2024-2025學年浙江省杭州中學九年級（上）月考數學試卷（10月份）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知。O的半徑為3,點P在。。內，則。尸的長可能是（）

A.5B.4C.3D.2

2.下列事件中，是隨機事件的是（）

A.任意選擇某一電視頻道，它正在播放新聞聯播

B.三角形任意兩邊之和大于第三邊

仁。是實數，同》0

D.在一個裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球

3.有5張僅有編號不同的卡片，編號分別是2,3,4,5,6.從中隨機抽取一張，編號是奇數的概率（）

24

AB.-D.-

-1555

4.如圖，已知四邊形N3C。內接于?O,連接CM,OC,若/40。=116°，則N4DC

的度數是（）

A.122°

B.120°

117°

D.116°

5.二次函數g=3—3）（2+5）的圖象的對稱軸是（）

A.直線加=3B.直線z=—5C.直線立=一1D.直線立=1

6.已知點4（一1,以），8（—2,於），。（一4,比）在拋物線沙=2/+8/—1上，貝!1陰，於，嵋的大小關系是（）

A.y\<y2<姬B.陰<統<yic.z/2<?/3<yiD.y2<yi<ys

7.下列命題中是真命題的是（）

A.三點確定一個圓B.平分弦的直徑平分弦所對的弧

C.相等的弦所對的圓心角相等D.相等的弧所對的圓心角相等

8.如圖，將半徑為8的。O沿AS折疊,&恰好經過與48垂直的半徑OC的中點

D,則折痕48長為（）

A.4y/10

B.4y15

第1頁，共18頁

C.12

D.8通

9.如圖，ND是△48。的外角NEAC的平分線，與△48。的外接圓交于點。.若

NEAD=22BDC，則/RDC的度數為（）

A.30°

B.36°

45°

D.60°

10.已知二次函數沙=a（c-2）2+c,當刀=3時，函數值為力；當刀=72時，函數值為統，若

血—2|〉|畋-2|,則下列表達式正確的是（）

A.陰+公>0B.yi-?/2>0C.a（yi-42）>0D.a（見+儂）>0

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.兩直角邊長分別為6和8的直角三角形的外接圓直徑是

12.將拋物線沙=-/+1向右平移1個單位，再向上平移2個單位，所得拋物線的函數表達式是

13.在一個不透明的袋子中裝有4個白球，a個紅球.這些球除顏色外都相同.若從袋子中隨機摸出1個球，摸

到紅球的概率為“則a=

14.如圖，在△45。中，ABAC=80°>將△ABC繞點N順時針旋轉54°得到

LADE,且點E恰好落在邊2C上，則/。的度數是.

15.在拋物線沙=a（x-m~1y+c（a豐0）和直線沙=一/的圖象上有三點（如刈、（外刈，則

叼+致+23的結果是

16.如圖，△48。內接于是0。的直徑，與/C相交于點且DE_LAB,

若0O的半徑為2①，BC=2\/6>則4河2+。河2的值為.

第2頁，共18頁

三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題6分)

已知拋物線y^-x2+ax+b經過點A(l,0),B(0,-4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求此拋物線的頂點坐標.

18.(本小題6分)

如圖是一塊破碎車輪的一部分.

(1)請你幫他找到這個車輪的圓心(保留作圖痕跡)；

⑵過圓心。作48的垂線，交43于點尸，若這個圓的半徑為10cm,OP=5cm，求N3的長.

19.(本小題8分)

己知：如圖，在00中，AB=CD,與CD相交于點

(1)求證：瑟=俞;

(2)求證：AM=DM.

20.(本小題8分)

有4,2兩個黑布袋，/布袋中有三個除標號外完全相同的小球，小球上分別標有數字1,2,3,2布袋中

有兩個除標號外完全相同的小球，小球上分別標有數字1,2.小明先從4布袋中隨機取出一個小球，用加

表示取出的球上標有的數字，再從2布袋中隨機取出一個小球，用〃表示取出的球上標有的數字.

