專題16角的關(guān)系和動(dòng)角問題三種類型

目錄

解題知識(shí)必備.....................................................................1

壓軸題型講練.....................................................................1

類型一、方程思想求角度..........................................................1

類型二、探究角的關(guān)系............................................................5

類型三、角的旋轉(zhuǎn)問題...........................................................11

壓軸能力測(cè)評(píng)...................................................................20

“解題知識(shí)必備”

1.角的旋轉(zhuǎn)問題關(guān)注旋轉(zhuǎn)方向（順時(shí)針還是逆時(shí)針）；

2.旋轉(zhuǎn)角度超過180時(shí)，角的內(nèi)部和外部發(fā)生的變化；

3.解決角的旋轉(zhuǎn)問題時(shí)，往往用字母參數(shù)表示有關(guān)的角；

“壓軸題型講練”

類型一、方程思想求角度

例.如圖，點(diǎn)O在直線A3上，20。與，次9。的度數(shù)之比為5:4,ZA（9E=90°,求/COE的度數(shù).

EC

AOB

【答案】10。

【分析】本題主要考查了角的和差，平角定義，先根據(jù)平角定義求出-BOC的度數(shù)，再根據(jù)

ZCOE=ZBOE-ZBOC得出答案.

【詳解】解：SZAOC+ZBOC=1SQ°,NAOC與NBOC的度數(shù)之比為5:4,

4

0ZBOC=18O°x------=80°.

5+4

又回ZBOE=ZAOE=90°,

0ZCOE=ZBOE-Z.BOC=90°-80°=10°.

【變式訓(xùn)練1].已知/AO3內(nèi)部有三條射線OE,OC,OF.

C

圖1圖2

⑴如圖1,若NAO8=90。，ZAOC=36°,OE平分NBOC,OF平分NAOC.求/EO尸的度數(shù);

⑵如圖2,若NAO3=150。，ZBOC=3ZBOE,2ZAOC=3ZCOF,求/EO尸的度數(shù).

【答案】(1)/次加=45°

(2)ZEOF=100°

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及角度的計(jì)算，正確理解角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

(1)首先根據(jù)角平分線的定義求得NCOP,然后求得，BOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求得/EOC,

然后根據(jù)ZEOF=ZCOF+ZEOC求解；

22

(2)根據(jù)N3OC=3N3OE,2ZAOC=3ZCOF,得出=，ZCOF=-ZAOC,根據(jù)

2

NEOF=NEOC+ZCOF=jNAOB,即可得至|答案.

【詳解】(1)解：尸平分/4OC,ZAOC=36°,

團(tuán)ZCOF=-ZAOC=lx36°=18°,

22

團(tuán)ZBOC=ZAOB-ZAOC=90°-36°=54。，OE平分NBOC,

團(tuán)AEOC=ZBOC=27°,

團(tuán)ZEOF=ZCOF+ZEOC=45°；

(2)解：團(tuán)NBOC=3/BOE,2ZAOC=3ZCOFf

22

^ZCOE=-ZBOC,ZCOF=-ZAOC,

33

0ZAO5=150°,

回ZEOF=ZEOC+ZCOF

22

=-ZBOC+-ZAOC

33

=|(ZAOC+ZBOC)

」ZAOB

3

=100°.

【變式訓(xùn)練2】.已知直線AB與CD相交于點(diǎn)O,且QM平分NAOC.

(2)如圖2,若NCON=；NBON,ZMON=55°,求NBON的度數(shù).

【答案】(1)NA/ON=90°

⑵NBON=105°

【分析】本題考查了角的平分線的計(jì)算；

(1)根據(jù)平角的定義，角的平分線的意義計(jì)算即可；

(2)設(shè)NMOC=x,NNOC=y,貝l]x+y=55°,NBON=3y,2x+4y=180°,

整體代入計(jì)算即可.

熟練掌握角的倍分關(guān)系，角的和等是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：ISOM平分NAOC,QV平分/3OC,

0ZMOC=-ZAOC,ZNOC=-ZBOC,

22

AMON=NMOC+ZNOC=-ZAOC+-NBOC=-(ZAOC+ZBOC)=-ZAOB,

222''2

EZAOB=180°,

回/MON=90°.

(2)解：02cosBON,ZMON=55°,

設(shè)NMOC=x,ZNOC=y,

則x+y=55°,NBON=3y,2x+4y=180°即無+2y=90°,

回(x+y)+y=90。，

055°+y=9O°,

解得：y=35。，

0ZBON=3y=3x35°=105°.

【變式訓(xùn)練3】.如圖，。為直線A3上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線OC,使NAOGNBOC=1:2.將一直角三角尺

的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一邊在射線08上，另一邊ON在直線A3的下方.

(1)將圖1中的三角尺繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線08上，此時(shí)三角尺旋轉(zhuǎn)過

的角度為二

⑵繼續(xù)將圖2中的三角尺繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置,使得GW在—AOC的內(nèi)部，試探究NA0M

與NNOC之間滿足什么等量關(guān)系？并說明理由.

【答案】⑴90。

(2)ZAOM-ZNOC=30°,理由見解析

【分析】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算：

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得；

(2)先根據(jù)平角的定義可得，4<9C=60。，再根據(jù)角的和差可得NAON+NNOC=60。,ZAOM+ZAON=90°,

由此即可得.

