三臺中學(xué)2023級高二上期期末適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷共4頁；答題卡共4頁．滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時用2B鉛筆將考號準(zhǔn)確填涂在“考號”欄目內(nèi)．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3．考試結(jié)束后將答題卡收回．一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分）1.拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求焦點坐標(biāo)即可.【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故，焦點坐標(biāo)為.故選:C.2.已知點關(guān)于軸的對稱點為，則等于（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點對稱的性質(zhì)可得點坐標(biāo)，進而可得.【詳解】由題意，點關(guān)于軸的對稱點為，故.故選：D.3.我市某所高中每天至少用一個小時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生共有1200人，其中一、二、三年級的人數(shù)比為，要用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為120的樣本，則應(yīng)抽取的一年級學(xué)生的人數(shù)為（）A.52 B.48 C.36 D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比列式計算即得.【詳解】依題意，應(yīng)抽取的一年級學(xué)生的人數(shù)為.故選：C4.若直線l過點，且與雙曲線過第一和第三象限的漸近線互相垂直，則直線l的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線方程寫出其漸近線方程，根據(jù)兩直線垂直求出直線的斜率，由點斜式即得的方程.【詳解】如圖，由可知雙曲線過第一和第三象限的漸近線方程為：，直線l與之垂直，則直線l的斜率為，又直線l過點，故直線l的方程為，即.故選：B.5.安排甲，乙，丙三位志愿者到編號為的三個教室打掃衛(wèi)生，每個教室恰好安排一位志愿者，則甲恰好不安排到號教室的概率為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】列出基本事件個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】甲，乙，丙三位志愿者到編號為的三個教室，每個教室恰好安排一位志愿者，則有（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），共種，其中甲恰好不安排到號教室：（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），（甲，），（乙，），（丙，），共種，所以甲恰好不安排到號教室的概率為.故選：A6.已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求定點，再根據(jù)點到直線距離求解點到直線上動點距離最小值即可.

【詳解】由得，所以直線l過定點，依題意可知的最小值就是點M到直線的距離，由點到直線的距離公式可得．故選:B.7.已知，圓，動圓經(jīng)過點且與圓相切，則動圓圓心的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)動圓的半徑為，分兩圓相內(nèi)切與外切兩種情況討論，結(jié)合雙曲線的定義計算可得.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，設(shè)動圓的半徑為，若動圓與圓相內(nèi)切，則圓在圓內(nèi)，所以，，所以，所以動點是以、為焦點的雙曲線的右支，且、，所以，所以動圓圓心的軌跡方程是，若動圓與圓相外切，所以，，所以，所以動點是以、為焦點的雙曲線的左支，且、，所以，所以動圓圓心的軌跡方程是，綜上可得動圓圓心的軌跡方程是.故選：C8.已知，是橢圓：的左、右焦點，是的下頂點，直線與的另一個交點為，且滿足，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用橢圓的定義及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通過余弦定理得到與的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】由題意得，，令，則∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故選：A.二、多選題：（本題共3小題，每題6分，共18分）9.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有這9個數(shù)字（每張卡片上標(biāo)1個數(shù)），“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過6”記為事件，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”記為事件．則下列說法正確的是（）A.事件與事件是互斥事件 B.事件與事件是對立事件C.事件與事件相互獨立 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率的計算公式，分別算出事件的概率，然后再根據(jù)互斥事件、對立事件、相互獨立事件及概率的運算性質(zhì)即可判斷出答案.【詳解】樣本空間為．因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；因為，所以事件與事件為對立事件，故正確；因為，所以，即事件與事件相互獨立，故正確；因為，所以，故D錯誤．故選：BC.10.（多選）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若是線段的中點，則（）A. B.拋物線的方程為C.直線的方程為 D.【答案】ACD【解析】【分析】由焦點到準(zhǔn)線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯誤；利用斜率坐標(biāo)計算公式幾何中點坐標(biāo)計算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確；，所以從而判斷D正確.【詳解】因為焦點到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點，故B錯誤則，．又是的中點，則，所以，即，所以直線方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．11.如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點O是與的交點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.平面平面【答案】ABD【解析】【分析】A由空間向量加法結(jié)合圖形可判斷選項正誤；B由A結(jié)合空間向量模長公式可判斷選項正誤；C驗證是否為0可判斷選項正誤；D取BC中點為D，連接AD，判斷是否為0，結(jié)合線面垂直的判定定理即可判斷選項正誤.【詳解】對于A，由圖，，故A正確；對于B，由A，，故B正確；對于C，，則與BC不垂直，故C錯誤；對于D，取BC中點為D，連接AD，則，又由圖可得，注意到,則，又，平面，則平面，又平面，則平面平面，故D正確.故選：ABD三、填空題：（本愿共3小題，每題5分，共15分）12.兩平行直線，的距離為__________.【答案】【解析】【分析】由兩直線平行求出實數(shù)的值，再利用平行線間的距離公式可計算出結(jié)果.【詳解】由于直線與平行，則，整理得，解得.所以，直線的方程為，直線的方程為，即，因此，兩直線間的距離為.故答案為：.【點睛】本題考查兩平行直線間距離的計算，同時也考查了利用直線平行求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知，，，，這個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則，，，這個數(shù)的方差為________．【答案】【解析】【分析】由平均數(shù)和方差的計算求解即可；【詳解】由題意可得，即，所以，，，這個數(shù)的平均數(shù)為，所以，即，所以，，，這個數(shù)的方差為，故答案為：.14.