北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊全冊教案（2025年春季新教材）

第一章整式的乘除1冪的乘除第1課時同底數(shù)冪的乘法※教學(xué)目標※1.經(jīng)歷探究同底數(shù)冪乘法運算性質(zhì)的過程,進一步體會冪的意義,發(fā)展推理能力和有條理的表達能力。（難點）2.了解同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì),運用性質(zhì)熟練進行計算,并能解決一些實際問題。（重點）3.在發(fā)展推理能力和有條理的表達能力的同時，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。※教學(xué)過程※一、新課導(dǎo)入[情境導(dǎo)入]光在真空中的速度大約是3×108m/s，太陽系以外距離地球最近的恒星是比鄰星，它發(fā)出的光到達地球大約需要4.22年。一年以3×107秒計算，比鄰星與地球的距離約為多少？解：根據(jù)距離=速度×?xí)r間，可得比鄰星與地球的距離約為3×108×3×107×4.22＝37.98×（108×107）(米)。二、新知探究（一）同底數(shù)冪的乘法法則[提出問題]108×107如何計算呢？[合作探究]根據(jù)冪的意義，計算：108×107==。思考：am·an等于什么(m,n都是正整數(shù))？為什么？am·an表示同底的冪的乘法，根據(jù)冪的意義，可得am·an=·==am+n。[歸納總結(jié)]由此得到同底數(shù)冪的乘法法則：am·an=am+n(m,n都是正整數(shù))。用語言來描述此性質(zhì)，即為：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。延伸：am·an·ap等于什么？am·an·ap=(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+p；am·an·ap=am·(an·ap)=am·an+p=am+n+p；am·an·ap=··=am+n+p。[小結(jié)]公式中的底數(shù)a可以是一個數(shù)、一個字母、一個單項式或一個多項式。[典型例題]例1計算：(1)102×103；(2)10m×10n(m,n都是正整數(shù))；(3)2m×2n等于什么？()m×()n呢，(m,n都是正整數(shù))；(4)105×（-10）8。解：(1)102×103=105=102+3。(2)10m×10n=10m+n。(3)2m×2n=2m+n。()m×()n=()m+n。(4)105×（-10）8=105×108=1013=105+8。[針對練習(xí)]1.計算下列各式：(1)(－3)7×(－3)6；－3(2)()3×(-)；－(3)－x3·x5;－x8(4)b2m·b2m+1。b4m+12.a3·a3＝____a6___,a3＋a3＝__2a3_____,a4·(－a)3＝__-a7____。注意：底數(shù)相同時，直接應(yīng)用法則；底數(shù)不相同時，先變成同底數(shù)，再應(yīng)用法則。[典型例題]例2計算：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；(2)(x－y)2·(y－x)5。【解析】：將底數(shù)看成一個整體進行計算．解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n；(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7。[歸納總結(jié)]底數(shù)互為相反數(shù)的冪相乘時，先把底數(shù)統(tǒng)一，再進行計算。(a－b)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（b－a）n（n為偶數(shù)），,－（b－a）n（n為奇數(shù)）.))[針對練習(xí)]1.(－x)3·(－x)2·(－x)＝__x6______,(x－y)2·(x－y)4＝__(x－y)6______。2.計算：(a－b)3·(b－a)·(a－b)5＝__-(a－b)9_____。（二）同底數(shù)冪的乘法法則的逆用[典型例題]例3（1）如果2m=5，2n=3，那么2m+n（2）若3×32m×32m[方法總結(jié)]同底數(shù)冪的乘法法則可以逆用，即am+n=am·an。（三）同底數(shù)冪的乘法法則的實際應(yīng)用[典型例題]例4光在真空中的速度約為3×108m/s,太陽光照射到地球上大約需要5×102m/s。地球距離太陽大約有多遠？解：3×108×5×102=15×1010=1.5×1011(m)。答：地球距離太陽大約有1.5×1011m。三、課堂小結(jié)1．同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即am·an＝am＋n(m，n都是正整數(shù))。同底數(shù)冪的乘法法則的運用四、課堂訓(xùn)練1.計算：(1)52×57;59(2)7×73×72;76(3)－x2·x3;－x5(4)(－c)3·(－c)m。(－c)3+m判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)x3·x5=x15 (×)(2)x·x3=x3 (×)(3)x3+x5=x8 (×)(4)x2·x2=2x4 (×)(5)(－x)2·(－x)3=(－x)5=－x5 (√)(6)a3·a2－a2·a3=0 (√)(7)a3·b5=(ab)8 (×)(8)y7+y7=y14 (×)五、布置作業(yè)見《練習(xí)冊》?！虒W(xué)反思※在同底數(shù)冪乘法公式的探究過程中，學(xué)生表現(xiàn)出觀察角度的差異：有的學(xué)生只是側(cè)重觀察某個單獨的式子，把它孤立地看，而不知道將幾個式子聯(lián)系起來；有的學(xué)生則既觀察入微，又統(tǒng)攬全局，表現(xiàn)出了較強的觀察力。教師要善于抓住這個契機，適當對學(xué)生進行指導(dǎo)，培養(yǎng)他們“既見樹木，又見森林”的優(yōu)良觀察品質(zhì)。對于公式使用的條件既要把握好“度”，又要把握好“方向”。

第一章整式的乘除1冪的乘除第2課時冪的乘方※教學(xué)目標※1.理解冪的乘方的運算性質(zhì)，進一步體會和鞏固冪的意義。(重點)2.掌握冪的乘方法則的推導(dǎo)過程并能靈活應(yīng)用。(難點)※教學(xué)過程※一、新課導(dǎo)入[情境導(dǎo)入]地球、木星、太陽可以近似地看作球體。木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的__103_____倍和__(102)3___倍。你知道(102)3等于多少嗎？(102)3=102×102×102根據(jù)(冪的意義)=102+2+2根據(jù)(同底數(shù)冪的乘法性質(zhì))=106=102×3。思考：(am)n=?其中m,n都是正整數(shù)。二、新知探究（一）冪的乘方法則[提出問題]1.計算下列各式，并說明理由。(1)(62)4；(2)(a2)3；(3)(am)2。(1)(62)4＝62×62×62×62＝62+2+2+2＝68＝62×4。(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a2+2+2＝a6＝a2×3。(3)(am)2＝am·am＝am+m＝a2m。[合作探究]請你觀察上述結(jié)果的底數(shù)與指數(shù)有何變化？猜想（am）n等于什么？底數(shù)不變，指數(shù)相乘。推導(dǎo)過程：一般地，對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m，n，驗證猜想：(am)n=amn。（m，n都是正整數(shù)）[歸納總結(jié)]冪的乘方法則運算法則：(am)n=amn(m，n都是正整數(shù))。文字說明：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。特別解讀1.“底數(shù)不變”是指冪的底數(shù)a不變，“指數(shù)相乘”是指冪的指數(shù)m與乘方的指數(shù)n相乘。2.底數(shù)可以是一個單項式，也可以是一個多項式。注意：1．公式中的底數(shù)a可以是具體的數(shù)，也可以是代數(shù)式。如：[([(a-b)3]2=(a-b)6[典型例題]例1計算：（1）(102)3；(2)(b5)5；（3）[(x－2y)3]4；(4)－(x2)m；(5)(y2)3·y；(6)2(a2)6－(a3)4。解：(1)(102)3=102×3=106。(2)(b5)5=b5×5=b25。(3)[(x－2y)3]4=(x－2y)3×4=(x－2y)12。(4)－(x2)m=－x2×m=－x2m。(5)(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7。