng)△口?￡：是等腰三角形時，求AO的長.

6.(2024?上海浦東新?統(tǒng)考一模)如圖，已知正方形48CO的邊長為6,點E是射線4C上一點(點E不與點/?、C重

合)，過點A作交邊CO的延長線于點?，直線口■分別交射線AC、射線4。于點M、N.

備用圖備用圖

⑴當(dāng)點E在邊6c上時，如果與J，求一胡￡的余切值；

AN5

(2)當(dāng)點E在邊8c延長線上時，設(shè)線段BE=x,y=ENMF,求)，關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；

(3)當(dāng)CE=3時，求的面積.

7.(2024.上海金山?統(tǒng)考一模)已知：如圖，在48c中，AB=AC,ZCAD=ZABC,DC±AC,4力與邊8c相

交于點P.

⑴求證：AB-=^ADBC-

4

(2)如果sin乙48C=w，求的值；

(3)如果△88是直角三角形，求NA8C的正切值.

8.(2024?上海靜安?統(tǒng)考一模)已知梯形ABCO中，AD//BC,AB=2,AO=4,OC=3,BC=1.點尸在射線創(chuàng)

上，點Q在射線8C上(點~、點。均不與點〃重合)，且尸。二伙2,連接。Q,設(shè)8戶=相△。篁的面積為上

(1)如圖1所示，求sinB的值;

(2)如圖2所示，點。在線段上，求)關(guān)于%的函數(shù)解析式，并寫出定義域;

(3)當(dāng)A。。。是等腰三角形時，求8P的長.

9.(2024?上海長寧?統(tǒng)考一模)已知ABC中，ZABC=2ZC,8G平分NABC,44=8,AG=；＞，點。，E分

別是邊8C,AC上的點(點。不與點8,C重合)，且NAOE=NABC,AD,BG相交于點尸.

(2)AE,點。在邊AB上運(yùn)動的過程中，/X4C的大小是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出/￡4。

的人??；

(3)設(shè)OE與AC的交點為G,點〃是邊BC上的一點，旦/CPD=NCGD,如果點。到直線C。的距離等于線段GE的

長度，求。?！甑拿娣e.

4

13.(2024?上海虹口?統(tǒng)考一模)如圖①，在RlAABC中，ZAC8=90。，tan乙ABC=g,點。在邊8C的延長線上，

連接AD,點E在線段AO上，ZEBD=ZDAC.

圖①圖②備用圖

(I)求證：ADBAs八DEC；

⑵點尸在邊C4的延長線上，。尸與的的延長線交于點M(如圖②).

①如果AC=2Af\且DEC是以0c為腰的等腰三角形，求tan/血的值；

②如果?！?乎。。，EM=3,FM:DM=5:3,求4尸的長.

14.(2024?上海普陀?統(tǒng)考一模)如圖，在矩形A8CD中，AB=2,BC=4,E是邊8c延長線上一點，過點3作

BM上DE,垂足為點例，聯(lián)結(jié)CM,設(shè)CE=a(0<a<l).

(1)求證：△DCES/\BME：

(2)NCME的大小是否是一個確定的值？如果是，求出.NCME的正切值；如果不是，那么用含字母。的代數(shù)式表

示NCME的正切值；

(3)P是邊A。上一動點(不與點A、。重合)，聯(lián)結(jié)?笈、PM.隨著點P位置的變化，在中除N8QW外的兩

個內(nèi)角是否會有與NCME相等的角，如果有，請用含字母〃的代數(shù)式表示此時線段AP的長；如果沒有，請說明理

由.

15.(2024?上海楊浦?統(tǒng)考一模)如圖，已知正方形A8CD,點。是邊3c上的一個動點(不與點8、。重合)，點E

在OP上，滿足AE=",延長跖交CD于點尸.

ADAD

(1)求證：NBED=135;

(2)連接CE.

RP

①當(dāng)?！阓13尸時，求行的值;

/V-

②如果△（?母'是以CE為腰的等腰三角形，求NF8C的正切值.

16.（2024?上海閔行?統(tǒng)考一模）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,以AC,8c為邊在△A4C外部作等邊三角

形ACE和等邊三角形BCF,且聯(lián)結(jié)EF.

