平面直角坐標(biāo)系重難點題型(八大題型)

圖W率點敢埋電則_____________________________________

【題型1兩點間距離】

【題型2求平面直角坐標(biāo)系中動點問題的面積】

【題型3根據(jù)規(guī)律正確找到周期】

【題型4規(guī)律型中點的坐標(biāo)以及矩形的性質(zhì)】

【題型5根據(jù)點坐標(biāo)特征規(guī)律】

【題型6點的坐標(biāo)，觀察出點的個數(shù)與橫坐標(biāo)存在平方關(guān)系】

【題型7根據(jù)橫縱坐標(biāo)特征找出規(guī)律】

【題型8等腰三角形個數(shù)討論問題】

國滿今必秣

【題型1兩點間距離】

【典例1】先閱讀一段文字，再回答下列問題：

己知平面內(nèi)兩個點分別為P1Q1，月)，「2(久2,y2)＞其兩點間距離公式為P/2=

V(%i-x2)2+(yi-y2)2.例如：點(3,2)和(4,0)的距離為J(3—4)2+(2—0川=瓜同時，當(dāng)兩點所

在的直線在坐標(biāo)軸或平行于X軸或平行于y軸時，兩點間的距離公式可簡化成：P/2=W1—功|或P1P2

=lyi—yi\-

①已知4B兩點在平行于y軸的直線上，點4的縱坐標(biāo)為5,點B的縱坐標(biāo)為2,則2、B兩點的距離為；

(2)線段平行于x軸，且4B=3,若點B的坐標(biāo)為(2,4),則點力的坐標(biāo)是；

⑶已知△2BC個頂點坐標(biāo)為4(3,4),B(0,5),C(-l,2),請判斷此三角形的形狀，并說明理由.

【答案］⑴3

(2)(—1,4)或(5,4)

⑶等腰直角三角形，見解析

【分析】此題考查了兩點間的距離公式；

(1)根據(jù)平行于y軸的直線橫坐標(biāo)相同，利用兩點間的距離公式求出4、B兩點的距離即可；

(2)根據(jù)平行于x軸的直線坐標(biāo)軸相同，由4B的長，以及B的坐標(biāo)，確定出4的坐標(biāo)即可；

(3)利用兩點間的距離公式求出三邊長，即可作出判斷.

1

【詳解】(1)解：設(shè)4Q5),B(x,3),

則4B=，(萬一光)2+(5—2)2=3；故答案為：3；

(2)解：設(shè)4Q,4),

"AB=3,5(2,4),

J(x—2)2+(4-4)2=\x—2\-3,

解得：％=5或-1,

則4(一1,4)或(5,4)；

故答案為：(—1,4)或(5,4)；

⑶解：???4(3,4),B(0,5),C(—1,2),

AB=J(3—0)2+(4—5/=Vio,

AC=J(3+1)2+(4—2)2=2逐,

BC=7(0+1)2+(5-2)2=Vio,

AB2+BC2=AC2,且28=BC,

則△力BC為等腰直角三角形.

【變式1-1】先閱讀一段文字，再回答下列問題：

已知在平面內(nèi)兩點坐標(biāo)P1O1，71),P2O2，72)＞其兩點間距離公式為P/2=

*1)2+02—91)2,同時，當(dāng)兩點所在的直線在坐標(biāo)軸上或平行于X軸或垂直于X軸距離公式可

簡化成咫-％1|或僅2-。1|.

(1)已知4(3,5),B(—2,—1),試求4,B兩點的距后；

(2)已知/、8在平行于y軸的直線上，點N的縱坐標(biāo)為5,點3的縱坐標(biāo)為一1,試求8兩點的距離.

⑶己知一個三角形各頂點坐標(biāo)為4(0,6),B(—6,3),C(3,0),你能斷定此三角形的形狀嗎?說明理

由.

【答案】(1向

(2)6

⑶等腰直角三角形，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)點N、3的坐標(biāo)利用兩點間的距離公式即可求出4,8兩點間的距離；

(2)設(shè)點”的坐標(biāo)為(m,5),則點8的坐標(biāo)為(根，一1),根據(jù)點/、2的坐標(biāo)利用兩點間的距離公

2

式即可求出/,3兩點間的距離；

(3)根據(jù)點48、C三點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式即可求出線段2B、AC.BC的長度，由48=AC

和AB?+AC2=BC2即可得知△ABC為等腰直角三角形.

【詳解】(1)解：??弘(3,5),B(-2,-1),

..AB=7(-2-3)2+(-1-5)2=V61.

故答案為：V61.

(2)—ly軸,

：.AB=|-1-5|=6.

故答案為：6.

(3)&42C為等腰直角三角形，理由如下：

???4(0,6),5(-6,3),C(3,0),

■-AB=7(-6-0)2+(3-6)2=3V5,

BC=?3-(-6)]2+(0—3)2=3V10,

AC=J(3—0)2+(0—6)2=3V5,

：.AB=AC,

V(3V5)2+(3V5)2=(3V1U)2即：AB2+AC2=BC2,

.?.△4BC為等腰直角三角形.

【點睛】本題考查兩點間的距離公式，等腰三角形、直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于正確運用兩點

間的距離公式求線段的長度.