(6)2(a2)6–(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12–a12=a12。[針對練習(xí)]1.計算：（1）(103)3；（2）-(a2)5；（3）(x3)4·x2。解：（1）(103)3=109。（2）-(a2)5=-a10。（3）(x3)4·x2=x12·x2=x14。2.判斷下面計算是否正確？如果有錯誤請改正：(1)(x5)5=x10；（×）改正：(x5)5=x25。(2)a6·a4=a24；（×）改正：a6·a4=a10。(3)m6+m4=m10；（×）改正：無法計算。(4)2y6+y6=3y12。（×）改正：2y6+y6=3y6。想一想：同底數(shù)冪的乘法法則與冪的乘方法則有什么相同點和不同點？填空：（1）a12=(a3)(4)=(a4)3=(a2)(6)=a3·a(9)；（2）(a2)t=(at)(2)=at·(2)。（二）冪的乘方法則的逆用[典型例題]例2比較340與430的大小。【解析】：逆用冪的乘方比較大?。?40＝(34)10，430＝(43)10，比較34與43的大小就可以得出340與430的大小。解：因為340＝(34)10，430＝(43)10，34＝81，43＝64，81＞61，所以(34)10＞(43)10，即340＞430。[典型例題]例3已知a2n＝3，求a4n－a6n的值。解：a4n－a6n＝(a2n)2－(a2n)3＝32－33＝9－27＝－18。[針對練習(xí)]1.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值：(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n。解：（1）103m＝(10m)3＝33＝27。（2）102n＝(10n)2＝22＝4。（3）103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108。2.已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值。解：因為2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3，所以4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8。三、課堂小結(jié)1.冪的乘方的運算性質(zhì)：(am)n=amn（m，n都是正整數(shù)）法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。2.運算中注意指數(shù)的運算與同底數(shù)冪的區(qū)別,底數(shù)可以是代數(shù)式。3.推導(dǎo)出法則時，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。4.利用法則完成互逆運算，培養(yǎng)逆向思維能力。四、課堂訓(xùn)練1．判斷題，錯誤的予以改正。(1)a4＋a4＝2a8。(×)改正：a4＋a4＝2a4。(2)(x3)3＝x6。(×)改正：(x3)3＝x9。(3)(－4)2×(－4)4＝(－4)6＝－46。(×)改正：原式＝46。(4)[(m－n)4]3－[(m－n)6]2＝0。(√)2．若(x2)m＝x10，則m＝__5__。3.計算：(1)(103)3；(2)(x3)4·x2；(3)–(x2)3。(4)x·x4–x2·x3。解：（1）(103)3＝109。（2）(x3)4·x2＝x12·x2＝x14。（3）–(x2)3＝-x6。（4）x·x4–x2·x3＝x5–x5=0。4．若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值。解：a3m+2n＝a3m·a2n＝(am)3·(an)2＝23×52＝200。五、布置作業(yè)見《練習(xí)冊》?！虒W(xué)反思※本節(jié)課復(fù)習(xí)回顧提供探究的基礎(chǔ)知識，情境的設(shè)置激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，并通過對問題的探究引入新的知識點。通過對冪的運算的探究，感受冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法的關(guān)系，體會知識的轉(zhuǎn)化，有效地突破重難點。在探究過程中充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，讓學(xué)生在已有知識上自主探究，學(xué)習(xí)效果較好。

第一章整式的乘除1冪的乘除第3課時積的乘方※教學(xué)目標※1．經(jīng)歷探索積的乘方的運算性質(zhì)的過程，進一步體會冪的意義，發(fā)展推理能力和有條理的表達能力。（難點）2．了解積的乘方的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題。（重點）※教學(xué)過程※一、新課導(dǎo)入[情境導(dǎo)入]地球可以近似地看成是球體，地球的半徑約為6×103千米，它的體積大約是多少立方千米?V球V球=πr3，其中V是球的體積，r是球的半徑。解：V球=43πr3=π×(6×103)3那么，(6×103)3=？二、新知探究（一）積的乘方法則[提出問題]1．根據(jù)乘方的意義，試做下列各題：(1)(3×5)4＝(3×5)(3×5)(3×5)(3×5)＝34×54；(2)(3×5)m＝＝3m×5m；(3)(ab)n＝＝＝anbn。[歸納總結(jié)](ab)n＝anbn(n是正整數(shù))積的乘方等于把積中各個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。那么，(6×103)3=63×(103)3=18×109。[延伸]三個或三個以上的積的乘方，是否也具有上面的性質(zhì)?怎樣用公式表示?(abc)n=an·bn·cn。[典型例題]例1計算：1.計算：(1)(2a2)3·a4＝__8a10__；(2)(x2y)3＝__x6y3__；(－eq\f(1,2)a2b3)3＝__－eq\f(1,8)a6b9__；(3)－(－3a3)2·(a2)3＝__－9a12__；(4)(－2a3b3)2＋(－2a2b2)3＝__－4a6b6__。[方法總結(jié)]運用積的乘方法則進行計算時，注意每個因式都要乘方，尤其是系數(shù)不要漏乘方。[針對練習(xí)]1.計算：(1)(－5ab)3；(2)－(3x2y)2；(3)(－eq\f(4,3)ab2c3)3；(4)(－xmy3m)2。解：(1)原式＝(－5)3a3b3＝－125a3b3。(2)原式＝－32x4y2＝－9x4y2。(3)原式＝(－eq\f(4,3))3a3b6c9＝－eq\f(64,27)a3b6c9。(4)原式＝(－1)2x2my6m＝x2my6m。例2計算：(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3?！窘馕觥浚?1)先計算積的乘方，然后根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則求解；(2)先計算積的乘方和冪的乘方，然后合并。解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9。(2)原式＝a6b12－a6b12＝0。[方法總結(jié)]涉及積的乘方的混合運算，一般先算積的乘方，再算乘法，然后算加減，最后合并同類項。（二）積的乘方法則的逆用[典型例題]例3計算：32024×(－eq\f(1,3))2025。解：原式＝32024×(－eq\f(1,3))2024×(－eq\f(1,3))＝[3×(－eq\f(1,3))]2024×(－eq\f(1,3))＝－eq\f(1,3)。[方法總結(jié)]對公式an·bn＝(ab)n要靈活運用，對于不符合公式的形式，要通過恒等變形轉(zhuǎn)化為公式的形式，運用此公式可進行簡便運算。[針對練習(xí)]1.計算：(eq\f(2,3))2024×1.52025×(－1)2024＝__eq\f(3,2)__。2.已知ax＝4，bx＝5，求(ab)2x的值。解：(ab)2x＝a2xb2x＝(ax)2·(bx)2＝42×52＝400。3.已知xn＝2，yn＝3，求(x2y)2n的值。解：(x2y)2n＝x4ny2n＝(xn)4·(yn)2＝24×32＝144。三、課堂小結(jié)1．積的乘方法則：積的乘方等于各因式乘方的積。即(ab)n＝anbn(n是正整數(shù))。2．積的乘方的運用四、課堂訓(xùn)練1.計算(-x2y)2的結(jié)果是（A）A．x4y2B．-x4y2C．x2y2D．-x2y22.計算(-x2)3的結(jié)果是（C）A.-x5B.x5C.-x6D.x63.下列四個算式中：①（a3）3=a3+3=a6；②［（b2）2］2=b2×2×2=b8；③［（-x）3］4=（-x）12=x12；④（-y2）5=y10，正確的算式有（C）A.0個B.1個C.2個D.3個4.計算：（1）(-3n)3·4n2；（2）(5xy)3-（5x）2·2xy3；（3）-a3+(-4a)2a。解：（1）(-3n)3·4n2=(-3)3n3·4n2=-27n3·4n2=-108n5。（2）(5xy)3-（5x）2·2xy3=53x3y3-52x2·2xy3=125x3y3-50x3y3=75x3y3。（3）-a3+(-4a)2a=-a3+42a2a=-a3+16a3=15a3。5.（1）已知an＝2，b2n＝3，求(a3b4)2n的值。解：原式＝a6nb8n＝(an)6(b2n)4＝26×34＝5184。(2)若59＝a，95＝b，用a，b表示4545的值。解：因為a5＝(59)5＝545，b9＝(95)9＝945，所以4545＝(5×9)45＝545×945＝a5b9。五、布置作業(yè)見《練習(xí)冊》?！虒W(xué)反思※在本節(jié)的教學(xué)過程中教師可以采用與前面相同的方式展開教學(xué)。教師在講解積的乘方公式的應(yīng)用時，再補充講解積的乘方公式的逆運算：an·bn＝(ab)n，同時教師為了提高學(xué)生的運算速度和應(yīng)用能力，也可以補充講解：當n為奇數(shù)時，(－a)n＝－an(n為正整數(shù))；當n為偶數(shù)時，(－a)n＝an(n為正整數(shù))。