(1)若用(m,n)表示小明取球時加與”的對應值，畫出樹狀圖并寫出(加,功的所有取值；

(2)求點(m,n)落在直線V=z上的概率.

21.(本小題10分)

某商場以每件42元的價格購進一批商品，經試銷發(fā)現，若每件商品售價60元，則每天可賣出50件，若售

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價每降低2元，則每天可多賣10件，根據相關規(guī)定，每件售價60元已達到毛利潤上限，不能再漲價，但也

不能以低于進價銷售，在銷售過程中，商場每天還需支付其它費用共200元.

(1)寫出每天的銷售量沙(件)與銷售單價小(元)之間的函數關系式，并指出自變量用的取值范圍.

(2)商場應把售價定為多少元才能使每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

22.(本小題10分)

如圖，48是。。的直徑，。為48上一點，C為。。上一點，且40=47，延長CD交0。于E,連CB.

(1)求證：ACAB=2ABCD；

⑵若/_BCE=15°，48=6,求CE的長.

23.(本小題12分)

在直角坐標系中，設函數沙=+1)?+且加，〃為實數)，

(1)求函數圖象的對稱軸.

⑵若m,"異號，求證：函數y的圖象與x軸有兩個不同的交點.

(3)已知當工=0,3,4時，對應的函數值分別為2，q,r,若2q<p+r,求證：m<0.

24.(本小題12分)

如圖1,是③。的直徑，點。為下方00上一點，點。為京亍的中點，連結8,CA,AD.

(1)求證：OC平分/4CD.

⑵如圖2,延長/C,相交于點石.

①求證：OCHBE.

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②若CE=4v際,BD=6＞求（DO的半徑.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：:。。的半徑為3,點尸在?O內，

：,0P<3,

即。尸的長可能為2.

故選：D.

根據點在圓內，點到圓心的距離小于圓的半徑進行判斷.

本題考查了點與圓的位置關系，解題的關鍵是掌握點與圓的位置關系：設。。的半徑為r,點P到圓心的距

離。P=d,則有：點尸在圓外臺d〉r；點尸在圓上臺d=r；點P在圓內臺d<r.

2.【答案】A

【解析】解：/、是隨機事件，故N符合題意；

2、三角形任意兩邊之和大于第三邊是必然事件，故2不符合題意；

C、。是實數，同20是必然事件，故C不符合題意；

。、在一個裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球是不可能事件，故。不符合題意；

故選：A.

根據事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可.

本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一

定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件

是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

3.【答案】B

【解析】解：隨機抽取卡片有5種等可能結果，其中編號為奇數的有2種可能，

2

所以編號是奇數的概率為F

5

故選：B.

直接概率公式計算即可.

此題考查概率的求法：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件/出現機種可能,

-rn

那么事件/的概率P(4)=—.

n

4.【答案】A

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【解析】解：???/4OC=U6°，

ZD=|zAOC=58°,

ZB=180°-ZD=112%

故選：A.

先根據圓周角定理得到N。，然后根據根據圓內接四邊形的性質得到結論.

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的

一半.推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了圓內接四邊形

的性質.

5.【答案】C

【解析】解：：9=(，一3)(x+5),

二函數圖象與x軸的交點坐標為(3,0),(—5,0),

二函數圖象的對稱軸為直線/=氣R一上4=-1,

故選：C.

由交點式得到函數圖象與x軸的交點坐標，然后利用對稱性得到對稱軸，

本題考查了二次函數的性質和圖象，會由交點式得到函數圖象與x軸的交點坐標是解題的關鍵.

6.【答案】D

【解析】解：?.?沙=2/+&r—1=2(/+2)2—9,

二拋物線的開口向上，對稱軸為直線/=-2,

?.?點4—1即)，3(—2,於)，。(—4,明)，在拋物線“=2(/+21—9上，而點。(—4,93)到對稱軸的距離最

遠，8(-2,沙2)在對稱軸上，

二y2<yi<vs-

故選：D.

