PAGEPAGE1§3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念[限時(shí)50分鐘，滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1．下列各數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)是3＋eq\r(7)，eq\f(2,3)i，0i，8＋3i，(2＋eq\r(3))i，0.618A．0 B．1 C．2 D．3解析依據(jù)純虛數(shù)的定義知，eq\f(2,3)i，(2＋eq\r(3))i是純虛數(shù)．答案C2．以3i－eq\r(2)的虛部為實(shí)部，以－3＋eq\r(2)i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是A．3－3i B．3＋iC．－eq\r(2)＋eq\r(2)i D.eq\r(2)＋eq\r(2)i解析3i－eq\r(2)的虛部為3，－3＋eq\r(2)i的實(shí)部為－3，∴所求復(fù)數(shù)為3－3i.答案A3．“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)”的A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解析因?yàn)閺?fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)?a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)”的必要不充分條件．答案A4．下列命題：①若z＝a＋bi，則僅當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)z為純虛數(shù)；②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3；③若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．其中正確命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3解析①中只有當(dāng)a∈R，b∈R，且a＝0，b≠0時(shí)，z為純虛數(shù)，故①錯(cuò)誤；在②中將虛數(shù)的平方與實(shí)數(shù)的平方等同，如若z1＝1，z2＝0，z3＝i，則(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝12＋(－i)2＝1－1＝0，但z1≠z2≠z3，故②錯(cuò)誤；在③中忽視0·i＝0，故③也是錯(cuò)誤的．答案A5．復(fù)數(shù)z＝eq\f(2－b,5)－eq\f(2b＋4,5)i的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)b等于A.eq\r(2) B.eq\f(2,3)C．2 D．－eq\f(2,3)解析由b∈R，知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為eq\f(2－b,5)，虛部為－eq\f(2b＋4,5)，∴eq\f(2－b,5)＝eq\f(2b＋4,5)，解得b＝－eq\f(2,3)，故選D.答案D6．復(fù)數(shù)z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)為實(shí)數(shù)的充要條件是A．|a|＝|b| B．a(chǎn)＜0且a＝－bC．a(chǎn)＞0且a≠b D．a(chǎn)≤0解析∵z為實(shí)數(shù)，∴|a|＋a＝0，∴|a|＝－a，∴a≤0.答案D二、填空題(每小題5分，共15分)7．復(fù)數(shù)i2＋1的虛部是________．答案08．設(shè)(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a2＋b2的值________．解析∵(a－2i)i＝b－i，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝2))，∴a2＋b2＝5.答案59．若x是實(shí)數(shù)，y是純虛數(shù)，且滿意2x－1＋2i＝y(tǒng)，則x＝________，y＝________．解析∵x是實(shí)數(shù)，y是純虛數(shù)，∴由復(fù)數(shù)相等得2x－1＝0且y＝2i，故x＝eq\f(1,2)，y＝2i.答案eq\f(1,2)2i三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求實(shí)數(shù)m解析∵M(jìn)∪P＝P，∴M?P.即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0，))解之得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝2.綜上可知m＝1或m＝2.11．(12分)已知復(fù)數(shù)z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)．求證：復(fù)數(shù)z不行能是純虛數(shù)．證明(反證法)假設(shè)z是純虛數(shù)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x2－3x－3）＝0，①,log2（x－3）≠0.②))由①得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4.當(dāng)x＝－1時(shí)，log2(x－3)無(wú)意義；當(dāng)x＝4時(shí)，log2(x－3)＝0，這與log2(x－3)≠0沖突．故假設(shè)不成立，所以復(fù)數(shù)z不行能是純虛數(shù)．12．(13分)定義運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，假如(x＋y)＋(x＋3)i＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3x＋2yi,－y1))，求實(shí)數(shù)x、y的值．解析由定義運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3x＋2yi,－y1))＝3x＋2y＋yi，∴(x＋