第一章整式的乘除1冪的乘除第4課時同底數(shù)冪的除法※教學(xué)目標※1．了解同底數(shù)冪的除法的運算性質(zhì)，并能解決一些問題。（重點）2．理解并掌握科學(xué)記數(shù)法表示小于1的數(shù)的方法。（重點）3．能將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原為原數(shù)。（難點）※教學(xué)過程※一、新課導(dǎo)入[情境導(dǎo)入]一種液體每升含有1012個有害細菌，為了試驗?zāi)撤N殺菌劑的效果，科學(xué)家們進行了實驗，發(fā)現(xiàn)1滴殺菌劑可以殺死109個此種細菌。要將1升液體中的有害細菌全部殺死，需要這種殺菌劑多少滴？解：1012÷109=109·10二、新知探究（一）同底數(shù)冪的除法法則[提出問題]探究1：計算下列各式，并說明理由（m>n）。(1)108÷105;(2)10m÷10n;(3)(-3)m÷(-3)n。解：(1)108÷105==103=108-5。(2)10m÷10n===10m-n。(3)(-3)m÷(-3)n===(-3)m-n。這個驗證問題如何用數(shù)學(xué)的語言表示？[合作探究]試證明：am÷an=am-n。驗證：由冪的定義可知am÷an===am-n。你能從中歸納出同底數(shù)冪除法的法則嗎？[歸納總結(jié)]am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整數(shù)，且m>n)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。[典型例題]例1計算：(1)x6÷x2；(2)(－3)7÷(－3)4；(3)(－ab2)5÷(－ab2)2；(4)(a－b)4÷(b－a)。解：(1)原式＝x6－2＝x4。(2)原式＝(－3)3＝－27。(3)原式＝(－ab2)3＝－a3b6。(4)原式＝(b－a)4÷(b－a)＝(b－a)3。[針對練習(xí)]計算：(1)25÷23＝__4__；(2)a9÷a3÷a＝__a5__；(3)(－xy)3÷(－xy)2÷(－xy)＝__1__；(4)(a－b)5÷(b－a)3＝__－(a－b)2__；(5)(－y2)3÷y6＝__－1__；(6)am＋1÷am－1·(am)2＝__a2m＋2__。（二）同底數(shù)冪的除法法則的逆用[典型例題]例2已知：am=8，an=5。求：(1)am－n的值；(2)a3m－3n的值。解：(1)am－n=am÷an=8÷5=1.6。（2）a3m－3n=a3m÷a3n=(am)3÷(an)3=83÷53=512÷125=eq\f(512,125)。（三）零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪探究2：1.做一做：104=10000，24=1610（3）=1000，2（3）=810（2）=100，2（2）=410（1）=10，2（1）=22.猜一猜：下面的括號內(nèi)該填入什么數(shù)？你是怎么想的？與同伴交流：10（0）=1，2（0）=110（-1）=110，2（-1）=10（-2）=1100，2（-2）=10（-3）=11000，2（-3）=3.你有什么發(fā)現(xiàn)？能用符號表示你的發(fā)現(xiàn)嗎？通過計算和觀察第一組算式，發(fā)現(xiàn)等式左邊的冪指數(shù)每減少1，等式右邊的數(shù)值就縮小為原來的eq\f(1,10)。用符號表示為：a0=1,a-p=eq\f(1,ap)。4.對于同底數(shù)冪除法公式am÷an＝am－n(a≠0）中，有一個附加條件m＞n。請問同底數(shù)冪的除法性質(zhì)對于m≤n時仍然成立嗎？為什么？①當m＝n時，你有什么發(fā)現(xiàn)？若m＝n，則am÷an＝am÷am，所以am÷am＝1或am÷am=am－m＝a0，所以得到a0＝1(a≠0)。②當m＜n時，你有什么發(fā)現(xiàn)？若m＜n，設(shè)m－n＝－p，則am÷an＝am－n＝a－p或am÷an＝eq\f(am,an)＝eq\f(1,ap)，所以a－p＝eq\f(1,ap)(a≠0，p為正整數(shù))。[歸納總結(jié)]任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1。a0=1(a≠0)。任何不等于零的數(shù)的-p(p是正整數(shù))次冪，等于這個數(shù)的p次冪的倒數(shù)。p=(a≠0,p是正整數(shù))。[法則解讀]任意非0的數(shù)的0次冪為1，底數(shù)不能為0，負整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能為0。[典型例題]例3用小數(shù)或分數(shù)表示下列各數(shù)：（1）10－3；（2）70×8－2；（3）1.6×10－4。解：（1）10－3=（2）70×8－2=1×（3）1.6×10－4=1.6×議一議計算下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？與同伴進行交流。（1）7-3÷7-5；（2）3-1÷36；（3）；（4）（-8）0÷（-8）-2。解：（1）7-3÷7-5=173÷175=173×75=（2）3-1÷36=13×136=13×36（3）=25÷122=25×22=27（4）（-8）0÷（-8）-2=1÷1-82=-82=-80-[歸納總結(jié)]同底數(shù)冪除法的運算性質(zhì)中的m，n可以擴大到全體整數(shù)。am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整數(shù)，且m>n)[典型例題]例4若a＝(－eq\f(2,3))－2，b＝(－1)－1，c＝(－eq\f(3,2))0，則a，b，c的大小關(guān)系是__a＞c＞b__。[針對練習(xí)]1.下列算式：①0.0010＝1；②2－4＝eq\f(1,16)；③10－3＝0.001；④(8－2×4)0＝1。其中正確的有(C)A．1個B．2個C．3個D．4個2.若(x－3)0－2(3x－6)－2有意義，則x的取值范圍是(B)A．x＞3B．x≠3且x≠2C．x≠3或x≠2D．x＜23.填空：(1)(－eq\f(1,2))3÷(－eq\f(1,2))5·(－eq\f(1,2))5÷(－2)－3＝__1__；(2)[－2－3－8－1×(－1)4]×(eq\f(1,2))－2×80＝__－1__。（四）用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值不大于1的數(shù)科學(xué)記數(shù)法除了可以表示一些絕對值很大的數(shù)外，也可以很方便地表示一些絕對值較小的數(shù)。一個小于1的正數(shù)可以表示為a×10n，其中1≤a＜10，n是負整數(shù)。[典型例題]例50.0001＝__eq\f(1,104)__＝__1×10－4__；0.000000001＝__eq\f(1,109)__＝__1×10－9__；0．0000000000000003420＝__3.42×eq\f(1,1016)__＝__3.42×10－16__；0．0000000001＝1×10－10；0.0000000000029＝2.9×10－12；0．000000001295＝1.295×10－9。[方法總結(jié)]用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時應(yīng)注意：(1)1后面0的個數(shù)與10的n次方對應(yīng)．如＝10n；(2)絕對值小于1的數(shù)1前0的個數(shù)與10的負n次方對應(yīng)．如＝10－n。[針對練習(xí)]1.下列科學(xué)記數(shù)法表示正確的是(C)A．0.008＝8×10－2B．0.0056＝5.6×10－2C．