【詳解】(1)W：-,-ZMON=90°,

???三角尺旋轉(zhuǎn)過的角度為90。，

故答案為：90°；

(2)解：ZAOM-ZNOC=3Q°,理由如下：

設(shè)ZAOC=a,由ZAOC:/BOC=1:2,可得/3OC=2c,

ZAOC+ZBOC=180°,

."+2。=180°,

解得a=60。，即ZAOC=60。，

ZAON+ZNOC=60。①，

又?.?ZMON=90。,

ZAOM+ZAON=90°②，

由②-①得：ZAOM-ZNOC=30°.

類型二、探究角的關(guān)系

例.閱讀與實(shí)踐：【問題情境】七年級(jí)⑴班的小明在數(shù)學(xué)興趣小組中研究直線與直角的關(guān)系.如圖1,

ZAO3=90。，點(diǎn)。在直線C￡>上，射線0E平分ZAOD.小明用量角器度量發(fā)現(xiàn)，ZAOC=2ZBOE,他

給出了如下說理：

因?yàn)镹AO3=90。，所以/3。￡>=90。一乙4。。.

因?yàn)樯渚€OE平分NAOD,所以ZDOE=|ZAOD=1(180°-ZAOC)

因?yàn)閆DOE=ZBOE+ZBOD,

所以1(180°-ZAOC)=ZBOE+ZBOD

(1)請(qǐng)你幫助小明完成剩下的說理；

【實(shí)踐探究】

小明將NAO3繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，

(2)請(qǐng)問NAOC與23OE的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生了變化，若發(fā)生變化，請(qǐng)求出他們之間的數(shù)量關(guān)系；若不

變化，請(qǐng)說明理由.

【問題拓展】

小明繼續(xù)將，AOB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，

(3)請(qǐng)直接寫出NAOC與的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見解析；(2)不變；理由見解析；(3)ZAOC+2ZBOE^360°

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握角平

分線定義.

(1)tgig1(180°-ZAOC)=ZBOE+ZBOD,把N3O￡>=90。一ZAOC代入，求出ZAOC=2ZBOE即可；

(2)根據(jù)角平分線定義得出NAOD=2NDQE=2NAOE,根據(jù)NAO3=90。，得出/BOE=90。—NAOE,根

據(jù)ZAOC=180°-ZAOD=180°-2ZAOE=2(90°-ZAOE),即可證明結(jié)論；

(3)根據(jù)角平分線定義得出NAODuZNOOEnZNAOE,根據(jù)NAO3=90。，得出NBOC+NA8=90。，

ZAOC=ZAOB+ZBOC=90°+NBOC,NBOE=ZAOB+ZAOE=90°+ZAOE,求出

ZAOC+2ZBOE=360°即可.

【詳解】解：(1)因?yàn)镹AO3=90。，

所以ZBQD=90。—NAOC.

因?yàn)樯渚€OE平分NAOD,

所以ZDOE=gZAOD=g(180。一ZAOC),

因?yàn)閆DOE=ZBOE+ZBOD,

所以1(180°-ZAOC)=ZBOE+ZBOD,

所以;(180。-ZAOC)=ZBOE+90°-ZAOC,

所以90°-工/AOC=ZBOE+90°-ZAOC,

2

所以工/AOC=/BOE,

2

即ZAOC=2NBOE；

(2)NAOC與/BOE的數(shù)量關(guān)系保持不變；理由如下：

因?yàn)樯渚€OE平分NAOD,

所以ZAOD=2ADOE=2ZAOE,

因?yàn)?403=90。,

所以ZBOE=90°-ZAOE,

因?yàn)閆AOC=180。一ZAOD=180?！?ZAOE=2(90。—ZAOE),

所以NAOC=2ZBQE；

(3)因?yàn)樯渚€OE平分NAOD,

所以ZAOD=2ZDOE=2ZAOE,

因?yàn)?403=90。，

所以ZBOC+ZAOD=90°,

ZAOC=ZAOB+NBOC=90°+ZBOC,

ZBOE=ZAOB+ZAOE=90。+ZAOE,

所以NAOC+2ZBQE

=90°+Z.BOC+2(90°+ZAOE)

=270°+Z.BOC+2ZAOE

=270°+ZBOC+ZAOD

=270°+90°

=360°,

即ZAOC+2ZBOE^360°.

【變式訓(xùn)練1].如圖，QW是,AOC的平分線，ON是4OC的平分線.

(1)如圖1,當(dāng)是直角，NBOC=60。時(shí)，NMON的度數(shù)是多少？

(2)如圖2,當(dāng)NAQB=a,N3OC=60。時(shí)，猜想/MON與a的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,當(dāng)/AQ3=c,/BOC=尸時(shí)，猜想：NMON與a、￡有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，指出結(jié)論并說明

理由.

【答案】(1)ZMON=45。

(2)/MON=ga

⑶與a有關(guān)，與「無關(guān)，NMON=ga,理用見解析

【分析】本題考查了角度的運(yùn)算，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí).

