§2.12函數(shù)模型的應(yīng)用

【考試要求】1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異2理解“指數(shù)爆炸”“對

數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了

解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

?落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

y=ax（a>l）y=10gaX（4>l）尸玳90)

性質(zhì)

在(0,+8)上的

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨n值的變化而各有

圖象的變化

為與—平行為與—平行不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f（x）=ax+b（a,為常數(shù)，〃W0）

二次函數(shù)模型f（x）=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，〃W0）

k

反比例函數(shù)模型b為常數(shù),左WO)

指數(shù)函數(shù)模型j（x）=bax+c（a,b,c為常數(shù)，4>0且〃#1,bWO）

對數(shù)函數(shù)模型fix）=MogaX+c（a,b,c為常數(shù)，〃>0且Z?WO）

a

哥函數(shù)模型fix）=ax+b（a9b,a為常數(shù)，aWO,aWO）

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)函數(shù)>=2工的函數(shù)值比>=*的函數(shù)值大.()

(2)某商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若九折出售，則每

件還能獲利.()

(3)在(0,+8)上，隨著尤的增大，丫=爐(°>1)的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于〉=4°>0)和y=

logax(a>l)的增長速度.()

（4）在選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.（）

【教材改編題】

1.當(dāng)尤越來越大時(shí)，下列函數(shù)中增長速度最快的是（）

A.y=5xB.y=log5X

C.y=jc>D.y=5x

2.在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測量得到變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.99-0.010.982.00

則對x,y最適合的函數(shù)模型是（）

A.y=2xB.y=f—1

C.y=2x-2D.y=log2%

3.某超市的某種商品的日利潤y（單位：元）與該商品的當(dāng)日售價(jià)尤（單位：元）之間的關(guān)系為y

=-§+12%-210,那么該商品的日利潤最大時(shí)，當(dāng)日售價(jià)為元.

■探究核心題型

題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程

例1（1）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物

的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.己知成人單次服用1單位某藥物后，

體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：

血藥濃度（mg/mL）

?最低中毒濃度（MTC）

一一解濃度

安全范圍

?最低有效濃度(MEC)

3'4'5'691011112//|sW

0r

續(xù)期一H殘留期

根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中，不正確的是（）

A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用

B.每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒

C.每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用

D.首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會(huì)發(fā)生藥物中毒

聽課記錄：______________________________________________________________________

（2）根據(jù)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出的散點(diǎn)圖如圖所示.

4

3*?

2

1?

O\12345678^

現(xiàn)有如下5個(gè)函數(shù)模型：①y=0.6x—0.12；②y=2%—2.02；③y=2”-5.4x+6；④y=logK；

⑤y=?'+L84?請從中選擇一個(gè)函數(shù)模型，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選

.（填序號）

聽課記錄:______________________________________________________________________

思維升華判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法

（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)

圖象.

（2）驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否

吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)尸在邊長為1的正方形ABC。的邊上運(yùn)動(dòng)，M是CD的中點(diǎn)，則當(dāng)P

沿A-B-C-M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與的面積y的函數(shù)y=/U）的圖象大致是

下圖中的（）

題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題

例2（1）（2021?全國甲卷）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通

常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)工和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿

足Z=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約

10

為（回心1259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

聽課記錄：______________________________________________________________________

（2）（2022?莆田質(zhì)檢）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P（單

位：mg/L）與時(shí)間《單位：助間的關(guān)系為尸=尸0-。3其中Po,左是正的常數(shù).如果2h后還剩

下90%的污染物，5h后還剩下30%的污染物，那么8h后還剩下%的污染物.

聽課記錄：______________________________________________________________________

思維升華已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

跟蹤訓(xùn)練2（1）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).假設(shè)某種傳染

病的基本傳染數(shù)為Ro,l個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到N個(gè)新人，這N個(gè)人中有V個(gè)人接

種過疫苗件稱為接種率），那么1個(gè)感染者傳染人數(shù)為牛（N—V）.已知某種傳染病在某地的基

本傳染數(shù)Ro=4,為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1,則該地疫苗的接種率最小為（）

A.45%B.55%C.65%D.75%

（2）牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型6=仇+（仇一仇）e"（f為時(shí)間，單位：分鐘，

優(yōu)為環(huán)境溫度，仇為物體初始溫度，6為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開水溫度仇=100℃,環(huán)境

