2024學(xué)年第一學(xué)期長寧區(qū)高三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷

考生注意：

1.答題前，務(wù)必在答題紙上將姓名，學(xué)校，班級等信息填寫清楚，并貼好條形碼.

2.解答試卷必須在答題紙規(guī)定的相應(yīng)位置書寫，超出答題紙規(guī)定位置或?qū)懺谠嚲?，草稿紙上的答案一?/p>

不予評分.

3.本試卷共有21道試卷，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

一,填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的

相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.設(shè)全集為R，集合A=（^X2-2X-3>o｝,則A=.

2.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則該圓錐的體積是（結(jié)果保留兀）.

3.曲線y=lnx在點(diǎn)（1,0）處的切線方程是.

4.以C（3,4）為圓心,V3為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

5.投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)，則擲得的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是.

6.仆-工丫的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.\y

7.已知一，，一，3,函數(shù)y=無"的大致圖像如

3333

1

圖所示廁”第7題圖

8.已知向量值=（1,2）石=（3,-1）,則向量加在方方向上的投影的坐標(biāo)是.

9.已知m2^+log2x<2,y5：x<〃z,若a是P的充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

10.若正實(shí)數(shù)a,6滿足a6=2a+b,貝!J“+2Z?的最小值是.

11.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，從集合｛123,4,5,6,7,8,9｝中任取兩個(gè)不同的元素x,y，組成A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）,

（y,x）SAAOB<10的概率為.

12.WP,M,N分別位于正方體ABCD-AB'C'D'的面上,/W=l,則PM-PN的最小值是.

二,選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13,14題每題4分，第15,16題每題5分）每題有且只有一個(gè)

正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知復(fù)數(shù)z和N,則下列說法正確的是.........................................（）

A.z+N一定是實(shí)數(shù)，B.z—2一定是虛數(shù)，

C.若z+乞=0,則z是純虛數(shù)，D.若z—N=0,貝1Jz是純虛數(shù).

14.已知非零空間向量心B和己,則下列說法正確的是................................（）

A.若萬貝!〃dB.若五貝！

c.若五，〃人則B〃dD.若五，B,五〃乙則d

15.已知函數(shù)y=sin1&x+￡|（o>0）在區(qū)間",鼻上單調(diào)遞增，則0的取值范圍是....（）

A.（O,1],B.（O,1）,C“,g，D/O,|.

16.數(shù)列｛%｝為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意的正整數(shù)n，都有&L?瓦，則稱數(shù)列｛%｝滿足“性質(zhì)Q”.

zi+1n

①存在等差數(shù)列｛%｝滿足“性質(zhì)Q”.

②任意等比數(shù)歹式%｝，若首項(xiàng)4>0,則｛%｝滿足“性質(zhì)C”.

下列選項(xiàng)中正確的是..............................................................（）

A.①是真命題，②是真命題，B.①是真命題，②是假命題.

C.①是假命題，②是真命題，D.①是假命題，②是假命題.

三,解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.

在VABC中，角A,8,C所對的邊分別為<2,Z?,c,J!LZ?sinA-73acosB=0.

（1）求角8的大小.

（2）若6=2,VAfiC的面積為a,請判斷VA5c的形狀，并說明理由.

18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.

如圖所示,四棱柱A3CD-A4GR的底面ABCD是正方形,0是底面的中心,\O±平面ABCD,

A3=A4,=&.

（1）求證：4c，平面g

（2）求直線與平面441a所成角的正弦值.

19.（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題第①問滿分4分，第2小題第②問滿分6分）.

2024年第七屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)（簡稱進(jìn)博會(huì)）于11月5日至10日在上海國家會(huì)展中心舉行.

為了解進(jìn)博會(huì)參會(huì)者的年齡結(jié)構(gòu)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的200名參會(huì)者進(jìn)行調(diào)查，并按

年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區(qū)間為[15,25）,[25,35）,[35,45）,[45,55）,[55,65）,[65,75],把年齡落

在區(qū)間[15,35）內(nèi)的人稱為“青年人”，把年齡落在區(qū)間[35,65）內(nèi)的人稱為“中年人”，把年齡落在[65,75]

內(nèi)的人稱為“老年人”.

（1）求所抽取的“青年人”的人數(shù).

（2）以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會(huì)者做進(jìn)一步訪談，發(fā)現(xiàn)

其中女性共4人，這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會(huì)者中任選2人.

①簡述如何采用抽簽法任選2人.

②設(shè)事件A：2人均為“中年人”，事件3：2人中至少有1人為男性，判斷事件A與事件3是否獨(dú)

立,并說明理由.

20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.

已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為好(-IQ),B，且經(jīng)過點(diǎn).

(1)求該橢圓的離心率.

(2)點(diǎn)。為橢圓上一點(diǎn)，且位于第三象限，若VPQE的面積為3,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

(3)是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn),AB與CD相交于點(diǎn)耳，且濕?①=0,求|AB|+|CD|的

取值范圍.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分).

雙曲余弦函數(shù)coshx=—+—，雙曲正弦函數(shù)sinhx=e'—e'.

22

(1)求函數(shù)coshx="+e'的單調(diào)增區(qū)間.

2

(2)若函數(shù)丫=85112%-4511±%在［0,+00)上的最小值是；,求實(shí)數(shù)。的值.

(3)對任意xeR,cosh(x)Ncosx+zn/恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

參考答案

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)考生應(yīng)在答題紙

的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.(—1,3),2.71,3.y=x—1,4.(%-4)2+(>—3)2=3,5.—,6.—20.

二,選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13,14題每題4分，第15,16題每題5分)每題有且只有一個(gè)

正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.A14.D15.A16.B

三,解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分).

