專題09構(gòu)造全等三角形的五大方法

目錄

解題知識(shí)必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................3

類型一、利用“補(bǔ)形法”構(gòu)造全等三角形...........................................3

類型二、利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形......................................10

類型三、利用“倍長(zhǎng)中線法”構(gòu)造全等三角形......................................19

類型四、利用“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形..........................................28

類型五、利用“作垂線法”構(gòu)造全等三角形........................................38

壓軸能力測(cè)評(píng)...................................................................45

“解題知識(shí)必備??

I用SSS判定兩個(gè)三角形全等的方法

方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對(duì)應(yīng)邊分別相等，即可證明！

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成"邊邊邊"或"SSS"）.

備注：如圖，如果43'=AB,4C'=AC,8'。=BC,則AABC%A0。'.

2用SAS判定兩個(gè)三角形全等的方法

方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個(gè)角必須是兩對(duì)應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA,

SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。

（1）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊"或"SAS"）.

A

備注：如圖，如果AB=a?，NA=N4，AC=4。，則4ABC%4?注意：這里

的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.

(2)有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.

如圖，AABC與AABD中，AB=AB,AC=AD,NB=NB,但AABC與^ABD不完全重合,故不

全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.

3用ASA或AAS判定兩個(gè)三角形全等的方法

方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個(gè)邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對(duì)邊或鄰邊！

兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成"角邊角"或"ASA").

備注：如圖，如果NA=N4,AB=A'B',=,則AABSAA'Q。.

(1)兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成"角角邊"或"AAS")

備注：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角"判定兩

個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.

(2)三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

如圖,在AABC和AADE中,如果DEIIBC,那么NADE=zB,zAED=zC,又NA=zA，但&ABC和△

ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

4用HL判定兩個(gè)直角三角形全等的方法

方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。

(1)由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相

等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS","ASA"或"SAS”判定定理.

(2)判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理

在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直

角邊"或"HL").這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.

備注：

1)"HL”從順序上講是"邊邊角"對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小

就確定了.

2)判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等,首

先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.

3)應(yīng)用"斜邊、直角邊"判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩

個(gè)三角形前加上"Rt".

“壓軸題型講練X

類型一、利用"補(bǔ)形法"構(gòu)造全等三角形

"補(bǔ)形法”是指補(bǔ)全圖形的方法，主要是利用條件構(gòu)造與已知三角形全等的三角形，利用全等三角形解決

問題。

例.如圖,ABC中，AC=8C,0ACB=9O。，AA平分回BAC交8C于點(diǎn)C,過點(diǎn)8作B￡ELM),交AH延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,尸為的中點(diǎn)，連接CF交AD于點(diǎn)G,連接BG.

(1)線段3E與線段有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(2)判斷BEG的形狀，并說明理由.

【答案】（1）BE=\AD,見解析；（2）.8EG是等腰直角三角形，見解析

2

【分析】（1）延長(zhǎng)5￡、AC交于點(diǎn)”，先證明△84比回/￡46得BE=HE=LBH,再證明AgCM胭AC。，得

2

BH=AD,則56」A。；

2

（2）先證明C/垂直平分A3,則AG=3G,再證明回。48=回。84=45°,貝峋GA3=[2G8A=22.5。，于是團(tuán)EG8

=^G43+回GA4=45°,可證明△3EG是等腰直角三角形.

【詳解】證：（1）BE=AD,理由如下：

如圖，延長(zhǎng)3￡、AC交于點(diǎn)H,

0BEIMD,

團(tuán)財(cái)E3=a4EH=90°,

她。平分團(tuán)A4C,

^\BAE=WAEf

在△8AE和中，

ZAEB=ZAEH

<AE=AE,

NBAE=NHAE

^\BAE^\HAE（A5A）,

⑦BE=HE=LBH,

2

甌AC3=90。，

團(tuán)回3cH=180°-媯C3=90o=0ACD,

團(tuán)國(guó)C3H=90°-回H=R1CA0,

在ABC"和"⑺中，

ZBCH=ZACD

<BC=AC,

ZCBH=ACAD

^BCH^ACD(ASA),

0BH=AD,

^\BE=-AD.

2

(2)zkBEG是等腰直角三角形，理由如下:

^AC=BC,AF=BF,

團(tuán)CKZLAB,

0AG=3G,

WGAB=BGBA,

0AC=BC,0ACB=9O°,

mCAB=^CBA=^5°f

^\GAB=~^CAB=22.5°

2f

HaGAB=ElGBA=22.5°,

00EGB=0GAB+0GBA=45°,

加5EG=90°,

^\EBG=aEGB=45°,

田EG=EB,

回SBEG是等腰直角三角形.