(1)根據(jù)題意可得/AOC=/AC?+/3OC=150。，再根據(jù)角平分線的定義可得NAOM=(AOC=75。，

ZCON=-NBOC=30°,從而根據(jù)ZMON=ZAOC-ZAOM一ZCON求得ZMON的度數(shù)；

2

(2)同理(1),ZAOC=ZAO6+/3OC=60o+(z,ZAOM=-ZAOC=30°+-a,ACON=-ABOC=30°,

222

從而求得/MON的度數(shù)；

(3)同理(1),ZAOC=ZAOB+ZBOC=a+/3,ZAOM=-ZAOC=-a+-j3,ACON=-ABOC=-B,

22222

從而求得/MON的度數(shù)；

【詳解】(1)解：:ZAOB是直角，ZBOC=60°,

ZAOC=ZAOB+ZBOC=150°,

QOM是NAOC的平分線，&V是N3OC的平分線，

ZAOM^-AOC=75°,ZCON=-ZBOC=30°,

22

ZMON=ZAOC-ZAOM-ZCON=45°；

(2)解：同理(1),ZAOC=ZAOB+ZBOC=60°+a,

ZAOM=-ZAOC=30°+-a,ZCON=-ZBOC=30°,

222

AMON=ZAOC-ZAOM-ZCON=-?；

2

（3）解：與a有關(guān)，與夕無關(guān)，NMON=；a,理由如下：

同理（1）,AAOC=AAOB+ABOC=a+）3,

ZAOM=-ZAOC=-a+-j3,ZCON=-ZBOC=-j3,

2，2

ZMON=ZAOC-ZAOM-ZCON=-a.

2

【變式訓(xùn)練2］如圖1,將直角三角形紙片POQ（/POQ=90。）的直角邊。尸放置在直線A3上，OM為NPOQ

內(nèi)部的一條射線.

⑴觀察圖1,解決下列問題：

①若/3?！?36。，貝l|/QOM=°,ZAOM=°；

②若NAQW=110。，求NMOQ的度數(shù).

（2）如圖2,當(dāng)直角三角形紙片POQ只有點(diǎn)。放置在直線上時(shí)，平分N8OQ.

①若Z.BOP=3/POM,求ZBOP的度數(shù)；

②請(qǐng)直接寫出ZAOQ與NP0M的關(guān)系.

【答案】⑴①54；144；（2）ZQOM=20°

（2）①ZBOP=54°:②/AOQ=2/POM

【分析】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算，準(zhǔn)確找到角度之間的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

（1）①根據(jù)角度可得到90。，然后兩個(gè)角度相加減即可得到結(jié)果；

②根據(jù)4。。=90°以及角度相減可得到結(jié)果；

（2）①根據(jù)角平分線分得的兩個(gè)角大小一樣，再用兩角相減表示其中一個(gè)角，根據(jù)題意構(gòu)造等式，即可得

到結(jié)果；

②根據(jù)四個(gè)角度和等于180?？傻玫浇Y(jié)果.

【詳解】(1)解：①團(tuán)NPOQ=90。，

0ZAO2=90°,

團(tuán)N3Q0=36。，

團(tuán)AQOM=ZPOQ-ZBOM=90°-36°=54°,

故答案為：54；144；

②若ZAQW=n。。，

則ZMOQ=ZAOM-ZAOQ=110°-90°=20°；

(2)解：①團(tuán)平分NBOQ,

⑦/BOM=NMOQ,

^ZPOQ=90°,

團(tuán)/BOM=ZMOQ=90°-ZPOM,

0ZBOM=ZBOP+APOM,ZBOP=3/POM,

回90°-/POM=3ZPOM+ZPOM,

解得：NPOM=18。，

團(tuán)NBO尸=3NPOM=3xl80=54。；

②團(tuán)OM平分ZBOQ,

國(guó)/BOM=/MOQ,

由圖可得：ZA(92+ZQOM+ZMOP+ZPOB=180°,

其中ZQOM=90°-/POM,

ZBOP=Z.BOM-Z.POM=90°-Z.POM-ZPOM,

0ZAOQ+90°-ZPOM+/POM+90°-/POM-ZPOM=180°,

化簡(jiǎn)可得：ZAOQ=2ZPOM.

【變式訓(xùn)練3】.已知點(diǎn)。是直線A5上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線OC,OD,滿足NCOD=60。，OE是Z4OD的

平分線.

圖1備用圖

(1)如圖1,射線OC,OD在直線AB的同側(cè)，且OE在NCOD的內(nèi)部.

①若NCO石=20。，通過計(jì)算判斷OC是否平分N49石；

②設(shè)NCO石=。，求N5OD的度數(shù)(用含。的代數(shù)式表示)；

⑵若OE在NCOD的外部，請(qǐng)直接寫出NCOE與N3QD之間的等量關(guān)系.

【答案】⑴①平分，見解析；②NBOD=60。-a

(2)NBOD+2NCOE=60?；騈BOD+2NCOE=300°

【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

(1)①先求出ZEOD=40。，利用角平分線的定義得/AOE=/EOD=40。，再求出ZAOC=20°即可求解；

②先求出，￡0。=60。-￡,利用角平分線的定義得/48=2(60。-0,進(jìn)而可求出/BOD的度數(shù)；

(2)分OC在直線的上方和OC在直線A3的下方兩種情況求解即可.