已知圓，橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，為橢圓上一點，直線與圓交于點，，若，則________.【答案】6【解析】【分析】利用求出，然后將轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】設(shè)，由于，而，則，所以，．故答案為：6四、解答題：（第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分）15.已知圓C與軸相切，其圓心在軸的正半軸上，且圓被直線截得的弦長為．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點的直線與圓相切，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)圓的方程為，再由圓被直線截得的弦長為求解；（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【小問1詳解】由題意設(shè)圓的方程為：，圓心到直線的距離為，則圓被直線截得的弦長為，解得，所以圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由題意得：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，所以直線方程為，綜上：直線的方程為或.16.在2024年法國巴黎奧運會上，中國乒乓球隊包攬了乒乓球項目全部5枚金牌，國球運動再掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽（五局三勝制），其中每局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽都是相互獨立的.（1）求比賽只需打三局的概率；（2）已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）“比賽只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都獲勝”與“乙前三局都獲勝”的和事件，可按相互獨立事件積事件的概率與互斥事件和事件的概率求解即可；（2）“甲最終獲勝”是互斥事件“第三局甲勝”、“第三局甲輸?shù)谒木旨讋佟迸c“第三局第四局甲均輸?shù)谖寰旨讋佟钡暮褪录?，按相互獨立事件積事件的概率與互斥事件和事件的概率求解即可；【小問1詳解】設(shè)事件=“甲前三局都獲勝”，事件=“乙前三局都獲勝”，則，，比賽只需打三局的概率為：.【小問2詳解】甲需要打三局概率為：，甲需要打四局的概率為：，甲需要打五局的概率為：，則甲最終獲勝的概率為：.17.高二某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)慷冀橛诿氲矫胫g，將測試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組[13，14），第二組[14，15）,…,第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）若成績大于等于14秒且小于16秒規(guī)定為良好，求該班在這次百米測試中成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)；（2）請根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）；（3）設(shè)，表示該班兩個學(xué)生的百米測試成績，已知，∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|﹣|＞2”的概率．【答案】（1）28人；（2）眾數(shù)是，中位數(shù)是15.74；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖能求出成績在[14，16）內(nèi)的人數(shù)，由此得到該班在這次百米測試中成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)；（2）由頻率分布直方圖能得出眾數(shù)落在第二組[15，16）內(nèi)，由此能求出眾數(shù)；數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率是0.22＜0.5，數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率是0.6＞0.5，所以中位數(shù)一定落在第三組中，假設(shè)中位數(shù)是，則0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，由此能求出中位數(shù)；（3）成績在[13，14）的人數(shù)有2人，成績在[17，18）的人數(shù)有3人，事件“|﹣|＞2”等價于其中一個學(xué)生的百米測試成績在，另一個學(xué)生的百米測試成績在內(nèi)，記百米測試成績在[13，14）內(nèi)的兩個人為，百米測試成績在內(nèi)的三個人為，利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖知成績在[14，16）內(nèi)的人數(shù)為：50×0.18+50×0.38＝28人．∴該班在這次百米測試中成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)為28人；（2）由頻率分布直方圖知眾數(shù)落在第三組[15，16）內(nèi)，眾數(shù)是．∵數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率＝1×0.04+1×0.18＝0.22＜0.5，數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率＝1×0.04+1×0.18+1×0.38＝0.6＞0.5，∴中位數(shù)一定落在第三組中，假設(shè)中位數(shù)，則0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，解得＝，∴中位數(shù)是15.74；（3）成績在[13，14）的人數(shù)有50×0.04＝2人，成績在[17，18）的人數(shù)有50×0.06＝3人，因為，表示該班兩個學(xué)生的百米測試成績，且，∈[13，14）∪[17，18]，∴事件“|﹣|＞2”等價于其中一個學(xué)生的百米測試成績在，另一個學(xué)生的百米測試成績在內(nèi)，記百米測試成績在[13，14）內(nèi)的兩個人為，百米測試成績在內(nèi)的三個人為，則從這個學(xué)生中任取兩個，有，，共種情況，其中一個學(xué)生的百米測試成績在，另一個學(xué)生的百米測試成績在內(nèi)的有種情況，所以事件“|﹣|＞2”概率為.18.如圖所示，直角梯形中，，四邊形為矩形，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出線段的長度，若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在；2【解析】【分析】（1）根據(jù)條件先判定垂直關(guān)系再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判定線面關(guān)系即可；（2）利用空間向量結(jié)合（1）的結(jié)論計算面面夾角即可；（3）利用空間向量研究線面夾角計算即可.【小問1詳解】因為四邊形為矩形，平面平面，平面平面，所以，則平面，根據(jù)題意可以以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，易知，，設(shè)平面的法向量，不妨令，則，又，，又平面平面．【小問2詳解】由上可知，設(shè)平面的法向量，，令，則，，平面與平面夾角的余弦值為．【小問3詳解】設(shè)，，又平面的法向量，由直線與平面所成角的余弦值為，，，或．當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上，．19.已知雙曲線的左、右焦點為、，虛軸長為，離心率為，過的左焦點作直線交的左支于A、B兩點.（1）求雙曲線C的方程；（2）若，求的余弦值；（3）若，試問：是否存在直線，使得點在以為直徑的圓上？請說明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則雙曲線方程可知；（2）根據(jù)雙曲線的定義求解出，在中利用余弦定理求解出；（3）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，直接分析即可，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)出的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，得到橫坐標(biāo)的韋達(dá)