H

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基

本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練11求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30。，則它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要求:

A______________cB

(1)根據(jù)給出的線段AB及ae,以線段AB為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出AtABC的斜邊AC,使得

ZA=30°,保留作圖痕跡，不寫作法；

(2)根據(jù)(1)中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】(1)根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；

(2)根據(jù)圖形和命題的已知事項(xiàng)寫出已知，根據(jù)命題的未知事項(xiàng)寫出求證，再寫出證明過程即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，線段AC為所求作的線段；

(2)已知：如圖，VABC是直角三角形，ZABC=90°,ZA=30°.

求證：BC=-AC.

2

解法一：如圖，在AC上截取一點(diǎn)￡>,使得CD=CF,連接。8.

0ZABC=9O°,ZA=30°,0ZACB=6O°.

^CD=CB,是等邊三角形.

SBC=CD=BD,ZCBD=60°.

0ZABC=9O°,I?]ZABD=ZABC-ZCBD=30°.

團(tuán)Z4BD=NA.國(guó)DA=DB.

也BC=CD=DB,SBC=-AC.

2

解法二：如圖，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)。，使CB=BD,連接AD.

團(tuán)ZABC=90。，ZBAC=30°,

^?ABD90?,ZACB=60°,

團(tuán)=BC=BD,ZABC=ZABD,

團(tuán)ABC=A6Z）（SAS）.團(tuán)AC-AD.

0AS是等邊三角形.

0AC=CD.

SBC=-CD,SBC=-AC.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角及命題的證明過程的書寫格式，掌握相關(guān)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2].如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線A3分別交x軸、y軸于A（“,0）,3（0,6）兩點(diǎn)，且。,6滿

足（a-4+|a-4止0,且"0J是常數(shù)，直線5D平分NOBA,交x軸于點(diǎn)D

（2）如圖2,過點(diǎn)A作垂足為E,猜想AE與80間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】（1）見解析；（2）BD=2M,證明見解析.

【分析】（1）由已知條件可得AO=BO,進(jìn)而得/。04=/。鉆，由直線3。平分NOB4及直角三角形斜邊

上中線的性質(zhì)得NH9M=NQ45,再由三角形的外角定理，分別求得N8N,NON，根據(jù)角度的等量代換，

即可得NOON=NQV。，最后由等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可得證；

(2)如圖，延長(zhǎng)AE交,軸于點(diǎn)C,先證明△3CE竺△B4E1,得AE=EC,再證明NDO5四△CQ4,即可

得BD=AC=2AE.

【詳解】(1)(〃-力旺1〃-4川=0,

:.a=b=4t,

AO=BO9

ZOBA=ZOAB,

.直線50平分NOR4,

:.ZABD=ZOBD,

M為AB的中點(diǎn)，

OM=-AB=BM=AM,

2

:"BOM=NOBA,

NOBA=NOAB,

ZBOM=ZOAB,

ZOND=NOBD+NBOM,

ZODN=ZOAB-^ZABD,

:.ZOND=ZODN,

:.ON=OD.

(2)BD=2AE,

證明：如圖，延長(zhǎng)AE交丁軸于點(diǎn)C,

直線平分NOR4,AE±BD,

:.ZABD=ZOBD,ZAEB=ZCEB,

又BE=BE,

ABCE^ABAE(ASA),

??.AE=CE=-AC

2f

AO.LBC.

，ZDOB=ZCOAf

即ZOAC+ZOCA=ZOC4+ZCBE=90°,

:./OAC=NOBD,

又-OB=OA,

ZDOB^ACOA(ASA),

:.BD=AC=2AE,

即瓦＞:2AE.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的定義，非負(fù)數(shù)之和為零，三角形角平分線的定義，三角形中線的性

質(zhì)，三角形外角定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，熟練掌握以上知識(shí)，添加輔助線是解題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】.已知，如圖A4BC中，AB=AC,ZA=90°,/AC3的平分線CO交A3于點(diǎn)E,NBDC=900,

求證：CE=2BD.

【分析】延長(zhǎng)BD交CA的延長(zhǎng)線于F,先證得回ACE麗ABF,得出CE二BF；再證團(tuán)CBD麗CFD,得出BD二DF；由

此得出結(jié)論即可.

【詳解】證明：如圖，

延長(zhǎng)BD交CA的延長(zhǎng)線于F,

ABAC=9^

.\ZBAF=ZBAC=90°,ZACE+ZAEC=90°

NBDC=90°

:./BDC=NFDC=90°

:.ZABF+ZBED=90°

ZAEC=ZBED

.\ZACE=ZABF

AB=AC

:.AACE^AABF(ASA)

:.CE=BF

CD平分ZAC3

.\ZACD=ZBCD

CD=CD

:.ACBDmACFD(ASA)

：.BD=FD=-BF

2

:.BD=-CE

2

，CE=2BD

【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，作出輔助線是解決問題的

關(guān)鍵.