0.0036＝3.6×10－3D．15000＝1.5×1032.實驗表明，人體內(nèi)某細胞的形狀可以近似地看成球狀，并且它的直徑為0.00000156m，則這個數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示為(C)A．0.15×10－5mB．0.156×105mC．1.56×10－6mD．1.56×106m3.一塊900mm2的芯片上能集10億個元件，每一個這樣的元件約占多少平方毫米？約占多少平方米？(用科學(xué)記數(shù)法表示)解：9×10－7mm2;9×10－13m2。[典型例題]例6用小數(shù)表示下列各數(shù)：(1)2×10－7;(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3;(4)2.17×10－1。解：(1)2×10－7＝0.0000002。(2)3.14×10－5＝0.0000314。(3)7.08×10－3＝0.00708。(4)2.17×10－1＝0.217。[針對練習(xí)]1.eq\f(1,5×105)用科學(xué)記數(shù)法表示為(D)A．5×10－5B．5×10－6C．2×10－5D．2×10－62.長度單位1nm＝10－9m，目前發(fā)現(xiàn)一種新型病毒的直徑為25100nm，用科學(xué)記數(shù)法表示該病毒直徑是____m(D)A．251×10－6B．0.251×10－4C．2.51×105D．2.51×10－5三、課堂小結(jié)1．同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整數(shù)，且m>n)2．零次冪：任何一個不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，即a0＝1(a≠0)。3．負整數(shù)次冪：任何一個不等于零的數(shù)的－p(p是正整數(shù))次冪，等于這個數(shù)p次冪的倒數(shù)，即a－p＝eq\f(1,ap)(a≠0，p是正整數(shù))。課堂訓(xùn)練1.一種花瓣的花粉顆粒直徑約為0.0000065米，0.0000065用科學(xué)記數(shù)法表示為(B)A.6.5×10-5B.6.5×10-6C.6.5×10-7D.65×10-62.一種細菌半徑是1.21×10-5米，用小數(shù)表示為____0.0000121_______.3.下面的計算是否正確？如有錯誤，請改正：（1）a6÷a1=a；錯誤，應(yīng)等于a6-1=a5（2）b6÷b3=b2；錯誤，應(yīng)等于b6-3=b3（3）a10÷a9=a；正確（4）(-bc)4÷(-bc)2=-b2c2；錯誤，應(yīng)等于(-bc)4-2=(-bc)2=b2c24.（1）(a-b)7÷(b-a)3=-(a-b)4（2）m19÷m14×m3÷m=m7（3）(b2)3×(-b3)4÷(b5)3=b3（4）98×272÷(-3)18=815.計算：(1)(14)－1＝___4____(2)(32)－2＝__49(3)22＋2－2－(12)-2＝___146.計算：－22＋(－eq\f(1,2))－2＋(2025－π)0－|2－eq\f(π,2)|.解：－22＋(－eq\f(1,2))－2＋(2025－π)0－|2－eq\f(π,2)|＝－4＋4＋1－2＋eq\f(π,2)＝eq\f(π,2)－1。五、布置作業(yè)見《練習(xí)冊》?！虒W(xué)反思※1.從計算具體問題中的同底數(shù)冪的除法，逐步歸納出同底數(shù)冪除法的一般性質(zhì)。教學(xué)時要多舉幾個例子，讓學(xué)生從中總結(jié)出規(guī)律，體驗自主探究的樂趣和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力，為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。2.課前先布置了預(yù)習(xí)作業(yè)讓學(xué)生在自己熟悉的生活場景中查找絕對值較小的數(shù)據(jù)，在記錄的時候?qū)W生會充分感受到這些數(shù)據(jù)書寫的復(fù)雜性，從而自己產(chǎn)生尋求簡便表示方法的強烈愿望，這時課上再引入科學(xué)記數(shù)法就順理成章了。這樣的設(shè)計巧妙地提高了他們的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生了解了數(shù)學(xué)的價值，體會了數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系。（在引入環(huán)節(jié)中，如果能讓學(xué)生將課前收集的資料，用圖片或課件的形式在課上展示，給學(xué)生更強烈的視覺沖擊，會更好的激發(fā)學(xué)生的探究興趣）

第一章整式的乘除2整式的乘法第1課時單項式與單項式相乘※教學(xué)目標※1.掌握單項式與單項式相乘的運算法則。（重點）2.能夠靈活地進行單項式與單項式相乘的運算。（難點）※教學(xué)過程※一、新課導(dǎo)入[情境導(dǎo)入]若兩張畫紙的大小相同，請列式計算兩幅畫的面積。對于上面的問題的結(jié)果：第一幅畫的畫面面積是x·mx平方米。第二幅畫的畫面面積是(mx)·x平方米。問題1：以上求矩形的面積時，會遇到x·mx，(mx)·x，這是什么運算呢？問題2：什么是單項式？我們知道，整式包括單項式和多項式，從這節(jié)課起我們就來研究整式的乘法，先學(xué)習(xí)單項式乘以單項式。二、新知探究（一）單項式與單項式相乘[提出問題]上面問題的兩個結(jié)果可以表達得更簡單些嗎？說說你的理由？。。理由：根據(jù)乘法的交換律、結(jié)合律，冪的運算性質(zhì)。[合作探究]怎樣計算xyz·y2z？計算過程中用到了哪些運算律及運算性質(zhì)？xyz·y2z=x·(y·y2)·(z·z)根據(jù)（乘法交換律、結(jié)合律）=xy3z2。根據(jù)（同底數(shù)冪的乘法）思考：如果將上式中的系數(shù)改為不是1的，比如3a2b·2ab3,怎樣計算這個式子？3a2b·2ab3=（3×2）(a2·a)·(b·b3)(乘法交換律、結(jié)合律）=6a2+1b1+3(同底數(shù)冪的乘法）=6a3b4。根據(jù)以上計算，想一想單項式乘以單項式法則是什么？[歸納總結(jié)]單項式與單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。[特別解讀]（1）系數(shù)相乘；（2）相同字母的冪相乘；（3）其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。拓展：單項式乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用。[典型例題]例1計算：(1)(－3.5x2y2)·(0.6xy4z)；(2)(－2ab3)2·(－a2b)。解：(1)原式＝(－3.5×0.6)(x2·x)(y2·y4)·z＝－2.1x3y6z。(2)原式＝4a2b6·(－a2b)＝－4(a2·a2)·(b6·b)＝－4a4b7。[方法總結(jié)](1)在計算時，應(yīng)先進行符號運算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；(2)注意按順序運算；(3)不要漏掉只在一個單項式里含有的字母因式；(4)此性質(zhì)對于多個單項式相乘仍然成立。思考：單項式乘以單項式的結(jié)果是__單項式____。[針對練習(xí)]1.計算：(1)－5xy2·eq\f(1,5)xy；(2)5x3y·(－3xy)2；(3)－eq\f(1,2)abc·eq\f(2,3)a2b2·(－eq\f(3,5)bc)。解：(1)原式＝[(－5)×eq\f(1,5)]·x2y3＝－x2y3。(2)原式＝5x3y·9x2y2＝45x5y3。(3)原式＝[－eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×(－eq\f(3,5))]·a3b4c2＝eq\f(1,5)a3b4c2。2.下面計算結(jié)果對不對？如果不對，應(yīng)當怎樣改正？（1）3a3·2a2=6a6(×)改正：3a3·2a2=6a5。(2)2x2·3x2=6x4(√)改正：。(3)3x2·4x2=12x2(×)改正：3x2·4x2=12x4。(4)5y3·3y5=15y15(×)改正：5y3·3y5=15y8。3.若單項式－6x2ym與eq\f(1,3)xn－1y3是同類項，那么這兩個單項式的積是__－2x4y6__。（二）單項式與單項式相乘的實際應(yīng)用[典型例題]例2有一塊長為xm，寬為ym的長方形空地，現(xiàn)在要在這塊地中規(guī)劃一塊長eq\f(3,5)xm，寬eq\f(3,4)ym的長方形空地用于綠化，求綠化的面積和剩下的面積。解：長方形的面積是xym2，綠化的面積是eq\f(3,5)x×eq\f(3,4)y＝eq\f(9,20)xy(m2)，則剩下的面積是xy－eq\f(9,20)xy＝eq\f(11,20)xy(m2)。