3．2．2雙曲線的簡單幾何性質目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 7題型一：雙曲線的簡單幾何性質 7題型二：雙曲線的漸近線 11題型三：求雙曲線離心率的值 14題型四：求雙曲線離心率的范圍 18題型五：直線與雙曲線的位置關系 22題型六：弦長、面積問題 25題型七：中點弦問題 30題型八：定點定值問題 34題型九：最值問題 39

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一、雙曲線的簡單幾何性質雙曲線（a>0，b>0）的簡單幾何性質范圍，即或雙曲線上所有的點都在兩條平行直線和的兩側，是無限延伸的．因此雙曲線上點的橫坐標滿足或．對稱性對于雙曲線標準方程（，），把換成，或把換成，或把、同時換成、，方程都不變，所以雙曲線（a>0，b>0）是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心．頂點①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點．②雙曲線（，）與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為，，頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點．③兩個頂點間的線段叫作雙曲線的實軸；設，為y軸上的兩個點，則線段叫做雙曲線的虛軸．實軸和虛軸的長度分別為，．叫做雙曲線的實半軸長，叫做雙曲線的虛半軸長．①雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．②雙曲線的焦點總在實軸上．③實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．離心率①雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．②因為，所以雙曲線的離心率．由，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊．所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度．③等軸雙曲線，所以離心率．漸近線經(jīng)過點、作y軸的平行線，經(jīng)過點、作x軸的平行線，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是．我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交．知識點二、雙曲線兩個標準方程幾何性質的比較標準方程圖形性質焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點軸實軸長=，虛軸長=離心率漸近線方程知識點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．對于雙曲線，不一定大于，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上．知識點三、雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設為．知識點四、雙曲線中，，的幾何意義及有關線段的幾何特征：雙曲線標準方程中，、、三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，，且．雙曲線，如圖：（1）實軸長，虛軸長，焦距，（2）離心率：；（3）頂點到焦點的距離：，；（4）中結合定義與余弦定理，將有關線段、、和角結合起來．（5）與焦點三角形有關的計算問題時，常考慮到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、、，有關角結合起來，建立、之間的關系．知識點五、直線與雙曲線的位置關系判斷將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關于的一元二次方程，1、當，即時，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點；2、當，即時，設該一元二次方程的判別式為，若，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；若，直線與雙曲線相切，有一個公共點；若，直線與雙曲線相離，沒有公共點；注意：直線與雙曲線有一個公共點時，可能相交或相切．知識點六、弦長公式若直線與雙曲線（，）交于，兩點，則或（）．【方法技巧與總結】求離心率范圍的方法一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關系．2、利用線段長度的大小建立不等關系．，為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．3、利用角度長度的大小建立不等關系．4、利用題目不等關系建立不等關系．