【詳解】(1)?vZCOE=20°,NCOD=60。，

ZEOD=40°,

：OE是NAOD的平分線，

ZAOE=ZEOD=40°,

ZAOC=20°,

:.ZAOC=NCOE,

..。(:平分一人社；

(2)-.-ZCOE=a,NCOD=60。，

:.^EOD=60°~a.

???OE是NAOD的平分線，

ZAOD=2NEOD=2(60。-e),

NBOD=180。一ZAOD=60°+2a；

(2)當(dāng)OC在直線AB的上方時(shí)，

設(shè)NCOE=/3,

回/COD=60。，

ENDOE=ZDOE=60°+^.

?.?OE是ZAOD的平分線，

0ZAOD=2ZDOE=120°+2/7,

回/BOD=180。一（120。+20]=60°-2/3,

ElNBOD=60°-2ZCOE,

NBOD+2NCOE=60。；

當(dāng)OC在直線AB的下方時(shí)，

設(shè)ZCOE=/3,

回/CW=60。，

0ZDOE=NDOE=#-60。.

?.?OE是ZAOD的平分線，

0ZAOD=2ZDOE=2/3-120°,

0ZBOD=180°-（2/7-120°）=300°-2/7,

ENBOD=300°-2NCOE,

NBOD+2NCOE=300°.

綜上可知，NBQD+2/。0￡=60?；?3?！?gt;+240￡=300°.

類型三、角的旋轉(zhuǎn)問題

(1)求/AOC的度數(shù)；

(2)如圖2,若射線OP從。1開始繞點(diǎn)。以每秒旋轉(zhuǎn)10。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線。2從08開始繞點(diǎn)。

以每秒旋轉(zhuǎn)6。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；其中射線。尸到達(dá)OC后立即改變運(yùn)動(dòng)方向，以相同速度繞。點(diǎn)順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OQ到達(dá)OC時(shí)，射線。尸，OQ同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，當(dāng)/尸。。=10。時(shí)，試求f

的值；

⑶如圖3,若射線O尸從。4開始繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，作。M平分NAOP,ON平分NCOP,試求在運(yùn)動(dòng)

過程中，NMON的度數(shù)是多少？(請(qǐng)直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)120。

(2)5,10,12.5或13.75

(3)60?；?20°

【分析】本題主要考查角度的和差運(yùn)算，涉及一元一次方程的應(yīng)用，角度的雙角平分線問題，在解題過程

中根據(jù)角度的變化進(jìn)行合適分段討論是解題關(guān)鍵.

(1)由題意可得，ZAOB^-ZAOC,可直接求解；

4

(2)由射線的運(yùn)動(dòng)可知，需要分兩種情況討論，①OP逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP,。。相遇前和相遇后；②OP

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，0P，相遇前和相遇后，分別畫圖求解即可；

(3)根據(jù)射線0P的運(yùn)動(dòng)，需要分四種情況，①當(dāng)射線O尸與。4重合前，②當(dāng)射線0P與。1重合后，

NAOP=180。前，③NCON=180。前，④。尸與。。重合前，畫出圖形，結(jié)合角平分線求解即可.

3

【詳解】(1)解：(1)ZBOC=-ZAOC,ZBOC+ZAOB=ZAOC,

4

SZAOBZAOC,

4

0ZAOB=30°,

回ZAOC=120°；

(2)由(1)知，ZAOC=120°,ZBOC=90°,

①。尸逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0白412時(shí),

OP,。。相遇前，如圖2(1),ZAOQ=ZAOP+ZPOQ=ZAOB+ZBOQ,即10。/+10。=30。+6*,解得f=5,

OP,OQ相遇后，如圖2(2),ZAOP=ZAOB+ZBOQ+ZPOQ,即10。/=30。+6%+10。，解得f=10；

②。尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，ZCOP=10°z-120°,ZBOQ=6°t,

OP,OQ相遇前，如圖(3),NBOC=NCOP+NBOQ+NPOQ,

即90。=10of-120°+6°r+10o,解得/=12.5,

OP,OQ相遇后，如圖(4),NBOC=NCOP+ZBOQ-NPOQ,即90。=10。/-120。+6。/-10。，解得f=13.75,

綜上，當(dāng)f的值為5,10,12.5或13.75時(shí)，ZPOQ=10°.

(3)由(1)知NAOC=120°,

根據(jù)射線OP的運(yùn)動(dòng)，需要分四種情況，

①當(dāng)射線OP與。4重合前，如圖3(1),

EIOM平分NAOP,ON平分NCOP,

回ZPOM=-ZAOP,ZPON=iNCOP,

22

EAMON=ZPOM+ZPON=-ZAOP+-ZCOP=-ZAOC=60°；

222

②當(dāng)射線。尸與04重合后，&4。尸=180。前，如圖3(2),

團(tuán)。〃平分/40尸，ON平分NCOP,

0ZPOM=-ZAOP,ZPON=-ZCOP,

22

111

EAMON=ZPOM-ZPON=一NAOP—-ZCOP=-ZAOC=60°；

團(tuán)OM平分NAOP,ON平分/COP,

國(guó)ZPOM=~ZAOP,ZPON=-ZCOP,

22

02MON=ZPOM+ZPON=1zAOP+|ZCOP=1(360°-ZAOC)=120°；

④。尸與0。重合前，如圖3(4),

圖3(3)圖3(4)

EIOM平分ZAOP,ON平分NCOP,

ENPOM=-ZAOP,ZPON=-ZCOP,

22

回ZMON=ZPON-ZPOM=-ZCOP+-NAOP=-ZAOC=60°；

222

綜上，NMON的度數(shù)為60?；?20。.