溫度0o=2O℃,常數(shù)笈=0.2,大約經(jīng)過分鐘水溫降為40℃（參考數(shù)據(jù):In2~0.7）（）

A.10B.9C.8D.7

題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題

例3智能輔助駕駛已開始得到初步應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與障礙物

之間的距離，并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間，當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開始報(bào)警，等于危險(xiǎn)

距離時(shí)就自動(dòng)剎車.若將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間力與人的反應(yīng)時(shí)間人，系統(tǒng)

反應(yīng)時(shí)間f2,制動(dòng)時(shí)間f3,相應(yīng)的距離分別為曲，dl，d2,di，如圖所示.當(dāng)車速為。（米/秒）,

且0<oW33.3時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表給出的數(shù)據(jù)（其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路

面情況而變化，且1WAW2）.

:報(bào)警跑離:

危險(xiǎn)距離

階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)

時(shí)間砧n=o.8秒?2=0.2秒

距離Jo=lO米d[“=荻米

(1)請寫出報(bào)警距離或米)與車速。(米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)％=2時(shí)，當(dāng)汽車達(dá)到報(bào)

警距離時(shí)，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障

礙物的最短時(shí)間；

(2)若要求汽車在上=1的路面上行駛時(shí)報(bào)警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多

少以下(單位：米/秒)？

思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟

(1)建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；

(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；

(3)評價(jià)、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價(jià)、解釋，然后返回到原來的實(shí)際

問題中去，得到實(shí)際問題的解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定

區(qū)域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞?/p>

返回彈道，實(shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示).現(xiàn)將石

片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s,這是第一次“打水漂”，然后石片

在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%,若要使石片的速率低于

60m/s,則至少需要“打水漂”的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：取In0.6弋一0.511,1110.9弋一0.105）（）

A.4B.5C.6D.7

⑵網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時(shí)期內(nèi)成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方

向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的

銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x（單位：萬件）與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用

《單位：萬元）之間滿足函數(shù)關(guān)系式x=3—本.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬元，

產(chǎn)品每1萬件的進(jìn)貨價(jià)格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每

件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司的最大月利潤是萬元.

§2.12函數(shù)模型的應(yīng)用

【考試要求】I.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異2理解“指數(shù)爆炸”“對

數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了

解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

?落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)y=(fy=logaXy=xn

性(。>1)(〃>1)(n>0)

在(0,+8)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨〃值的變化而各有

圖象的變化

與y軸平行與平行不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型j(x)=ax+b(afb為常數(shù)，

二次函數(shù)模型J(x)=ax1+bx-\-c(a,b,c為常數(shù)，〃W0)

f(x)=^+b(k,b為常數(shù)，20)

反比例函數(shù)模型

x

指數(shù)函數(shù)模型f(x)=ba+c(a9b,c為常數(shù)，4>0且〃Wl,Z?W0)

對數(shù)函數(shù)模型fix)=b\ogax+c(a,b,c為常數(shù)，4>0且bWO)

幕函數(shù)模型J(x)=axa+b(a,b,a為常數(shù)，aWO)

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)函數(shù)>=2*的函數(shù)值比y=x?的函數(shù)值大.(X)

(2)某商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若九折出售，則每

件還能獲利.(X)

(3)在(0,+8)上，隨著龍的增大，y=a*(a>l)的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于>=犬(。>0)和y=

logaX（a>l）的增長速度.（-J）

（4）在選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.（X）

【教材改編題】

1.當(dāng)尤越來越大時(shí)，下列函數(shù)中增長速度最快的是（）

A.y=5xB.y=log5^x

C.D.y=5x

答案D

解析結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知，幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)的增長速度最快.

2.在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測量得到變量尤和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.99-0.010.982.00

則對x,y最適合的函數(shù)模型是（）

A.y—2xB.y—x1—1

C.y=2x2D.y=log2X

答案D

解析根據(jù)x=0.50,y=-0.99,代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x=2.01,y=0.98,代入計(jì)算，

可以排除B,C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2%,可知滿足題意，故選D.

3.某超市的某種商品的日利潤y（單位：元）與該商品的當(dāng)日售價(jià)x（單位：元）之間的關(guān)系為y

=-^+12x-210,那么該商品的日利潤最大時(shí)，當(dāng)日售價(jià)為元.