類型二、利用〃截長(zhǎng)補(bǔ)短法〃構(gòu)造全等三角形

“截長(zhǎng)補(bǔ)短"是處理線段間數(shù)量關(guān)系的一種重要的解題方法.當(dāng)題目中出現(xiàn)三條線段間的和差關(guān)

系時(shí)(如a=b+c),?？紤]用此法解決.所謂“截"，就是將最長(zhǎng)的線段a截成兩段，使其中一段等于較短的

一條線段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知識(shí)證另一段等于線段c;所謂“補(bǔ)”，就是將較短的線

段6延長(zhǎng),使延長(zhǎng)的線段長(zhǎng)度為c,相當(dāng)于將線段b,c拼成一條線段，再證明此線段的長(zhǎng)等于a.用截長(zhǎng)補(bǔ)

短法解決問題的關(guān)鍵，是用"截"或"補(bǔ)”的手段去構(gòu)造線段.

例.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(-2,0),C(6,0),B為y軸正半軸上一點(diǎn)，。在第四象限，且3CLCD,

C4平分/BCD,ZABC+ZADC=180°.

⑴直接寫出8點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求證：AB=AD-,

⑶求四邊形ABC。的面積.

【答案】⑴(0,6)

(2)見解析

(3)32

【分析】(1)證明△OBC是等腰直角三角形，可得結(jié)論；

(2)過點(diǎn)A作AMLBC于點(diǎn)ANLCD,交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.證明△AMB也△⑷VD(AAS),可得結(jié)

論；

(3)證明四邊形AMCV是正方形，再證明四邊形ABCD的面積=正方形AMCN的面積即可.

【詳解】(1)C(6,0),

OC=6,

BCLCD,

:.ZBCD=90。,

AC平分NBCD,

ZBCA=ZACD=45°f

ZCOB=90°,

/.NOBC=NOCB=45。,

OB=OC=6,

?.5(0,6),

故答案為：(0,6)；

(2)過點(diǎn)A作AMLBC于點(diǎn)ANLCD,交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

AC平分NBC。,

:.AM=AN,

ZABM+ZADC=180°,ZADN+ZADC=180。,

:.ZABM=ZADN,

ZAMB=ZN=9Q0,

0△AAS),

/.AB=AD；

(3)A(-2,0),5(6,0),

/.OA=2,OC=6,

/.AC=8,

AMLCM,ZACM=45°,

：.AM=CM=4yj2

AAMB=AAND,

…?UQAMB-=0qAND，

一S四邊形APCD=S四邊形AMCN，

.ZAMC=ZMCN=ZN=90°,

二?四邊形AMCN是矩形，

AM=CM,

二?四邊形AMOV是正方形,

一S四邊形筋8=S四邊形,仍=(4\/2)=32.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

【變式訓(xùn)練1］如圖，在四邊形ABC。中，AC與5。交于點(diǎn)。，AC平分/八鉆，5。平分NCB4,

ZAZ)C+ZBCD=240°.

D.

⑴求NAOB的度數(shù);

⑵求證：OD=OC.

【答案】（1）120。

（2）見解析

【分析】（1）由四邊形內(nèi)角和性質(zhì)求得/ZMB+NABC=120。.再由角平分線定義可得NOAB=,

ZOBA=|ZABC,最后由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得到結(jié)論；

（2）作/AO3的平分線交A3于E,證明AAOD也”。石，再由全等三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】（1）在四邊形ABCD中，ZDAB+ZABC+Z.BCD+ACDA=360°,

又回ZADC+ZBCD=240°,

?ZDAB+ZABC=120°.

E1AC平分BD平分NCBA,

0ZOAB=-ZDAB,ZOBA=-ZABC,

22

2''

在△OAB中，4OB=180?！?NQ4B+ZOBA)=120°.

(2)ZAOD=ZBOC=180°-ZAOB=60°.

如圖，作—AO5的平分線交A3于E.則NAOE=N5Of=NOQ4=NCO5=60。.

在△AOD和“。石中，

ZAOD=ZAOE

<OA=OA,

ZDAO=ZEAO

△AOO^AAOE(ASA).

^\OD=OE.

同理，OC=OE.

^\OD=OC

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2].如圖所示，AB//CD,BE,CE分別是/ABC,/BCD的平分線，點(diǎn)￡在AZ)上，求

證：BC=AB+CD.

【答案】見解析

【分析】運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，在上取點(diǎn)孔使BF=AB,由角平分線定義得NAB石=石，

NBCE=/DCE,可證，ABE烏得ZA=ZBFE,結(jié)合平行線的性質(zhì)可證NEFC=NO,進(jìn)一步

證得，EFC空EDCC4AS),所以C尸=CO,得證結(jié)論BC=AB+CD.