[針對練習(xí)]若長方形的寬是a×103cm，長是寬的2倍，則長方形的面積為__2a2×106__cm2。三、課堂小結(jié)1．單項式乘以單項式的運算法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里面含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。2．單項式乘以單項式的應(yīng)用。四、課堂訓(xùn)練1.計算3a2·2a3的結(jié)果是（B）A.5a5B.6a5C.5a6D.6a62.如果單項式－2xa－2by2a＋b與x3y8是同類項，那么這兩個單項式的積是(A)A．－2x6y16B．－2x6y32C．－2x3y8D．－4x6y163.當a＝2，b＝eq\f(1,2)時，5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3·(－4a)2的值為__－7__。4.(1)(－eq\f(2,3)a2b)·eq\f(5,6)ac2；(2)(－eq\f(1,2)x2y)3·3xy2·(2xy2)2；(3)－6m2n·(x－y)3·eq\f(1,3)mn2(y－x)2。解：(1)(－eq\f(2,3)a2b)·eq\f(5,6)ac2＝－eq\f(2,3)×eq\f(5,6)a3bc2＝－eq\f(5,9)a3bc2。(2)(－eq\f(1,2)x2y)3·3xy2·(2xy2)2＝－eq\f(1,8)x6y3×3xy2×4x2y4＝－eq\f(3,2)x9y9。(3)－6m2n·(x－y)3·eq\f(1,3)mn2(y－x)2＝－6×eq\f(1,3)m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5。5.一家住房的結(jié)構(gòu)如圖所示，這家房子的主人打算把臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？解：依題意，得2x·4y＋x·2y＋x·y＝8xy＋2xy＋xy＝11xy(平方米)。答：至少需要11xy平方米的地磚。五、布置作業(yè)見《練習(xí)冊》?！虒W(xué)反思※新課程標準下，數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的思維，教材中的難點往往是數(shù)學(xué)思維迅速豐富、過程大步跳躍的地方，所以在本節(jié)課難點教學(xué)中既注意了化難為易的效果，又注意了化難為易的過程，在探究法則的過程中設(shè)置循序漸進的問題，不斷啟迪學(xué)生思考，發(fā)展學(xué)生的思維能力，在應(yīng)用法則的過程中，又引導(dǎo)學(xué)生進行解題后的反思，這些將促使學(xué)生知識水平和能力水平同時提高。

第一章整式的乘除2整式的乘法第2課時多項式的乘法※教學(xué)目標※1.能根據(jù)乘法分配律和單項式與單項式相乘的法則探究單項式與多項式相乘的法則。2.掌握單項式與多項式相乘的法則并會運用。(重點，難點)3.經(jīng)歷探索多項式乘法法則的過程，理解多項式乘法的法則，并會進行多項式乘法的運算。(重點，難點)4.進一步體會乘法分配律的作用和轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展有條理地思考和語言表達能力。※教學(xué)過程※一、新課導(dǎo)入[情境導(dǎo)入]寧寧作了一幅畫，所用紙的大小如圖所示，她在紙的左、右兩邊各留了xm的空白，這幅畫的畫面面積是多少？法一：先表示出畫面的長和寬，由此得到畫面的面積為x(nx-x)㎡；法二：先求出紙的面積，再減去兩塊空白處的面積，由此得到畫面的面積為(nx2-x2)㎡.思考：上面問題的兩種方法得到的答案不一樣，由此你可以得到什么？x(nx-x)=nx2-x2二、新知探究（一）單項式與多項式相乘[合作探究](1)ab·(abc+2x)及c2(m+n-p)等于什么?你是怎樣計算的?ab·(abc+2x)=ab·abc+ab·2x根據(jù)（乘法分配律)=(a·a)(b·b)c+2abx=a2b2c+2abx根據(jù)（同底數(shù)冪的乘法性質(zhì))c2(m+n-p)=c2·m+cn-c2·p=c2m+c2n-c2p(2)如何進行單項式與多項式相乘的運算?[歸納總結(jié)]單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加。注意：（1）依據(jù)是乘法分配律；（2）結(jié)果的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。[典型例題]例1計算：(1)(eq\f(2,3)ab2－2ab)·eq\f(1,2)ab；(2)－2x·(eq\f(1,2)x2y＋3y－1)。解：(1)原式＝eq\f(2,3)ab2·eq\f(1,2)ab－2ab·eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,3)a2b3－a2b2。(2)原式＝－2x·eq\f(1,2)x2y＋(－2x)·3y＋(－2x)·(－1)＝－x3y－6xy＋2x。[方法總結(jié)]單項式乘多項式，單項式要乘多項式的每一項；注意符號變化和運算順序。[針對練習(xí)]1.計算：（1）(－2ab)2·(3a＋2b－1)；（2）2x(x2－3x＋3)－x2(2x－1)；（3）(3x2＋eq\f(1,2)y－eq\f(2,3)y2)·(－eq\f(1,2)xy)3。解：（1）原式＝12a3b2＋8a2b3－4a2b2.（2）原式＝－5x2＋6x.（3）原式＝－eq\f(3,8)x5y3－eq\f(1,16)x3y4＋eq\f(1,12)x3y5.[典型例題]例2一條防洪堤壩，其橫斷面是梯形，上底寬a米，下底寬(a＋2b)米，壩高eq\f(1,2)a米。(1)求防洪堤壩的橫斷面面積；(2)如果防洪堤壩長100米，那么這段防洪堤壩的體積是多少立方米？解：(1)防洪堤壩的橫斷面面積S＝eq\f(1,2)[a＋(a＋2b)]×eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a(2a＋2b)＝(eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab)(平方米)。故防洪堤壩的橫斷面面積為(eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab)平方米。(2)堤壩的體積V＝Sl＝(eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab)×100＝50a2＋50ab(立方米)。故這段防洪堤壩的體積是(50a2＋50ab)立方米。[針對練習(xí)]1.一個長方體的長、寬、高分別是3x－4，2x和x，則它的表面積是__22x2－24x__。2.已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為2ab和(a＋b)，則這個三角形的面積是__a2b＋ab2__。3.先化簡，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2。解：原式＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2＝－28a2＋15a，當a＝2時，原式＝－82。（二）多項式與多項式相乘[提出問題]某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長為m、寬為a的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n和b，用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積。解：由圖可知林區(qū)面積可表示為(a＋b)(m＋n)，也可以表示成ma＋mb＋na＋nb，由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb。這就是我們將學(xué)習(xí)的多項式乘多項式。[合作探究]如何計算(m＋a)(n＋b)，你能找到一種方法嗎：解：設(shè)m＋a＝A，則(m＋a)(n＋b)＝A(n＋b)＝An＋Ab＝(m＋a)n＋(m＋a)b＝mn＋an＋mb＋ab。[歸納總結(jié)]多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。特別解讀：1.多項式乘多項式法則的實質(zhì)是將多項式與多項式相乘轉(zhuǎn)化為幾個單項式相乘的和的形式。2.多項式與多項式相乘的結(jié)果仍為多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該是兩個多項式的項數(shù)之積。3.計算結(jié)果一定要注意合并同類項。[典型例題]例3計算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)。