答案150

V21

解析因?yàn)閥=一不+12x—210=一天（%—150）2+690,所以當(dāng)x=150時(shí)，y取最大值，即該

商品的利潤最大時(shí)，當(dāng)日售價(jià)為150元.

■探究核心題型

題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程

例1（1）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物

的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，

體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：

血藥濃度（mg/mL）

?最低中毒濃度（MTC）

--罅濃度

安全范圍

?最低有效濃度（MEC）

O2345i67891()fl12

持續(xù)期一H殘留期

根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中，不正確的是（）

A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用

B.每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒

C.每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用

D.首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會(huì)發(fā)生藥物中毒

答案D

解析從圖象中可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；

根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時(shí)后的血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)

兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時(shí)時(shí)，血藥濃度等

于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；第一

次服用該藥物1單位4小時(shí)后與第2次服用該藥物1單位1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低

中毒濃度，因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒，D錯(cuò)誤.

（2）根據(jù)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出的散點(diǎn)圖如圖所示.

y

4

3*?

2

1.

d12345678^

現(xiàn)有如下5個(gè)函數(shù)模型：①丁=0.6%—0.12；②y=2*—2.02；③y=2%—5.4x+6；④y=logzx；

⑤y=L84.請從中選擇一個(gè)函數(shù)模型，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選

.（填序號）

答案④

解析由圖可知上述點(diǎn)大體分布在函數(shù)y=log2X的圖象上，

故選擇y=log2X可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律.

思維升華判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法

（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)

圖象.

（2）驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否

吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)尸在邊長為1的正方形ABC。的邊上運(yùn)動(dòng)，M是的中點(diǎn)，則當(dāng)尸

沿A-B-C-M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)>=式無）的圖象大致是

下圖中的（）

答案A

解析當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，j=1xxX11；

=

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí),yS正方涉ABC￡>-SAAZ)”—SAAB?—SAPCM：,l<rW2；

當(dāng)點(diǎn)尸在CM上時(shí)，尸￡xg—jx1=—$+',2<x^!.

由函數(shù)可知，有三段直線，又當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)是減函數(shù).

題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題

例2（1）（2021.全國甲卷）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通

常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)工和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿

足￡=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約

為（1順心1259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

答案C

--11、

解析4.9=5+lgV=lgV=—0.1=V=101°=--------七丁=七0.8,所以該同學(xué)視力的小數(shù)記

V10

錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

（2）（2022?莆田質(zhì)檢）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P（單

位：mg/L）與時(shí)間f（單位：h）間的關(guān)系為尸=尸0-13其中Po，上是正的常數(shù).如果2h后還剩

下90%的污染物，5h后還剩下30%的污染物，那么8h后還剩下%的污染物.

答案10

解析設(shè)初始污染物數(shù)量為P,

[Po-e2』15P,

則13

〔尸℃』=正尸，,

兩式相除得e3欠=3.

131

所以8h后尸=20?屋弘=屋3*.尸0.15無=§.前夕=而產(chǎn)，，

即還剩下七義100%=10%的污染物.

思維升華已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵

(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

跟蹤訓(xùn)練2(1)在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).假設(shè)某種傳染

病的基本傳染數(shù)為7?o,l個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到N個(gè)新人，這N個(gè)人中有V個(gè)人接

種過疫苗親稱為接種率)，那么1個(gè)感染者傳染人數(shù)為受(N—V).己知某種傳染病在某地的基

本傳染數(shù)&=4,為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1,則該地疫苗的接種率最小為()

A.45%B.55%C.65%D.75%

答案D

解析為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1,只需*(N—V)W1,即扁。一拼W1,

V1V3

因?yàn)镽)=4,故1—討忘不可得討》不

(2)牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型。=%+(仇一仇)，”為時(shí)間，單位：分鐘，

優(yōu)為環(huán)境溫度，仇為物體初始溫度，。為冷卻后溫度)，假設(shè)一杯開水溫度仇=100℃,環(huán)境

溫度0o=2O℃,常數(shù)k=0.2,大約經(jīng)過分鐘水溫降為40℃(參考數(shù)據(jù)：In

2心0.7)()

A.10B.9C.8D.7

答案D

解析依題意知，40=20+(100-20)-e-°-2r,貝！I屋?！?，

—0.2r=ln—21n2,所以/=胄標(biāo)=101n2=?7(分鐘).