【詳解】在3c上取點(diǎn)/，使M=

回鹿，CE分別是/ABC,NBCD的平分線

^\ZABE=ZFBEfZBCE=ZDCE

^\AB//CD

0ZA+ZD=180°

在dABE和一斤B石中

AB=FB

<NABE=ZFBE

BE=BE

團(tuán)ABE芬FBE(SAS)

^ZA=ZBFE

^ZBFE+ZD=180°

^ZBFE+ZEFC=180°

?ZEFC=ND

在二EFC和△EDC中，

NEFC=ND

ZBCE=ZDCE

CE=CE

ELEFCREDCGUS)

0CF=CD

0BC=BF+CF

0BC=AB+CD.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法構(gòu)造

全等三角形求證線段相等是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練31.（1）閱讀理解：

問題：如圖1,在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分/ABC,^A+^C=180°.求證：DA=DC.

思考："角平分線+對(duì)角互補(bǔ)"可以通過"截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題.

方法1：在3c上截取即！=連接DM,得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；

方法2：延長(zhǎng)54到點(diǎn)N,使得BN=BC,連接QN,得到全等三角形，進(jìn)而解決問題.

結(jié)合圖1,在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明.

⑵問題解決：如圖2,在⑴的條件下，連接AC,當(dāng)/ZMC=60。時(shí)，探究線段4B,BC,BD之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由；

⑶問題拓展：如圖3,在四邊形ABCD中，ZA+/C=180。，DA^DC,過點(diǎn)。作DEL3C,垂足為點(diǎn)￡,

請(qǐng)寫出線段力B、CE、8c之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）AB+BC=BD,見解析；（3）BC-AB=2CE,見解析

【分析】（1）方法1：在BC上截取=連接DM,證明，Afi。絲河3￡＞（SAS）,得出=

AD=MD,進(jìn)而得出如，則DM=DC,等量代換即可得證；方法2：延長(zhǎng)2B到N,使BN=3C,

連接ON,證明NBD會(huì)CBD（SAS）,得出/BND=/C,NO=CD,進(jìn)而得出=—NA。，則DN=,

等量代換即可得證

（2）AB,BC,BD之間的數(shù)量關(guān)系為AB+3c=30.方法1：在BD上截取班'=AB,連接4尸，由（1）知

BADBCD=180°,得出一AB尸，.ADC為等邊三角形，證明.ABC—AFO（SAS）,得出。尸=BC,

進(jìn)而即可得證；方法2：延長(zhǎng)到尸，使=連接AP,由（1）知4）=CD,則_ADC,_ABP是等

邊三角形，證明，24c絲，BAD（SAS）,得出尸C=3。，進(jìn)而即可得證；

（3）線段4B、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為BC—AB=2CE,連接BD,過點(diǎn)。作于點(diǎn)尸，證明

DFA^DEC（AAS）,RtBDF0和RtBDE（HL）,得出3尸=BE,進(jìn)而即可得證.

【詳解】解：（1）方法L在3。上截取=連接DM,

圖1①

，NABD=NCBD,

在《ABD和..MB。中，

BD=BD

<ZABD=ZMBD,

BA=BM

涇JVffiD(SAS),

:.NA=NBMD,AD=MD,

ZBMD+ZCMD=180°,NC+/A=180。，

:,NC=NCMD,

:.DM=DC,

:.DA=DC；

方法2：延長(zhǎng)AB到N,使BN=BC,連接。N,

:.NNBD=NCBD,

在「jVBO和.CBO中，

'BD=BD

<ZNBD=ZCBD,

BN=BC

NBDgCBD(SAS),

:.NBND=NC,ND=CD,

NM4Z)+/BAD=180。，ZC+ZBAD=\^,

:?NBND=NNAD,

:.DN=DAf

,\DA=DC；

(2)AB,BC,BO之間的數(shù)量關(guān)系為AB+5C=BD.

方法1：理由如下：

如圖2,在3。上截取5b=AB,連接AF,

圖2

由(1)知ZB4O+/BCD=180。，

/.ZABC+ZDAC=180。，

/ZMC=60。，

.?./ABC=120。，

?,.NABD=NDBC=60°,

??.AB尸為等邊三角形，

:.AB=AF=BF,ZBAF=60°,

AD^DC,

.?.APC為等邊三角形，

「.AD=AC,/n4c=60。，

:,ZDAF=ZBAC,

ABC^AFD(SAS),

:.DF=BC,

:.BD=BF+DF=AB+BC.

方法2：理由：延長(zhǎng)CB到P,使3P=3A,連接AP,

圖2

由⑴知AO=CD,

.^DAC=60°f

ADC是等邊三角形,

/.AC=AD,ZADC=60°,

/BCD+NBAD=180°,

ZABC=360°-180°-60°=120。，

NPBA=180?！猌ABC=60°,

BP=BA,

為等邊三角形，

:.ZPAB=6Q°,AB=AP,

ZDAC=60°,

NPAB+NBAC=ZDAC+ZBAC,

即=

在，PAC和二BAD中，

'PA=BA

<APAC=/BAD,

AC=AD

PAC^4BAD(SAS),

:.PC=BD,

PC=BP+BC=AB+BC,

AB+BC-BD；

(3)線段4B、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系為5C-AB=2C￡.