解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4。(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5。[方法總結(jié)]多項式乘以多項式，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積。[典型例題]例4先化簡，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1。解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2。當a＝－1，b＝1時，原式＝－8＋2－15＝－21。[方法總結(jié)]化簡求值是整式運算中常見的題型，一定要注意先化簡，再求值，不能先代值，再計算。[典型例題]例5千年古鎮(zhèn)楊家灘的某小區(qū)的內(nèi)部有一塊長為(3a＋b)米，寬為(2a＋b)米的長方形空地，物業(yè)部門計劃將空地進行綠化(如圖陰影部分)，中間部分將修建一仿古小景點(如圖中間的正方形)，則綠化的面積是多少平方米？并求出當a＝3，b＝2時的綠化面積。解：由題意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝（5a2＋3ab）(平方米)。當a＝3，b＝2時，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)。故綠化的面積是63平方米。三、課堂小結(jié)1.單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加。2.多項式與多項式的乘法法則：多項式和多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。四、課堂訓(xùn)練1.下列說法不正確的是（D）A.兩個單項式的積仍是單項式B.兩個單項式的積的次數(shù)等于它們的次數(shù)之和C.單項式乘以多項式，積的項數(shù)與多項式項數(shù)相同D.多項式乘以多項式，合并同類項前，積的項數(shù)等于兩個多項式的項數(shù)之和2.下列多項式相乘的結(jié)果是a2-a-6的是（B）A.（a-2）（a+3）B.（a+2）（a-3）C.（a-6）（a+1）D.（a+6）（a-1）3.計算：(1)(3x＋4)(2x－1)；解：（1）原式＝6x2＋5x－4。(2x－3y)(x＋5y)；解：原式＝2x2＋7xy－15y2。(3)(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)。解：原式＝x2－6x＋7x－42－(x2＋x－2x－2)＝2x－40。4.先化簡，再求值：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中a=-2。解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a。當a=-2時，原式=-20×(－2)2+9×(－2)=-98。5.如圖，在長為10，寬為6的長方形鐵皮四角截去四個邊長為x的正方形、再將四邊沿虛線折起，制成一個無蓋的長方體盒子，求盒子的體積。解：(10－2x)(6－2x)x＝4x3－32x2＋60x。五、布置作業(yè)見《練習(xí)冊》?！虒W(xué)反思※本節(jié)課在已學(xué)過的單項式與單項式相乘的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的法則。這一板塊的知識前后銜接緊密、環(huán)環(huán)相扣,因此采用了先回顧，再呈現(xiàn)問題情境的引入方法實現(xiàn)“溫故知新”。但是在教學(xué)過程中，我們不應(yīng)僅僅讓學(xué)生感受知識需要“溫故知新”，更應(yīng)該讓他們體會到解決這些“新”都是用了同樣的數(shù)學(xué)思想方法——轉(zhuǎn)化。整式的乘法中這三個法則的探索在難度上是逐漸深入的，在方法和思路上卻又是統(tǒng)一的，通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生體會：當他們遇到新問題時，可以效仿之前用到的數(shù)學(xué)思想方法來解決，從而真正掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

第一章整式的乘除3乘法公式第1課時平方差公式的認識※教學(xué)目標※1．經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推論能力。2．會運用公式進行簡單的乘法運算。(重點）※教學(xué)過程※一、新課導(dǎo)入1．計算下列各題，觀察結(jié)果有什么特征：(x＋1)(x－1)(n＋2)(n－2)＝x2－x＋x－1＝n2－2n＋2n－4＝x2－1。＝n2－4。(x－2y)(x＋2y)(x＋5y)(x－5y)＝x2＋2xy－2xy－4y2＝x2－5xy＋5xy－25y2＝x2－4y2。＝x2－25y2。答：結(jié)果都為兩數(shù)的平方差。二、新知探究（一）平方差公式[提出問題]計算下列各題：(1)(x＋5)(x－5);(2)(2y＋z)(2y－z)。解：(1)原式＝x2－5x＋5x－25＝x2－25。(2)原式＝(2y)2－2yz＋2yz－z2＝4y2－z2。觀察以上算式及運算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？答：以上各算式可看成兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差相乘，結(jié)果均為對應(yīng)兩數(shù)的平方差的形式。[歸納總結(jié)]平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2。兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差。填一填：算式符號相同項符號相反項結(jié)果(a-b)(a+b)aba2-b2（1+x）（1-x）1x12-x2（-3+a）（-3-a）-3a（-3）2-a2（1+a）（-1+a）a1a2-12（0.3x-1）（1+0.3x）0.3x1（0.3x）2-12練一練：回答下列各題：(1)(-a+b)(a+b)=__b2-a2_______。(2)(a-b)(b+a)=___a2-b2_______。(3)(-a-b)(-a+b)=_a2-b2_______。(4)(a-b)(-a-b)=___b2-a2______。[典型例題]例1利用平方差公式計算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)。解：(1)原式＝(3x)2－52＝9x2－25。(2)原式＝4a2－b2。(3)原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2。(4)原式＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16。[方法總結(jié)]應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式。[針對練習(xí)]1.在計算下列各式時，可以用平方差公式的是(D)A．(x＋y)(x＋y)B．(x－y)(y－x)C．(x－y)(－y＋x)D．(x－y)(－x－y)2.計算：(1)x(2x＋5)(2x－5)＝__4x3－25x__；(2)(2x＋eq\f(1,3)y)(－eq\f(1,3)y＋2x)＝__4x2－eq\f(1,9)y2__；(3)(－a－b)(__－a＋b__)＝a2－b2。三、課堂小結(jié)四、課堂訓(xùn)練1.下列式中能用平方差公式計算的有(D)①(x-y)(x+y),②(3a-bc)(-bc-3a),③(3-x+y)(3+x+y),④(100+1)(100-1)A.1個B.2個C.3個D.4個2.乘法等式中的字母a，b表示(D)A.只能是數(shù)B.只能是單項式C.只能是多項式D.單項式、多項式都可以3.計算：（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（-p2+q）（-p2-q）；（3）(12m-n)(-12解：（1）原式=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2。（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2。（3）原式=(-n)2-(12m)2=n2-14m4.計算：（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）。解：原式=［x+（y-z）］［x-（y-z）］-［x+（y+z）］［x-（y+z）］=x2-（y-z）2-［x2-（y+z）2］=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2=（y+z）2-（y-z）2=（y+z+y-z）［y+z-（y-z）］=2y·2z=4yz。