函數(shù)的應(yīng)用第三章本章內(nèi)容3.1函數(shù)與方程3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用第三章小結(jié)本章小結(jié)本章小結(jié)知識(shí)要點(diǎn)自我檢測(cè)題復(fù)習(xí)參考題知識(shí)要點(diǎn)返回目錄1.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)

y

f(x)的零點(diǎn)

方程

f(x)

0.若f(a)·f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).

若y

f(x)是區(qū)間[a,b]上的單調(diào)函數(shù),且f(a)·f(b)<0,則y

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).知識(shí)要點(diǎn)2.用二分法求方程近似根(1)求使f(a)·f(b)<0的單調(diào)區(qū)間(a,b).(2)取a,b的中點(diǎn)x1,判斷f(x1)f(a)與f(x1)f(b)的正負(fù).(3)取積為負(fù)的兩數(shù)的區(qū)間,判斷區(qū)間長(zhǎng)度是否小于精確度

.(4)若滿(mǎn)足精確度,則取區(qū)間內(nèi)任一數(shù)為近似根;若不滿(mǎn)足精確度,再重復(fù)上面的步驟.知識(shí)要點(diǎn)3.幾種函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)xyo1234567812345678-1-2-3-4y

2xy

x2y

2xy

log2x①x

很小時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)增速最快,但是負(fù)值.②x很小時(shí),直線(xiàn)快于③x

較小時(shí),冪函數(shù)快冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù).于指數(shù)函數(shù).④x

增大到一定數(shù)值時(shí),指數(shù)函數(shù)最快,對(duì)數(shù)函數(shù)最慢.“直線(xiàn)上升,指數(shù)爆炸,對(duì)數(shù)增長(zhǎng).”知識(shí)要點(diǎn)4.函數(shù)應(yīng)用(1)從圖表中獲取數(shù)據(jù)信息.(2)求已給函數(shù)模型中的常量,確定函數(shù).(3)根據(jù)所獲數(shù)據(jù)的規(guī)律建立函數(shù)模型.(4)畫(huà)散點(diǎn)圖,選擇函數(shù)模型,求出所選模型中的常量,建立函數(shù)式.復(fù)習(xí)參考題復(fù)習(xí)參考題返回目錄復(fù)習(xí)參考題A組1.若函數(shù)f(x)唯一的一個(gè)零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)內(nèi),那么下列命題中正確的是()(A)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)

(B)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)或(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)

(C)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,16)上無(wú)零點(diǎn)

(D)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,16)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)xyo24816C∴[2,16)上定無(wú)零點(diǎn).由題設(shè)知,零點(diǎn)必在區(qū)間(0,2)內(nèi).分析:C選項(xiàng)正確.2.點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),按逆時(shí)針?lè)较蜓刂荛L(zhǎng)為l

的圖形運(yùn)動(dòng)一周,O、P

兩點(diǎn)連線(xiàn)的距離y

與點(diǎn)P

走過(guò)的路程x

的函數(shù)關(guān)系如圖,那么點(diǎn)P

所走的圖形是()lxyoOPOPOPOP(A)(B)(C)(D)分析:由圖象看出在前半周時(shí),y

隨x

的增加而增加;后半周,y

隨x

的增加而減小.由上判斷可能選B或C.而B(niǎo)中,點(diǎn)P在某一邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),y

隨x

是線(xiàn)性增長(zhǎng),圖象應(yīng)是線(xiàn)段.所以應(yīng)選C.C3.列車(chē)從A地出發(fā)直達(dá)500km外的B地,途中要經(jīng)過(guò)離A地200km的C地.假設(shè)列車(chē)勻速前進(jìn),試畫(huà)出列車(chē)與C地的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象.ABC300200解:先寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式:設(shè)列車(chē)的速度為vkm/h,經(jīng)過(guò)th后列車(chē)距C地的距離為ykm.AC段:y

200

vt,0≤vt≤200.CB段:y

vt

200,200≤vt≤500.則tyo200300畫(huà)函數(shù)圖象如下:4.設(shè)計(jì)4個(gè)杯子的形狀,使得在向杯中勻速注水時(shí),杯中水面的高度h

隨時(shí)間t

變化的圖象分別與下列圖象相符合.toh(1)toh(2)toh(3)toh(4)h

隨x

直線(xiàn)型升高.h

增加先慢后快.h

增加先快后慢.h

直線(xiàn)型先慢后快.5.借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī),用二分法求方程2x3

4x2

3x

1

0的最大的根(精確到0.01).解:設(shè)f(x)

2x3

4x2

3x

1,算得幾組函數(shù)值如下:x

2

10123f(x)

25

21

4

510由表知函數(shù)在(

1,0),(0,1),(2,3)內(nèi)各有一根,最大根在(2,3)內(nèi).區(qū)間中點(diǎn)f(中點(diǎn))5.借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī),用二分法求方程2x3