（1）如圖I,聯(lián)結(jié)4F,EB,求證：△ECB經(jīng)△ACE

（2）如圖2,延長AC交線段E/于點M.

①當(dāng)點M為線段中點時，求幽的值;

BC

②請用直尺和圓規(guī)在直線上方作等邊三角形4BD（不要求寫作法，保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論），當(dāng)點M在

△A3。的內(nèi)部時，求空的取值范闈.

BC

圖1圖2

專題13幾何綜合題（解答題25題，壓軸題）

一、解答題

1.（2024?上海寶山?統(tǒng)考一模）如圖，已知5c中，AI3=AC=\,。是邊AC上一點，且AO,過點C作CE〃A8,

并截取CE=A。，射線AE與40的延長線交于點尸.

⑴求證：AF2=DFBFx

⑵設(shè)AD=x,DF=y,求＞與x的函數(shù)關(guān)系式;

（3）如果△八。下是直角三角形，求￡＞尸的長.

【答案】（1）見解析；

⑵片』

（3也或也.

62

【分析】（1）先證明△針恒△AEC,得出/3=/4,進(jìn)而證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得

證；

（2）過點。作DG〃AB,交AE于點G,證明△ADGs/kACE,得出OG=f,JDGs另胡，根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)得出比例式，即可得出函數(shù)關(guān)系式；

（3）由ND4/=NA5Z）H90。，分兩種情況分別討論，ZAFD=90°,?ADF90?,在Rl4??中，根據(jù)三角函數(shù)

的定義，即可求解.

【詳解】（1）證明：*：CE//AB,

:.Z1=Z2,

又???AB=4C,CE=AD,

???/3=/4,

又：ZAFB=ZAFD,

AABFs公ADF,

.AFBF

..---=---.

DFAF

,AF2=DFBF

(2)解：過點。作交AE十點G

又???C￡〃/IB,

：,DG//CE,

,AADGs^ACE

.DGAD

??=，

CEAC

由AO=x,AC=1,則CE=x,CD=l-x,

?\DG=x2,

'：DG"AB,

JFDGSFBA

.DGDF

②如果NA/；Q=90。，

由N1=N3=N4,Zl+Z3+Z4=90°,可得N3=N4=30。

設(shè)DF-m,則AD=BD=2m,

BF

在Rt48/中，cosZ3=——，

AB

?in+2m

??--------------■m=-------

126

③如果？AD/90?,

由N1=N3=N4,Nl+/3=90。，可得N3=N4=45。，

設(shè)DF=m,AD=RD=in.

Alt

在RtABF中，cosZ3=—,

BF

.iV2

??-----=—,tn=—.

m+m22

所以，當(dāng)△AOb是直角三角形時，Qb的長為正或走.

62

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)，列函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握相

似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?上海奉賢?統(tǒng)考一模）在直角梯形A8CO中，AD//BC,N3=90。，AD=6,AB=4,BC>AD,NAOC的

平分線交邊4c于點，點戶在線段OE上，射線CT與梯形AACQ的邊相交于點G.

4

(1)如圖1,如果點G與A重合，當(dāng)tan/8CO=§時，求8E的長;

圖1

(2)如圖2,如果點G在邊A。上，聯(lián)結(jié)BG,當(dāng)￡心=4,且VCGBsV84G時，求s加NBCO的值:

(3)當(dāng)/是/定中點，且4G=1時，求CD的長.

【答案】(1)4

(3)C￡＞的長為5或9+5

【分析】（I）過點。作于點〃，利用直角梯形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)求得?！?，利用直角三角形的

邊角關(guān)系定理求得C”，利用勾股定理求得C。，利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到8=8,則

BE=BC-CE；

（2）過點。作力例IRC于點、M,利用（I）的結(jié)論，勾股定理和相似二角形的判定與性質(zhì)求得BCCM,再利用等

腰直角三角形的判定與特殊角的三角函數(shù)值解答即可；

（3）利用分類討論的方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)點G在AO上時，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，全等

