第六單元第3節(jié)等比數(shù)列2023屆1《高考特訓營》·數(shù)學課程標準解讀命題方向數(shù)學素養(yǎng)1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題.4.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系1.等比數(shù)列的基本量運算數(shù)學運算數(shù)學抽象邏輯推理2.等比數(shù)列的判定與證明3.等比數(shù)列的性質(zhì)及應用0102知識特訓能力特訓01知識特訓知識必記拓展鏈接對點訓練

2同一常數(shù)公比[探究]

若數(shù)列{an}滿足an＋1＝qan(q≠0)，則{an}一定是等比數(shù)列嗎？提示：不一定．需驗證a1≠0.(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么________叫作a與b的等比中項．即G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?________．GG2＝ab

a1qn－1

[注意]

在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤．3．等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am·________(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝________＝________．(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為________．qn－m

ap·aq

qk(5)在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別的，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間項的平方．(6)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．[注意]

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數(shù)列(例如：當公比q＝－1且n為偶數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數(shù)列；當q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)總成立．[探究]

1.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}是等比數(shù)列嗎？提示：不一定．當q＝－1時不是等比數(shù)列．2．如何正確把握等比數(shù)列基本量運算中設元的技巧？

(2)最大項：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，當q>1時，最大項為末項，當0<q<1時，最大項為首項；若a1<0，當q>1時，最大項為首項，當0<q<1時，最大項為末項．【例】(多選題)若{an}是公比為q(q≠0)的等比數(shù)列，記Sn為{an}的前n項和，則下列說法正確的是(

)A．若a1>0，0<q<1，則{an}為遞減數(shù)列B．若a1<0，0<q<1，則{an}為遞增數(shù)列C.若q>0，則S4＋S6>2S5ABD

【例】等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為________．1．[易錯診斷](1)在等比數(shù)列{an}中，a3＝4，a7＝16，則a3與a7的等比中項為________．答案：±8解析：設a3與a7的等比中項為G，因為a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.【易錯點撥】忽視“G2＝ab”是“a，G，b”成等比數(shù)列的必要不充分條件致誤．(2)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．答案：50解析：因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50.【易錯點撥】等比數(shù)列性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)不熟練致誤．2．[教材改編]數(shù)列{an}的通項公式是an＝an(a≠0)，則其前n項和Sn＝________．3．[模擬演練](2022·陜西模擬)設{an}是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為Sn，S2n，S3n，則下列等式中恒成立的是(

)A．Sn＋S3n＝2S2nB．S2n(S2n－Sn)＝S3n(S3n－Sn)C．S＝S3nSnD．S2n(S2n－Sn)＝Sn(S3n－Sn)解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)得Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，化簡得S2n(S2n－Sn)＝Sn(S3n－Sn)，故選D.D4．[真題體驗](2020·全國Ⅰ卷)設{an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8等于(

)A．12 B．24C．30 D．32D02能力特訓特訓點1特訓點2特訓點3

特訓點1等比數(shù)列基本量的計算【自主沖關類】B

2．(2022·湘東五校聯(lián)考)十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的．十二平均律的數(shù)學意義是在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應為(

)C

A

[錦囊·妙法]等比數(shù)列基本量運算的解題策略(1)等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．典例1設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．(2)求數(shù)列{an}的通項公式．特訓點2等比數(shù)列的判定與證明【師生共研類】解：(1)由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首項b1＝3，公比為2的等比數(shù)列．

◎思維發(fā)散◎1．(變條件)已知an＋1＝3an＋5，又應如何構造出一個等比數(shù)列？

2．(變條件)將條件“Sn＋1＝4an＋2”改為“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不變，探求數(shù)列{an}的通項公式．解：由已知得當n≥2時，Sn＝2Sn－1＋n，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，當n＝1時上式也成立，故{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.

[提醒]

(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．1．(2022·全國模擬演練)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列．解：(1)因為an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因為數(shù)列{an}中各項均為正數(shù)，所以an＋1＋an＞0，所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列．

2．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn－2an＝n－4.(1)證明：{Sn－n＋2}為等比數(shù)列．(2)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn.解：(1)因為an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，則Sn＝2Sn－1－n＋4(n≥2)，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2](n≥2)，又由題意知a1－2a1＝－3，所以a1＝3，則S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n

特訓點3等比數(shù)列的性質(zhì)及其應用【多維考向類】(2)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．[解題指導](1)應用方程根與系數(shù)的關系及等比數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化運算求解．(2)按照對數(shù)運算化簡，應用等比數(shù)列性質(zhì)整體代入求值．