(1)由正弦定理可得sinBsinA-百sinAcosB=0..................................2分

因?yàn)閟inAw0，所以tanB=A/3................................................2分

TV

所以2=§.................................................................2分

=—〃csin3=J^

(2)SyABC

所以ic=4.................................................................2分

由余弦定理?=〃2+02-24cosB=4,得々2+c2=8.......................2分

即當(dāng)+C?=8，解得c=2,〃=2

c

所以VABC是等邊三角形...............................................4分

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分).

(1)因?yàn)锳BCD是正方形，所以==

因?yàn)?底面ABCD，所以O(shè)C是AC在平面ABCD上的投影.

所以4。，班>................2分

由明=五,。4=0。=1，4。，底面至8.

可得4。=1，4。=^/2.

所以朋2+4。2=4。2,即有AB

M"C...................................................................................2分

因?yàn)閊〃臺耳，所以±4C

所以AC，平面BDDtB1............................................................................................................2分

（2）設(shè)點(diǎn)0到平面A4t3的距離為瓦

所以〃=畢=也........................4分

V33

得直線＜?A與平面所成角e的正弦值

73

sin6=.......2分

3

方法2：（建系）

以0為原點(diǎn)，射線。4,03,04為無軸,y軸,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

可得A(l,0,0),8(0,1,0),A(0,0,1)

則函1=(0,0,1),X51=(―1,0,1),須=(―1,Lo).........................................................2分

從而可知平面AA.B的一個(gè)法向量為7=（1,1,1）......................................................................2分

所以直線O\與平面AA.B所成角Q的正弦值

>,西_16

4分

q.阿一6一3

19.本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題第①問滿分4分，第2小題第②問滿分6分）.

(1)(2a+0.01x2+0.015x2)x10=1

解得：a=0.025........................................................................................................................2分

200x0.4=80

所以所抽取的“青年人”人數(shù)為80.......................................................................................2分

（2）先將10名參會(huì)者進(jìn)行編號：1,2,……10,并將10個(gè)號碼寫在完全相同的紙片上，放入某容器中充分

混合均勻,再取出2張,2張紙片上所對應(yīng)的參會(huì)者就是要選取的人。

4分

（知道要編碼2分,充分混合均勻隨機(jī)抽2張或者依次抽兩張2分）

（3）“青年人”“中年人”“老年人”的人數(shù)之比為0.04:0.05:0.01=4:5:1

所以10人中“中年人”共有5人.

2人均為“中年人”的概率尸（A）=導(dǎo)=：.

人中至少有人為男性的概率尸（）立=12分

218=1-襦一百2

2人均為“中年人”且至少有1人為男性的概率尸（an3）=G

2分

do43

因?yàn)镻（AnS）*P（A）.P（B）,所以事件A與事件B不獨(dú)立.2分

20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.

22

（1）橢圓方程為工+乙=1..............................................................................................2分

43

c1

所以e=S=±.............................................................................................................2分

a2

（2）①尸乙=35,直線3尸的3的解析式為y=—.......................................................2分

244

因?yàn)閂PQK的面積為3,所以尸工邊上的高為（

（3）①若AB或CD垂直于無軸，則|AB|+|C必=7........................................................1分

②若AB和CD不垂直于x軸.

設(shè)直線AB的解析式為v=k（x+1）,點(diǎn)A（M，必）,B（X2,y2）

聯(lián)立方程組<彳+行―1,得(3+4左2卜2+8左2*+4左2-12=0

y=k(x+1)

-8k24k2-12

從而xx+x2-14分

3+4r3+4左2

『_8左2],4左2—1212僅?+1)

AB=^l+k2-

叱3+4左2廠,3+4左2

3+4左2

同理CDJ2僅2+1)

A?Q7.2

12僅2+1)112k2+1)84僅4+2/+1)

|AB|+|CD|=

3+4左24+3左212左4+25左2+1212廿+4+25

io4S

因?yàn)?2左2+淳+25249,所以1工,到+|。4<7............................3分

綜上,|AB|+|CD|的取值范圍是3,7

21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.

(1)(coshx)=--1—

令(coshx)=0,解得％=。.............................................2分

當(dāng)尤>。時(shí),(coshx)=--->0

所以函數(shù)coshx=^￡的單調(diào)增區(qū)間是(0，+8)........................2分

2

(2)y=cosh2x-asinhx=---------e=-^ex-ex^--|(ex-e^j+l

令f=e*-e"三e'+e->0.

所以f=e"-0在［0,+8）上是嚴(yán)格增函數(shù).

得，當(dāng)xw[0,+oo)時(shí),fe[0,+oo)

2分

a<0時(shí),y=；產(chǎn)-卞+1嚴(yán)格增,y=1，舍去,

min2分

4>。時(shí),，min=-：〃2+1=1，所。=6...................................2分

84

(3)①證明sinh(x)>x(xe[0,+oo])

X.-x

令，(x)=sinh(x)-x,t\x)=cosh(x)-1=----1>0

所以(%)=sinh(x)-%在[0,+8]上單調(diào)增，則(無)之(0)=0..................2分

②證明cosh(x)-cosx-x2>0

令g(%)=cosh(x)-cosx-X2,g(o)=o,g<；v)=sinh(x)+sinx-2x,g'(0)=0

令/z(x)=g'(x)=sinh(x)+sinx-2x,"(%)=cosh(x)+cos尤一2為偶函數(shù)

令c(尤)="(％)=cosh(x)+cosx-2

則當(dāng)xe[0,+co],cr(x)=sinh(x)-sinx>x-sinx>0

所以NO,從而<(犬)=sinh(