三角形的判定與性質(zhì)解答即可；②當(dāng)點G在44上時，連接DG,GE,延長DG,CG交于點N,利用勾股定理求得BE,

利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得AN,再利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【詳解】（1）解：過點。作OH_L8C于點〃，如圖，

,?AD"BC,NB=90°,

???ZBAD=90°,

DHLBC,

???四邊形人為矩形，

:.DH=AB=4,BH=AD=6,

4

tan/BCD=—,

3

DH4

??=—，

CH3

/.CH=3,

:.CD7cHl+DH?=5,

QAD"BC,

:"ADE=NDEC,

Q/ADE=NCDE,

NCDE=NCED,

:.CE=CD=5,

BC=BH+CH=9,

...BE=3C-CE=9-5=4；

（2）過點。作。MJL3C于點M,如圖,

由（1）知：AD=BM=6,DM=AB=4,CD=CE,

QOG=4,AO=6,

AAG=2,

BG=ylAB2+AG2=275,

YCGBRBAG,

."AG=NCGB=90°,—=—,

AGBG

2石RC

?.一二運(yùn)

/.BC=10,

：.CM=BC-I3M=4,

??.QM=CM=4,

.ZDWC為等腰直角三角形,

ZBCD=ZCDM=45°,

由（1）知：CD=CE,

???尸是OE中點,

:.CF1DE,

在△以；產(chǎn)和,0b中,

/GDF=/CDF

<DF=DF

NDFG=NDFC=90。

:.：.DGF^ADCF（ASA）,

：.DG=DC,

QAG=1,AO=6,

DG=5,

/.CD=DG=5：

②當(dāng)點G在AB上時，連接。GGE,延長力G,CG交于點N,如圖,

???尸是DE中點,

；?CFLDE,

???CG為。石的垂直平分線，

:,GD=GE,

???GD'GE?,

,AG2+AD2=BG2+BE\

???I2+62=32+BE2,

:.BE=2不,

,?AD/7BC,

,VAA8V8CG,

.AGAN

??南一正’

.IAN

,?夏正，

在△DM7和Ob中，

4NDF=ZCDF

<DF=DF,

4NFD=NCFD=9b。

；?DNF2.DCF(AAS),

:?CD=ND,

設(shè)CD=x,

則BC=CE+BE=x+2y/j,AN=DN-DA=CD-DA=x-6,

.]_x—6

^3~x+2y/l9

*X=9+V7,

ACD=9+V7,

綜上，C。的長為5或9+5.

【點睛】本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的

邊角關(guān)系定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的

判定與性質(zhì)，過梯形的上底的一點作高線是解決此類問題常添加的輔助線.

3.（2024?上海松江?統(tǒng)考一模）在.A3C中，AC=8C.點。是射線AC上一點（不與4、C重合），點尸在線段8c

上，直線。尸交直線A8于點用CD2=CFCH.

（I）如圖，如果點。在AC的延長線上

①求證：DE=BD；

②聯(lián)結(jié)CE,如果CE〃BD,CE=2,求石廠的長.

⑵如果DF:￡>E=1:2,求：A￡:殖的值.

【答案】⑴①見詳解；②所=0-1

(2)AE:EB的值為1

【分析】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、等腰三角形

的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明VFC8VDC3是解題的關(guān)鍵.

mCF

（1）①由CD2=CFCB，得=="，因為N"Z>=NOC3,所以,得ZCDF=NCBD,由AC=BC,

CBCD

得NA=NABC,所以NA+NC"=/4BC+NCBO,則NDEB=NDBE,即可證明OE=B。；

CEEF

②由?！辍?￡）,得NR7E=NC8O,則N/<E=NCDE,可證明VRTEsVCDE,得；^=二，所以=C爐=%

DECE

EFCECE

而ACEFS/\BDF,得=二=笠=U，所以&'?。石=2。9，則2。尸=4,求得。尸=2,于是得EP（￡7U2）=4,

OFBDDE

求得E尸=石-1;

（2）分兩種情況,一是當(dāng)點。在AC的延長線上,聯(lián)結(jié)CE，作EG〃BD^BC的延長線于點G,可證明NGEF爾BDF,

得GE=8。=OE,再證明YBEG4AED，得跳：=，則；￡=1：二是當(dāng)點。在線段AC上，可證明尸CD與/\DCB

EB

不相似，則不存在。2=bC8的情況.