5、利用判別式建立不等關系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．7、利用基本不等式，建立不等關系．二、函數(shù)法：1、根據(jù)題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數(shù)關系式；2、通過確定函數(shù)的定義域；3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．三、坐標法：由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關系．【典型例題】題型一：雙曲線的簡單幾何性質【典例11】（多選題）（2024·高二·河南南陽·期中）已知雙曲線，下列選項正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的實軸長為8C．雙曲線的焦距為D．雙曲線的離心率為【答案】BD【解析】因為，，焦點在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，實軸長為8，故A錯誤，B正確；因為，所以雙曲線的焦距為，離心率為，故C錯誤，D正確．故選：BD.【典例12】（多選題）（2024·高二·云南昆明·期中）已知為雙曲線的一個焦點，則下列說法中，正確的是（

）A．的虛軸長為6 B．的離心率為C．的漸近線方程為 D．點到的一條漸近線的距離為4【答案】AB【解析】由雙曲線的方程可知其虛軸長為，故A正確；離心率為，故B正確；令，即其漸近線方程為，故C錯誤；不妨設，則其到漸近線的距離為，故D錯誤.故選：AB【變式11】（多選題）（2024·高二·湖北武漢·階段練習）下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率越大，橢圓越接近于圓 B．橢圓離心率越大，橢圓越扁平C．雙曲線離心率越大，開口越寬闊 D．雙曲線離心率越大，開口越狹窄【答案】BC【解析】對于AB，橢圓的離心率，故離心率越大，越小，因此橢圓越扁平，故A不正確，B正確；對于CD，雙曲線的離心率，故離心率越大，可得越大，因此雙曲線開口越大，C正確，D錯誤；故選：BC．【變式12】（多選題）（2024·高二·陜西西安·階段練習）已知雙曲線，則（

）A．實軸長為2B．離心率為C．兩漸近線夾角的正切值不存在D．直線與曲線有且僅有一個公共點，則【答案】ABC【解析】由雙曲線可得，所以實軸長為，故A對；離心率為，故B對；令，可得漸近線方程為和，斜率分別為1和1，所以斜率之積為1，所以兩直線垂直，其夾角為，故兩漸近線夾角的正切值不存在，故C對；把直線代入雙曲線中，消y，得,當時，即時，直線與雙曲線相交有一個交點，當，時，即，解得，直線與雙曲線相切，有一個交點，所以直線與曲線有且僅有一個公共點，則或，故D錯；故選：ABC【變式13】（多選題）（2024·高二·河北邯鄲·期中）已知雙曲線C：（）的離心率，C的右支上的點到其右焦點的最短距離為1，則（

）A．雙曲線C的焦點坐標為B．雙曲線C的漸近線方程為C．點在雙曲線C上D．直線與雙曲線C恒有兩個交點【答案】AC【解析】雙曲線C上的點到其焦點的最短距離為，離心率，所以，所以，所以雙曲線C的方程為，所以C的焦點坐標為，A正確．雙曲線C的漸近線方程為，B錯誤．因為，所以點在雙曲線C上，C正確．直線即，恒過點，即雙曲線的右頂點，當時，直線與雙曲線C的一條漸近線平行，此時直線與雙曲線只有一個交點，D錯誤．故選：AC【變式14】（多選題）（2024·高三·浙江·階段練習）已知分別是雙曲線的左右焦點，點是圓上的動點，下列說法正確的是（

）A．三角形的周長是12B．若雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的焦距為8，則雙曲線為C．若，則的位置不唯一D．若是雙曲線左支上一動點，則的最小值是【答案】ACD【解析】由題意可得雙曲線，，，，，，圓心坐標，半徑，A，，，，所以三角形的周長是12，故A正確；B，由題意可設雙曲線的方程為或，變形為標準形式或，，又雙曲線的焦距為8，所以，所以雙曲線為或，故B錯誤；C，，所以點軌跡為以為焦點的橢圓，且，，，所以軌跡方程為，圓心坐標代入橢圓方程可得，所以圓心在橢圓上，又點是圓上點，畫出圖形可得所以，的位置不唯一，故C正確；D，由雙曲線的定義可得，所以，所以，因為，所以當三點共線時，取得最小值，又因為的最小值為，所以的最小值是，故D正確；故選：ACD.題型二：雙曲線的漸近線【典例21】（2024·高二·山東·期中）若雙曲線的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角的大小為.【答案】/【解析】由題意，即，可得，所以漸近線的斜率為，所以兩條漸近線的傾斜角為和，所以雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為.故答案為：.【典例22】（2024·高三·廣東·階段練習）是雙曲線C：（）的一條漸近線，則雙曲線C的右焦點F到直線的距離為.【答案】4【解析】雙曲線（）的漸近線方程為，故，所以右焦點F的坐標為，F(xiàn)到直線的距離.