必修2知識點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的構造特性

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等

2直觀圖：斜二測畫法.環(huán)節(jié)：

（1）.平行于坐標軸時線仍然平行于坐標軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好。

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的I表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積S=27vrl+27zr23圓錐的表面積S=

4圓臺的表面積S="/+"2+成/+做25球日勺表面積S=4欣2

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積丫=5底義丸2錐體的體積丫=（5底%/1

3臺體的體積V=§（S上+M^]+S下）x/z4球體的體積丫=§砒

第二章直線與平面的位置關系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

（1）公理1：假如一條直線上的兩點在一種平面內，那么這條直線在此平面內.

符號表達為AGL仁

BGLJ=>La

Aea

Bea

公理］作用：判斷直線與否在平面內.

(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一種平面。

符號表達為：A、B、C三點不共線=〉有且只有一種平面a，使Ada、BGa、CGa。

公理2作用：確定一種平面的根據。

(3)|公理3：假如兩個不重疊的平面有一種公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共

直線。I符號表達為：Peans=>aCB=L,且PGL

公理3作用：鑒定兩個平面與否相交的根據.

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系

1空間的兩條直線有如下三種關系：

升石市〃4I相交直線：同一平面內，有且只有一種公共點；

共面直線I

平行直線：同一平面內，沒有公共點；

異面直線：不一樣在任何一種平面內，沒有公共點。

2|公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的根據。

3|等角定理：空間中假如兩個角時兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

4注意點：①a'與6所成的角的大小只由a、b的互相位置來確定，與。的選擇無關，為

了簡便，點。一般取在兩直線中的一條上；

7T

②兩條異面直線所成的角9e(0,2］；

③當兩條異面直線所成的角是直角時，就說這兩條異面直線互相垂直，記作a，b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，一般把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系

1、直線與平面有三種位置關系：(1)直線在平面內一一有無數個公共點

(2)直線與平面相交一一有且只有一種公共點

(3)直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的狀況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a'a來表達

2.2.1直線與平面平行的鑒定

1、直線與平面平行的鑒定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線

與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表達：a

C

b=>a〃a

a//b

2.2.2平面與平面平行的鑒定

1、兩個平面平行的鑒定定理：一種平面內的兩條交直線與另一種平面平行，則這兩個平

符號表達:

aB

bB

anb=PB〃a

a〃a

b〃a

2、判斷兩平面平行的措施有三種：

（1）用定義；（2）鑒定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質

1、直線與平面平行的性質定理：一條直線與一種平面平行，則過這條直線時任一平面與

此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平布------,

符號表達：a〃a

A

CJ

aBa〃b

aAP=b

2、|兩個平面平行的I性質定理：假如兩個平行的平面同步與筍一人一尸,那么它們的

交線平行。符號表達：

a0y=aa〃b

6Ay=b

2.3.1直線與平面垂直的鑒定

1、定義：直線L與平面a內的任意一條直線垂直，就說直線L與平面a垂直，記作L，a.

2、|線面垂直鑒定定理：一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂

2.3.2平面與平面垂直的鑒定

1、二面角的概念：表達從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所構成的圖形

2、兩個平面互相垂直日勺鑒定定理：一種平面過另一種平面的垂線，則這兩個平面垂直。

2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質

1、直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一種平面的兩條直線平行。

2、|兩個平面垂直的I性質定理：兩個平面垂直，則一種平面內垂直于交線的I直線與另一種

平面垂直。

闡明：1.證線面平行、面面平行關鍵是證明線線平行，證明線線平行常用措施有：三角形

中位線定理、平行四邊形的性質定理、梯形中位線定理、平行線分線段成比例定理時

推論。.

直線與直線平行不篝2直線與平面平行存著=3平面與平面平

2.證明線面垂直、面面垂直的關鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的措施有：等腰三

角形三線合一的性質、勾股定理的逆定理等.

直線與直線垂直存警直線與平面垂直平面與平面垂直

、性質e性質＜e白

第三章直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：龍軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。尤其地，當直線與尤軸平

行或重疊時，我們規(guī)定它的傾斜角為。度。因此，傾斜角的取值范圍是|o°Wa<180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。即

k=tantzo

當直線1與x軸平行或重疊時，a=0°,k=tan0°=0;

當直線1與x軸垂直時，a=90°,k不存在.

注意：一條直線1的傾斜角a一定存在,不過斜率k不一定存在.