【詳解】（I）證明：如圖1,???CD'CAa,

.CDCF

~CB~~CD'

Q4FCD=/DCB,

.NFCD^NDCB,

:.NCDF=/CBD,

AC=BC,

:.ZA=ZABC.

ZA+ZCDF=ZABC+NCBD,

QZ.DEB=NA+NCDF、ZDBE=乙ABC+NCBD,

4DEB=/DBE,

:.DE=BD.

②如圖l,QCE〃3aCE=2,

圖1

/.NFCE=NCBD,

Q4CDE=4CBD,

"CE="￡>￡,

QZC￡F=ZDEC,

:NFCEfCDE,

.CEEF

~DE~~CE"

:.EFDE=CE2=22=4,

SCEFKBDF,

?_E__F_—_C__E___C__E_

~DF~~BD~~DE"

;.EFDE=2DF,

.-.2DF=4,

DF=2,

:.EF(EF+2)=4.

解得EF=石-1或"=-6-1(舍去),

：.EF=x[5-\.

(2)如圖2,點。在AC的延長線上，

聯(lián)結(jié)CE,作水；〃8。交8C的延長線于點G,則NG=NO8F,

，ZG=ZADE,

*：DF:DE=\:2,

DF=EF=-DE,

2

在△G￡F和V4O產(chǎn)中，

NG=/DBF

4GFE=/BFD、

EF=DF

.^GEF^BDF(AAS),

GE=BD,

:.GE=DE,

QZDEB=4DBE=ZGE4,

/./DEB+/GED=ZG￡4+/GED,

/BEG=AAED,

在，8￡G和△AEO中，

NG=NADE

,GE=DE,

ZBEG=ZAEO

1BEG"AED(ASA),

:.BE=AE,

AE,

——=I;

EB

如圖3,點。在線段ACI:,

c

圖3

QZCDF>ZA

/.Z.CDF>ZABC,

QZA8C>4BFE,4BFE=NDFC,

：./ABC>4DFC,

Z.CDF>NDFC,

Q/DFC>NCBD,

NCDF>NCBD,

尸CD與△OCB不相似，

不存在CD2=CFCB的情況，

綜上所述，的值為1.

4.（2024?上海青浦?統(tǒng)考-一模）在,ABC中，NACB=90。，AC=6,BC=8.點。、E分別在邊AB、BC±,連

接ED,將線段ED繞點￡按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段EF.

圖1圖2圖3

(I)如圖I,當(dāng)點石與點。重合，EDJ.AB時，AF與ED相交于點O,求47：。尸的值;

(2)如圖2,如果AB=5BD,當(dāng)點A、E、尸在一條直線上時，求BE長；

(3)如圖3,當(dāng)DA=DB,CE=2時，連接AF,求/AFE的正切值.

3

【答案】⑴

4

(2)*24+2曬或/法=24-2呵

55

._________|124

【分析】(1)根據(jù)勾股定理得出==根據(jù)S,A8c=5AC.4C=34"CO,求出CO=M，進(jìn)而

得出4。=〃。2一。。2=%根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出/。所=9(產(chǎn)，CD=EF=y,則A8〃CF,通過證明

ADO^FEO,即可求解;

（2）過點D作。HJ.8C「點H,求出進(jìn)而得出?！?二方尸=（，CH=BC-BH。，設(shè)BE=x,

則CE=8-x,E〃=x-，通過證明＞4。￡。..？/〃），得出生.二名，求出x的值即可；

5EHDH

（3）以點E為原點建立平面直角坐標(biāo)系，令A(yù)EOE相交于點G,過點D作y軸的垂線，垂足為P,過點F作y軸

的垂線，垂足為點Q,則8（6,0）,4：-2,6）,。（2,3）,用待定系數(shù)法求出OE的函數(shù)解析式為y=通過證明

DEP^EFQ,得出尸（3,-2）,再用特定系數(shù)法求出AF的函數(shù)解析式為,，=-?工+?,進(jìn)而得出言），即

可解答.