【變式訓(xùn)練1】.如圖，直線48,CO相交于點(diǎn)。，且ZAOC=ZAOD,射線OM（與射線03重合）繞點(diǎn)。

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15%,射線ON(與射線。。重合)繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12。人.兩

射線。ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r(s).

(2)當(dāng)0</<12時(shí)，若NAOM=3NAON—60。，試求出f的值.

【答案】⑴171。,54°

⑵"y"秒或10秒

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的和差關(guān)系的計(jì)算，解決問題的關(guān)鍵是將相關(guān)的角用含f

的代數(shù)式表示出來，并根據(jù)題意列出方程進(jìn)行求解，以及進(jìn)行分類討論，解題時(shí)注意方程思想和分類思想

的靈活運(yùn)用.

(1)根據(jù)時(shí)間和速度分別計(jì)算/3O暇和-DON的度數(shù)，再根據(jù)角的和與差可得結(jié)論；

(2)分兩種情況：①如圖所示，當(dāng)0</47.5時(shí)，②如圖所示，當(dāng)7.5<f<12時(shí)，分別根據(jù)已知條件列等

式可得f的值；

【詳解】(1)解：由題意得：ZMON=ZBOM+ZBOD+ZDON=3x15°+90°+3x12°=111°,

ZAON=ZAOD-ZDON=90°-12°x3=54°,

故答案為：171。，54°；

(2)當(dāng)ON與。4重合時(shí)，f=90+12=7.5(s),

當(dāng)與。4重合時(shí)，z=1800-15=12(s),

①如圖所示，當(dāng)0</47.5時(shí)，ZAON=90°-12t°,NAOM=180?！?5產(chǎn)，

由ZAOM=3NAON—60。，可得180-15?=3(90-⑵)-60,

解得/=；，

②如圖所示，當(dāng)7.5</<12時(shí)，ZAON=12尸-90。，ZAOM=180°-15Z°,

由ZAOM=3ZAON-60°,可得180-⑸=3(⑵-90)-60,

解得r=10.

綜上，r的值為7秒或io秒.

【變式訓(xùn)練2].如圖①，射線OC在內(nèi)部，圖中共有三個(gè)角：ZAOB,ZAOC,NBOC,若其中

有一個(gè)角的角度是另一個(gè)角的兩倍，則稱射線OC為NAOB的"倍分線”.

(1)若射線OC是NAO3的角平分線，則射線OC(填"是"或"不是")403的“倍分線"；

(2)如圖②，若NAO3=90。，射線OC為NAO3的“倍分線"，求/AOC；

⑶若4408=90。，射線從射線02的位置開始，繞點(diǎn)。逆時(shí)針以每秒9。的速度向射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)射線

OM到達(dá)射線OA時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒，同時(shí)射線ON從射線OA的位置開始以每秒6°的速度向射

線02運(yùn)動(dòng)，如圖③所示，并與射線31同時(shí)停止，則當(dāng)經(jīng)過多少秒時(shí)，射線是NBQN的"倍分線”.

【答案】⑴是;

(2)45°或30°或60°；

,、30—15—60工1

3)一或一或一秒

11413

【分析】本題考查了角度的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，正確理解"倍分線"的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)

系是解題關(guān)鍵，注意分類討論.

(1)根據(jù)"倍分線”的定義分析即可；

(2)分三種情況討論：當(dāng)NAO3=2NAOC時(shí)；當(dāng)/30C=2NA0C時(shí)；NAOC=2Z8OC時(shí)，利用"倍分線"

的定義分別求解即可；

(3)由題意可知，ZBOM=9°t,ZAON=6°t,ZBON=90°-6°t,分三種情況討論：當(dāng)ZMON=2NBOM

時(shí)；當(dāng)N3ON=2N3OM時(shí)；當(dāng)=2NMON時(shí)，利用“倍分線”的定義分別求解即可.

【詳解】(1)解：???射線OC是/AO3的角平分線，

ZAOB=2ZAOC=2NBOC,

???射線OC為ZAOB的"倍分線"，

故答案為：是；

(2)解：①如圖1,當(dāng)NAOB=2NAOC時(shí)，NAOC=；NA0B=45。；

②如圖2,當(dāng)N3OC=2NAOC時(shí)，

?/ZAOB=ZAOC+NBOC=3ZAOC=90°,

ZAOC=300■,

③如圖3,NAOC=2NBOC時(shí)，

ZAOB=ZAOC+ZBOC=3ZBOC=90°,

:.ZBOC=30°,

ZAOC=60。，

綜上可知，/AOC的度數(shù)為45。或30?；?0。；

(3)解：由題意可知，ZBOM=9°t,ZAON=6°t,ZBON=90°-6°t,

①當(dāng)ZMON=2ZBOM時(shí)，止匕時(shí)ZMON=ZBON-ZBOM=90°-6°t-9°t=90°-15°r,

貝i」90°-15°r=2*9°7,

解得：r=#;

②當(dāng)ZBON=2Z.BOM時(shí),

則90°-6°/=2x9°t,

解得：/=1,

4

③當(dāng)N3aW=2/A/QV時(shí)，此時(shí)411加=/5次一/30加=90。-6。/-9。/=90。-15。/,

則9°二=2(90。一15°。，

解得：/=]

綜上可知，當(dāng)經(jīng)過沙興[秒時(shí)，射線四是々ON的"倍分線”.