4x2

3x

1

0的最大的根(精確到0.01).解:設(shè)f(x)

2x3

4x2

3x

1,f(2)

5<0,(2,3)2.5

0.25f(3)

10<0,(2.5,3)2.754.09(2.5,2.75)2.6251.74(2.5,2.625)2.56250.70(2.5,2.5625)2.531250.21(2.5,2.53125)2.515625

0.02(2.515625,2.53125)2.52343750.09(2.515625,2.5234375)|2.515625

2.5234375|≈0.0078<0.01,最大根為x≈2.52.6.借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī),用二分法求函數(shù)f(x)

lgx和f(x)

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(精確到0.1).解:交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程的根,由圖象知兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn).xyo1設(shè)f(1)

1,f(2)≈

0.2,f(3)≈0.14,于是知交點(diǎn)在(2,3)內(nèi).6.借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī),用二分法求函數(shù)f(x)

lgx和f(x)

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(精確到0.1).解:設(shè)f(2)≈

0.2<0,f(3)≈0.14>0,區(qū)間中點(diǎn)f(中點(diǎn))(2,3)2.5

0.002(2.5,3)2.750.08(2.5,2.75)2.6250.04(2.5,2.625)2.56250.02(2.5,2.5625)<0.1,∴交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x≈2.5.|2.5

2.5625|≈0.067.如圖,有一塊半徑為2的半圓形鋼板,計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD形狀,它的下底AB是⊙O的直徑,上底CD的端點(diǎn)在圓周上.寫(xiě)出這個(gè)梯形周長(zhǎng)y

和腰長(zhǎng)x間的函數(shù)解析式,并求出它的定義域.ABCDO解:作DE⊥AB于E,周長(zhǎng)y

4

2x

DC得DC

4

2AE.E在Rt△ADB中,DA2

AE·AB,即x2

4AE,P梯形的腰需大于0,而小于如圖的AP,AP

∴定義域?yàn)?.某種放射性元素的原子數(shù)N

隨時(shí)間t

的變化規(guī)律是N

N0e

t,其中N0,

是正的常數(shù).(1)說(shuō)明函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù);(2)把t

表示為原子數(shù)N

的函數(shù);(3)當(dāng)時(shí),求t

的值.解:(1)函數(shù)變?yōu)椤嘀笖?shù)型函數(shù)是(

∞,

∞)上的減函數(shù).8.某種放射性元素的原子數(shù)N

隨時(shí)間t

的變化規(guī)律是N

N0e

t,其中N0,

是正的常數(shù).(1)說(shuō)明函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù);(2)把t

表示為原子數(shù)N

的函數(shù);(3)當(dāng)時(shí),求t

的值.解:(2)N

N0e

t

當(dāng)時(shí),(3)9.某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時(shí)間的市場(chǎng)供應(yīng).若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開(kāi)始x

月后,公司的存貨量大致滿(mǎn)足模型f(x)

3x3

12x

8,那么下次生產(chǎn)應(yīng)在多長(zhǎng)時(shí)間后開(kāi)始?解:若存貨量大于0,則能維持市場(chǎng)供應(yīng);反之,則不能,需進(jìn)行生產(chǎn).∵f(1)

17,f(2)

8,f(3)

37,∴兩個(gè)月后就應(yīng)開(kāi)始生產(chǎn).答:下次生產(chǎn)應(yīng)在兩個(gè)月后開(kāi)始.B組1.經(jīng)濟(jì)學(xué)家在研究供求關(guān)系時(shí),一般用縱軸表示產(chǎn)品價(jià)格(自變量),而用橫軸表示產(chǎn)品數(shù)量(因變量).下列供求曲線(xiàn),哪條表示廠(chǎng)商希望的供應(yīng)曲線(xiàn),哪條表示客戶(hù)希望的需求曲線(xiàn)?為什么?數(shù)量單價(jià)o數(shù)量單價(jià)o(A)(B)答:圖(A)中的曲線(xiàn)是廠(chǎng)商希望的.因?yàn)楫a(chǎn)品數(shù)量隨著單價(jià)的增加而增大,產(chǎn)值就有很大的增加.圖(B)中的曲線(xiàn)是客戶(hù)希望的.因?yàn)楫a(chǎn)品數(shù)量隨著單價(jià)的降低而增加,客戶(hù)可降低購(gòu)買(mǎi)成本.2.如圖,△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形,記△OAB位于直線(xiàn)x

t(t>0)左側(cè)的圖形的面積為f(t),試求函數(shù)f(t)的解析式,并畫(huà)出函數(shù)y

f(t)的圖象.x

txyoABCD解:其面積分為三種情況:當(dāng)0<t≤1時(shí),f(x)

當(dāng)1<t≤2時(shí),f(t)