【詳解】（1）解：VZACB=90°,AC=6,BC=8,

，根據(jù)勾股定理可得：AB=\IAC2+BC2=10?

?

?,.S八mAf{e=2-ACB2C=-ABCD,

/.ACBC=ABCD,即6x8=10C。，

24

解得：CD=—,

J

在Rl/XACO中，根據(jù)勾股定理可得：AD=ylAC2-CD2=y,

???線段ED繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段EF,

24

AZDFF=90°,CD=EF=—t

VED.LAB,

AB//CF,

，ADO^FEO,

18

_AOAD3

??--=----==—，

OFCF244

y

3

即AO：OF'=-；

4

(2)解：過點D作。，_L8C于點H,

VAB=5BD,

.BD1

..---=—，BD=2,

AB5

DHLBC,NACB=90。，

，AC//DHf

BHBD11

..——=—=一，則——=一，

BCAB585

解得：BH=[

/a)

:.DH=dBD?-BH?=-,CH=BC-BH==,

55

Q

設(shè)BE=x,貝l」CE=8—羽七"=

???線段ED繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,

???ZDEF=90°，

???點4、E、尸在一條直線上，

，ZA團(tuán)=90。，

/./AF.C.+/DF.H=90°,

,/ZAEC+ZEAC=90°,

/.NDEH=ZE4C，

又：ZACE=/EHD=90。，

/.ACE^,EHD,

.ACCE

??-----=------,

EHDH

6_8-x

即―8=~6-,

x——

55

解得：%=24±2曬,24-2719

155

.?.赤竺丑叵或公竺匚色；

55

(3)解：以點E為原點建立平面直角坐標(biāo)系，令A(yù)EOE相交于點G,過點D作y軸的垂線，垂足為P,過點F作

y軸的垂線，垂足為點Q,

BC=8、CE=2,

:,BE=6,則8(6,0),

AC=6,

/?A(-2,6),

DA=DB,

???。(2,3),

???DE々T2+3?=岳，

設(shè)。石的函數(shù)解析式為y=h,

將0（2,3）代入得:3=23

解得：料，

3

???。石的函數(shù)解析式為y=

???線段ED繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,

/.DE=EF=V13,NDEF=90°,

VZD￡P(guān)+ZFEG=90o,/DEP+NEDP=90。,

???NFEQ=/EDP,

ZFEQ=NEDP,ZDPE=NEQF.DE=EF,

;._DEP"EFQ,

JQF=PE=3,EQ=DP=2,

???F（3,-2）,

設(shè)AF的函數(shù)解析式為y=〃優(yōu)+〃，

把A（-2,6）,尸（3,-2）代入得:

6=-2m+n

-2=3m+n

8

m=5-

解得：,

14

T

:.AF的函數(shù)解析式為y=-j8x+1y4,

814

y=—x+—

5

聯(lián)立:35

y=-x

14后

-tanzAFE=||=31=H.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，熟練

掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

S.(2024.上海崇明.統(tǒng)考一模)已知Rt/XAAC中，ZACB=90°,AC=3.AI3=5,點力是邊上的一個動點(不

與點4、B重合)，點尸是邊上的一點，且滿足=過點。作CE_LC。交。尸的延長線于￡

(1)如圖I,當(dāng)CE〃八8時，求4。的長；

(2)如圖2,聯(lián)結(jié)防，設(shè)A。"=求)，關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；

(3)過點C作射線跖的垂線，垂足為出射線C”與射線交于點Q,當(dāng)△CQE是等腰三角形時，求AO的長.

9

【答案】⑴《

4

(2)函數(shù)關(guān)系式為y=定義域為。vxv5

(3)4/9=1

【分析】(I)由平行關(guān)系可得N8=NEC。，由CE_LCO,則可得CDJ_A4,由面積關(guān)系可求得C。，進(jìn)而由勾股定

理求得結(jié)果；

(2)由已知易得.ABCs,℃￡■,由相似三角形的性質(zhì)及NACQ=/8CE,可得△ACQS^BCE,由相似三角形的

性質(zhì)即可得函數(shù)關(guān)系式；再由點。是A8邊上的一個動點，且不與點A、8重合，即可確定自變量的取值范圍；

(3)由(2)Z\ACDsz^BCE得NCBE=ZA,則可得NO8E=9()。，講而得CQ〃A4：由面積關(guān)系求得的長：

由勾股定理可求得CH;由平行可得一QHEs二。BE,由相似三角形的性質(zhì)即可求得AO的值.