ABLCD,ZEOF=90°.

(1)若NCOE=25°,則ZBOF=_.

⑵從(1)的時(shí)刻開始，若將/EO尸繞。點(diǎn)以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，直線A3平

分NEOF；

⑶從(1)的時(shí)刻開始，若將NEO尸繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果射線。尸是/COE的角平分線，請(qǐng)直接寫

出此過程中NAOP與NBO尸的數(shù)量關(guān)系.(不考慮OE與AB、CD重合的情況)

【答案】⑴25。；

(2)運(yùn)動(dòng)2或20秒時(shí)，直線A3平分/EOF；

(3)ZAOP=90°+g/BOF或ZAOP=90°-g/2OF.

【分析】(1)利用同角的余角相等即可求解；

(2)分兩種情況08平分NEO廠和。4平分/EO尸時(shí)，分別計(jì)算可得答案;

(3)分四種情況分別畫出圖形可得答案；

此題考查了角的計(jì)算與角平分線的定義，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解:!3AB±CD,

回ZBOC=ZEOF=90°,

0ZCOE+ZBOE=ZBOF+ZBOE=90°,

0ZCOE=ZBOF=25°,

故答案為：25°；

(2)情況1：如圖:

回03平分/EO尸，

0ZEOB=-ZEOF=45°,

2

EZEOC=90°-45°=45°,

設(shè)運(yùn)動(dòng)/秒時(shí)08平分ZEOF

根據(jù)題意得，25+10/=45,

解得t=2；

情況2：如圖：

回平分/EO9，

S\ZEOB=-ZEOF^45°,

2

0ZD<9￡=9O°-45°=45°,

設(shè)運(yùn)動(dòng)f秒時(shí)。4平分/EOF,

根據(jù)題意得，107+25=180+45,

解得f=20,

綜上，運(yùn)動(dòng)2或20秒時(shí)，直線平分NEOF；

(3)ZAOP=90°+-ZBOFZAOP=90°--ZBOF,理由:

22

?ZAOP=90°+-ZBOF,如圖:

2

如圖:

如圖:

如圖:

c

綜上可知：ZAOP=90°+-ZBOF或ZAOP=90°--ZBOF.

22

??壓軸能力測(cè)評(píng)2

1.下列各題中，OE是-40。的三等分線，OF是—3OC的三等分線，且/AOE</EOC,ZBOF<ZFOC.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若點(diǎn)A,O,8在一條直線上，則NEO=；

(2)如圖2,若點(diǎn)A,O,8不在一條直線上，且4406=150。，求/EO廠的度數(shù);

(3)如圖3,若。4在N3OC的內(nèi)部，貝.

【答案】⑴120。

(2)100°

(3)3:2

【分析】本題考查角的〃等分線，角的和與差，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

22

(1)根據(jù)題意可知NCOE=]NAOC,ZCOF=|ZBOC,再根據(jù)/EOb=/COE+/CO尸求解即可；

(2)由(1)同理可知乙%*=NCOE+NCOF,即可求解；

22

(3)由(1)同理可知NCOE=—NAOC,ZCOF=-ZBOC,再根據(jù)

33

22

ZEOF=ZCOF-NCOE=j(ZBOC-ZAOC)=-ZAOB即可求解.

【詳解】(1)解：回OE是NAOC的三等分線，OP是/3OC的三等分線，且/AOEc/EOC,NBOF<NFOC,

22

團(tuán)NCOE=—NAOC,/COF=—/BOC,

33

22

回ZEOF=ZCOE+ZCOF=-(ZAOC+ZBOC)=-xl80°=120°.

故答案為：120°；

222

(2)解：由(1)可知NErOF=](NAOC+/2OC)=§NAOB=§*15(r>=100。；

(3)解：EIOE是/AOC的三等分線，。尸是N3OC的三等分線，AZAOE<ZEOC,ZBOF<ZFOC,

22

0ZCOE=-ZAOC,ZCOF=-ZBOC,

33

22

0/EOF=ZCOF-ZCOE=-(NBOC一ZAOC)=-ZAOB,

EZAOB:ZEOF=3:2.

故答案為：3:2.

2.【閱讀理解】如圖①，射線OC在NAQB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：ZAOB,—AOC和23OC,若其

中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線0C是N7LO3的"巧分線”.

圖①圖②

【解決問題】

(1)一個(gè)角的平分線.這個(gè)角的“巧分線"；(填"是"或"不是")

(2)若NAOB=120。，射線0C是的“巧分線"，則ZAOC=_；

【拓展延伸】

(3)如圖②，若NAO3=150。，射線。尸從0A出發(fā)，以每秒10。的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線。。從02

出發(fā)，以每秒5。的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與-AQB的邊重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為t(s),當(dāng)/為何值時(shí)，射線。尸是40。的"巧分線"？并說明理由.