S△OAB

S△ADC當(dāng)t>2時(shí),f(x)

2.如圖,△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形,記△OAB位于直線(xiàn)x

t(t>0)左側(cè)的圖形的面積為f(t),試求函數(shù)f(t)的解析式,并畫(huà)出函數(shù)y

f(t)的圖象.x

txyoABCD解:其面積分為三種情況:當(dāng)0<t≤1時(shí),f(x)

當(dāng)1<t≤2時(shí),f(t)

S△OAB

S△ADC當(dāng)t>2時(shí),f(x)

xyo得函數(shù)的解析式為:12畫(huà)圖象如圖:自我檢測(cè)題返回目錄檢測(cè)題一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng))1.方程x-1=lgx必有一個(gè)根的區(qū)間是()(A)(0.1,0.2)(B)(0.2,0.3)(C)(0.3,0.4)(D)(0.4,0.5)2.函數(shù)y=與函數(shù)y=lgx的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(精確度0.1)約是()(A)1.3(B)1.4(C)1.5(D)1.63.如果一個(gè)立方體的體積在數(shù)值上等于V,表面面積在數(shù)值上等于S,且V=S+1,那么這個(gè)立方體的一個(gè)面的邊長(zhǎng)(精確度0.01)約為()(A)5.01(B)5.08(C)6.03(D)6.054.實(shí)數(shù)a,b,c是圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f(x)定義域中的三個(gè)數(shù),且滿(mǎn)足a<b<c,f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,

則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,c)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()(A)2(B)奇數(shù)(C)偶數(shù)(D)至少是25.假設(shè)銀行1年定期的年利率為2%.某人為觀看2008年的奧運(yùn)會(huì),從2001年元旦開(kāi)始在銀行存款1

萬(wàn)元,存期1年,第二年元旦再把1萬(wàn)元和前一年的存款本利和一起作為本金再存一年定期存款,

以后每年元旦都這樣存,則到2007年年底,這個(gè)人的銀行存款共有(精確到0.01萬(wàn)元)()(A)7.14萬(wàn)元(B)7.58萬(wàn)元(C)7.56萬(wàn)元(D)7.50萬(wàn)元6.若方程ax-x-a=0有兩個(gè)解,則a的取值范圍是()(A)(1,+∞)(B)(0,1)(C)(0,+∞)(D)

二、填空題7.函數(shù)y=x2與函數(shù)y=xlnx在區(qū)間(0,+∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是

.8.若方程x3-x+1=0在區(qū)間(a,b)(a,b是整數(shù),且b-a=1)上有一根,則a+b=

.9.某商品進(jìn)貨單價(jià)為30元,按40元一個(gè)銷(xiāo)售,能賣(mài)40個(gè);若銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元,銷(xiāo)售量減少一個(gè),要獲得最大利潤(rùn)時(shí),此商品的售價(jià)應(yīng)該為每個(gè)

元.10.已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)(b-a=0.1)上有唯一零點(diǎn),如果用“二分法”求這個(gè)零點(diǎn)(精確度0.0001)的近似值,那么將區(qū)間(a,b)等分的次數(shù)至少是

.三、解答題11.截止到1999年年底,我國(guó)人口約13億,如果經(jīng)過(guò)30年后,我國(guó)人口不超過(guò)18億,那么人口年平均增長(zhǎng)率不應(yīng)該超過(guò)多少(精確到0.0)?12.某地西紅柿從2月1日起開(kāi)始上市.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,得到西紅柿種植成本Q(單位:元/102kg)與上市時(shí)間t(單位:天)的數(shù)據(jù)如下表:(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系.Q=at+b,q=at2+bt+c,Q=alogbt.(2)利用你選取的函數(shù),求西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本.時(shí)間t50110250種植成本Q150108150一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng))1.方程x

1

lgx

必有一個(gè)根的區(qū)間是()(A)(0.1,0.2)(B)(0.2,0.3)(C)(0.3,0.4)(D)(0.4,0.5)思路:f(a)·f(b)<0.解:設(shè)f(x)

x

1

lgx.檢驗(yàn)各選項(xiàng):f(0.1)

0.1

1

lg0.1f(0.5)

0.5

1

lg0.5

0.1>0,

0.5

lg5<0,f(0.3)

0.3

1

lg0.3

0.3

lg3<0,f(0.2)

0.2

1

lg0.2

0.2

lg2<0,f(0.1)·f(0.2)<0.A2.函數(shù)y

與函數(shù)y

lgx

的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(精確度0.1)約是()(A)1.3(B)1.4(C)1.5(D)1.6分析:兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo),即方程D3.如果一個(gè)立方體的體積在數(shù)值上等于V,表面面積在數(shù)值上等于S,且V