連接BO,過點(diǎn)。作。尸于點(diǎn)尸，

/B4D+/C=180。，，班。+，￡4。=180。，

:.ZFAD=ZC,

在,。用和.DEC中,

ZDFA=ZDEC

<ZFAD=ZC,

DA=DC

DM^DEC(AAS),

:.DF=DE,AF=CE,

在Rt_BDF和Rt一BDE中,

[BD=BD

[DF=DE'

.*.RtBDF/RtRD磯HL）,

:.BF=BE,

BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE,

:.BC—BA=2CE,

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

類型三、利用"倍長(zhǎng)中線法"構(gòu)造全等三角形

中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用"倍長(zhǎng)中線法"添加輔助線.

倍長(zhǎng)中線法：就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)

來解決問題的方法.

倍長(zhǎng)中線法的過程：延長(zhǎng)某某到某點(diǎn)，使某某等于某某，使什么等于什么（延長(zhǎng)的那一條），用SAS

證全等（對(duì)頂角相等）

倍長(zhǎng)中線最重要的一點(diǎn)：延長(zhǎng)中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造。

【方法講解】常用輔助線添加方法一倍長(zhǎng)中線

△ABC中，AD是BC邊中線，如圖一

方式1：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE如圖二

結(jié)論：

1)AADC=AEDB；

2)AD<-(AB+AC);

2

3)AC=BES.AC//BE;

4)拓展：四邊形A3EC為平行四邊形；

5)BE可以看成從AC平移到BE位置。

方式2：間接倍長(zhǎng)

如圖三：作CF，AD于F,作BELAD的延長(zhǎng)線于E;

如圖四：延長(zhǎng)MD到N,使DN=MD,連接CN,

例.如圖，AD為VABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F,AE=EF.求證：AC=BF.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì).延長(zhǎng)A。

至點(diǎn)G,使GD=A￡),連接BG.結(jié)合題意可證明ADC^.GDB(SAS),得到AC=3G,NC4D=NG.由

AE=EF,可得NCW=NEE4,結(jié)合NBFG=NEFA,得到NBFG=NG,即可求解.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G,使GD=AD,連接3G.

AD為VABC的中線,

:.BD=CD.

AD^GD

在△ADC和△GD3中，,NAOC=NGOB,

CD=BD

.-...ADC^.GDB(SAS),

:.AC=BG,ACAD=ZG.

AE=EF,

NCAD=NEFA.

NBFG=NEFA,

:"BFG=/G,

:.BG=BF,

AC=BF.

【變式訓(xùn)練1].(1)如圖①，在VABC中，若AB=6,AC=4,A。為2C邊上的中線，求A。的取值范

圍；

(2)如圖②，在VABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，DE1DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接研，

判斷3E+W與EF的大小關(guān)系并證明；

(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD,AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)凡點(diǎn)E是2c的中點(diǎn)，若AE是

尸的角平分線.試探究線段AB,AF,b之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】(1)1<AD<5；(2)BE+CF>EF,見解析；(3)AF+CF=AB,見解析

【分析】(1)由已知得出即6-4<AE<6+4,AD為AE的一半，即可得出答案;

(2)延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M,使=小，連接EM,可得△BMD^ACFD,得出BM=CF,由線段垂

直平分線的性質(zhì)得出EM=跖，在_3設(shè)￡中，由三角形的三邊關(guān)系得出即可得出結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)AE,D尸交于點(diǎn)G,根據(jù)平行和角平分線可證AF=PG,也可證得"BE絲AGCE,從而可得

AB=CG,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖①，延長(zhǎng)A￡)到點(diǎn)E,使DE=AD,連接班，

A

ao是2C的中點(diǎn)，

團(tuán)BD=CD,

⑦ZADC=/BDE,

0ACD^EBD(SAS),

0BE=AC=4,

在石中，AB-BE<AE<AB+BE,

06-4<AE<6+4,,

02<AE<1O,

01<A￡)<5,

故答案為：1VAPV5；

(2)BE+CF>EF,理由如下：

延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接5M、EM,如圖②所示.