題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題

例3智能輔助駕駛已開始得到初步應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與障礙物

之間的距離，并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間，當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開始報(bào)警，等于危險(xiǎn)

距離時(shí)就自動(dòng)剎車.若將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間而與人的反應(yīng)時(shí)間作系統(tǒng)

反應(yīng)時(shí)間f2,制動(dòng)時(shí)間f3,相應(yīng)的距離分別為治，dl，d2,d3,如圖所示.當(dāng)車速為。(米/秒),

且0<oW33.3時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)左隨地面濕滑程度等路

面情況而變化，且1WAW2).

報(bào)警距離

危險(xiǎn)距離

階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)

時(shí)間而九=0.8秒亥=0.2秒

距離do=lO米didl43=頒米

(1)請寫出報(bào)警距離d(米)與車速。(米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)k=2時(shí)，當(dāng)汽車達(dá)到報(bào)

警距離時(shí)，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障

礙物的最短時(shí)間；

(2)若要求汽車在左=1的路面上行駛時(shí)報(bào)警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多

少以下(單位：米/秒)？

解(1)由題意知，d(o)=do+di+d2+"3=10+0.8o+0.2o+5T6,即d(o)=10+o+而■,

ZXJKXX)K

8d(v}10v1

當(dāng)％=2時(shí)，或°)=10+。+而，石+122X5+1=2,當(dāng)且僅當(dāng)0=20時(shí)等號

成立，0<忘33.3,

即以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間為2秒.

(2)當(dāng)上=1時(shí)，d(v)<50,即10+。+元<50,

即。2+20。-800<0,-40<y<20,又0<oW33.3,

故0<。<20,

所以汽車的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下.

思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟

(1)建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；

(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；

(3)評價(jià)、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價(jià)、解釋，然后返回到原來的實(shí)際

問題中去，得到實(shí)際問題的解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定

區(qū)域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞?/p>

返回彈道，實(shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似（如圖所示）.現(xiàn)將石

片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s,這是第一次“打水漂”，然后石片

在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%,若要使石片的速率低于

60m/s,則至少需要“打水漂”的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：取In0.6七一0.511,In0.9心一0.105）（）

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析設(shè)石片第w次“打水漂”時(shí)的速率為小,

n-1

則vn=100X0.9.

由100X0.9'-i<60,得0.9"-1<0.6,

則（w—l）ln0.9<ln0.6,

trrIn0.6—0.511.

即-_0.105-487,則M">5.87,

故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.

⑵網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時(shí)期內(nèi)成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方

向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的

銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量尤（單位：萬件）與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用

/（單位：萬元）之間滿足函數(shù)關(guān)系式x=3一京.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬元，

產(chǎn)品每1萬件的進(jìn)貨價(jià)格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每

件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司的最大月利潤是萬元.

答案37.5

解析由題意，產(chǎn)品的月銷量x（單位：萬件）與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用*單位：萬元）之

2

間滿足x=3—E，

一.2

所以月利潤為y=（32X1.5—32x—3—1=16%—^—3=16x—1

-11

=45.5-16（3-A）+^T^W45.5—2標(biāo)=37.5,

當(dāng)且僅當(dāng)16（3—x）=上，即尸學(xué)時(shí)取等號，

則最大月利潤為37.5萬元.

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）

A.j=2r+1—1B.y—x3

C.y=21og2XD.j>=x2—1

答案D

解析將各點(diǎn)（x,y）分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是y=V—1.

2.某校實(shí)行憑證入校，凡是不帶出入證者一律不準(zhǔn)進(jìn)校園，某學(xué)生早上上學(xué)騎自行車從家里

出發(fā)，離開家不久，發(fā)現(xiàn)出入證忘在家里了，于是回家取出入證，然后乘坐出租車以更快的

速度趕往學(xué)校，令尤（單位：分鐘）表示離開家的時(shí)間，y（單位：千米）表示離開家的距離，其中

等待紅綠燈及在家取出入證的時(shí)間忽略不計(jì)，下列圖象中與上述事件吻合最好的是（）

答案C

解析中途回家取證件，因此中間有零點(diǎn)，排除A,B,第二次離開家速度更大，直線的斜

率更大，故只有C滿足題意.