【詳解】(1)解：???CE〃A8,

:?NECB=/B,

VCE1CD,

:?？DCB?ECB90?

，NDCB+NB—90。；

ACD-AB；

由勾股定理得：BC=\IAB2-AC2=4,

\,-ACBC=-ABCD

22t

.fACBC12

AB5

?-------------o

由勾股定理得：AD=>JAC2-CD2=-；

(2)解：?:?ACB90痛CDCE,

??ZACB=NDCE=%)。,

：NO=Z4,

??ABCsDCE,

.ACBC

.----=-----；

CDCE

??ZACB=ZDCE=90°,

??ZACD=ZBCE,

??△ACD<FBCE,

.ACAD3x

?—=—,H即r1:二一

BCBE4y

.4

?y=H；

J

??點D是A8邊上的?個動點,且不與點A、B重合,

??自變量x的取值范圍為0vxv5；

(3)解：由(2)知，AACDs八BCE,

\ZCBE=ZA,

/.?DBEABC2CBE?ABC?A90?,

VCHLBH,

：.CQ//AB；

22

.RH_ACKBC_12

AB5

由勾股定理得CH=VBC2-BH1=與；

?J

?：CQ//AB,

:._QHEs..DBE,

.QB__QE

**DBDE：

?DEC90?,

?CEQ90?,

??△CQE為等腰三角形時，只能是CE=QE：

QH_CE

\QH=CH,

~DB~~DE

：AACDsMCE,

.CE_BC_A

**CD-7C_3J

設(shè)CE=4k,CD=3k,由勾股定理得DE=5k,

.QH_CE_4

**DB-D￡-5?

DB=AB-AD=5-AD,

16

即5_4,

5-AD5

解得：AD=1.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，面積關(guān)系的應(yīng)用，等腰三角形的

性質(zhì)，綜合運(yùn)用這些知識是關(guān)鍵.

6.(2024?上海浦東新?統(tǒng)考一模)如圖，已知正方形A8CO的邊長為6,點E是射線BC上一點(點￡不與點8、。重

合)，過點A作4尸_LAE,交邊。。的延長線于點尸，直線E廠分別交射線AC、射線4。于點M、N.

備用圖備用圖

(1)當(dāng)點石在邊8。上時，如果縱=!，求/明石的余切值；

(2)當(dāng)點E在邊/3C延長線上時，設(shè)線段=y=ENMF,求了關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域;

(3)當(dāng)CE=3時，求△EMC的面積.

【答案】(1)NE4￡的余切值為2或3；

(2)y=36+X2(X>6)

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明"BE名,AT）尸，根據(jù)全等三角形得出AE=4尸，。尸=即、根據(jù)平行線分線

段成比例得D出N若=D蕓F，進(jìn)而求得5E=2或8E=3,進(jìn)而根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解；

（2）利用等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)得出EN-M"=AE2,再根據(jù)勾股定理得出4爐=36+/即可；

（3）分類討論，當(dāng)上在BC上和8c的延長線上，分別利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出.EMC的邊CE上的高“?

即可.