先配方得到拋物線的對稱軸為直線2=-2,根據二次函數的性質，通過三點與對稱軸距離的遠近來比較函

數值的大小.

本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式.

7.【答案】D

【解析】解：/、三點確定一個圓，是假命題.應該是不在同一直線上三點確定一個圓；

2、平分弦的直徑平分弦所對的弧，是假命題，條件是此弦非直徑；

第7頁，共18頁

C、在同圓或等圓中，等弦所對的圓心角對應相等，是假命題；

。、相等的弧所對的圓心角相等，真命題；

故選：D.

根據確定圓的條件，垂徑定理，弧、弦、圓心角的關系即可判斷.

本題考查命題與定理、解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

8.【答案】B

【解析】解:如圖，連接AO,延長C。交48一點”，交?O于點T.

由題意CO=00=4,OH=HT=；(16-4)=6,

OH=DH—DO=6—4=2,

■：CT1AB,

：,AH=HB=VOA2-OH2=782-22=2715，

AB=2AH=4\/15,

故選：B.

如圖，連接4D,AO,延長CO交48一點X,交。。于點T.判斷出0H=2，再利用勾股定理求出/〃，

可得結論.

本題考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，翻折變換等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造

直角三角形解決問題.

9【答案】B

【解析】解：:4。是△AB。的外角NE/。的平分線，

：,AEAD=ADAC,

■：ADAC=ADBC,/EAD=/BCD=180°-ABAD,

：,AEAD=ADAC=ADBC=ABCD,

;NEAD=2ABDC,

：,ADBC=ABCD=2ABDC，

第8頁，共18頁

：ZDBC+/BCD+ABDC=180°,

.-.5ZBDC=180°，

ABDC=36°.

故選：B.

直接利用角平分線的性質結合圓內接四邊形的性質得出ADBC=NB。。，根據三角形內角和定理即可得

的答案.

此題主要考查了角平分線的性質以及圓內接四邊形的性質，正確得出NEAD=是解題關鍵.

10.【答案】C

【解析】解：①a〉0時，二次函數圖象開口向上，

,,,\x\-2|>\x2-2|,

yi>沙2，

無法確定yi+生的正負情況，

認yi—續(xù)）>o,

②a<0時，二次函數圖象開口向下，

,.仙一2|>\x-2-2|,

，陰<如

無法確定期+他的正負情況，

磯見一沙2）>0，

綜上所述，表達式正確的是a（見-比）〉0.

故選：C.

分a〉0和a<0兩種情況根據二次函數的對稱性確定出仍與92的大小關系，然后對各選項分析判斷即可得

解.

本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的對稱性，難點在于根據二次項系數a的

正負情況分情況討論.

11.【答案】10

【解析】解：由勾股定理得，直角三角形的斜邊長=，后次=10，

由圓周角定理得，這個直角三角形的外接圓直徑為10,

故答案為：10.

第9頁，共18頁

根據勾股定理求出三角形的斜邊長，根據圓周角定理解答.

本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理，勾股定理是解題的關鍵.

12.【答案】y=—(X—I)2+3

【解析】解：由“左加右減、上加下減”的原則可知，把拋物線沙=-/+1向右平移1個單位，再向上平

移2個單位，則平移后的拋物線的表達式為沙=—3—1y+1+2,即沙=—g—1產+3.

故答案為：y=-(x—1)2+3.

根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可.

本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.

13.【答案】12

【解析】解：根據題意，得：「呈，

a+44

解得a=12，

經檢驗：a=12是分式方程的解，

故答案為：12.

根據摸到紅球的概率為:，利用概率公式建立關于。的方程，解之可得.

本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握隨機事件/的概率P(4)=事件/可能出現的結果數+所有可

能出現的結果數.

14.【答案】370

【解析】解：?.?將△A3。繞點/順時針旋轉54°得到△ADE，

：,AE^AC，/及4。=54。，ND=NB,

ZD=ZB=180°-80°-63°=37°,

故答案為：37°.