3.農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布2022年農(nóng)區(qū)蝗蟲防控技術(shù)方案.為了做好蝗蟲防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案

演練，專家假設(shè)蝗蟲的日增長率為6%,最初有No只，則能達(dá)到最初的1200倍大約經(jīng)過（參

考數(shù)據(jù)：In1.06^0.0583,In1200仁7.0901）（）

A.122天B.124天C.130天D.136天

答案A

解析由題意可知，蝗蟲最初有No只且日增長率為6%.

設(shè)經(jīng)過n天后蝗蟲數(shù)量達(dá)到原來的1200倍，

r,No（l+6%）"

則No=1200,

.,.l.06n=l200,

.?.w=logL061200=*豢仁121.614,

...大約經(jīng)過122天能達(dá)到最初的1200倍.

4.“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)

的儲水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉

水越高.已知聽到的聲強(qiáng)m與標(biāo)準(zhǔn)聲調(diào)機(jī)o（"2o約為10一%單位：柒）之比的常用對數(shù)稱作聲

強(qiáng)的聲強(qiáng)級，記作工（貝爾），即L=lgf取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已

知某處“喊泉”的聲音響度y（分貝）與噴出的泉水高度x（米）滿足關(guān)系式y(tǒng)=2x,現(xiàn)知A同學(xué)大

喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若A同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于100個(gè)8同學(xué)同

時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則8同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為（）

A.0.7米B.7米C.50米D.60米

答案D

解析設(shè)3同學(xué)的聲強(qiáng)為相，噴出的泉水高度為工

則A同學(xué)的聲強(qiáng)為100根，噴出的泉水高度為70,

m100機(jī)

101g嬴=2x=lgm—lgmo=O.2x,lOlg根0=2X70=2+lgm—1gmo=14,

相減得2=14—0.2x=0.2%=12=x=60.

5.大氣壓強(qiáng)0=受抹積,它的單位是“帕斯卡”（Pa,lPa=lN/m，大氣壓強(qiáng)p（Pa）隨海拔

k,!

高度/?（m）的變化規(guī)律是p=poe-（k=O.OOO126m-）,po是海平面大氣壓強(qiáng).已知在某高山4,

4兩處測得的大氣壓強(qiáng)分別為pi，P2,^=|,那么A1，4兩處的海拔高度的差約為（參考數(shù)

據(jù)：In3^1.099）（）

A.660mB.2340m

C.6600mD.8722m

答案D

解析設(shè)Ai,4兩處的海拔高度分別為〃i,h2,

1nQ-0.0001264

制包=_1=_EQ￡_____________0.000126（凝-%）

，24000126

3n「名一'

.,.0.000126（/?2-/zi）=ln|=-ln3?-1.099,

得fe-/!i=-a000126^-8722(m).

/.Ai,4兩處的海拔高度的差約為8722m.

6.（2022?淮南模擬）我國在2020年9月22日的聯(lián)合國大會(huì)上提出，二氧化碳排放力爭于2030

年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，爭取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.為了響應(yīng)黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科

研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技

術(shù)處理總成本M單位：萬元）與處理量X（單位：噸Xxd[120,500]）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示

1￥—80/+5040無，%e[120,144）,

為

[尹一200x+80000,%e[144,500],

當(dāng)每噸的平均處理成本最少時(shí)，處理量工為（）

A.120噸B.200噸

C.240噸D.400噸

答案D

析題意得，二氧化碳每噸的平均處理成本為S=

80x+5040,%e[120,144）,

1,80000

—200+~[144,500],

當(dāng)xG[120,144）時(shí)，S=*—80x+5040=|（x-120）2+240,

當(dāng)尤=120時(shí)，S取得最小值240；

^^[144,5001時(shí)，S=%+智—2。22yp嚕-2。。=2。。，

當(dāng)且僅當(dāng)%=阻售，即x=400時(shí)取等號，此時(shí)S取得最小值200,

綜上，當(dāng)每噸的平均處理成本最少時(shí)，處理量為400噸.