S

1,那么這個(gè)立方體的一個(gè)面的邊長(zhǎng)(精確度0.01)約為()(A)5.01(B)5.08(C)6.03(D)6.05解:設(shè)這個(gè)立方體的邊長(zhǎng)為x,則V

x3,S

6x2,于是得x3

6x2

1.設(shè)f(x)

x3

6x2

1,f(5)

53

6

52

1

26<0,f(6)

63

6

62

1

1<0,f(6.05)

6.053

6

6.052

1≈0.83>0,f(6)·f(6.5)<0.C4.實(shí)數(shù)a,b,c

是圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y

f(x)定義域中的三個(gè)數(shù),且滿(mǎn)足a<b<c,f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,則函數(shù)y

f(x)在區(qū)間(a,c)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()(A)2(B)奇數(shù)(C)偶數(shù)(D)至少是2分析:f(a)·f(b)<0,知在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn);f(b)·f(c)<0,知在(b,c)內(nèi)有零點(diǎn).各種情況如圖:xyO(a,f(a))(b,f(b))(c,f(c))xyO(a,f(a))(b,f(b))(c,f(c))xyO(a,f(a))(b,f(b))(c,f(c))D5.假設(shè)銀行1年定期的年利率為2%.某人為觀看2008年的奧運(yùn)會(huì),從2001年元旦開(kāi)始在銀行存款1萬(wàn)元,存期1年,第二年元旦再把1萬(wàn)元和前一年的存款本利和一起作為本金再存一年定期存款,以后每年元旦都這樣存,則到2007年年底,這個(gè)人的銀行存款共有(精確到0.01萬(wàn)元)()(A)7.14萬(wàn)元(B)7.58萬(wàn)元

(C)7.56萬(wàn)元(D)7.50萬(wàn)元分析:2001年底:1

(1

2%)

1.02.2002年底:(1+1.02)

(1

2%)2003年底:(1

1.02+1.022)

(1

2%)……2007年底:1.02

1.022

…

1.026

1.027≈7.58(萬(wàn)元).

1.02

1.022.

1.02

1.022

1.023.B6.若方程ax

x

a

0有兩個(gè)解,則a

的取值范圍是()(A)(1,

∞)(B)(0,1)(C)(0,

∞)(D)

解:原方程變?yōu)閍x

x

a,方程解的個(gè)數(shù)即為兩函數(shù)y

ax

與y

x

a

的交點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)0<a<1時(shí),如圖:xyOy

axy

x

a只有一個(gè)交點(diǎn),排除B,C選項(xiàng).當(dāng)a>1時(shí),如圖:xyOy

axy

x

a有兩交點(diǎn).A二、填空題

7.函數(shù)y

x2

與函數(shù)y

xlnx

在區(qū)間(0,

∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是

.這里冪函數(shù)增長(zhǎng)最快,如圖.y

x2分析:8.若方程x3

x

1

0在區(qū)間(a,b)(a,b

是整數(shù),且b

a

1)上有一根,則a

b

.解:設(shè)

f(x)

x3

x

1,估算f(整數(shù))接近于0的正負(fù)值,f(0)

1>0,f(

1)

1>0,f(

2)

5<0,f(

1)·f(

2)<0,∴b

1,a

2.

39.某商品進(jìn)貨單價(jià)為30元,按40元一個(gè)銷(xiāo)售,能賣(mài)40個(gè);若銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元,銷(xiāo)售量減少一個(gè),要獲得最大利潤(rùn)時(shí),此商品的售價(jià)應(yīng)該為每個(gè)

元.解:設(shè)漲價(jià)x

元,(40

x)(40

x)

30(40

x)利潤(rùn)y

x2

30x

400,y最大

625(元).5510.已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y

f(x)在區(qū)間(a,b)(b

a

0.1)上有唯一零點(diǎn),如果用“二分法”求這個(gè)零點(diǎn)(精確度0.0001)的近似值,那么將區(qū)間(a,b)等分的次數(shù)至少是

.分析:等分1次,等分2次,……等分x次,兩邊取常用對(duì)數(shù)得≈9.97,∴至少要等分10次.10三、解答題

11.截止到1999年年底,我國(guó)人口約13億,如果經(jīng)過(guò)30年后,我國(guó)人口不超過(guò)18億,那么人口年平均增長(zhǎng)率不應(yīng)該超過(guò)多少(精確到0.01)?解:設(shè)人口平均增長(zhǎng)率為x,則13(1

x)30≤18,≈0.005,1

x≤100.005≈1.01,x≤0.01.答:人口年平均增長(zhǎng)率不應(yīng)該超過(guò)1%.12.某地西紅柿從2月1日起開(kāi)始上市.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,得到西紅柿種植成本Q(單位:元/102kg)與上市時(shí)間t(單位:天)的數(shù)據(jù)如下表:(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t

的變化關(guān)系.

Q

at

b