由旋轉的性質可得4E=4。，/￡4。=54°，ZD=ZB,由等腰三角形的性質和三角形內角和定理可求

解.

本題考查了旋轉的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

15.【答案】2

【解析】解：如圖，在拋物線沙=a(c-6—1y+c(a#0)和直線y=—的圖象上有三點4(%福)、

B(工2,m)、C(x3,m),

第10頁，共18頁

,/y=Q(6—m—I)2+C(Q#O)

.?.拋物線的對稱軸為直線x=m+l,

「.金+3=2m+2,

*/4（力i,tn）在直線g=—上，

1

/.m=一產，

/.Xi=-2m,

/./i+①2+63=—2m+2m+2=2,

故答案為：2.

根據二次函數的對稱性和一次函數圖象上點的坐標特征即可求得結果.

本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的性質，根據拋物

線的對稱性求得次+磔=26+2是關鍵.

16.【答案】24

【解析】解：過。作OELBC于片，連接。C,OB,BM,

D

BE=CE=^BC=瓜

■：0。的半徑為2逐，

第H頁，共18頁

OE=y/OB2-BE2=V6=BE>

AOBE二

：OE=OB,

:"BOC=2NB0E=W°，

：,ZA=^ZBOC=45°,

?.?直徑OEUB,

:.DE平分4B,

：,MA=MB，

AMBA=NMAB=45°，

.-.AAMB=ABMC=9Q°>

：,AM2+CM2

=BM2+CM2

=Be2

=24，

故答案為：24.

過。作OELBC于￡，連接OB,OC,BM,根據垂徑定理求出BE,根據勾股定理求出OE,則可判斷△6OE

是等腰直角三角形，求出/30E的度數，根據等腰三角形三線合一的性質求出/BOC的度數，根據圓周角

定理求出N4的度數，根據垂徑定理和線段垂直平分線的性質可判定△4BM是等腰直角三角形，可求出

AM=BM,ABMC=90°，然后根據勾股定理求解即可.

本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定與性質等知識，熟練掌握垂徑定理，證

出NBMC=90°是解題的關鍵.

17.【答案】解：（1）根據題意得到：｛

解得｛

因而拋物線的解析式是：y=-x2+bx-4.

KQ

（2）,/y=-x2+51一4=一（力--）2+

；拋物線的頂點坐標為（|5《9）?

第12頁，共18頁

【解析】（1）把/，8的坐標，利用待定系數法就可以求出拋物線的解析式.

（2）把求得的解析式化成頂點式即可求得.

本題主要考查了待定系數法求函數解析式，二次函數的性質，熟練掌握待定系數法是解決本題的關鍵.

18.【答案】解：（1）如圖，圓心。即為所求.

⑵由題意得，AP=BP，

連接。

,這個圓的半徑為10cm,

：.0A=10cm,

由勾股定理得，4P=7。型—OP2=八02—52=5人（加），

AB=2AP=loV3cm.

【解析】（1）在圓上任取一點C,連接/C,AB,分別作線段/C,N2的垂直平分線，相交于點O,則點O

即為這個車輪的圓心.

（2）連接04,利用勾股定理求出/尸的長，根據4B=2AP可得答案.

本題考查作圖-應用與設計作圖、勾股定理的應用、垂徑定理的應用，熟練掌握垂徑定理、勾股定理是解答

本題的關鍵.

19.【答案】證明：（1）1?在。。中，AB=CD,

AB=CDf

/.AB-BC=CD-BCf

AC=BD;

(2)連接4C,BD,

第13頁，共18頁

AC=BD，

:.AC=BD,

在△/CM■和■中，

(ACAM=ZBDM

<AC=DB,

[/.ACM=ADBM

：./\ACM^/\DBM{ASA),

：,AM^DM.

【解析】此題考查了弦與弧的關系、圓周角定理以及全等三角形的判定與性質.此題難度不大，注意掌握

輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用.