同(1)得：BMD-CFD6網(wǎng),

國(guó)BM=CF,

⑦DELDF,DM=DF,

國(guó)EM=EF,

在中，由三角形的三邊關(guān)系得:

BE+BM>EM,

0BE+CF>EF；

(3)AF+CF=AB,理由如下：

如圖③，延長(zhǎng)AE,。尸交于點(diǎn)G,

A

0AB//CD,

0ZBAG=ZG,

在_ABE和GCE中,

CE=BE,

<ZBAG=NG,,

ZAEB=ZGEC

回ABE^.GEC(AAS),

SCG=AB,

ElAE是NBA尸的平分線，

SZBAG^ZGAF,

SZFAG=ZG,

^AF=GF,

?FG+CF=CG,

SAF+CF=AB.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系，作輔助線一倍長(zhǎng)中線法、全等三角形的判定

與性質(zhì)，角的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，所以本題的綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，通過作輔助線證明三角形全等是

解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2].(1)閱讀理解：如圖1,在VABC中，若AB=3,AC=5.求BC邊上的中線AD的取值范

圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)A。至E,使連接BE.利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE,在_BAE

中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線A。的取值范圍，在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法

是,中線AQ的取值范圍是；

圖1

(2)問題解決：如圖2,在VABC中，點(diǎn)。是2c的中點(diǎn)，DMLDN.交AB于點(diǎn)M,DN交AC于

點(diǎn)N.求證：BM+CN>MN；

B

MD

圖2

(3)問題拓展：如圖3,在VABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，分別以AB,AC為直角邊向VABC外作RtABM

和Rt"CN,其中NBA"=4c=90。，AB=AM,AC=AN,連接MN,請(qǐng)你探索A。與MN的數(shù)量

與位置關(guān)系.

圖3

【答案】(1)SAS,1<AD<4；(2)見解析；(3)2AD=MN,AD±MN

【分析】(1)延長(zhǎng)AD至E,使。連接8E,利用"SAS"證明VADC絲VED3,由全等三角形的性

質(zhì)可得EB=AC,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系"三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊"

求解即可；

(2)延長(zhǎng)ND至點(diǎn)/，使FD=ND,連接BEMF,禾【J用"SAS”證明ABFD四△CNZ),易得BF=CN,

可知DM為NF的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)可得MR=MN,然后由三角形的三邊關(guān)系可證明結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)AD于E,使得ED=A￡),連接BE,延長(zhǎng)ZM交MN于尸，首先證明“CD4會(huì),由全等三

角形的性質(zhì)可得=AC,/4。。=/￡?。，再證明4/15￡：咨_跖小，可得跖7=鉆=24),ZBAE=ZAMN,

進(jìn)而可證明AD±MN.

【詳解】解：(1)如圖1,延長(zhǎng)AD至E,使?！?AD,連接班，

團(tuán)AD為5c邊上的中線，AB=3,AC=5,

國(guó)BD=CD,

在△ADC和△EZM中，

AD=ED

<ZADC=ZEDB,

CD=BD

回△A￡>C四△ED3(SAS),

團(tuán)EB—AC=5,

在々ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：BE-AB<AE<AB+BE,

即2<AE<8,

0AE=2AD,

E2<2AD<8,

m<AD<4,

故答案為：SAS,1<AD<4；

(2)如圖2中，延長(zhǎng)ND至點(diǎn)/，使FD=ND,連接3凡MF,

圖2

回點(diǎn)。是2C的中點(diǎn)，

出BD=CD,

在VBC不和△CDN中，

ND=NF

<ZBDF=ZCDN,

CD=BD

用BFD冬一CND(SAS),

⑦BF=CN,

國(guó)DMLDN,FD=ND,

^\MF=MN,

在「BEM中，由三角形的三邊關(guān)系得：BM+BF>MF,

出BM+CN>MN；

(3)結(jié)論：2AD=MN,AD±MN9

如圖3,延長(zhǎng)AD于E,使得互>=4),連接助，延長(zhǎng)ZM交MN于尸,

圖3

團(tuán)點(diǎn)。是5c的中點(diǎn)，

國(guó)BD=CD,

在VBDE和CZM中，

BD=CD

<NBDE=ZCDA,

AD=ED

團(tuán)CDAWBDE(SAS),

0BE=AC,ZACD=/EBD,

團(tuán)NM47V+NM4B+NB4C+NC42V=36O。，ZBAM=ZNAC=90°,

團(tuán)NM42V+NC4B=18O。，

0NBAC+NABC+ZACB=180。，

國(guó)NMAN=NABC+NACB=NABC+NEBD=NABE,

在Z\M4N和-AB石中，

AM=AB

</MAN=/ABE,

AN=BE

0ABE^MAN(SAS),

^\MN=AE=2ADf/BAE=ZAMN,

團(tuán)NM4F+NM4B+NBAE=180。，NM4B=90。，

0ZM4F+ZBAE=9O°,

0ZM4F+ZAW=9O°,

0AF±ACV,

即AZ)_LMV.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、三角形中線、

垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3].如圖，在AA5c中，。是3C上一點(diǎn)，連接AD,已知CD=AB,ZBAD^ZBDA,AE是AARD

的中線.求證：AC=2AE.(提示：延長(zhǎng)AE至P,使EF=/1E,連接DP)

【答案】見解析

【分析】延長(zhǎng)AE至F,使EF=AE,連接。先證明A4BE=AFDE.得到AB=ED,ZB=ZEDF,再利

用外角性質(zhì)及等式的性質(zhì)得到NADC=NAZ）方，進(jìn)而得到AW尸二AADC,最后即可得至【JAC=2AE.