【詳解】（1）解：如圖1,

正方形A8CO,

.\AB=AD=6,ZB=ZADC=9()°=ZADF,

AE1AF,

/.ZE4F=90°=NDAF+NDAE,

ZBAE+/DAE=NBAD=90°,

:.NBAE=NDAF,

.二A8—AOF(ASA),

:,AE=AF,DF=BE,

v-=-,AD=6=DN+AN,

AN5

:.DN=l,AN=5,

DN；/EC,

DNDF

?'?-----=-----,

ECCF

設(shè)BE=x,則Dk=x,EC=b-x,

1x

???_—_一__，

6-x6+x

解得x=2或x=3,

經(jīng)檢驗，x=2,x=3都是原方程的根，

BE=2或BE=3,

在Rt45E中,

cotZ.BAE==9=3或cotZ.BAE==—=2；

BE2BE3

(2)如圖2,由(1)得AE=A尸,

圖2

AE1AF,

.工田是等腰直角三角形，

:.ZAEF=ZAFE=45°,

ZA￡F=45°=ZM4A^,ZA^=ZM,

MANs：MFA,

:.ZANE=ZMAF,

ANEsMAFt

?ENAE

"~AF~^F，

:.ENMF=AEAF=AE2,

在Rt48E中，4B=6,I3E=x,

AE2=AB2+BE2=36+X2,

y=ENMF,

即y=36+Y(x>6)；

(3)當(dāng)點E在8c上時，如圖1,過點M作MQ_L3C,垂足為P,

圖1

CE=3,

,-.BE=6-3=3,

由（1）可知，當(dāng)8七=3時，DN=\,

.?./W=6-l=5,

AN/7EC,

AAMNs?ME,

.ANAN_5

,CA7-EC-3*

AC=y/AB2+BC2=672,

MC=^—AC=^-

3+54

在RtAMC中，PM=—MC=",

24

I1Q97

???ZXEMC的面積為一CE?MP=-x3x-==

2248

當(dāng)點E在BC的延長線上時，如圖2,過點M作"?_L8C,垂足為P,

圖2

由（1）可得，DF=BE=6+3=9,

AN〃BP,

DFDN9DN

/.——=——,即nn----=----,

CFCE9+63

9

解得：DNy

939

AN=6+-=—

55

.MCES..MAN,

e3_MP

???空=—,即39-MP+6，

ANMP+CD—

J

解得：MP=—

4

EMC的面積為=="

2248

綜上所述，EMC的面積為2一7或短45.

8o

【點睛】本題考查全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)，掌

握全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

7.(2024?上海金山?統(tǒng)考一模)已知：如圖，在中，AB=AC,NC4O=4ABC,DCA.AC,4。與邊BC相

交于點P.

2

(1)求證：AB=-ADRCi

4

(2)如果sin/A4C=w，求BP:PC的值；

(3)如果△BCO是直角三角形，求NA8C的正切值.

【答案】(1)證明見解析

⑶&或1

【分析】(1)根據(jù)等邊時等角可得？4C82ABC；推得NAC3=NC4￡＞；根據(jù)等角對等邊可得AP=PC；根據(jù)直

角三角形兩銳角互余，等角的余角相等可得NPQC=NP8；根據(jù)等角對等邊可得。力=PC；根據(jù)有兩個角對應(yīng)相

等的兩個三角形是相似三角形，相似三角形的對應(yīng)邊成比例，且都等于相似比即可證明

43

（2）結(jié)合題意可得CQ=yA。，根據(jù)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求得AC=gA。；結(jié)合（1）

1Q

中結(jié)論可求得三A。：分別求出8P和PC,即可求解.

CD2

（3）分兩種情況討論：當(dāng)ND?C=90。時，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可■求得根據(jù)勾股定理和（1）

AD

中結(jié)論可求得8c=2（/\"——C。）,即可列出等式，求得根據(jù)勾股定理求出AC2=：A￡）2,分別求出

AD33

CD、AC與A。的關(guān)系，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解；當(dāng)NBQC=900時，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

可得AC〃80；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得ND8C=/AC8=NC4O：根據(jù)銳角三角函數(shù)H勺定義可推得

AC=BD,根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)即可求出NA8C=45。，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值即可求解；當(dāng)"8=90。

時，分析可得aA8C不存在，即可推得該情況不存在.

【詳解】（1）證明：???A8=AC,

?ACB?ABC,

,?NC4O=Z4BC,

，ZACB=ZCAD,

JAP=PC,

:DCA.AC,

JNACD=90°,

即ZACP+NPCD=90。,

又?:ZDAC+NPDC=90。,ZACP=ZDAC,

，ZPDC=/PCD,

，PD=PC,

即AP=PD=PC,

*/ZC4P=ZABC,ZACB=ZACP,

/.AA6Cs△尸AC,

.ABBC

??9

PAAC

AB=AC,PA=-AD,

2

ABBC

：t-ADABi

2

即AB2=^ADBC.