【答案】⑴是；⑵60。或40。或80。；(3)當(dāng)f為6秒或半秒或"秒時(shí)，射線。尸是ZA。。的“巧分線"

72

【分析】本題是一道閱讀理解型的題目，主要考查角的和差運(yùn)算，與角平分線，三等分線有關(guān)的計(jì)算，巧

分線定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識(shí)的遷移能力，解題的關(guān)鍵是理解“巧分線”的定義.

(1)根據(jù)巧分線定義即可求解；

(2)分3種情況，根據(jù)巧分線定義即可求解；

(3)分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可；

【詳解】解：(1)酬艮據(jù)角平分線的定義可知，這個(gè)角是以它的其中一邊與角平分線的為兩邊的角的兩倍,

國(guó)一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的"巧分線"，

故答案為：是；

(2)QZAOB=120°,

①當(dāng)OC是NAOB的角平分線時(shí)，

1

ZAOC=-ZAOB=60°；

2

②當(dāng)OC是三等分線時(shí)，,AOC較小時(shí)，

ZAOC=-ZAOB=40°；

3

③當(dāng)OC是，AO3三等分線時(shí)，,AOC較大時(shí)，

ZAOC=-ZAOB=80°；

3

故答案為：60?；?0?；?0。；

(3)依題意得：ZAOP=10t°,ZBOQ=5t°,0<t<15,

^\ZAOQ=ZAOB-ZBOQ=150°-5t°,

回射線OP是NA。。的"巧分線"，

112

團(tuán)與(2)同理可得：ZAOP=-ZAOQZAOP=-ZAOQZAOP=-ZAOQ,

119

即：10%=/(150-5?；?0%=§(150—5?；?0%=1(150-5%),

分別解得：f=6,"當(dāng)，r=￡,

72

團(tuán)當(dāng),為6秒或半秒或與秒時(shí)，射線。尸是NAOQ的"巧分線”.

72

3.將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線A3上的點(diǎn)。處，過點(diǎn)。作射線OC.

圖1圖2圖3

⑴己知N3OC=60。，

①如圖1,當(dāng)ON在射線QB上時(shí)，/COM的度數(shù)為；

②如圖2,當(dāng)ON在/HOC內(nèi)部時(shí)，若NCON=L/AOM,求NBON的度數(shù)；

6

⑵如圖3,ZBOC=?(60°<?<90°),ON在內(nèi)部，NCON<30。.在圖中畫射線,使OC為/"ON

的三等分線，且NCONv/COH.當(dāng)5NCQ0-N30c=270。時(shí)，探究NMQH與N3ON的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

【答案】(1)①30°；②NBON=54。

{2}ZBON=2ZMOH,理由見解析

【分析】本題考查了余角與補(bǔ)角，一元一次方程的應(yīng)用，三等分線的有關(guān)計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的

關(guān)鍵.

(1)①根據(jù)余角的定義即可得到結(jié)論；

②設(shè)NCON=a,ZAOM=6-求得/3ON=60?！猚,列方程得到a=6。，于是得到々加=60。-6。=54。；

(2)根據(jù)OC為/"ON的三等分線，設(shè)NCON=〃，/COH=2。，得至|JZBQV=a-分，ZCOM=90°-/3,列

方程得到a=180。-5月，于是得到ZBON=2ZHOM.

【詳解】(1)解：①?.?/3OA/=90。，ZBOC=60°,

ZCOM=90°-60°=30°；

故答案為：30°；

②：ZCON=^ZAOM,

:.設(shè)ZCON=a,ZAOM=6a,

■.■ZBOC=60°,

:.ZBON=GO0-a,

ZAOM=180°-90°-(60。-a)=6a,

:.a=6°f

:.ZBON=600-6°=54°；

(2)ZBON=2ZMOH.

理由：如圖，

圖3

.?.設(shè)NCON=尸，ACOH=2/3,

\-Z.BOC=a,

:./BON=a—/3,

/.ZCOM=90°-/3,

???5NCOM-ZBOC=270°,

「.5(90?！?—1=270。，

:.a=1SO0-5/3,

/./BON=ZBOC-/CON=180。—=2(90°—3/3),

AMOH=90°-ZCOH-/CON=90°-鄒,

:.ZBON=2ZMOH.

4.如圖1,將一副三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起.

D

E

(1)觀察分析團(tuán)若NOCE=30。,則/ACB=,若NACB=145。,則"CE=；

(2)猜想探究團(tuán)如圖2,若將兩個(gè)同樣的三角尺，60。銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，請(qǐng)你猜想“4B與/C4E有

何關(guān)系，請(qǐng)說明理由；

⑶拓展應(yīng)用國(guó)如圖3,如果把任意兩個(gè)銳角NAOB、NCOD的頂點(diǎn)。重合在一起，已知/AOF=i,NCOO=￡

(a、夕都是銳角)，請(qǐng)你直接寫出NAOD與23OC的關(guān)系.

【答案】⑴150°；35°；

(2)N1MB+ZC4E=18O。，理由見解析.