【變式1-2】先閱讀下列一段文字，再回答后面的問題.

已知在平面內(nèi)兩點21(尤1,、1)/2(%2,丫2)，這兩點間的距禺J(久2—*1)2+(丫2—Pl)?,同時，當(dāng)兩

點所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點間距離公式可簡化為,2-町|或

1>2—yil-

(1)已知a(2,4),B(—3,—8),試求4,8兩點間的距離；

(2)已知/,3在平行于y軸的直線上，點/的縱坐標(biāo)為5,點2的縱坐標(biāo)為一1,試求4,2兩點間的距

離.

【答案]⑴13

(2)6

3

【分析】(1)將點/、2的坐標(biāo)代入兩點間的距離公式進(jìn)行解答即可;

(2)點/、8兩點間的距離為僅2—月|，進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)解：4,8兩點間的距離==J(—3—2)2+(—8—4)2=13；

(2)由題意，得：A,3兩點間的距離=|5-(—1)|=6.

【點睛】本題考查坐標(biāo)系中兩點間的距離.掌握題干中給定的距離公式，是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3].如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為4(0,2),S(2,0),C(5,3).

(1)求4,8兩點間距離.

(2)試說明△4BC是直角三角形.

【答案】⑴2近

(2)見詳解

【分析】(1)利用平面直角坐標(biāo)系中的兩點間距離公式，進(jìn)行計算即可解答；

(2)利用平面直角坐標(biāo)系中的兩點間距離公式，分別求出/爐，BC2,AC2,然后再根據(jù)勾股定理的逆

定理，進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】(1)解："(0,2),B(2,0),

.?.AB=J(0—2尸+(2—0)2=2VL

■■■A,2兩點間距離為2立；

(2)解：-A(0,2),2(2,0),C(5,3),

.■.AC2=(0-5)2+(3-2)2=26,

BC2=(5-2)2+(3-0)2=18,

AB2=(2V2)2=8,

：.AB2+BC2^AC2,

??.A48C是直角三角形.

【點睛】本題考查了兩點間距離公式，勾股定理的逆定理，熟練掌握兩點間距離公式，以及勾股定理的

逆定理是解題的關(guān)鍵.

4

【題型2求平面直角坐標(biāo)系中動點問題的面積】

【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4(0,a),S(0,b),C(c,0)都在坐標(biāo)軸上，其中b,c滿足

VFT2+(C-3)2=0,a,b是同一個數(shù)的兩個不相等的平方根.點M的坐標(biāo)為(2即)，且點M不在坐

標(biāo)軸上，以點。，A,C,M為頂點的四邊形面積為S.

(1)求a,b,c的值；

(2)若點M在第四象限，用含％的式子表示S；

⑶是否存在點"，使得S等于三角形48C的面積，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)a=2,b=-2,c=3

3

(2)S=3--m

⑶M(2,—2)或M(2,|).

【分析】此題考查了坐標(biāo)與圖形，算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

(1)根據(jù)算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性求出b=—2,c=3,然后根據(jù)平方根的性質(zhì)求出a=2；

(2)首先求出點M到x軸的距離為一m,然后根據(jù)S=S=OC+S4MOC結(jié)合三角形面積公式代入求解即

可；

(3)首先求出三角形ABC的面積="8-OC=：x4x3=6,然后分兩種情況討論：當(dāng)點〃在第四象

限時和當(dāng)點〃在第一象限時，分別列出方程求解即可.

【詳解】(1)解：???^歷不7+(c—3)2=。

+2=0,c—3=0

；.b=—2,c=3

???a,b是同一個數(shù)的兩個不相等的平方根

?,.a=2；

(2)解：丁。=2,c=3

5

???/(0,2),C(3,0)

：.OA=2,OC—3

???點河在第四象限，點河的坐標(biāo)為(2,zn)

???點M到x軸的距離為一瓶

113

■■S=SAAOC+S^MOC=2x3x2+2x3x(-m)=3_/；

(3)解：?.力=-2

??,4(0,2),

.-.AB=2-(-2)=4

三角形ABC的面積=-OC=1X4x3=6

當(dāng)點M在第四象限時，

???S等于三角形ABC的面積

c3,

???3--m=6

；.m=—2

—2)；

當(dāng)點M在第一象限時，

113

x2x2+x3m=2+m

S=SAA0M+S&COM=222

?.￡等于三角形4BC的面積

c3.

???2+-m=6

8

：.m=-

MW)

綜上所述，點"的坐標(biāo)為M(2,—2)或“(2,9.

【變式2-1］如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點/的坐標(biāo)為(0,4),點3的坐標(biāo)為(4,0),過點C(3,0)作

直線CD1久軸，垂足為C,交線段48于點。，過點/作4E1CD,垂足為￡,連接8E.

6

⑴求△力BE的面積；

⑵點P為直線CD上一動點，當(dāng)SAPAB=S》OB時，求點尸的坐標(biāo).