(1)由在0。中，AB=CD，根據弦與弧的關系，可證得加=3方，繼而可證得［方=卻;

⑵首先連接/C,BD,易證得△47〃之繼而證得

20.【答案】解：(1)畫樹狀圖得：

則(m,n)的所有取值為:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)；

(2)?.?直線y=立上的點的橫縱坐標相等，

.?.(1,1),(2,2)在直線上，

21

.?.點(m/)落在直線沙=2上的概率為：-=

63

【解析】(1)首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖即求得所有等可能的結果；

(2)根據樹狀圖，即可求得點(私訪落在直線沙=①上的概率.

本題考查的是用畫樹狀圖法求概率、正比例函數的知識.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所

有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.解答本題的關

鍵是掌握：概率=所求情況數與總情況數之比.

第14頁，共18頁

21.【答案】解：(1)根據題意知，y=50+10(30-m)=-10m+350,其中21<m<30；

(2)設商場每天獲得的利潤為W,

則W=(加-21)(-10m+350)-100

=-10m2+560m—7450

=-10(m-28)2+390,

-10<0,

.,.當m=28時，用nax=390,

答：商場應把售價定為28元才能使每天獲得的利潤最大，最大利潤是390元.

【解析】(1)根據“銷售量=原銷售量+因價格下降而增加的銷量”可列函數解析式，由“每件售價30元已

達到毛利潤上線，不能再漲價，單價也不能以低于進價銷售"可知，”的取值范圍；

(2)設商場每天獲得的利潤為憶根據“總利潤=單件利潤X每天銷量-每天支付的其他費用”可得函數解析

式，將其配方成頂點式可知最大值.

本題主要考查二次函數的最值，理解題意找到題目蘊含的相等關系并熟練掌握二次函數的性質是解題的關

鍵.

22.【答案】(1)證明：:人^是◎。的直徑，

AACB=90°，

AACD=90°-ABCD,

-：AC=AD，

：.AACD=AADC,

.-.ZA+AACD+AADC=180°,

ZA+90°-ABCD+90°-/BCD=180°,

：2A=2/BCD；

(2)解：連接。C、OE,如圖，

由（1）得NA=2ABCE=2x15°=30°，

第15頁，共18頁

?;/BOE=2ABCE=2x15°=30°,

■：OA^OC,

.-.AA^AACO,

:"COB=ZA+ZACO=2ZA=60°，

ZCOE=ZCOB+NBOE=60°+30°=90°，

而OC=OE=—AB=—x6=3,

22

：,CE=,002+(JE2="32+32=372.

【解析】(1)根據圓周角定理得到N4CB=90°，則N/CO=90°—NB。。，再利用等腰三角形的性質和

三角形內角和得到N4+90。—/5。。+90°—180°,從而得到結論；

⑵連接。C、OE,如圖，利用⑴的結論和圓周角定理得到NA=NBOE=30°，則/。0_8=60°，所以

ACOE=9Qa,然后利用勾股定理計算CE的長.

本題考查了圓周角定理及其推論，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，勾股定理，三角形外角的性質.熟

練掌握圓周角定理及其推論是解題的關鍵.

23.【答案】(1)解：?.?函數4=m,(a:+1)?+471(瓶#0,且〃?，〃為實數)，

二函數圖象的對稱軸為x=-1；

⑵證明：令沙=0,則0=771(①+1)?+4"，

即+1)2=—把

m

'；m,〃異號，

4n八

/.——>0,

m

一元二次方程有兩個不相等的實數根，即函數丁的圖象與％軸有兩個不同的交點；

(3)證明：由題可知。=加+4n，q=16m+4n,r=25m+如，

?/2q-(p+r)=2(16m+4n)-(m+4n+25m+4n)=Qm<0,

m<0.

【解析】(1)把(1,5)代入函數關系式，再利用°=b解方程組求出。，b即可解題；

(2)令9=0,則有(2+1)2=一"，由%，〃異號，可知一元二次方程