故答案為：4.【變式21】（2024·高三·上?！るA段練習）若直線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，且與該雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為.【答案】【解析】雙曲線焦點在軸上，漸近線方程為：，直線經(jīng)過點，所以，且直線的斜率為，所以，解得，所以雙曲線方程為.故答案為：【變式22】（2024·高二·湖北武漢·階段練習）設直線與雙曲線（，）兩條漸近線分別交于點A，B，若點滿足，則該雙曲線的漸近線方程是【答案】【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為，設,，,，的中點坐標為,；所以，，兩式相減得：，化簡得：，由于點,在直線上，則①，由于，所以，②，聯(lián)立①②得：，，代入，得到，所以漸近線的方程為．故答案為：．【變式23】（2024·高三·浙江金華·階段練習）若雙曲線的離心率為3，則該雙曲線焦點到漸近線的距離為．【答案】/【解析】由雙曲線的方程可得，解得，所以，所以雙曲線的焦點在軸，且，所以，又雙曲線的離心率為3，所以，解得，所以，，，所以焦點坐標為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以焦點到漸近線的距離.故答案為：.【變式24】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的右焦點為，過作垂直于一條漸近線，垂足為，若點關于原點對稱，則．【答案】【解析】由題可得，漸近線方程為，不妨取，即，所以，所以，故答案為：．題型三：求雙曲線離心率的值【典例31】（2024·高二·廣東深圳·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的右支交于兩點，若，則的離心率為.【答案】【解析】令，則，在中，由余弦定理得，解得，則，令，在中，由余弦定理得，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：【典例32】（2024·高二·四川成都·期末）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，為原點，若以為直徑的圓與的漸近線的一個交點為，且，則的離心率為.【答案】2【解析】由以為直徑的圓與C的漸近線的一個交點為P，可得，又，在中，由余弦定理，得，所以，根據(jù)直線OP為漸近線可得，所以，離心率.故答案為：2.【變式31】（2024·高二·吉林通化·階段練習）已知點P是雙曲線左支上一點，是雙曲線的左右兩個焦點，且，線段的垂直平分線恰好是該雙曲線的一條漸近線，則離心率為.【答案】【解析】由焦點到漸近線的距離為，得出，再根據(jù)題意，得出，又，所以，根據(jù)雙曲線定義：即，得到：，即離心率為．故答案為：【變式32】（2024·北京懷柔·模擬預測）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于M，N兩點.若，則雙曲線C的離心率為.【答案】2【解析】易知關于x軸對稱，令，，∴，，∴，∴．，，，∴，∴．故答案為:2.【變式33】（2024·高二·廣東茂名·期中）過雙曲線（，）的左焦點作圓的切線，切點為，直線交直線于點．若，則雙曲線的離心率為．【答案】/【解析】如圖，由，設直線的方程為，，由直線與圓相切，可得，解得，即直線的方程為，由，可得直線的方程為，與切線的方程聯(lián)立，可得，，由，可得，，若，則，化為，即，即為，則．故答案為：．【變式34】（2024·高二·安徽·期末）在天文望遠鏡的設計中利用了雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點出發(fā)的入射光線經(jīng)雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為是的右支上一點，直線與相切于點.由點出發(fā)的入射光線碰到點后反射光線為，法線（在光線投射點與分界面垂直的直線）交軸于點，此時直線起到了反射鏡的作用.若，則的離心率為.

【答案】43/【解析】過點作于點，延長交的延長線于點，設上有一點，由題意可得，，又，所以，所以，故，由雙曲線定義可得，故，因為，，所以，故，故離心率為，故答案為：.題型四：求雙曲線離心率的范圍【典例41】（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與及其漸近線在第一象限內分別交于點．若為線段的中點，則的離心率的取值范圍是．【答案】【解析】由題，，設，由中點坐標公式得，代入中，得，整理得，又，得，得．故答案為：.【典例42】（2024·高二·上?！て谥校┰O，是橢圓與雙曲線（，）的公共焦點，曲線，在第一象限內交于點M，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【解析】由橢圓及雙曲線定義得，所以，因為，由余弦定理得，同時除以得，因為，，，所以，則，故答案為：【變式41】（2024·高二·浙江杭州·期中）我們把形如和的兩個雙曲線叫做共軛雙曲線設共軛雙曲線的離心率分別為，則的最大值是．