【答案】(1)6

(2)(3,5)或(3,-3)

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形：

(1)先證明ZEIIx軸，再由點/和點B的坐標(biāo)得到4E=。。=3,OA=CE=4,據(jù)此根據(jù)三角形面積

計算公式求解即可；

1

0A

(2)先求出。B=4,BC=1,貝US—OB=2-OB=8,SAA0B>SAAEB,設(shè)P(3,y),再分點P在x軸

上方和x軸下方兩種情況，畫出對應(yīng)的圖形求解即可.

【詳解】(1)解：???CDlx軸，AE1CD,

■■AE||x軸，

,?,點A的坐標(biāo)為(0,4),點B的坐標(biāo)為(4,0)

AE=0C=3,0A=CE=4,

：,SAABE=g/E,OA=gx3x4=6；

(2)解：??,點B坐標(biāo)為(4,0),

/.OB=4,BC=4-3=1,

???SMOB-2。/,08=9x4x4=8,

??$△408>

S/^AEBf

設(shè)尸(3,y),如圖所示：

7

當(dāng)點P在%軸上方時，則點P一定在點E上方，

=^AAPE+S&PBC+S四邊形。AEC-^AAOB

11

=-AE-PE+-PC-BC+OA-0C-8

11

=-x3(y-4)+-xyxl+4x3-8

=2y-2，

，2y—2=8,

y=5,

???點P的坐標(biāo)為(3,5)；

當(dāng)點P在%軸下方時，

過點P作尸Nly軸于N,

：?S/\PAB=S梯形ONPB+S^AOB-SAANP

11

=2(NP+OB)，CP+8--AN-NP

11

=,x(3+4)|y|+8--x(4+|y|)x3

=2\y\+2,

???2\y\+2=8,

???37=3或y=一3(舍去)，

8

???點P的坐標(biāo)為：（3,—3）；

二點P的坐標(biāo)為：（3,5）或（3,—3）.

【變式2-2］在平面直角坐標(biāo)系中，點4,2的坐標(biāo)分別為（3,0）,（-3,0）,現(xiàn)將線段先向上平移3

個單位，再向右平移1個單位，得到線段DC,連接4D,BC.

圖1圖2

⑴如圖1,求點C,。的坐標(biāo)及四邊形力BCD的面積；

⑵如圖1,在>軸上是否存在點P,連接P4使=S四邊形4BCD?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不

存在；

1

⑶如圖2,在直線CD上是否存在點。，連接QB,使S^QCB=尹四邊形4BCD，若存在，直接寫出點。的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴C（—2,3）,0（4,3）,18

（2）存在，（0,6）或（0,-6）

⑶存在，（2,3）或（一6,3）.

【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)、三角形的面積計算、點的坐標(biāo)特征等知識點，根據(jù)平移變換的性

質(zhì)求出點。。的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平移的性質(zhì)求出點C,。的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的面積公式求出四邊形28CD的面積；

（2）根據(jù)三角形的面積公式計算即可；

（3）根據(jù)直線CD上點的坐標(biāo)特征設(shè)出點。的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計算即可.

【詳解】（1）解：?.,點/,2的坐標(biāo)分別為（3,0）,（-3,0）,線段48先向上平移3個單位，再向右平

移1個單位，得到線段OC,

二點C的坐標(biāo)為（一2,3）,點。的坐標(biāo)為（4,3）,AB=6,

二四邊形48CD的面積=6X3=18.

9

(2)解：存在，

設(shè)點P的坐標(biāo)為(0,b),

1

由題意得：-X6X|6|=18,解得：b=±6,

二點尸的坐標(biāo)為(0,6)或(0,—6).

(3)解：設(shè)點。的坐標(biāo)為(a,3),則CQ=|a+2|,

11

由題意得：-x|a+2|X3=-X18,解得：a=2或一6,

則點Q的坐標(biāo)為(2,3)或(-6,3).

【點睛】

【變式2-3］如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點4,5的坐標(biāo)分別為4(a,0),B(h0),且a,b滿足

|a+6|+V3a-2b+26=0,現(xiàn)將線段AB先向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度得到線

段CD,其中點/對應(yīng)點為C,點5對應(yīng)點為。，連接4C,BD.

(1)請直接寫出8兩點的坐標(biāo)；

(2)如圖2,點M是線段AC上的一個動點，點N是線段CD的一個定點，連接MN,MO,當(dāng)點M在線段4C

上移動時(不與/,C重合)，探究乙DNM,乙OMN,NMOB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶在坐標(biāo)軸上是否存在點尸，使三角形PBC的面積與三角形4BD的面積相等？若存在，請求出點尸的坐

標(biāo)；若不存在，試說明理由.

【答案】⑴4(一6,0),5(4,0)；

(2)ZDWM+^OMN+Z.MOB=360°,理由見解析

⑶存在點尸，使三角形尸2C的面積與三角形2BD的面積相等，點P的坐標(biāo)為(14,0)或(一6,0)或(0,14)或

(0,-6).

【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a,6,即可求出答案；

(2)過點M作直線貝!UOME+NMOB=180。，再判斷出NDNM+NNME=180。，即可得出結(jié)

論；

(3)先求出△ABC的面積，再分點P在x軸和y軸上兩種情況，根據(jù)三角形面積公式建立方程求解，即

10

可得出答案.

