第3講圓的方程

課時?題組訓(xùn)練階梯訓(xùn)練練出高分

基礎(chǔ)鞏固題組

(建議用時：40分鐘)

一、填空題

1.(?南京模擬)已知點力(1,-1),8(-1,1),則以線段力?為直徑的圓的方程是.

解析力耳的中點坐標為(0,0),

|AB\=~-1]2+~-1-12=2^/2,

二圓的方程為「+7=2.

答案x+y=2

2.若圓?+/-2^+3^=0的圓心位于第三象限，那么直線x+ay+b=0一定不經(jīng)過第

_____象限.

解析圓步+/一24彳+3":0的圓心為(兄一|@,

則百<0,6>0.直線)，=-!*-?k=-i>0,-g>0,直線不經(jīng)過第四象限.

Haaa

答案四

3.(?銀川模擬)圓心在，軸上且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是.

解析設(shè)圓心為(0,扮,半徑為百則r="|,

圓的方程為/+(7-.2=$、.,點(3,1)在圓上，

」.9+(1-獷=尻解得5=5,

「?圓的方程為y+7-10y=0.

答案x+y-10y=0

4.兩條直線y=x+2a,y=2x+a的交點尸在圓(x-+(y-=4的內(nèi)部，則實數(shù)〃的

取值范圍是.

(y=x+2a,

解析聯(lián)立彳?解得〃(a,3a),

(y=2x+a,

(a-1)~+(3a—1)~<4,-T<a<1.

□

答案(41)

5.(?東營模擬)點。(4,-2)與圓產(chǎn)+/=4上任一點連線的中點的軌跡方程是.

「4+的

解析設(shè)圓上任一點為0(胸，㈤，圖的中點為/x,y),貝M0解得

17=^

xo=2x-4,

，cc因為點。在圓V+y=4上,所以總+$=4,即(2*-4)2+(2y+2)2=4,

1%=2y+2.

化簡得("2)2+(y+1)2=1.

答案(彳-2)2+(y+1)2=1

6.已知點以1,0)是圓C：/+V-4*-2y=0內(nèi)的一點，那么過點"的最短弦所在直線的方

程是—

1-0

解析過點必的最短弦與◎，垂直，圓C3+〃-4*-2y=0的圓心為6(2,1),v心二廠T

Z-JL

=1,???最短弦所在直線的方程為y-0=-l(x-l),即x+y-l=0.

答案x+y-l=0

7.(-南京調(diào)研)已知直線/：x-y+4=0與圓C：(*-11+(，-11=2,則圓。上各點到;

的距離的最小值為

解析由題意得。上各點到直線1的距離的最小值等于圓心(1,D到直線/的距離減去

半徑，即一第一-y[2=y]2.

答案y[2

8.若圓f+(y-l)2二1上任意一點(其力都使不等式x+y+加20恒成立，則實數(shù)勿的取值

范圍是.

解析據(jù)題意圓f+(y—1產(chǎn)=1上所有的點都在直線x+y+y=0的右上方，所以有

解得勿故加的取值范圍是[-1+/，+8).

答案[-1+^2.+8)

二、解答題

9.求適合下列條件的圓的方程：

(1)圓心在直線J，=-4/上，且與直線/：>+y-l=O相切于點尸(3,-2);

(2)過三點4(1,12),8(7,10),。(—9,2).

解(1)法一設(shè)圓的標準方程為力2+(y-b)2=E

'b=-4a,

3-a2+-2-b2=/,

財―

解得a=l,b=-4,r=2y[2.

「?圓的方程為(x-l)2+(y+4)2=8.

法二過切點且與x+9-1=。垂直的直線為P+2=x-3,與y=-4彳聯(lián)立可求得圓心

為(1,-4).

「?半徑r=?1-3「+―-4+22=2^2,

「?所求圓的方程為(x-l)2+(y+4/=8.

(2)法一設(shè)圓的一般方程為V+/+瓜+0+0(〃+盧一4/>0),

1+144+〃+12￡+F=0,

49+100+7Z?+10^+F=0,

(81+4-9〃+2￡+F=0.

解得。=-2,E=-4,F=-95.

二所求圓的方程為f+/-2x-4y-95=0.

法二由力(1,12),8(7,10),

得N8的中點坐標為(4,11),勤二-；，

貝IJ4/的垂直平分線方程為3^7-1=0.

同理得力。的垂直平分線方程為x+y-3=0.

Zx-y-1=0,[x=1,

聯(lián)立1+尸3=0叱=2,

即圓心坐標為(1,2),半徑片山1-12-122=io.

「?所求圓的方程為(*-+(y-2)2=100.

10.設(shè)定點洶(-3,4),動點/V在圓V+/=4上運動，以頒加為鄰邊作平行四邊形MONP、

求點P的軌跡.

解如圖所示，設(shè)尸(X7),VU,必)，則線段方的中點坐標為

（xy\（葡一3次i+4）

（0到，線段,郵的中點坐標為匕一，?。┯捎谄叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分,

工,X照-3y乂I+4

啊=2，2=2'

照二才+3,

從而＜,

_ji）=y-4.

Mx+3,y-4）在圓上，

故（*+3尸+。-4）2=4.

因此所求軌跡為圓：（x+3）2+（y-4）2=4,

但應(yīng)除去兩點（一5和（今野點夕在直線如上時的情況）.

能力提升題組

（建議用時：25分鐘）

一、填空題

1.（*東莞調(diào)研）已知圓C：V+，+勿X-4=0上存在兩點關(guān)于直線x-y+3=0對稱，則實

數(shù)加的值為_____.

解析圓卜存在關(guān)于直線x-v+3=0對稱的兩點,則x-y+3=Di寸圓心（一/0）,即

m

-5+3=0,-,?/?=6.

答案6

2.（?煙臺二模）已知拋物線「二20*（，＞0）上一點機1,勿）（加＞0）到其焦點廠的距離為5,

則以它為圓心且與y軸相切的圓的方程為_____.

解析拋物線的焦點為卷0）,準線方程為廣得所以跖1=1-（一拆5,解得〃

=8,即拋物線方程為〃=16乂又/=16,加＞0,所以加=4,即趴1,4）,所以半徑為1,

所以圓的方程為（X-1＞+（y-4）2=1.

答案（彳-1）2+（尸4）2=1

產(chǎn)，

3.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓c：(x-a)2+(y-b)唯行及其內(nèi)

[x+2y-4W0

部所覆蓋，則圓C的方程為________.

解析由題意知，此平面區(qū)域表示的是以仇0,0),尸(4,0),。(0,2)所構(gòu)成的三角形及其

內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，又△80為直角三角形，故其圓心為

斜邊網(wǎng)的中點(2,1),半徑為孕=4，.?.圓C的方程為(x-2)z+(y-l)2=5.

答案(-2)2+(y-1)2=5

二、解答題

4.已知圓f+/+x—6產(chǎn)+卬=0和直線x+2y-3=0交于月。兩點，且4_1制(。為坐標原

點)，求該圓的圓心坐標及半徑.

解法一將萬=3-2匕

代入方程x+y+x-6y+/7?=0,

得5y-20y+12+m-0.

設(shè)尸(為，7i),。(照，/2),

則"也滿足條件：

12+加

乂+理=4,H理二——.

,/OPLOQ,x\Xi+y\yz-0.

而汨=3-2九x2=3-2y2.

—27+4加

'汨照=9-6(/)+%)+4ylM=-------.

-27+4m12+/