【答案】【解析】由題知，共軛雙曲線和的半焦距相等，記為，則，所以，又，故設，所以，其中，當時，取得最大值.故答案為：.【變式42】（2024·四川宜賓·模擬預測）已知為雙曲線的左?右焦點，為雙曲線右支上任意一點，點的坐標為.若有最大值，則雙曲線的離心率的取值范圍是.【答案】【解析】由雙曲線的定義，為雙曲線右支上任意一點，可得，即，則，當三點共線時，取得最大值，由點為雙曲線右支上任意一點，可得直線的斜率小于漸近線的斜率，即，所以，即雙曲線的離心率的取值范圍為.故答案為：.【變式43】（2024·高二·遼寧沈陽·階段練習）已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點P，使得過點P所作的圓的兩條切線，切點為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【解析】連接，則，由切線長定理可得，又，，所以所以，則設點Px,y，則，且，所以所以，故.故答案為：.【變式44】（2024·高二·河南·階段練習）已知為坐標原點，若雙曲線的右支上存在兩點，，使得，則的離心率的取值范圍是.【答案】【解析】設漸近線的傾斜角為，則，即，所以，離心率.故答案為：.【變式45】（2024·高三·江蘇南京·階段練習）已知雙曲線（，）的離心率為，若直線與無公共點，則e的取值范圍是.【答案】【解析】因為雙曲線（，）的漸近線為，因為，要使直線與E無公共點，則，所以，，所以雙曲線的離心率的范圍所以滿足條件的離心率的范圍是，故答案為：題型五：直線與雙曲線的位置關系【典例51】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線與雙曲線有且只有一個公共點，則實數(shù)．【答案】或【解析】由消去y，整理得，當時，由得；又注意到直線恒過點，且漸近線的斜率為時，直線與漸近線平行時也成立．故答案為：或【典例52】（2024·高二·遼寧鞍山·期末）平面內，一條直線至多與雙曲線有個交點.【答案】2【解析】當直線斜率不存在時，可設直線方程為，將其代入雙曲線方程，則，整理可得，顯然當時，方程由兩個不相等的實根，則此時直線與雙曲線有兩個交點；當直線斜率存在時，可設直線方程為，將其代入雙曲線方程，則，整理可得，顯然當，且時，該方程有兩個不相等的實根，則此時直線與雙曲線有兩個交點，故答案為：2.【變式51】（2024·高二·上?！て谥校┮阎p曲線(1)求該雙曲線的頂點坐標、焦點坐標、離心率與漸近線方程(2)根據(jù)的不同取值，討論直線與該雙曲線的交點個數(shù)【解析】（1）由題意得，可得，故頂點坐標為，焦點坐標為，離心率為，漸近線為；（2）聯(lián)立方程，消去得，當或時，即或時，有1個交點；當時，即時，有2個交點；當時，即或時，無交點.【變式52】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）討論直線與雙曲線的公共點的個數(shù)．【解析】聯(lián)立直線和雙曲線方程，消去y得．整理得，若，則方程①變?yōu)椋瑹o解，此時直線與雙曲線無公共點．事實上，此時直線為，就是雙曲線的漸近線，自然與雙曲線無公共點．若，即直線平行于兩條漸近線中的一條，方程①成為一元一次方程，有唯一解，原方程組有唯一一組解，此時直線與雙曲線有一個公共點．綜上可知，時，無公共點；時，有一個公共點．【變式53】（2024·高二·江蘇·課后作業(yè)）判斷直線與雙曲線的公共點的個數(shù)．【解析】由，可得，∴，∴直線與雙曲線的公共點的個數(shù)為2.【變式54】（2024·高三·重慶南岸·階段練習）已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為2，且過點.(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，求k的取值范圍.【解析】（1）雙曲線的中心在原點,焦點在軸上,設雙曲線的方程為由,可得,由雙曲線過點,可得,解得,則雙曲線的標準方程為;（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，化簡得，則，假設,則，解得.題型六：弦長、面積問題【典例61】（2024·高二·上海·課堂例題）已知雙曲線C：，過點的直線l與雙曲線C交于M、N兩點，若P為線段的中點，則弦長.【答案】【解析】由題設，直線l的斜率必存在，設過的直線為，聯(lián)立，得，設，則，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意；則，.弦長.故答案為：.【典例62】（2024·高二·全國·競賽）過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于、兩點，若使得的直線恰有條，則實數(shù).【答案】8【解析】雙曲線，則，，，則右焦點為，因為過右焦點作直線交雙曲線于、兩點，使得的直線恰有條，由雙曲線的對稱性知必有一條弦垂直于軸或軸.