PAGEPAGE1課時作業(yè)8映射時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．下列集合A到集合B的對應關系f是映射的是(A)A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D．A＝R，B＝{正實數(shù)}，f：A中的數(shù)取肯定值解析：B中元素1在f下有兩個元素±1與之對應，不是映射；C中元素0無倒數(shù)，不是映射；D中元素0在B中無元素與之對應，不是映射．2．已知集合M＝{a，b}，集合N＝{0,1}，下列對應不是M到N的映射的是(C)解析：A、B、D均滿意映射的定義，C不滿意，因為映射是M中任一元素在N中都有唯一元素與之對應，但選項C的集合M中，元素b在N中無元素與之對應．3．已知(x，y)在映射下的像是(x＋y，x－y)，則像(1,2)在f下的原像為(D)A．(eq\f(5,2)，eq\f(3,2)) B．(－eq\f(3,2)，eq\f(1,2))C．(－eq\f(3,2)，－eq\f(1,2)) D．(eq\f(3,2)，－eq\f(1,2))解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,x－y＝2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝－\f(1,2))).∴原像為(eq\f(3,2)，－eq\f(1,2))．4．設A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列能表示從集合A到集合B的映射的是(D)解析：對于A，當x＝0時，y＝0?{y|1≤y≤2}，不是從A到B的映射；對于B，當x＝2時，y＝0?{y|1≤y≤2}，也不是從A到B的映射；對于C，當x＝0時，y＝1且y＝2，即集合A中的一個元素0與集合B中的兩個元素1和2相對應，所以也不是從A到B的映射；對于D，集合A中的任何一個元素在集合B中都有唯一的元素和它對應，所以是從A到B的映射．5．設集合A和集合B都是實數(shù)集R，映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素x3－x＋1，則在映射f下，像1的原像所組成的集合是(B)A．{1} B．{0,1，－1}C．{0} D．{0，－1，－2}解析：由題意可知f(x)＝x3－x＋1，當f(x)＝1時，解得x＝0，±1.6．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{a，b，c}，f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，那么該函數(shù)的值域C的不同狀況有(A)A．7種 B．4種C．8種 D．12種解析：值域C可能為：只含有一個元素時，有{a}，，{c}，共3種；有兩個元素時，有{a，b}，{a，c}，{b，c}，共3種；有三個元素時，有{a，b，c}，共1種．所以值域C的不同狀況共有3＋3＋1＝7(種)．故選A.7．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且對隨意的a∈A，在B中和它對應的元素是|a|，則集合B中的元素的個數(shù)是(A)A．4 B．5C．6 D．7解析：∵a∈A，A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．8．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，對應法則f：y＝－|x|＋2，x∈A，y∈B，對于實數(shù)m∈B，在集合A中不存在原像，則m的取值范圍是(A)A．m>2 B．m≥2C．m<2 D．m≤2解析：∵y＝－|x|＋2≤2，∴y的值域為{y|y≤2}，又∵m∈B且在A中不存在原像，即m?{y|y≤2}，故m>2，故選A.二、填空題9．a(chǎn)，b為實數(shù)，集合M＝{eq\f(b,a)，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍為x，則a＋b的值等于1.解析：因為f：x→x，∴M＝N，∴eq\f(b,a)＝0，a＝1，故a＋b＝1.10．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)在此映射下的原像是(3,1)，則k＝2，b＝1.解析：當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1))時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＝3k＝6，,y＋b＝b＋1＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝1.))11．為確保信息平安，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16，當接收方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為6,4,1,7.解析：依據(jù)題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝14，,2b＋c＝9，,2c＋3d＝23，,4d＝28，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝4，,c＝1，,d＝7.))∴明文為6,4,1,7.三、解答題12．已知集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→eq\f(1,|x|－1)，試問集合A中的元素最多有幾個？寫出元素最多時的集合A.解：∵f：x→eq\f(1,|x|－1)是從集合A到集合B的映射，∴A中每一個元素在集合B中都應當有像．令eq\f(1,|x|－1)＝0，該方程無解．故0沒有原像．分別令eq\f(1,|x|－1)＝1,2,3，可得x＝±2，±eq\f(3,2)，±eq\f(4,3).故集合A中的元素最多為6個，即A＝{2，－2，eq\f(3,2)，－eq\f(3,2)，eq\f(4,3)，－eq\f(4,3)}．13．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是從A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原像，這樣不同的f有多少個？(2)若B中的元素0必無原像，這樣的f有多少個？(3)若f滿意f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，這樣的f又有多少個？解：(1)明顯對應是一一對應的，即為a1找像有4種方法，a2找像有3種方法，a3找像有2種方法，a4找像有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(個)．(2)0必無原像，1,2,3有無原像不限，所以為A中每一元素找像時都有3種方法．所以不同的f共有34＝81(個)．(3)分為如下四類：第一類，A中每一元素都與1對應，有1種方法；其次類，A中有兩個元素對應1，一個元素對應2，另一個元素與0對應，有12種方法；第三類，A中有兩個元素對應2，另兩個元素對應0，有6種方法；第四類，A中有一個元素對應1，一個元素對應3，另兩個元素與0對應，有12種方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(個)．——實力提升類——14．若一系列函數(shù)的對應關系相同，值域相同，但定義域不同，稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，則對應關系為f：x→y＝2x2＋1、值域為{5,19}的函數(shù)的“孿生函數(shù)”共有9個．解析：令2x2＋1＝5，得x＝±eq\r(2)，令2x2＋1＝19，得x＝±3，則對應關系f：x→y＝2x2＋1，值域為{5,19}的定義域可以為{eq\r(2)，3}，{－eq\r(2)，3}，{eq\r(2)，－3}，{－eq\r(2)，－3}，{eq\r(2)，－eq\r(2)，3}，{eq\r(2)，－eq\r(2)，－3}，{eq\r(2)，3，－3}，{－eq\r(2)，3，－3}，{eq\r(2)，－eq\r(2)，3，－3}，所以所求的“孿生函數(shù)”共有9個．15．已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y)．(1)求A中元素(5,5)的像；(2)求B中元素(5,5)的原像；(3)A中是否存在這樣的元素(a，b)，使它的像仍是自己？若存在，求出這個元素；若不存在，請說明理由．解：(1)∵x＝5，y＝5，∴(x＋2y＋2,4x＋y)＝(17,25)．∴A中元素(5,5)的像是(17,25)．(2)設元素(5,5)的原像是(m，n)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＋2＝5，,4m＋n＝5，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4