2024-2025學(xué)年重慶市高二上期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、班級(jí)、學(xué)校在答題卡上填寫清楚。2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。在試卷上作答無(wú)效。3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回，試卷自行保存。滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2、平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．3、以點(diǎn)為圓心，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是（）A． B．C． D．4、已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦方程為（）A． B． C． D．5、直線過(guò)點(diǎn)，且與圓：相交所形成的長(zhǎng)度為的弦的條數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．06、若點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）A． B． C．3 D．57、已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率為3直線交于，兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．8、點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)，若是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分。9、以下四個(gè)命題中正確的是（）A．過(guò)點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的2倍的直線的方程為B．向量是直線的一個(gè)方向向量C．直線與直線之間的距離是D．直線的傾斜角的范圍是10、已知點(diǎn)是左、右焦點(diǎn)為，的橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．若，則的面積為B．使為直角三角形的點(diǎn)有6個(gè)C．的最大值為D．若，則的最大、最小值分別為和11、已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線，點(diǎn)是直線：上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，則（）A．曲線的方程為 B．點(diǎn)到直線距離的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12、圓：在點(diǎn)處的切線方程為_________；13、已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為4，則的值為_________；14、已知為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15、（13分）已知直線：，：．（1）若，求的值．（2）設(shè)直線過(guò)的定點(diǎn)為，直線過(guò)的定點(diǎn)為，且當(dāng)時(shí)直線與的交點(diǎn)為，求中邊上的高所在直線的方程．16、（15分）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，為該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）、為橢圓上的兩點(diǎn)，且為的重心，求直線的斜率。17、（15分）如圖，在四棱錐中，，，平面，，、分別是棱、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．18、（17分）已知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)為圓上動(dòng)點(diǎn)。（1）求點(diǎn)的軌跡曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與（1）中曲線交于不同的兩點(diǎn)，（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），（Ⅰ）求直線斜率的取值范圍；（Ⅱ）直線，的斜率分別為、，判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由。19、（17分）法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓的中心為圓心，（為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，為橢圓的短半軸長(zhǎng)）為半徑的圓，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A．已知橢圓：，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的蒙日?qǐng)A為圓。（1）求圓的方程；（2）已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求證：；（3）過(guò)點(diǎn)作互相垂直的直線、，其中交圓于、兩點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍。高2026屆高二上月考數(shù)學(xué)答案一、單選題題號(hào)12345678答案CBDBCDAD1【詳解】設(shè)直線的的傾斜角為，且，直線的斜率，所以，故選：C2【詳解】點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)，由橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B3【詳解】解：由題意，圓心坐標(biāo)為點(diǎn)，半徑為，則圓的方程為．故選：D．4【詳解】?jī)蓤A方程相減得公共弦方程為．5【詳解】由題設(shè)，圓的圓心為，且半徑，而，即點(diǎn)在圓內(nèi)，且圓心到該點(diǎn)的距離，當(dāng)直線與、的連線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短為，故長(zhǎng)度為的弦的條數(shù)為1條．故選：C6【詳解】直線的斜率為，直線為線段的中垂線，從而，又線段的中點(diǎn)在上，故，解得，故選：D．7【詳解】依題意，直線的方程為即聯(lián)立解得，，從而的周長(zhǎng)為，面積為又，所以，故選：A8【詳解】圓與軸相切于焦點(diǎn)，軸，可設(shè)，在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；作軸，垂足為，，，為直角三角形，，，，即，解得：，故選：D．二、多選題題號(hào)91011答案BDBCDACD9【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上，所求直線方程為或，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：由方向向量的定義知正確；C選項(xiàng)：直線，即為，故直線與直線之間的距離為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：直線的斜率，所以傾斜角的范圍是，故D正確；故選：BD．10【詳解】解：A選項(xiàng)：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)或時(shí)為直角三角形，這樣的點(diǎn)有4個(gè)，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，，計(jì)算知，所以當(dāng)位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點(diǎn)有6個(gè)，故B正確；C選項(xiàng)：由于，所以當(dāng)最小即時(shí)取得最大值；故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，又，?dāng)點(diǎn)位于直線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：BCD11【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)則：由得，化簡(jiǎn)得：，故曲線的方程為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：：的圓心到直線的距離為，所以直線與相離，從而圓上動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為，從而B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：中，，故C正確；D選項(xiàng)：，因?yàn)樗运?，?dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取得最小值，故D正確．故選：ACD三、填空題題號(hào)121314答案或12【詳解】，又過(guò)點(diǎn)，所以切線方程為13【詳解】將代入橢圓方程：，解得；故橢圓方程為．由焦距為4，得，．由題意知，且，方程可化為，若橢圓焦點(diǎn)在軸上，故，，則有，解得；若橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，則有，解得；綜上所述，或．14【詳解】曲線即，由于在曲線上，令則（其中，，不妨設(shè)）又，當(dāng)時(shí)取得最大值．四、解答題15【正確答案】（1）或，（2）．【詳解】（1）解得或當(dāng)時(shí)，：，：滿足；當(dāng)時(shí)，：，：即滿足；故或（2），當(dāng)時(shí)聯(lián)立與的方程：解得，從而又直線過(guò)點(diǎn)故直線的方程為即16【正確答案】（1），（2）．【詳解】（1）由題：（2）設(shè)，，線段中點(diǎn)則為的重心從而所以即，均在橢圓上作差可得帶入點(diǎn)坐標(biāo)得在橢圓內(nèi)部，所求直線存在故直線的斜率為17【正確答案】（1）證明見解析 （2）．【詳解】（1）如圖所示，連接．因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)?，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）因?yàn)槠矫妫?、平面，所以，，又因?yàn)?，所以，，兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題中數(shù)據(jù)可得，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得．同理可求得平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則．即平面與平面的夾角的余弦值為．18【正確答案】（1）（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）（定值）【詳解】（1）設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得．因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程是，所以，整理得曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線和曲線的方程：消去得：（Ⅰ）因?yàn)橹本€與曲線交于異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，所以解得（Ⅱ）帶入韋達(dá)得：（定值）19【正確答案】（1）（2）見詳解；（3）【詳解】（1）橢圓：中，，所以