若軸，由，解得或，所以，即，符合題意；若軸，由，解得或，此時，為最短弦長，只有一個解，而不是三個解，不符合題意，故舍去，綜上可得.故答案為：【變式61】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的虛軸長為2，且離心率為．(1)求的方程和焦點坐標；(2)設的右焦點為，過的直線交于兩點，若中點的橫坐標為3，求．【解析】（1）因為的離心率為，又的虛軸長為2，所以，又，聯(lián)立解得，，所以的方程為，左、右焦點坐標分別為．（2）由（1）知，根據(jù)題意易得過的直線斜率存在，設的直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，化簡得，所以，因為中點橫坐標為3，所以，解得，所以，則，則．【變式62】（2024·高二·湖南湘潭·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)若O為坐標原點，過的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且的面積為，求直線l的方程.【解析】（1）由題意得：，，，解得：，，，雙曲線的標準方程為．（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，設直線的方程為，，，，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，原點到直線的距離為，所以，解得或，故或，故直線方程為或【變式63】（2024·高二·河南南陽·期中）已知雙曲線：的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求的方程；(2)若上兩點，關于點對稱，求直線的方程；(3)過的右焦點作兩條互相垂直的直線和，且和分別與的右支交于點，和點，，設的斜率為，求四邊形的面積（用表示）【解析】（1）依題意，雙曲線：的離心率為，且經(jīng)過點，所以，解得，所以雙曲線的方程為.（2）依題意，上兩點，關于點對稱，由，兩式相減并化簡得，所以直線的方程為.由消去得，，因此直線必與雙曲線有兩個交點，所以直線的方程為.（3）根據(jù)題意，直線的斜率都存在且不為，雙曲線的右焦點為，設直線，其中，因為均與的右支有兩個交點，所以，所以，將的方程與聯(lián)立，可得.設，則，所以，同理，所以,.【變式64】（2024·上海靜安·一模）設和是雙曲線上的兩點，線段的中點為，直線不經(jīng)過坐標原點．（1）若直線和直線的斜率都存在且分別為和，求證：；（2）若雙曲線的焦點分別為、，點的坐標為，直線的斜率為，求由四點、、、所圍成四邊形的面積．【解析】（1）證明：法1：設不經(jīng)過點的直線方程為，代入雙曲線方程得：．設坐標為，坐標為，中點坐標為，則，，，，所以，，．法2：設、，中點，則，且，（1）﹣（2）得：．因為，直線和直線的斜率都存在，所以，等式兩邊同除以，得：，即．（2）由已知得，求得雙曲線方程為，直線斜率為，直線方程為，代入雙曲線方程可解得，中點坐標為．面積．另線段中點在直線上．所以由中點，可得點的坐標為，代入雙曲線方程可得，即，解得（），所以．面積．題型七：中點弦問題【典例71】（2024·高二·江蘇南通·階段練習）已知直線l與雙曲線交于A、B兩點，且弦AB的中點為，則直線l的方程為．【答案】【解析】設Ax1,則，，又，，兩式相減，得，即，整理得，直線l的斜率為，直線l的方程為，化簡得，經(jīng)檢驗滿足題意.故答案為：.【典例72】（2024·高二·全國·競賽）與的左支交于兩點，直線過及中點，則在軸上截距范圍為．【答案】【解析】設，把代入整理得因為直線與雙曲線左支交于兩點，故方程有兩負根．所以，所以.又因為中點為，所以直線方程為，令，截距，由得．故答案為：【變式71】（2024·高二·江西·期末）已知點A，B，C是離心率為的雙曲線上的三點，直線的斜率分別是，點D，E，F(xiàn)分別是線段的中點，為坐標原點，直線的斜率分別是，若，則．【答案】3【解析】因為雙曲線的離心率為，所以，不妨設，因為點A，B在上，所以，兩式相減，得，因為點是的中點，所以，，所以，即，所以，同理，．因為，所以．

故答案為：3.【變式72】（2024·高二·廣東中山·期中）對稱軸都在坐標軸上的雙曲線過點，，斜率為的直線過點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與雙曲線有兩個交點，求斜率的取值范圍；(3)是否存在實數(shù)使得直線與雙曲線交于A，B兩點，且點P恰好為AB中點？為什么？【解析】（1）設雙曲線的標準方程為代入，，得，解得，∴雙曲線的標準方程.（2）如圖：設直線方程：，聯(lián)立得，直線與雙曲線有兩個交點，所以或或.（或：且）.（3）設A，B兩點坐標分別為，由（2）可得，若P為AB中點，則，此時，所以不存在實數(shù)，使得直線與雙曲線交于A，B兩點，且點P恰好為AB中點..【變式73】（2024·高二·湖北孝感·階段練習）已知雙曲線C：．