【詳解】(1)???|a+6|+C3a—2b+26=0,

/.a+6=0,3a—2b+26=0,

.,.a=—6,b=4,

??/(—6,0),3(4,0)；

(2)乙DNM+乙OMN+乙MOB=360°,

理由：如圖2,過點M作直線MEIMB,

圖2??.LOME+乙MOB=180°,

???線段CO由線段ZB平移得到，

???ABWCD,

???ME||CD,

:.乙DNM+乙NME=180°,

???乙DNM+乙OMN+乙MOB,

=乙DNM+乙NME+Z,OME+乙MOB,

=180°+180°

=360°,

:/DNM+乙OMN+乙MOB=360°；

(3)如圖，依題意可得4(-6,0),B(4,0),C(0,4),￡)(10,4),

尸4

C

PT

AO

圖3AB=10,OC=4,OB=4,

^AABD=#8,y。=5乂10x4=20,

①當(dāng)點尸在黑軸上時，設(shè)點P(m,0),

則S^PBC=|PB-OC=|x|m-4|x4=2|m-4|,

11

???S^PBC=SA/B。，

???2\m-4|=20,

???m=14或—6；

②當(dāng)點P在y軸上時，設(shè)點P(0,n),

則S^PBC=|pc-OB=|x|n-4|x4=2|n-4|,

S&PBC=^AABD>

2|n—4|=20,

???n=14或—6,

綜上所述，存在點P,使三角形PBC的面積與三角形2BD的面積相等，點P的坐標(biāo)為(14,0)或(一6,0)或

(0,14)或(0,—6).

【點睛】此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積公式，坐標(biāo)兩點的距離公式，坐標(biāo)平

移的特征，用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

【題型3根據(jù)規(guī)律正確找到周期】

【典例3】如圖，動點P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運動，第一次從原點。運動到點Pi

(1,2),第二次運動到點P2(2,0),第三次運動到P3(3,-1),...,按這樣的運動規(guī)律，第23次運動后，動點

223的縱坐標(biāo)是()

【答案】c

【分析】本題考查了規(guī)律型點的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合并從圖象中發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律：縱坐標(biāo)每6次運動組成一個

循環(huán)是解題的關(guān)鍵.

由圖得點的縱坐標(biāo)變化每6次一循環(huán)，23+6=3......5,點「23的縱坐標(biāo)為符合第5個點的縱坐標(biāo)為L

12

【詳解】解：由圖得，點每運動一次橫坐標(biāo)就增加1,

-23的橫坐標(biāo)為23,

點的縱坐標(biāo)變化每6次一循環(huán)，

23+6=3…5,

.??點223的縱坐標(biāo)為L

故選：C.

【變式3-1】如圖所示，一個動點尸在邊長為1的方格中按箭頭所示方向做折線運動，即第一次從點(0,0)

運動到點(1,2),第二次從點(1,2)運動到點(2,1),第三次從點(2,1)運動到點(3,3),第四次從點(3,3)運動

到點(4,0),第五次從點(4,0)運動到點(5,2)......按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2023次運動后，動點尸的位置

是.

【答案】(2023,3)

【分析】本題考查了點的坐標(biāo)規(guī)律，旨在考查學(xué)生的抽象概括能力.由題意得動點P運動4n次后，位置

為(4九,0)；可依次得運動4n+1次、4n+2次、4n+3次的位置，即可尋得規(guī)律求解.

【詳解】解：由題意得：動點P運動4n次后，位置為(4n,0)；

運動4n+1次后，位置為(4n+1,2)；

運動4n+2次后，位置為(4n+2,1)：

運動4n+3次后，位置為(4n+3,3)；

???2023+4=505...3

二經(jīng)過第2023次運動后，動點P的位置是(2023,3)

故答案為：(2023,3)

【變式3-2】如圖，動點尸在平面直角坐標(biāo)系中按箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點(1,1),第

2次接著運動到點(2,0),第3次接著運動到點(3,2),…按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2027次運動后，動

點P的坐標(biāo)是.

13

(3,2)(7,2)(11,2)

(1,1)A(5」)A?J)A

八/WW\…r

°(2,0)(4,0)(6,0)(8,0)(10,0)(12,0尸

【答案】(2027,2)

【分析】此題主要考查了點的坐標(biāo)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納能力，從所給的數(shù)據(jù)和圖形中尋求規(guī)律進(jìn)

行解題是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)已知提供的數(shù)據(jù)從橫縱坐標(biāo)分別分析得出橫坐標(biāo)為運動次數(shù)，縱坐標(biāo)為1,0,2,0,每4次一輪這

一規(guī)律，進(jìn)而求出即可.

【詳解】解：根據(jù)動點P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點(1,1),

第2次接著運動到點(2,0),第3次接著運動到點(3,2),

???第4次運動到點(4,0),第5次接著運動到點(5,1),…,

???橫坐標(biāo)為運動次數(shù)，經(jīng)過第2027次運動后，動點P的橫坐標(biāo)為2027,

縱坐標(biāo)為1,0,2,0,每4次一輪，

???經(jīng)過第2027次運動后，動點P的縱坐標(biāo)為：2027+4=504余3,

故縱坐標(biāo)為四個數(shù)中第3個，即為2,

.??經(jīng)過第2017次運動后，動點P的坐標(biāo)是：(2027,2),

故答案為：(2027,2).