【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)AE至尸，使EF=AE,連接。尸.

團(tuán)AE是AA&)的中線，

@BE=DE.

在AA5E1與AFD石中，

'AE=EF

<NAEB=/FED,

BE=DE

^\MBE=^FDE.

BAB=FD,ZB=ZEDF.

0CD=AB,

⑦CD=FD.

^ZADC=ZB-^ZBAD,ZADB=ZBAD,

ZADF=ZADB+ZEDF=ZB+ZADB,

^\ZADC=ZADF.

在MDF與A4DC中,

AD=AD

<ZADC=ZADF,

CD=FD

[?]AADF=AAZ)C.

團(tuán)AC=AF.

^\AF=AE+EF=2AE,

0AC=2AE.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

類型四、利用"旋轉(zhuǎn)法"構(gòu)造全等三角形

在解決等邊三角形、正方形或者頂角為特殊的等腰三角形時(shí)，若條件較為分散，可考慮利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造

全等三角形，可高效突破有關(guān)難題。

手拉手模型便是由兩個(gè)同頂角的等腰三角形形成，可看成兩個(gè)全等三角形旋轉(zhuǎn)而得，這便體現(xiàn)了全等

三角形和旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系！

1、熟悉手拉手模型

3.1145°,135°構(gòu)造全等

通過全等構(gòu)造，將線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中

以上這些，將會(huì)在另外專題中講到。

例.問題背景："半角模型"問題.如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZfiAD=120°,ZB=ZADC=9Q°,

點(diǎn)、E,尸分別是BC,CD上的點(diǎn)，且ZE4F=60。，連接麻，探究線段3E,EF,D/之間的數(shù)量關(guān)系.

⑴探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G.使0G=■.連結(jié)AG,先證明△ME絲△ADG,再證

明從而得出結(jié)論：；

(2)拓展延伸：如圖2,在四邊形ABCD中，AB^AD,ZB+ZZ)=180o,E、尸分別是邊3C,CD上的點(diǎn)，

且請(qǐng)問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由.

⑶嘗試應(yīng)用：如圖3,在四邊形ABCD中，AB^AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分別是邊3C,CD延長(zhǎng)線上

的點(diǎn)，MZE4F=|ZBAD,請(qǐng)?zhí)骄烤€段BE,EF,〃尸具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明.

[^](1)EF=BE+FD

⑵成立，理由見解析

(3)EF=BE-FD,證明見解析

【分析】(1)延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G.使DG=3E.連接AG,利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；

(2)延長(zhǎng)CB至使=D尸，連接A".證明VABM四V4開，由全等三角形的性質(zhì)得出

AF=AM,Z2=Z3.NAME^IAFE,由全等三角形的性質(zhì)得出EF=ME,即防=3￡+3Af,則可得出

結(jié)論；

(3)在BE上截取8G,使BG=DF,連接AG.證明△ABG四由全等三角形的性質(zhì)得出

ZBAG^ZDAF,AG^AF.證明△AEG即，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：EF=BE+FD.

延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連接AG,

BZABE=ZADG=ZADC=90°,AB=AD,

0Z\ABE四△ADG(SAS).

^AE=AG,ZBAE=ZDAG.

SZBAE+ZDAF=ZDAG+ZDAF=ZEAF=60°.

SZGAF=ZEAF=6O°.

^AF^AF,

0VAGF^VAEF(SAS).

0FG=EF.

SFG=DF+DG.

^EF=BE+FD.

故答案為：EF=BE+FD；

(2)解：(1)中的結(jié)論EFuBE+ED仍然成立.

證明：如圖②中，延長(zhǎng)CB至使8M=。/，連接AW.

圖②

0ZABC+ZD=180°,4+ZABC=180°,

0ZJ=ZD,

在，ABM與△MR中，

AB=AD

<Zl=ZD,

BM=DF

回VABM絲V4年(SAS).

SAF=AM,Z2=Z3.

S\ZEAF=-ZBAD,

2

SZ2+Z4=-ZBAD=ZEAF.

2

0Z3+Z4=ZE4F,即/MAE=/EAF.

在△AME■與44/石中，

AM=AF

<NMAE=ZEAF,

AE=AE

SVAMEAAFE(SAS).

SEF=ME,即EF=BE+BM,

SEF=BE+DF-

(3)解：結(jié)論：EF=BE-FD.

證明：如圖③中，在8E上截取3G,使3G=正，連接AG.

A

ZADF+ZADC=180°,

⑦ZB=ZADF.