(1)若直線與雙曲線C有公共點，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若直線l與雙曲線C交于A，B兩點，且A，B關于點對稱，求直線l的方程．【解析】（1）雙曲線C的漸近線方程為，要使直線與雙曲線C有公共點，則有，即實數(shù)k的取值范圍為．（2）設點，．∵點恰好為線段AB的中點，∴，．由，兩式相減可得，，即，∴，∴直線l的斜率，∴直線l的方程為，即．【變式74】（2024·高二·陜西寶雞·期末）已知雙曲線的漸近線方程是，實軸長為2.(1)求雙曲線的方程;(2)若直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，求直線的斜率.【解析】（1）因為雙曲線的漸近線方程是，實軸長為2，所以，，所以雙曲線的方程為；（2）雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線關于坐標軸的對稱性可知，若線段的中點為，則直線的斜率存在，設為，且，，可得直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，可得，設Ax則，解得，經(jīng)檢驗符合題意.題型八：定點定值問題【典例81】（2024·高二·陜西西安·階段練習）已知雙曲線，O為坐標原點，離心率，點在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程;(2)如圖，若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點Q，P，且.求證:為定值；【解析】（1）因為，所以，所以雙曲線的方程為，即因為點在雙曲線上，所以，所以所以所求雙曲線的方程為即（2）由題意可得直線OP的斜率存在，可設直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，由，得，所以同理可得，，所以【典例82】（2024·高二·河北石家莊·期中）已知雙曲線的實軸長等于2，離心率，(1)求雙曲線方程；(2)過雙曲線上一點M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點，且斜率分別為，若直線AB過原點，判斷是否為定值?若是，求出定值．若不是，請說明理由．【解析】（1）由題可得，，解得，所以雙曲線方程為.（2）是定值3，理由如下，設，則.【變式81】（2024·高二·江西宜春·階段練習）已知雙曲線C1過點(4，6)且與雙曲線C2：共漸近線，點Р在雙曲線C1上(不包含頂點).(1)求雙曲線C1的標準方程；(2)記雙曲線C1與坐標軸交于A，B兩點，求直線PA，PB的斜率之積.【解析】（1）設雙曲線的方程為，將(4，－)代入可得，解得，故雙曲線的標準方程為.（2）由（1）可設，A(，0)，B(，0)，P(，)，則，，而點P在雙曲線上，點，即.故.【變式82】（2024·高二·貴州六盤水·期末）已知雙曲線過點，左、右頂點分別為，，直線與直線的斜率之和為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)過雙曲線右焦點的直線交雙曲線右支于，（在第一象限）兩點，，是雙曲線上一點，的重心在軸上，求點的坐標．【解析】（1）依題意左、右頂點分別為，，所以，解得，將代入得，解得，故雙曲線方程為；（2）設Px1,y1，Q將代入整理得，，∴，，又由，代入上式得，解得，，因為的重心在軸上，所以，所以，代入雙曲線得，故或．【變式83】（2024·高三·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知雙曲線的焦距為且左右頂點分別為，，過點的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線的斜率為，求弦長MN；(3)記直線，的斜率分別為，，證明：是定值．【解析】（1）由題意，雙曲線的焦距為，則，即，由，得，所以雙曲線的方程為.（2）依題意，直線的方程為，聯(lián)立，即，設，，則，，所以弦長.（3）證明：依題意，設直線的方程為，，，聯(lián)立，即，則，且，，即，而，，所以為定值.【變式84】（2024·河南濮陽·模擬預測）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．(1)求的方程；(2)若過點的直線與的左、右兩支分別交于兩點，與拋物線交于兩點，試問是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設雙曲線的半焦距為cc>0，由題意可得，解得，所以的方程為．（2）假設存在常數(shù)滿足條件，由（1）知，設直線，聯(lián)立方程得，消去，整理可得，所以，，．因為直線過點且與的左、右兩支分別交于，兩點，所以兩點在軸同側，所以．此時，即，所以．設，將代入拋物線方程，得，則，所以．所以．故當時，為定值，所以，當時，為定值．題型九：最值問題【典例91】（2024·高二·江蘇南通·階段練習）已知雙曲線一條漸近線方程為，且點在雙曲線上.(1)求雙曲線標準方程，(2)若雙曲線的左頂點為，右焦點為為雙曲線右支上任意一點，求的最小值.【解析】（1）由雙曲線一條漸近線方程為