【變式3-3】如圖，動點尸在平面直角坐標(biāo)系中，沿曲線的方向從左往右運動，第1秒從原點運動到點

(1,1),第2秒運動到點(2,0),第3秒運動到點(3,—1),第4秒運動到點(4,0)...按這樣的規(guī)律，第2024

秒運動到點.

【答案】(2024,0)

【分析】本題是點坐標(biāo)規(guī)律探究，解題關(guān)鍵是找到動點運動過程中，每運動多少次形成一個循環(huán).

分析點P的運動規(guī)律，找到循環(huán)次數(shù)即可求解.

【詳解】解：分析圖象可以發(fā)現(xiàn)，點P的運動每4次位置循環(huán)一次.每循環(huán)一次向右移動四個單位.

.-■2024=4x506,

14

當(dāng)?shù)?024秒點P位置在(2024,0),

故答案為：(2024,0).

【題型4規(guī)律型中點的坐標(biāo)以及矩形的性質(zhì)】

【典例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點2(1,1),F(-l,l),C(-l,-2),￡>(1,-2),把一條長

為2023個單位長度且沒有彈性的細(xì)線(線的粗細(xì)忽略不計)的一端固定在點力處，并按力-B-C-Dfa…

的規(guī)律緊繞在四邊形4BCD的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的坐標(biāo)是()

A.(1,1)B.(0,1)D.(1,0)

【答案】C

【分析】本題考查了規(guī)律型：點的坐標(biāo)，由四邊形4BCD的周長找出細(xì)線另一端點所在的位置是解題的

關(guān)鍵.由點4B,C,D的坐標(biāo)可得出四邊形4BCD為矩形及SB,AD的長，由矩形的周長公式可求出矩

形4BCD的周長，結(jié)合2023=202x10+3可得出細(xì)線的另一端在線段2。上且距2點1個單位長度，結(jié)

合點4的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???4(1,1),5(-1,1),C(-l,-2),D(l,-2),

■■.AB=2,AD=3,四邊形4BCD為矩形,

C矩形4BCD=(3+2)X2=10.

2023=202x10+3,

細(xì)線的另一端在線段BC上，且距B點1個單位長度,

細(xì)線的另一端所在位置的點的坐標(biāo)是(-1,1-1),即(一L0).

故選：C

【變式4-1］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(1,1)網(wǎng)一1,1),C(-l,一2),0(1,-2),把一條長為2024個單

位長度且沒有彈性的細(xì)線(線的粗細(xì)忽略不計)的一端固定在點/處，并按a-B-C-DrA..的規(guī)律繞在

四邊形ABCD的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的點的坐標(biāo)是()

15

A.(-1,0)B.(1,-2)C.(1,-1)D.(-1,-1)

【答案】D

【分析】本題利用點的坐標(biāo)考查了數(shù)字變化規(guī)律，先求出四邊形4BCD的周長為10,得到2024+10的余

數(shù)為4,由此即可解決問題.

【詳解】解：“(1,1),B(—1,1),C(一1,一2),0(1,—2),

.?.4B=1=2,BC=1-(-2)=3,CD=1-(-1)=2,。2=1—(-2)=3,

???繞四邊形力BCD一周的細(xì)線長度為2+3+2+3=10,

20244-10=202...4,

???細(xì)線另一端在繞四邊形第203圈的第4個單位長度的位置，

即細(xì)線另一端所在位置的點在C處上面1個單位的位置，坐標(biāo)為(-1,-1).

故選：D.

【變式4-2］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，小，1),B(-l,1),C(-l,一2),￡>(1,-2).把一條

長為2014個單位長度且沒有彈性的細(xì)線(線的粗細(xì)忽略不計)的一端固定在點4處，并按

A—B—C—D—A..的規(guī)律繞在四邊形4BCD的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的點的坐標(biāo)是()

yk

B.--,A

O-r

CLJZ)

A.(-1,0)B.(1,-2)C.(1,1)D.(-1,-1)

【答案】D

【分析】先求出四邊形ABC。的周長為10,根據(jù)2014=201X10+4,由此即可解決問題.

16

【詳解】解：1），B（-l,1），C（-l,一2）,D（l,-2）,

.-.AB=CD=2,AD=BC=3,且四邊形ABCD為矩形，

.?.矩形48CD的周長C矩形ABCD=2（25+BC）=10.

???2014=201X10+4,AB+BC=5,

???細(xì)線的另一端落在點（一1,-1）.

故選：D.

【點睛】本題利用點的坐標(biāo)考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)點的坐標(biāo)求出四邊形4BCD一周的長度，從而確

定2014個單位長度的細(xì)線的另一端落在第幾圈第幾個單位長度的位置是解題的關(guān)鍵.