{3}^AOD+ABOC=a+(3,理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)三角板的特點(diǎn)及角度和差求解即可；

(2)根據(jù)三角板的特點(diǎn)及角度和差求解即可；

(3)根據(jù)角度和差求解即可；

本題考查了角的運(yùn)算，熟練掌握角度和差運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)由題意可得：ZACD=ZBCE=90°,

EZDCE=30°,

回NACE=48=60°,

EZACB=/BCE+ZACE=900+60°=150°,

同理：ZACB=ZBCE+ZACE=145°,

SZACE=55°,

fflZDCE=35°

故答案為：150°,35°；

(2)DAB+^CAE=180°,理由：

由題意可知：NBAE=NDAC=90°,

0ZDAE+ZEAC=ZEAC+ZCAB=90°,

EZDAE+ZEAC+ZEAC+ZCAB=180°,

SZDAB=ZDAE+ZEAC+ZEAC,

回NTMB+NC4E1=180。；

(3)AAOD+ABOC=a+p,理由：

^\AAOB=AAOC+Z.COB=a,ZCOD=ZCOB+ZBOD=p,

回/COD+ZAOB=ZCOB+ZBOD+ZAOC+ZCOB=a+4,

0ZAOD=ZBOD+ZAOC+NCOB,

團(tuán)ZAOD+ZBOC=a+f3.

5.將一副三角尺放在同一平面內(nèi),使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)0.

⑴如圖①，若NAOB=145。，求NAOD、/BOC、NDOC的度數(shù).

⑵如圖①，你發(fā)現(xiàn)/AOD與/3OC的大小有何關(guān)系？/AO3與NOOC有何關(guān)系？直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

⑶如圖②，當(dāng)△AOC與沒有重合部分時(shí)，(2)中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)ZAO￡>=55。、ZBOC=55°,NCOD=35。

(2)ZAOD=ZBOC；ZAOB+NDOC=180°

⑶成立，見解析

【分析】本題主要考查了角的和與差，

(1)根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可；

(2)根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可；

(3)根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可.

能準(zhǔn)確找出題中所求角與已知角存在怎樣的和與差的關(guān)系是做出本題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)回NAO3=145°,ZAOC=ZBOD=90°,

0ZAOD=ZAOB-ZBOD=145°-90=55°,ZBOC=ZAOB-ZAOC=145°-90°=55°,

EZCOD=ZAOC-ZAOD=90°-55°=35°；

(2)由(1)可得，ZAOD=ZBOC=ZAOB-90°；

ZAOB+ZDOC

=ZAOD+ZBOD+ZCOD

=ZAOC+ZBOD

=90°+90°

=180°；

(3)成立，理由如下；

據(jù)圖可知，0ZAOB=145°,/AOC=90。，

回ZBOC=ZBOD+ZDOC=90°+Z.DOC,ZAODZAOC+ZCOD=90°+ZCOD,

SZAOD=ZBOC；

0ZAOB+ZCOD+ZAOC+ZBOD=360°,ZAOC=ZBOD=90°,

0ZAOB+ZCOD+90°+90°=360°

ZAOB+ZCOD=180°.

6.如圖，ZEOC=90°,請(qǐng)你根據(jù)圖形，求解下列問題：

⑴在ZEOA,ZAOC,ZEO8,/EOD中，哪些角是銳角？哪些角是直角？哪些角是鈍角？哪些角是平角？并用

把它們連接起來；

(2)/3OD是哪兩個(gè)角的和？

(3)寫出ZEOD,ZEOC,ZDOC,ZEOA中某些角之間的兩個(gè)等量關(guān)系；

(4)如果ZEOD=/COB,則ZBOD的度數(shù)為°.

【答案】(1)/EOD是銳角，NAOC是直角，NEQB是鈍角，/EOA是平角，

ZEOD<ZAOC<ZEOB<ZEOA

(2)Z.BOD=ZBOC+ZCOD

(3)ZEOC=ZEOD+ZDOC,ZEOA=2ZEOC(答案不唯一)

(4)90

【分析】本題考查銳角、直角、鈍角、平角的定義，角度之間的和差關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解

決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)銳角、直角、鈍角、平角的定義，結(jié)合圖形即可求解；

(2)根據(jù)圖形即可求解；

(3)根據(jù)圖形即可求解;

(4)由題意可知NEOD+NCOD=90。，結(jié)合ZEOD=NCOB,即可得NCO8+NCO￡)=NfiO￡)=90。.

【詳解】(1)解：由圖可知，/E8是銳角，/AOC是直角，/EO3是鈍角，/EOA是平角，

則ZEOD<ZAOC<ZEOB<ZEOA；

(2)由圖可知，Z.BOD=ZBOC+ZCOD；

(3)由圖可知，ZEOC=ZEOD+ZDOC,ZEOA=2ZEOC(答案不唯一)

(4)EZ￡OC=90°,

fflZEOD+ZCOD=90°,

又國(guó)/EOD=NCOB,

團(tuán)ZCOB+ZCOD=ZBOD=90°,

故答案為：90.

7.已知—405與NCO?；パa(bǔ)，射線。石平分NCO。，設(shè)Z4OC=a,ZBOD=/3.

（1）如圖1,NCOD在/AO5的內(nèi)部，當(dāng)。與△互余時(shí)，求