7.“百日沖刺”是各個(gè)學(xué)校針對高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短時(shí)間內(nèi)最大限

度地激發(fā)一個(gè)人的潛能，使成績在原來的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人

滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學(xué)生來講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大.現(xiàn)有某班主

任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構(gòu)造了一個(gè)經(jīng)過

時(shí)間/（30WW100）（單位：天），增加總分?jǐn)?shù)加）（單位：分）的函數(shù)模型：財(cái)=]+[：/+]），k

為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，尸為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且五60）=%＜現(xiàn)有某學(xué)生在高考

前100天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計(jì)此學(xué)生在高考中可能取得的總分約

為.（保留到個(gè)位）（lg61-1.79）

答案462

解析由題意得,

kP_*P_1

46°)-1+坨61?2.7廠6尸，

279

???人心辛=0.465,

.0.465X400________186

=

.-X100)=1+lgl01i+lg100+lg1.01

...該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為400+62=462.

8.里氏震級M的計(jì)算公式為：M=lgA-lgA0,其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，

Ao是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000,此時(shí)標(biāo)

準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則此次地震的震級為級；9級地震的最大振幅是5級地震最

大振幅的倍.

答案610000

角單析M=lg1000-lg0.001=3-（-3）=6.

設(shè)9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為4,則9=lg4—lgAo=lg2，則令

=109,

5=lgA2-lgA0=lg^,則所以交=1。4.

即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍.

9.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)

魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度。（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度x（單位：

尾/立方米）的函數(shù).當(dāng)工不超過4尾/立方米時(shí)，0的值為2千克/年；當(dāng)4<%W20時(shí)，0是x

的一次函數(shù)，當(dāng)%達(dá)到20尾/立方米時(shí)，因缺氧等原因，。的值為0千克/年.

（1）當(dāng)0<xW20時(shí)，求。關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí)，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達(dá)到最大？并求出最大值.

解（1）由題意得當(dāng)，0<xW4時(shí)，。=2；

當(dāng)4<xW20時(shí)，設(shè)0="+/?（〃#0）,

顯然v=ax+b在（4,20］內(nèi)單調(diào)遞減，

1

20〃+Z?=0,

由已知得,4.+Q2,解得‘

所以v=-^x+^.

2,0<xW4,xGN*,

故函數(shù)。=<

-4VxW20,xGN*.

2x,0<xW4,無GN*,

（2）設(shè)年生長量為兀0千克/立方米，依題意并由（1）可得一/p+l'x,4<xW20,xGN*,

當(dāng)0<xW4時(shí)，人勸單調(diào)遞增,

故/（x）max=A4）=4X2=8；

當(dāng)4<xW20時(shí)，y(x)=一弟2+1^=—//-20%)=-](x—10)2+券，X^)max=y(10)=12.5.

所以當(dāng)0<xW20時(shí)，人元）的最大值為12.5.

即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí)，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克/立方米.

10.（2023?保定模擬）某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮（其覆蓋面積為期，這些鳳眼

蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為24m2,三月底測得鳳眼蓮

的覆蓋面積為361n2,鳳眼蓮的覆蓋面積y（單位：n?）與月份尤（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模

￡

型>=h">0,”>1)與y=px5+處9>0,發(fā)>0)可供選擇.

（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；

（2）求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份.（參考數(shù)據(jù)：1g2Po.301

0,1g3-0.4771)

￡

解（1）由題設(shè)可知，兩個(gè)函數(shù)y=M（fc>0,〃>1）,y=p%,+M7?0,fc>0）在（0,+8）上均為

增函數(shù),

隨著x的增大，函數(shù)y=hr">0,a>l）的值增加得越來越快，而函數(shù)y=p/+網(wǎng)戶>0,k>0）

的值增加得越來越慢,

由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數(shù)模型y=hf（Q0,廬1）滿足要求.

6=24,

由題意可得■

kc^=36,

解得上=學(xué)32，。=去3故該函數(shù)模型的解析式為

尸苧&Q￡N).

(2)當(dāng)x=0時(shí)，^=y-(j)0=y,

故元旦放入鳳眼蓮的面積為手m2,

,3232口

由至?(jJ'lOX至，即團(tuán)%>10,

1

^x>log310=^

Ig3-lg2'

5坨5

由于Ig3—lg220.4771—0.3010257,又xGN‘故x\6.

因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是6月份.

合提升練

11.生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量尸會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），P與死

亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為P=“（其中。為常數(shù)），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的

一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量

的75%,則可推斷該文物屬于（）

參考數(shù)據(jù)：log20.752—0.4

參考