（2）解：VZACB=ZC4D,

4

sinZ.ABC=sinZ.CAD=-

5

CD4

即sin/C4O=J=—,

AD5

4

：.CD=-AD

5t

在Rt/XACO中，AC=yjAD2-CD2=.MD2-f-Ao'l=-AD,

V15J5

3

AB=—AD,

又：AB2=-ADBC,

2

即(|回=；AOBC,

整理得：BC=—AD；

;PC=-AD

2f

???BP=BC-PC=—AD--AD=—AD,

25250

.BP^AD\\

??=-:----=-

(3)解：當(dāng)/O8C=90。時,

??ZPCD=/PDC,NDBC=ZDC4=90。,

,NBDC=NCAD,

/..ACD^>DBC,

.BCCD

??=,

CDAD

即BC=—

AD

在Rt^ACZ)中，

即AB2=AD2-CD2，

又「AB2=-ADBC

2f

：.-ADBC=AD2-CD2

2t

拓2(AD2-CD2)

故3c=-^---------------L，

AD

則也義吐吧

ADAD

、2

整理得：CD2=-AD\

在RtAACD中，AC2=AD2-CD2=AD1——AD2=-AD2

33t

SPCD=—AD,AC=—AD,

33

&AD

tanZCAD=—=^=—=&,

AC66

——AD

3

BPtanZ4BC=x/2;

當(dāng)/次）0900時，

ZBDC=ZDCA=90°,

JAC//BD,

J/DBC=ZACB=ZC4D,

CDCD

VtanZCAD=—,tanZD?C=—,

ACDB

CDCD

故w前=而’

，AC=BD,

???四邊形A8DC是平行四邊形，

又,：NBDC^P,

，平行四邊形A8DC是矩形，

XVAB=AC,

???四邊形人8OC是正方形；

則人。和是正方形的對角線，

???NA5C=45。

故lanZA8c=1.

當(dāng)NBCD=90°時，點A在8C上，即，ABC不存在，

故不存在ZBCD=90°這種情況.

【點睛】本題考查了等邊對等角，等角對等邊，直角三角形兩銳角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等；結(jié)合第1問中的結(jié)論通過BC列出等式，求出

是解題的關(guān)鍵.

8.（2024.上海靜安?統(tǒng)考一模）已知梯形ABCZ）中，AD//BC,A/3=2,4）=4,DC=3,BC=7.點尸在射線84

上，點。在射線上（點P、點。均不與點3重合），且PQ=8Q,連接。Q,設(shè)=△。翼的面積為V.

圖I圖2（瞽用圖）

⑴如圖1所示，求sinB的值；

(2)如圖2所示，點。在線段8C上，求y關(guān)于人的函數(shù)解析式，并寫出定義域;

(3)當(dāng)A。。。是等腰三角形時，求破的長.

【答案】(1)5m8=也

3

⑵k_后+喻＜若：

⑶8P=[或8尸=弓或8P=g；或BP=?

yJDLJL

【分析】(1)過點A作AE〃C。交3c于點E,過點E作E產(chǎn)_LAB于點R證明四邊形ADCE為平行四邊形，得出

AE=DC=3,EC=AD=4,求出8E=8C-CE=7-4=3,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出=AF=,AB=1,根

2

據(jù)勾股定理求出EF=在商-BF，=、密二干=2夜，根據(jù)三角函數(shù)定義即可得出答案；

(2)過點A作A/Z8C于點F,。，_148于點”，根據(jù)5由8=半，cosB=g,在RtA8廠中根據(jù)三角函數(shù)求

JD

]_

出A/=A8xsin8=2x^=還，8。="=軍=：]，求出CQ=7-8Q=7-]x,根據(jù)三角形面積公式求出

33cosB￡22

3

y=lc0-AF=1(7-|x^x^=-x/2x+-^l,然后求出x的取值范圍即可；

(3)分四種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OQ=DC=3時，當(dāng)