當ae[0°,90°）時，k>0；當ae（90。,180°）時，k<Q；當。=90°時，左不存在。

②過兩點Pi（xi,yi）,P2（xz,yz）,xiWx?的直線斜率公式:k=~~*x2）

馬-七

注意：當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

（3）直線方程

①點斜式：y-%=左（%-七）直線斜率比且過點（再,%）

②|斜截式：y=kx+b,直線斜率為A,直線在y軸上的截足時

③兩點式：―——=―—土（國力馬,乂工為）直線兩點（司，%），（為2，%）

%一%%-%

④截矩式：—+—=1其中直線/與x軸交于點（。,0）,與y軸交于點（07）,即/與x軸、y

ab,

軸的截距分別為a力。（]其中QW0/W0）

⑤一■般式：Ax+By+（7=0（A,8不全為0）

注意：①各式的合用范圍②特殊的方程如：

傾斜角0°,k=0,此時為|平行于X軸的直線：y=b（6為常數M；

傾斜角90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表達.此時為I平行于y硒

直線：x=a(a為常

血;

(4)兩直線平行與垂直：當/i：y=%x+優(yōu)，，：/=12%+。2時，

/1//12q&=k2,bl，入2；

I，［o1=—1忸率互為負倒數

注意：運用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

(5)兩條直線的交點

6:4%+4丁+G=。，2A2x+B2y+C2=0相交

交點坐標即方程組(4"+⑸丫+6=°時一組解。

+52y+C?2=0

方程組無解=/］〃4；方程組有無數解o乙與4重疊

(6)|兩點間距離公式:設AQ,%),B(x2,y2),則|AB|=J?-入了+(%-%>

(7)|點到直線距離公司:點尸(為,%)到直線ll-.Ax+By+C=Q的星巨離，」Ax°二為；。^4

(8)I兩平行直線距詼式

兩平行線為/］：Ax+By+Q=0,Z2：Ax+By+C2=0,則乙與“時距離

|C-C

d=J-注意點：x,y對應項系數應相等。

,4+工

(9)平行直線與垂直直線設法：

1、圓定義：平面內到一定點的距離等于定長時點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓半

徑。

2、圓的方程

(1)原則方程(X—°)2+。一乃2=/,圓心(。力)，半徑為r；

特殊地，當a=3=0時，圓心在原點的圓時方程為：/+/=廠2。

點M(%,%)與圓(x-+(V-32=/的位置關系怎樣判斷？

(2)一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0

當+石2一4/>0時，方程表達圓，此時圓心為12_與，半徑為」"爐_4尸

[2,2)2

當。2+石2一4/=。時，表達一種點；

當。2+石2一4/<。時，方程不表達任何圖形。

(3)求圓方程的措施：

一般都采用待定系數法：先設后求。

需三個獨立條件，若用圓的原則方程，需求出a,b,r；若用一般方程，需規(guī)定出D,E,

F；

此外要注意多運用圓的幾何性質：如弦的中垂線必通過圓心，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關系(用圓心到直線的距離來判斷)：

直線/:Ax+By+C=0>圓C:(x—a)2+(y-b)2=r2>圓心至!J/的]距禺

W+8b+qI，

d-〃2+爐一

d>ro相離oA<0;d=r=木目切oA=0;d<r0/目交oA>0o

還可運用直線方程與圓的方程聯立方程組['+By+c=。求解，通過解的個數來判

[x+y+Dx+Ey+F=0

斷。

注:(1)過圓外一點的切線：①k不存在，驗證與否成立

②k存在，設點斜式方程，用圓心到直線距離=半徑,求k,得方

程

⑵過圓上一點的切線方程：圓①㈤2+伊切2=總圓上一點為面，yo),則過此點的切線方程

為|(xo-a”無⑷+(y0-勿?-〃)=

4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確

定。

2222

設圓G：(x-aj?+(y-仇》=r，C2:(x—a2)+(y—b2)=R

兩圓日勺位置關系常通過兩圓半徑時和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

當d>H+r時兩圓外離，此時有公切線四條；

當』=尺+,時兩圓外切，連心線過切點，公切線三條；

當H-+r時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條公切線；

當d二國—,時，兩圓內切，連心線通過切點，只有一條公切線；

當d<|尺-時，兩圓內含，無公切線；

當d=0時，為同心圓。

判斷兩個圓的位置關系也可以通過聯立方程組判斷公共解的個數來處理。

注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線；

圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點。

5、中點坐標公式

6、兩圓相交則連心線垂直平分相交弦

7、線圓相交，計算弦長，常用勾股定理：弦長二分之一、半徑、弦心距。

8、光線反射問題：入射點的“像”在反射光線的反向延長線上，反射點的“像”在入反射

光線的反向延長線上

4.3.1空間直角坐標系

1、點M對應有序實數組(x,y,z),x、y、z分別是P、Q、R在x、y、z軸上的坐標

2、有序實數組(x,y,z),對應著空間直角坐標系中的一點

3、空間中任意點M的坐標都可以用有序實數組(x,y,z)來表達，該數組叫做點M在此空

間直角坐標系中的I坐標，記M(尤,y,z),x叫做點M的(橫坐標，y叫做點M的I縱坐標，

z叫做點M的豎坐標。

4.3.2空間兩點間的距離公式

1、空間中任意一點P,(不，為,Z1)到點P2(x2,y2,z2)之間的距離公式

選修2—1

第一章：命題與邏輯構造

1、

原命題互逆逆命題

著P則4

若q則p

互互

否否

否命題逆否命題

若?貝IJ-1夕互逆若「夕則力

2.真假性之間的關系：(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相似的真假性;

(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系.