在，ABG與△血尸中,

AB=AD

NABG=ZADF,

BG=DF

0VABG^VAZ)F(SAS).

^\ZBAG=ZDAF,AG=AF.

0ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=-ABAD.

2

^\ZGAE=ZEAF.

團(tuán)AE=AE,

0VAEG^VAEF(SAS),

0EG=EF，

?EG=BE—BG,

國(guó)EF=BE—FD.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造

全等三角形解決問題.

【變式訓(xùn)練1工已知：邊長(zhǎng)為4的正方形A8CD&EAF的兩邊分別與射線CB、0c相交于點(diǎn)E、F,且回胡尸

EF=BE+DF.

圖1圖2圖3

思路分析：

(1汝口圖1,回正方形中，AB=AD,0BA￡>=EB=0A￡>C=9O°,

回把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADE,則RD、E在一條直線上，

0E'AF=度，……

根據(jù)定理，可證：^AEF^AE'F.

BEF=BE+DF.

類比探究：

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，探究EGBE、。歹之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

拓展應(yīng)用：

(3汝口圖3,在AABC中，AB^AC,D、E在BC上，0BAC=20DA￡.若SAABC=14,SAAOE=6,求線段BD、

DE、EC圍成的三角形的面積.

【答案］⑴45

(2)DF=BE+EF,證明見解析

(3)2

【分析】(1)把AABE■繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AACE,則尸、D、E'在一條直線上，^ADE^MBE,再證

AA￡F^△AE'F,得EF=E'F,進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A4Z)E,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AADENAABE,再證A4EF學(xué)△AE&,得

EF=EF,進(jìn)而得出結(jié)論；

(3)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AACD',連接ED,則AAS之AABD,得CD=BD,因此

S

^^。=5四邊形的3=14,同(2)得A4DE學(xué)△?￡>上,則OE=D'E，MDE=S=6,得BD、DE、EC圍成的

三角形面積=S?，c，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖1,回正方形ABCD中，AB=AD,SBAD=W=SADC=90°,

回把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A4DE,

圖1

貝UE、D、￡在一條直線上，MDE'00ABE,

0DE'=BE,0ZME,=^BAE,AE'=AE,

EBE'AE=回￡4。+回DAE'=0EAD+0BAE=SBAD=90°,

則團(tuán)成W=0E'AE-0EAF=45°,

^EAF^EAF,

EHAEfHSAE戶(SAS),

0E'F=EF,

國(guó)EF=DE'+DF,

國(guó)EF=BE+DF.

故答案為：45；

(2)解：DF=BE+EF理由如下：

將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADEC，

圖2

00ADE<^\ABE,

0AE=AE',BE=DE',SiDAE'=^BAE,

00E'AE=^BAE+^E'AB=0E'AD+SE'AB=0BA￡)=9O°,

則回EAF=0E'AE-0EAF=45°,

H3EAF=0EAF=45",

在△AEE和△?!￡■戶中，

'AE=AE'

■ZE'AF=ZEAF,

AF=AF

BSiAEF^EAE'F(SAS),

^\E'F=EF,

@DF=DE+E'F,

^DF=BE+EF；

(3)解：將△AB。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACD，，連接ED"

A

圖3

貝！UACD'團(tuán)團(tuán)A30,

團(tuán)S=BD,

回SAABC=S四加創(chuàng)D，CD=14,

同(2)得：△ADEHSAD'E(￡4S),

^DE=D'E>SAADE=S.右=6,

SB￡)、DE、EC圍成的三角形面積為CD'、DE、EC圍成的三角形面積S回,。=S四婢.°。-S3-S.欠=2.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形

和三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，

屬于中考?？碱}型.

【變式訓(xùn)練2].(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分別是邊8C、C。上的

點(diǎn)，且N￡4F=：NBAD.求證：EF=BE+FD;

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AB^AD,4+/。=180。，E、P分別是邊8C、C￡>上的點(diǎn)，且/叩=：4"),

請(qǐng)直接寫出ERBE、ED之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,在四邊形48CZ)中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、F分別是邊8C、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，

且=(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明.

【答案】(1)見解析；(2)EF=BE+FD；(3)不成立，理由見解析.

【分析】(1)可通過構(gòu)建全等三角形實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換，延長(zhǎng)EB到G,使8G=r>E連接AG,目的就是要

證明三角形AG石和三角形A■全等，將EF轉(zhuǎn)換為GE,證得EF=BE+DF,

（2）思路和輔助線方法與（1）一樣，證明三角形A5G和三角形A。尸全等，

（3）在上截取BG,使BG=DFf連接AG,用（1）中方法,可證得DF=BG,GE=EF,則EF=GE=BE-BG=BE-DF

【詳解】解：（1）如圖，延長(zhǎng)防到G,使BG二DF,連接AG,

AB=AD

<ZABG=ZADF=90°