【題型5根據(jù)點坐標(biāo)特征規(guī)律】

【典例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個最小方格的邊長均為1個單位長，Pi，P2,P3,均在

格點上，其順序按圖中"玲"方向排列，如：Pi（0,0）,P2（0,1）,P3（l,1）,P4（l，-1），「5（-1，

—1）,P6（-l,2）...根據(jù)這個規(guī)律,點「2019的坐標(biāo)為（）

A.（-505,505）B.（505,-505）C.（505,-506）D.（505,505）

【答案】D

【分析】本題考查了規(guī)律型：點的坐標(biāo)，根據(jù)前幾個點的坐標(biāo)，總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)各個點的位置關(guān)系，可得出從P3（l,l）開始，下標(biāo)為4的倍數(shù)的點在第四象限的角平分線上，被4除

余1的點在第三象限的角平分線上，被4除余2的點在第二象限的角平分線上，被4除余3的點在第一

象限的角平分線上，所以點22019的在第四象限的角平分線上，然后根據(jù)規(guī)律求解即可.

【詳解】解：行1（0,0）,。2（0,1）島（1,1）典（1,—1）島（一1,—1,2）,...,

???從P3（l,l）開始，P4n5,—n）在第四象限的角平分線上，P4n+1（—%—九）在第三象限的角平分線上，

17

P4n+2(-n,n+1)在第二象限的角平分線上，P4n+3(n+tn+1)在第一象限的角平分線上，

■.-2019=4x504+3,

.??點22019的在第一象限的角平分線上，n=504,

.??點P2019坐標(biāo)為(505,505)

故選D.

【變式5-1］如圖，一個機(jī)器人從。點出發(fā)，向正東方向走3米到達(dá)4點，再向正北方向走6米到達(dá)4點,

再向正西方向走9米到達(dá)43點，再向正南方向走12米到達(dá)4點，再向正東方向走15米到達(dá)4點，按如此

規(guī)律走下去，當(dāng)機(jī)器人走到4點時，則4的坐標(biāo)為()

北

南

A.(9,15)B.(6,15)C.(9,9)D.(9,12)

【答案】D

【分析】本題考查了用坐標(biāo)確定位置，由于一個機(jī)器人從。點出發(fā)，向正東方向走3m,到達(dá)4點的坐標(biāo)

為(3,0),再向正北走6m到達(dá)心點的坐標(biāo)為(3,6),再向正西走9m到達(dá)4點的坐標(biāo)為(3,6),然后依此類推

即可求出力6點的坐標(biāo)，熟練掌握規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，可得4點的坐標(biāo)為(3,0),

42點的坐標(biāo)為(3,6),

小點的坐標(biāo)為(一6,6),

點的坐標(biāo)為(一6,-6),

&5點的坐標(biāo)為(9,一6),

4點的坐標(biāo)為(9,12)

二當(dāng)機(jī)器人走到點時，點4的坐標(biāo)是(9,12).

故選：D.

【變式5-2］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△41424，AX3X4X5,△4546出，…都是斜邊在刀軸上的等

腰直角三角形，點&(一2,0),/12(-1,-1),43(0,0)，…，則根據(jù)圖示規(guī)律，點41020的坐標(biāo)為.

18

【答案】（—2,510）

【分析】本題考查點的坐標(biāo)變化規(guī)律，抓住點4口坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.依次求出點4（，為正整

數(shù)）的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【詳解】解:由題知，點&的坐標(biāo)為（一2,0）；

點兒的坐標(biāo)為（―1,—1）；

點出的坐標(biāo)為（0,0）；

點心的坐標(biāo)為（—2,2）；

點人的坐標(biāo)為（-4,0）；

點4的坐標(biāo)為（—L—3）；

點出的坐標(biāo)為（2,0）;

點48的坐標(biāo)為（一2,4）；

由此可知，點44n的坐標(biāo)為（—2,2"），

又???1020+4=255,2x255=510,

二點41020的坐標(biāo)為（一2,510）.

故答案為：（—2,510）.

【變式5-3］如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心

作正方形P4M24、正方形24445人、…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形

「友乙4的頂點坐標(biāo)分別為P（-3,0）,4式-2,1）,—1,0）,4（—2,—1）,則頂點42024的坐標(biāo)為.

19

【答案】(1347,0)

【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點坐標(biāo)的規(guī)律計算，掌握點的變換規(guī)律，有理數(shù)的計算方法是解

題的關(guān)鍵.

根據(jù)點坐標(biāo)中下標(biāo)的變換規(guī)律，找到&024所在的位置，再根據(jù)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的變換規(guī)律即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意,P(—3,0),4式一2,1),/14(-1,2),47(0,3),

???點4下標(biāo)的變換規(guī)律是：1=3x0+1,4=3x1+1,7=3x2+1,

二射線P&上點力下標(biāo)的規(guī)律為：力3x(n-1)+1=&n-2，n為正整數(shù)，

當(dāng)3n—2=2024時，n=等，不符合題意，即點人2024不在射線&U上；

同理，P(-3,0),同(—1,0)，AM，。)，&8(3,0),4i(5,0),

???點2下標(biāo)的變換規(guī)律是：2=3X0+2,5=3x1+2,8=3x2+2,11=3x3+2,

???射線P42上點A下標(biāo)的規(guī)律為：&x(n_l)+2=&n_l，n為正整數(shù)，

當(dāng)3n一1=2024時，n=675,

二點^2024是射線"2上第675個點，

，橫坐標(biāo)為—1+(675-1)x2=1347,縱坐標(biāo)為0,

???>12024(1347,0),

故答案為：(1347,0).

