專題15導數綜合練習一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分。每小題給出的四個選項中，第1-10題只有一項符合題目要求，第11-12題有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）1．如圖，函數是可導函數，直線：是曲線在處的切線，令，是的導函數，則()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由圖可知曲線在處切線的斜率為，且直線必過點和，則，即，又，，，又，∴，故選B。2．已知函數在上單調遞增，則()。A、且B、且C、且D、且【答案】A【解析】，則恒成立，則，無要求，故選A。3．已知函數的圖像如右圖所示[其中是函數的導函數]，則的圖像大致是下面四個圖像中的()。A、B、C、D、【答案】C【解析】①，，②，，③，，④，，故選C。4．已知函數，則在上不單調的一個充分不必要條件是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】定義域為，，在上不單調，則在上有解，此方程可化為，，∴方程的兩解不可能都大于，從而它在上只有一解，充要條件是，解得或，∴D是要求的一個充分不必要條件，故選D。5．函數的定義域為，，對任意，，則的解集為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】令，則，故在上單調遞增。又，故當時，，即，故選C。6．已知函數，曲線在處的切線的方程為，則切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由得，則，得，由得加，即，∴切線的方程為，令，得到，令，得到，所求三角形面積為，故選B。7．設，若，恒成立，則實數的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】將不等式變形為，當時，不等式恒成立；當時，不等式變形為，記，則，而，因此在上單調遞增，故，∴，故，∴的取值范圍是，故選A。8．已知函數是偶函數，則不等式的解集為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由特殊的奇偶函數可知，∴，當時，，∴在上單調遞增，又為偶函數，∴在上單調遞減，∴可化成，兩邊平方得，即，解得，選A。9．已知函數EQEQ，，若，使得()成立，則的取值范圍是()。A、B、C、D、【答案】B【解析】，當時，單調遞減；當時，單調遞增；∴，∵，故，又(當且僅當時等號成立)，∴，∵，故可化為，解得，故選B。10．若存在斜率為()的直線與曲線與都相切，則實數的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】設直線與、的切點分別為、，則由，，得，解得，∴兩切點重合，即，∴，依題意在上有解，令()，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，∴，當時，∴，即，故選A。11．若函數的圖像上存在直線平行的切線，則實數的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】的定義域為，，∵函數存在直線平行的切線，∴方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，∴，若直線與曲線相切，設切點，則，解得，此時，綜上實數的取值范圍為，故選A。12．若函數恰有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】顯然，不是函數的零點，令，得，構造函數，，則，令得到，令得到且，畫出函數的圖象，如圖所示，可知當時，直線與的圖象不可能有兩個交點，當且時取得最小值，∴，當時，的圖象與直線有兩個不同的交點，即函數恰有兩個不同的零點，∴的取值范圍為，故選B。二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上）13．曲線在處的切線方程為?！敬鸢浮俊窘馕觥坑汕髮Э傻茫试谔幥芯€斜率為，∴切線方程為。14．已知函數()，若直線與曲線相切，則?！敬鸢浮俊窘馕觥?，設切點為，則切線斜率為，故，即，故，令()，則，∴當時，故在上單調遞減，當時，故在上單調遞增，15．函數，若函數有個零點，則實數的取值范圍是?！敬鸢浮炕颉窘馕觥慨嫵龊瘮档膱D像，如圖示：若函數有個零點，只需求與圖像交點，也就是分別畫出(如圖)與(一條水平直線)，結合圖像：或。16．已知函數，若曲線上存在點，使得，則實數的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥俊唿c在曲線上，則，又∵，則在上是單調遞增函數，則為一一對應函數，設，則，則，則當時，，∴，，設，，則在上是單調遞增函數，∴，即，則實數的取值范圍是。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知函數()。(1)若，求在上的最小值和最大值；(2)若在上是增函數，求實數的取值范圍?！窘馕觥?1)的定義域為，，1分由得，解得，∴，2分令，即，解得或，3分極小值∴在上的最小值是，最大值是；5分(2)由題意得：在區(qū)間上恒成立，∴，7分又當時，是增函數，其最小值為，∴，9分即實數的取值范圍是。10分18．（12分）設函數。(1)證明：在單調遞減，在單調遞增；(2)若對于任意，都有，求的取值范圍?！窘馕觥?1)證明：的定義域為，，1分若，當時，，當時，，3分若，當時，，當時，，5分∴綜上，在單調遞減，在單調遞增；6分(2)由(1)知對于，在單調遞減，在單調遞增，∴在處取最小值，∴的充要條件是，即①，8分設函數，則，當時，當時，故在單調遞減，在單調遞增，又，，故當時，10分當時，，，即①式成立，當時，由的單調性可得，即，①式不成立，當時，由的單調性可得，即，①式不成立，綜上，的取值范圍是。12分19．（12分）已知函數()。(1)若，函數在區(qū)間上的最小值為，求的值；(2)設，若函數有極值，求實數的取值范圍?！窘馕觥?1)的定義域為，，1分若，則恒成立，∴在上單調遞增，2分∴函數在區(qū)間上的最小值為，則；4分(2)由題意得：()，的定義域為，5分則，而，當且僅當時取等號，6分分兩種情況：①當時，對任意，恒成立，此時無極值，7分②當時，令，方程有兩根，，，8分∴有兩個根，，9分當時，，在區(qū)間上單調遞減，當或時，在區(qū)間和上單調遞增，從而在處取極大值，在處取極小值，11分綜上，若函數有極值，則實數的取值范圍為。12分20．（12分）已知函數，，其中是自然對數的底數。(1)判斷函數在內的零點的個數，并說明理由；(2)，，使得成立，試求實數的取值范圍；【解析】(1)函數在內的零點的個數為，理由如下：1分∵，∴，∵，，3分∴函數在上單調遞增，∵，，4分根據函數零點存在性定理得函數在內的零點的個數為；5分(2)∵，∴，∴，6分∴，當時，，函數在上單調遞增，7分∴，∵，∴，8分∵，∴，，，∴，10分∴函數在上單調遞減，∴，∴，11分∴，∴實數的取值范圍為。12分21．（12分）已知函數。(1)討論的單調性；(2)求證：當時，對都有?！窘馕觥?1)∵，其定義域為，∴，，1分當時，即時，恒成立，∴在上單調遞增，2分當時，即時，有兩個根為：、，，3分∴當和時，，單調遞增，4分當時，，單調遞減；5分(2)由(1)知，當時，，在上單調遞增，∵對有，不妨設，∵在上單調遞增，∴，則原式可以轉化為，7分即有，即證，設，，9分則，，當時，單調遞增，，∵，∴，10分當時，單調遞增，∴，即，同理可證，即，則原不等式得證。12分22．（12分）已知函數。(1)當時，判斷函數的單調性；(2)若函數有兩個極值點，求正整數的最小值?！窘馕觥?1)當時，，定義域為，則，1分設，定義域為，則，2分令得，當時，則在上單調遞增，當時，則在上單調遞減，則在處取極大值也是最大值，，4分故當時，恒成立，當且僅當時取等號，∴在設單調遞減；5分(2)若()有兩個極值點，即()有兩個極值點，即有兩個異號零