異面直線所成的角一.定義:直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別引直線a′∥a,b′∥b。我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.說(shuō)明：1．a(chǎn)和b所成的角的大小與空間點(diǎn)的選取無(wú)關(guān).2．實(shí)質(zhì)：把a(bǔ)和b平行移動(dòng)使之相交,把抽象的空間位置用平面內(nèi)具體的角來(lái)體現(xiàn).3．范圍:(0°，]★求角的步驟：做（利用定義畫平行線，移到同一平面）證（簡(jiǎn)單論證）3.求（解平面圖形，通常將角置于一個(gè)三角形中，利用平面幾何知識(shí)解決）求異面直線所成角的步驟有哪些？想一想正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為BB1的中點(diǎn)，如圖，畫出下面各題中指定的異面直線所成的角ABCDD1B1ABCDB1ABDB1PD1D1C例2、長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，

AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。解法二：方法歸納：補(bǔ)形法把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長(zhǎng)方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為

如圖，補(bǔ)一個(gè)與原長(zhǎng)方體全等的并與原長(zhǎng)方體有公共面連結(jié)A1E，C1E，則

A1C1E為A1C1與BD1所成的角(或補(bǔ)角)，F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方體B1F，

在空間四邊形S-ABC中，SA⊥BC且SA=BC,E,F分別為SC、AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900練習(xí)1B

SABEFG2.在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E、F分別是

AB、CD的中點(diǎn).且EF=．求:異面直線AD和BC所成的角.

且PE//BC,PF//AD

解:設(shè)P為AC中點(diǎn),連結(jié)EP、FP.則

∴PE與PF所成的銳角（其補(bǔ)角）就是異面直線BC與AD所成的角.在△PEF中,PE=PF=1,EF=即異面直線AD和BC成600角∴ABCDEFG定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）（2）補(bǔ)形小結(jié)：1、求異面直線所成的角要認(rèn)識(shí)到：空間的角可以用平面的角來(lái)定義，體現(xiàn)了立體幾何中的降維思想。2、求角的方法：解平面圖形（一般為三角形）用余弦定理求異面直線所成角時(shí)，要注意角的范圍：

（1）當(dāng)cosθ＞0時(shí)，所成角為θ（2）當(dāng)cosθ＜0時(shí)，所成角為π－θ（3）當(dāng)cosθ=0時(shí)，所成角為3、當(dāng)異面直線垂直時(shí)，還可應(yīng)用線面垂直的有關(guān)知識(shí)解決。90o思考：已知正方體的棱長(zhǎng)為a,M為AB的中點(diǎn),N為BB1的中點(diǎn)，求A1M與C1N所成角的余弦值。解：如圖，取A1B1的中點(diǎn)E,連BE,有BE∥A1M取CC1的中點(diǎn)G,連BG.有BG∥C1N則∠EBG即為所求角。BG=BE=a,FC1=a由余弦定理，cos∠EBG=2/5取EB