【題型6點的坐標(biāo)，觀察出點的個數(shù)與橫坐標(biāo)存在平方關(guān)系】

【典例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中方向排列，如(1,0),(2,0),

(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0),......，根據(jù)這個規(guī)律探索可得第2024個點的坐標(biāo)是()

20

yA

?(4,3)*(5,3)

fI

.(3,2)1(4,2)1(5,2)

.(2/,1I).(3,1).t(4,1);.(5,1)

tktI->

O(1,0)(2,0)(3'omo)(5*0)x

A.(63,5)B.(63,6)C.(64,7)D.(64,6)

【答案】C

【分析】本題考查了學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，應(yīng)先判斷出第2024個點在第幾行，第幾列,

再根據(jù)分析得到的規(guī)律求解.解此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出規(guī)律，題目比較典型，但是一道比較容易出

錯的題目.

【詳解】把第一個點(1,0)作為第一列，(2,0)和(2,1)作為第二列，

依此類推，則第一列有1個點，第二列有2個點，…，

第n列有n個點，則n列共有也羅個點，并且在奇數(shù)列點的順序是由上到下，偶數(shù)列點的順序由下到

上，

???1+2+3+……+63=2016,

.?.第2024個點一定在第64歹!J,由下到上是第8個點，即縱坐標(biāo)為7,

因而第2024個點的坐標(biāo)是(64,7),

故選：C.

【變式6-1］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點，其順序按圖中"好"方向排列,

如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2)......根據(jù)這個規(guī)律，第2024個點的坐標(biāo)為()

A.(45,0)B.(45,1)C.(46,0)D.(46,1)

【答案】B

21

【分析】此題考查的是點的坐標(biāo)規(guī)律題，根據(jù)點的坐標(biāo)變化規(guī)律歸納公式是解決此題的關(guān)鍵.根據(jù)圖形

推導(dǎo)出當(dāng)〃為奇數(shù)時，第〃個正方形每條邊上有5+1)個點，連同前邊所有正方形共有5+1)2個點，

且終點為(i,m；當(dāng)〃為偶數(shù)時，第〃個正方形每條邊上有(n+1)個點，連同前邊所以正方形共有(n+i)2

點，且終點為(幾+1,0).而2024=452—1,由n+1=45,解得n=44.由規(guī)律可知，第44個正方形

每條邊上有45個點，且終點坐標(biāo)為(45,0),由圖可知，再倒著推1個點的坐標(biāo)即可得到答案.

【詳解】解：由圖可知：第一個正方形每條邊上有2個點，共有4=22個點，且終點為(1,1)；

第二個正方形每條邊上有3個點，連同第一個正方形共有9=32個點，且終點為(3,0)；

第三個正方形每條邊上有4個點，連同前兩個正方形共有16=42個點，且終點為(1,3)；

第四個正方形每條邊上有5個點，連同前兩個正方形共有25=52個點，且終點為(5,0)；

故當(dāng)〃為奇數(shù)時，第"個正方形每條邊上有5+1)個點，連同前邊所有正方形共有0+1)2個點，且終

點為(1/)；當(dāng)〃為偶數(shù)時，第”個正方形每條邊上有0+1)個點，連同前邊所以正方形共有0+1)2點，

且終點為(幾+1,0).

而2024=452—1,

n+1=45,

解得：n=44.

由規(guī)律可知，第44個正方形每條邊上有45個點，且終點坐標(biāo)為(45,0),由圖可知，再倒著推1個點的坐

標(biāo)為：(45,1).

故選：B.

【變式6-2］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個坐標(biāo)分別為整數(shù)的點，其順序按圖中"一"方向排列,

如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),.......根據(jù)這個規(guī)律，第2024個點的坐標(biāo)為

【答案】(45,1)

【分析】此題考查的是點的坐標(biāo)規(guī)律題，根據(jù)點的坐標(biāo)變化規(guī)律歸納公式是解決此題的關(guān)鍵.根據(jù)圖形

推導(dǎo)出當(dāng)〃為奇數(shù)時，第〃個正方形每條邊上有0+1)個點，連同前邊所有正方形共有0+1)2個點，

且終點為(1刀)；當(dāng)〃為偶數(shù)時，第〃個正方形每條邊上有(幾+1)個點，連同前邊所以正方形共有5+1產(chǎn)

22

點，且終點為(71+1,0).而2024=452-1,由72+1=45,解得n=44.由規(guī)律可知，第44個正方形

每條邊上有45個點，且終點坐標(biāo)為(45,0),由圖可知，再倒著推1個點的坐標(biāo)即可得到答案.