3、若p=q,則p是q的充足條件，q是p的必要條件.

若poq,則p是q的充要條件(充足必要條件).

4、(1)當p、q都是真命題時，是真命題；有一種是假命題時，°八4是假命題.

(2)當p、q有一種是真命題時，是真命題；兩個都是假命題時，是假命題.

(3)對一種命題p全盤否認，得到一種新命題，記作

若p是真命題，則「p必是假命題；若p是假命題，則一p必是真命題.

5、(1)全稱命題“對M中任意一種x,有夕(左)成立”，記作“VxwM,M%)”.

全稱命題p：V%eM,p(x)，它的否認一p：3xeM,—p(x)。是特稱命題。

(2)特稱命題“存在M中的一種x,使p(x)成立"，記作“*eM,p(x)”.

特稱命題q：3xeM,p(x),它的否認一p：VxeM,—p(x)。是全稱命題。

第二章：圓錐曲線

1、求曲線的方程(點的軌跡方程)的環(huán)節(jié)：建、設、限、代、化

①建立合適的直角坐標系;②設動點〃(尤,y)及其他時點；③找出滿足限制條件的等式；④將點的坐標

代入等式；⑤化簡方程，并驗證(查漏除雜)。

2、平面內與兩個定點萬；，用時距離之里等于常數(不小于|巧用|)時點的軌跡稱為橢圓。

\MFi\+\MF2\=2a(2a>2c)

3、橢圓的I幾何性質:

焦點的1位置焦點在X軸上焦點在y軸上

r

1

圖形

2222

4A?l(a>b>0)

原則方程(a>b>0)

范圍一〃〈九〈々且一6<y<b—5<x<Z?且一〃<y<a

A】(—a,°)、A2(a,。)A】(0,—a)、A2(0,a)

頂點

B,(O-bYB<O,b)B"—),0)、B,0,O)

軸長短軸的長=2Z?長軸的長=2〃

焦點￡(—c,0)、8億0)￡(0,—c)、凡(O,c)

FF~2c(c2=a2—b2),〃最大

焦距}?

對稱性有關x軸、y軸對稱，有關原點中心對稱

e=(0<e<1)

離心率rf?

4、平面內與兩個定點方；，F,時距離之差的絕對值等于常數（不不小于|6鳥|）的點的軌跡稱為雙

曲線。\[MFi\-\MF^=2a（2a<2c）

5、雙曲線的幾何性質:

焦點的1位置焦點在X軸上焦點在y軸上

圖形

TTV-小o'-J

2222

原則方程十三"〉0]〉0）

/方=l(a>0，b>。)

范圍%?一。或yER或xwR

頂點A](—0)、A?0)A](0,—a)、A<0,a)

軸長虛軸歐1長=2Z;實軸時長=2a

焦點￡（—G。）、/億0）￡（0,—c）、月（0,c）

焦距FyF?=2c(02=[2+Z?2),C最大

對稱性有關x軸、y軸對稱，有關原點中心對稱

e=rf?(e>1)

離心率

y=±紇

漸近線方程y=±r

a

6、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率？漸近線?

7、平面內與一種定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡稱為拋物線.

8、過焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于A、B兩點的線段AB,稱為“通徑"，即|AB|=2p.

9、拋物線的幾何性質:

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

原則方程

(夕>。)(p>°)(0>0)(。>°)

圖形

頂點(0,0)

對稱軸*軸y軸

焦點F,0F苦刀F\0,F

-P.pp

準線方程x=—2X

22、=一萬

離心率e=l

范圍x>0x<0y>0y<0

焦半徑阿="PH=—M+g畫=%+々畫=-%+T

第三章:空間向量

1、空間向量的概念：2、空間向量的加法和減法:

（1）向量的加法，它遵照三角形法和平行四邊形法則.（2）向量的減法,它遵照三角形法

則.

3、向量的數乘運算.當丸〉0時，2a與。方向相似；當幾＜0時，2a與。方向相反;

當；1=0時，為為零向量，記為0.勿的長度是。的長度時川倍.

4、2,〃為實數，a,人是向量，則分派律：A（a+b\=Aa+Ab結合律：

5、有向線段所在直線互相平行或重疊，則這些向量稱為共線向量或平行向量。零向量與任何向量都共

線.

6、向量共線充要條件：對向量a,6（bw0）,a〃6的充要條件是存在實數2,使a=26.

7、平行于同一種平面Htl向量稱為共面向量.

8、向量共面定理：點P在平面ABC內的充要條件是存在實數x,y,使AP=xAB+yAC；

或對空間任一定點O,有OP=OA+xAB+yAC；

或若四點P,A,B,C共面，則OP=xC）A+yOB+zC）C^（x+y+z=l）.

9、向量Q,b的夾角（起點相似），記作〈圓方〉.兩個向量夾角的取值范圍是：〈。,/?〉￡[0,乃].

10、a,b的數量積，a-b=|^||/?|cos（6i,/7）.零向量與任何向量的數量積為0.

11、a-b等于a