五、布置作業(yè)見《練習(xí)冊》?！虒W(xué)反思※本課讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索平方差公式的推導(dǎo)過程，采用自學(xué)為主的教學(xué)設(shè)計，在教學(xué)方法上采用以問題的形式，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、探索，再通過討論、交流、發(fā)現(xiàn)平方差公式的特點，接著，教師適當?shù)囊龑?dǎo)，使學(xué)生理解掌握平方差公式的推導(dǎo)過程，通過練習(xí)鞏固，力求突出重點、突破難點，使學(xué)生運用平方差公式解決問題的能力得到進一步提高。在整個教學(xué)過程中，分層次地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和方法，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。第一章整式的乘除3乘法公式第2課時平方差公式的運用※教學(xué)目標※1．了解平方差公式的幾何背景，發(fā)展幾何直觀，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想。(重點）2．會運用平方差公式進行數(shù)的簡便運算和整式的混合運算。(難點）※教學(xué)過程※一、新課導(dǎo)入某同學(xué)在計算97×103時將其變成(100-3)(100+3)并很快得出結(jié)果，你知道他運用了什么知識嗎？這節(jié)課我們一起來探討上述計算的規(guī)律。運用了平方差公式二、新知探究（一）平方差公式的幾何意義[合作探究]如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。(1)請表示圖1中陰影部分的面積。a2-b2(2)小穎將陰影部分拼成了一個長方形(如圖2)，這個長方形的長和寬分別是多少?你能表示出它的面積嗎?(a+b)(a-b)(3)比較(1)(2)的結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎?由于(1)(2)表示的面積相同，所以可以驗證平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2。[歸納總結(jié)]通過幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系可對平方差公式做出幾何解釋。還有其他的幾何方法解釋嗎？（二）平方差公式的運用[典型例題]例1利用平方差公式計算：(1)20eq\f(1,3)×19eq\f(2,3)；(2)13.2×12.8。解：(1)20eq\f(1,3)×19eq\f(2,3)＝(20＋eq\f(1,3))×(20－eq\f(1,3))＝202－(eq\f(1,3))2＝400－eq\f(1,9)＝399eq\f(8,9)。(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96。注意：不能直接應(yīng)用公式的，要經(jīng)過變形才可以應(yīng)用。[歸納總結(jié)]通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算。[針對練習(xí)]1.用簡便方法計算：(1)7eq\f(3,4)×8eq\f(1,4)；(2)99×101×10001。解：(1)原式＝(8－eq\f(1,4))(8＋eq\f(1,4))＝82－(eq\f(1,4))2＝63eq\f(15,16)。(2)原式＝(100－1)×(100＋1)×10001＝(1002－1)×10001＝(10000－1)×(10000＋1)＝100002－1＝99999999。2.計算20252－2024×2026的結(jié)果是(D)A．－2B．－1C．0D．1[典型例題]例2先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2。解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2。當x＝1，y＝2時，原式＝5×12－5×22＝－15。[針對練習(xí)]先化簡，再求值：(1＋a)(1－a)＋a(a－2)，其中a＝eq\f(1,2)。解：原式＝1－a2＋a2－2a＝1－2a，當a＝eq\f(1,2)時，原式＝1－2×eq\f(1,2)＝1－1＝0。[典型例題]例3王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽。今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)原價租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應(yīng)了。你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？解：李大媽吃虧了。理由如下：原正方形的面積為a2，改變邊長后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16。因為a2＞a2－16，所以李大媽吃虧了。三、課堂小結(jié)四、課堂訓(xùn)練1.如圖，在邊長為a的正方形中裁掉一個邊長為b的小正方形(如圖1)，將剩余部分沿虛線剪開后拼接(如圖2)，通過計算，用拼接前后兩個圖形中陰影部分的面積可以驗證等式(A)A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.(a-b)2=a2-2ab+b22.計算a2-(a+1)(a-1)的結(jié)果是(A)A.1B.-1C.2a2+1D.2a2-13.簡便計算：（1）403×397；解：原式=（400+3）（400-3）=4002-32=159991。（2）(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)。解：原式=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)=(a4-1)(a4+1)(a8+1)=(a8-1)(a8+1)=a16-1。五、布置作業(yè)見《練習(xí)冊》。※教學(xué)反思※本節(jié)課經(jīng)過對兩個圖形的面積的計算，使學(xué)生明白可以通過幾何圖形對平方差公式進行驗證。同時利用平方差公式進行簡便運算。通過練習(xí)的情況來看，學(xué)生對簡單的題目，能夠用平方差公式進行簡便運算，但需要變形之后再利用公式進行計算，學(xué)生掌握的不夠好，所以還需要加強練習(xí)。

第一章整式的乘除3乘法公式第3課時完全平方公式的認識※教學(xué)目標※1．經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力。(重點）2．會推導(dǎo)完全平方公式，并能運用公式進行簡單的計算。（難點）※教學(xué)過程※一、新課導(dǎo)入【情境導(dǎo)入】計算：(1)(x＋1)2；(2)(y－2)2；解：（1）原式＝(x＋1)(x＋1)＝x2＋x＋x＋1＝x2＋2x＋1。（2）原式＝(y－2)(y－2)＝y(tǒng)2－2y－2y＋4＝y(tǒng)2－4y＋4。思考：由上述計算，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？發(fā)現(xiàn)：左邊是兩數(shù)和(或差)的平方，右邊是這兩數(shù)平方和與它們2倍的和(或差)。二、新知探究（一）完全平方公式[合作探究]計算(a＋b)2，(a－b)2，并歸納計算結(jié)果。解：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2。(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2。[總結(jié)歸納]完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2兩數(shù)和(或差)的平方，等于兩數(shù)的平方和加上(或減去)兩數(shù)積的2倍。簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”。思考：你能根據(jù)下圖中的面積說明完全平方公式嗎?和的完全平方(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。差的完全平方(a-b)2＝a2-2ab＋b2。公式特征：1.積為二次三項式；2.積中的兩項為兩數(shù)的平方；3.另一項是兩數(shù)積的2倍，且與原式中間的符號相同；4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)、單項式和多項式。[典型例題]例1利用完全平方公式計算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2；（4）(a＋b＋c)2。