【詳解】解：由圖可知：第一個正方形每條邊上有2個點，共有4=22個點，且終點為(1,1)；

第二個正方形每條邊上有3個點，連同第一個正方形共有9=32個點，且終點為(3,0)；

第三個正方形每條邊上有4個點，連同前兩個正方形共有16=42個點，且終點為(1,3)；

第四個正方形每條邊上有5個點，連同前兩個正方形共有25=52個點，且終點為(5,0)；

故當(dāng)"為奇數(shù)時，第〃個正方形每條邊上有0+1)個點，連同前邊所有正方形共有0+1)2個點，且終

點為(1刀)；當(dāng)“為偶數(shù)時，第"個正方形每條邊上有(幾+1)個點，連同前邊所以正方形共有(n+1/點,

且終點為(71+1,0).

而2024=452-1,

n+1=45,

解得：n=44.

由規(guī)律可知，第44個正方形每條邊上有45個點，且終點坐標(biāo)為(45,0),由圖可知，再倒著推1個點的坐

標(biāo)為：(45,1).

故答案為：(45,1)-

【變式6-3］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一邊長為1的正方形QWC,邊。4、。。分別在x軸、y軸上，

如果以對角線OB為邊作第二個正方形OBBiCi，再以對角線0當(dāng)為邊作第三個正方形。8止2c2......照此規(guī)

律作下去，則。B2024的長為.

【答案】21012尤

【分析】首先求出8i、B2、B3、84、85、86、B］、89的坐標(biāo)，找出這些坐標(biāo)之間的規(guī)律，然后根

據(jù)規(guī)律計算出點%024的坐標(biāo).

【詳解】解：???正方形O4BC邊長為1,

OB=V2,

正方形OB&C1是正方形04BC的對角線。8為邊，

23

OB】=2,

???Bi點坐標(biāo)為(0,2),

同理可知。&=2V2,

%點坐標(biāo)為(-2,2),

同理可知。%=4,B3點坐標(biāo)為(一4,0),

%點坐標(biāo)為(-4,-4),白點坐標(biāo)為(0,-8),

%(8,—8),B7(16,0),B8(16,16),B9(0,32),

由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過8次作圖后，點的坐標(biāo)符號與第一次坐標(biāo)符號相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵?/p>

n+1

來的四倍，BPOBn=(V2),

???2024+8=253,

B2024的橫縱坐標(biāo)符號與點%相同，橫縱坐標(biāo)相同，且都在第一象限，

B2024的坐標(biāo)為(21°12,21012),

OB2024=(V2)2025=(V2)2024XV2=21012V2,

故答案為：21。12魚.

【題型7根據(jù)橫縱坐標(biāo)特征找出規(guī)律】

【典例7］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P(l,0)第1次向上跳動1個單位長度至點Pi(l,l),緊接著第2

次向左跳動2個單位長度至點P2(-1,1),第3次向上跳動1個單位長度至點P3,第4次向右跳動3個

單位長度至點P4,第5次向上跳動1個單位長度至點P5,第6次向左跳動4個單位長度至點P6.…照此

跳動規(guī)律，點「2024的坐標(biāo)是()

A.(-507,1012)B.(-506,1012)C.(507,1012)D.(506,1012)

【答案】C

【分析】本題考查了點坐標(biāo)的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到點的坐標(biāo)變化規(guī)律.設(shè)第〃次跳動至點

Pn,根據(jù)部分點Pn坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律尸4九(九+1,2九)，「4九+1(九+l,2n+1),

24

p4n+2(—n—l,2n+l)，P4n+3(—n—l,2n+2),依此規(guī)律結(jié)合2024=506x4,即可得出點P2024的坐

標(biāo).

【詳解】解：設(shè)第〃次跳動至點Pn,

觀察發(fā)現(xiàn)：P(l,0),Pi(l,l),22(—LI)，23(—1,2),心(2,2),「5(2,3),。6(—2,3),27(—2,4),P8

(3,4),「9(3,5),...

???P4noi+l,2n),P4n+i(n+l,2n+1)，

P4n+2(—n—l,2n+1)>P4n+3(—71—l,2n+2),(“為自然數(shù)),

?■-2024=506X4,

?孑2024(506+1,2X506),即22024(507,1012).

故選：C.

【變式7-1］如圖，在平面直角坐標(biāo)系上有點4(1,0),點/第一次跳動至點41(—1,1),第二次向右跳動3

個單位至點出(2,1),第三次跳動至點心(—2,2),第四次向右跳動5個單位至點2式3,2),…，以此規(guī)律跳

動下去，點力第2024次跳動至點42024的坐標(biāo)是()

【答案】A

【分析】本題考查了點的坐標(biāo)、坐標(biāo)的平移，根據(jù)點的坐標(biāo)、坐標(biāo)的平移尋找規(guī)律即可求解，解決本題

的關(guān)鍵是尋找點的變化規(guī)律.

【詳解】解：???2(1,0),&(2,1),

4(一2,2),4式3,2),

45(—3,3),陽4,3),

4(—4,4),4(5,4),

..A2n-i(—n,ri),A2n(n+l,n)(n為正整數(shù))，

25

；.2n=2024,

：.n=1012,

???42024(1013,1012),

故選：A.

【變式7-2］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點尸由原點。出發(fā)，第一次跳動至點Pi(l,1),第二次向左

跳動3個單位至點P2(—2,1),第三次跳動至點P3(2,2),第四次向左跳動5個單位至點P〈一3,2),

第五次跳動至點P5(3,