解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2。(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2。(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2。（4）原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。注意：當公式中的兩個數(shù)的系數(shù)絕對值不為1時，平方時不要漏掉系數(shù)的平方。思考：(a+b)2與(-a-b)2相等嗎?(a-b)2與(b-a)2相等嗎?(a-b)2與a2-b2相等嗎?為什么?解：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2。(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2。(a-b)2與a2-b2不一定相等，只有當b=0或a=b時，(a-b)2=a2-b2。[針對練習(xí)]1.下面各式的計算是否正確？如果不正確，應(yīng)當怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2(×)(x+y)2=x2+2xy+y2(2)(x-y)2=x2-y2(×)(x-y)2=x2-2xy+y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(×)(-x+y)2=x2-2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2(×)(2x+y)2=4x2+4xy+y22.計算：(1)(2x－3y)2；(2)(－a＋eq\f(1,2)b)2；(3)(－eq\f(1,2)ab2－3a2b)2。解：(1)原式＝4x2－12xy＋9y2。(2)原式＝(a－eq\f(1,2)b)2＝a2－ab＋eq\f(1,4)b2。(3)原式＝(eq\f(1,2)ab2＋3a2b)2＝eq\f(1,4)a2b4＋3a3b3＋9a4b2。[典型例題]例2如果36x2＋mxy＋25y2是一個完全平方式，求m的值。解：因為36x2＋mxy＋25y2＝(6x)2＋mxy＋(5y)2，所以mxy＝±2·6x·5y，所以m＝±60，所以m＝60或－60。[方法總結(jié)]完全平方式要分清是哪兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，已知完全平方式求中間系數(shù)中字母值要考慮兩種情況。[針對練習(xí)]1.下列各式中，是完全平方式的有(C)①a2－a＋eq\f(1,4)；②x2＋xy＋y2；③eq\f(1,16)m2＋m＋9；④x2－xy＋eq\f(1,4)y2；⑤m2＋4n2＋4mn；⑥eq\f(1,4)a2b2＋ab＋1。A．2個B．3個C．4個D．5個2.已知16x2－2(m＋1)xy＋49y2是一個完全平方式，則m的值為(D)A．28B．29C．－27D．27或－29（二）完全平方公式的幾何意義[典型例題]例3我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式．例如圖甲可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通過圖乙面積的計算，驗證了一個恒等式，此恒等式是(C)A．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2[方法總結(jié)]通過幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋。三、課堂小結(jié)四、課堂訓(xùn)練1.若x＋y＝4，則x2＋2xy＋y2的值是(D)A．2B．4C．8D．162.如圖，從邊長為（a+1）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則該矩形的面積是（C）A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm23.若(3x－b)2＝ax2－12x＋4，則a，b的值分別為(B)A．3，2B．9，2C．3，－2D．9，－24.若4x2＋mx＋eq\f(1,4)是完全平方式，則m＝__±2__。5.利用完全平方公式計算：(1)(-1-2x)2；(2)(-2x+1)2。解：（1）原式=(-1)2-2×(-1)×(2x)+（2x)2=1+4x+4x2。（2）原式=(-2x)2+2(-2x)×1+12=4x2-4x+1。五、布置作業(yè)見《練習(xí)冊》?！虒W(xué)反思※本節(jié)課通過多項式乘法推導(dǎo)出完全平方公式，讓學(xué)生自己總結(jié)出完全平方公式的特征，注意不要出現(xiàn)如下錯誤：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2。為幫助學(xué)生記憶完全平方公式，可采用如下口訣：首平方，尾平方，乘積兩倍在中央。教學(xué)中，教師可通過判斷正誤等習(xí)題強化學(xué)生對完全平方公式的理解記憶。

第一章整式的乘除3乘法公式第4課時完全平方公式的運用※教學(xué)目標※1．綜合運用平方差公式和完全平方公式進行乘法運算。（重點）2．準確分辨并利用乘法公式進行運算。（難點）※教學(xué)過程※一、新課導(dǎo)入【情境導(dǎo)入】有一位老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們。來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊糖，來三個，就給每人三塊糖，……第一天，有a個男孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子__a2__塊糖；第二天，有b個女孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子__b2__塊糖；第三天，這(a+b)個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子__(a＋b)2__塊糖。問：這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？孩子們前兩天得到的糖果總和為：a2＋b2第三天得到的糖果數(shù)為：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2所以(a＋b)2－（a2＋b2）＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab二、新知探究（一）完全平方公式的運用[提出問題]怎樣計算992，4012更簡單呢？(1)992；(2)4012。解：（1）992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋1＝9801。（2）4012＝(400＋1)2＝4002＋2×400×1＋1＝160801。[典型例題]例1運用完全平方公式計算：(1)1022；（2）1972。解：（1）1022＝（100+2）2=10000+400+4=10404。（2）1972＝（200-3）2=40000-1200+9=38809。[針對練習(xí)]1.計算：(1)0.982＝(1－__0.02__)2＝__0.9604__；(2)(－99eq\f(1,2))2＝(__eq\f(1,2)__－__100__)2＝__9900.25__。2.計算：19992－1992×2008。解：原式＝(2000－1)2－(2000－8)(2000＋8)＝20002－2×2000×1＋1－(20002－82)＝－4000＋1＋64＝－3935。（二）公式法的綜合運用[典型例題]例2計算：(1)(3x－2y)2＋(3x－2y)(－2y－3x)；解：原式＝9x2－12xy＋4y2＋4y2－9x2＝8y2－12xy。(2)(x－1＋y)(x＋1＋y)；解：原式＝[(x＋y)－1][(x＋y)＋1]＝(x＋y)2－1＝x2＋2xy＋y2－1。(3)4(a＋2)2－7(a＋3)(a－3)＋3(a－1)2。解：原式＝4(a2＋4a＋4)－7(a2－9)＋3(a2－2a＋1)＝4a2＋16a＋16－7a2＋63＋3a2－6a＋3＝10a＋82。[方法總結(jié)]運用平方差公式計算（2）(x－1＋y)(x＋1＋y)要注意分組方法，將括號內(nèi)不變號的項作第一項，變號項作為第二項，然后利用平方差公式計算。運用完全平方公式時要注意乘積的2倍項的符號。[針對練習(xí)]用乘法公式計算：(1)(a－b＋3)(a＋b－3)；解：原式＝[a－(b－3)][a＋(b－3)]＝a2－(b－3)2＝a2－b2＋6b－9。(2)(a＋b＋c)2；解：原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。(3)[(a－b