②證明四個點在兩條相交線上③證明三個點共線④三個不共線的點確定一個平面，證明第四個點在這個平面內(nèi)【例題4-1】（2023春·全國·高一專題練習）在正方體中，E、F、G、H分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中E、F、G、H四點共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對于B，證明EH//【詳解】對于選項A，如下圖，點E、F、H、M確定一個平面，該平面與底面交于FM，而點G不在平面EHMF上，故E、F、G、H四點不共面；對于選項B，連結(jié)底面對角線AC，由中位線定理得FG//AC，又EH//AC，則EH//FG，故E、對于選項C，顯然E、F、H所確定的平面為正方體的底面，而點G不在該平面內(nèi)，故E、F、G、H四點不共面；對于選項D，如圖，取部分棱的中點，順次連接，得一個正六邊形，即點E、G、H確定的平面，該平面與正方體正面的交線為PQ，而點F不在直線PQ上，故E、F、G、H四點不共面．故選：B【變式4-1】1．（2022·高一課時練習）已知P，Q，R，S是相應長方體或空間四邊形的邊或?qū)蔷€的中點，則這四點必定共面的是______．（寫序號）【答案】①③④【分析】利用平面的基本性質(zhì)及推論，逐一檢驗即可．【詳解】①中，∵PR//QS，∴P，Q，②中，PR和QS是異面直線，故四點不共面；③中，∵PS//QR，∴P，Q，④中，∵PQ//RS//BC，∴P，故答案為：①③④變式4-1】2．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1A．A，C，O1，D1四點共面 B．D，E，G，C．A，E，F(xiàn)，D1四點共面 D．G，E，O1，【答案】B【分析】根據(jù)題意，作圖，結(jié)合正方體的性質(zhì)，證明線線平行，可得答案.【詳解】因為正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點，O1因為E，G，F(xiàn)在平面BCC1B1上，D不在平面BCC1B1上，所以由已知可知EF∥AD1，所以A，E，連接GO2并延長，交A1D1于點H，則H為A1D1的中點，連接HO1，則故選：B.【點睛】變式4-1】3．（2022春·上海浦東新·高一上海師大附中?？计谀┤鐖D，在下列四個正方體中，A，B，C，D分別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，A，B，C，D四點共面的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷點是否共面，并應用平面的性質(zhì)畫出截面即可判斷.【詳解】由正方體性質(zhì)，選項A，B，C中，A，B，C，D四點顯然不共面．對于D選項，如下圖取E，F(xiàn)為正方體所在棱的中點，依次連接ADCEBF，易知ADCEBF為平面正六邊形，所以A，B，C，D四點共面．故選：D【例題4-2】（2022·高一課時練習）已知A、B、C、D、E是空間五個點，且線段CE、AC和BD兩兩相交，求證：A、B、C、D、E這五個點在同一平面上．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)基本事實及推論證明即可；【詳解】【證明】設(shè)CE∩BD=∵CA∩CE=C，∴CA，∵M∈CE，∴M∈∴直線MN即直線BD?α，∴B∈∴A，B，C，D，E這五個點在同一平面上．【變式4-2】1.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H，分別為AB，AC，BD，CD的中點.求證E，F(xiàn)，G，H，四點共面.【證明】∶∵E，F(xiàn)，G，H分別為AB，AC，BD，CD的中點，∴EF//BC，GH//BC，由公理4可得EF//GH，六E，F(xiàn)，G，H四點共面.【變式4-2】2．（2022·高一課時練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)A【答案】證明見解析【分析】利用平面基本性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】【證明】∵A1C∩平面AB∵A1C?平面A1BC即點E在平面A1【變式4-2】3.如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：E、C、D1、F四點共面。【證明】如圖所示，連接CD1，EF，A1B，因為E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，所以EF//A1B且EF=12A1B，又因為A1D1BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B//CD1，所以EF//CD1，所以EF與CD1確定一個平面α，所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面.【變式4-2】4．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在三棱錐A?BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延長線交于點M，RQ，DB的延長線交于點N，RP，【答案】三點共線，理由見解析【分析】由點共面、面共線可得答案.【詳解】M，N，K三點共線．理由如下：因為M、N即在平面BCD內(nèi)又在平面PRQ內(nèi)，所以M、N在平面BCD與平面PRQ的交線上，所以MN是平面N、K即在平面BCD內(nèi)又在平面NKR內(nèi)，所以N、K在平面BCD與平面NKR的交線上，所以NK是平面又平面NKR與平面PRQ是同一平面，所以MN與NK是同一條直線，即M，N，K三點共線．【變式4-2】5．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是梯形，且BC//AD，BE//FA且BC=12(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C,【答案】(1)證明見解析(2)C,【分析】（1）結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得GH//BC且（2）由BE//FG，BE=FG可證得四邊形BEFG為平行四邊形，結(jié)合（1）的結(jié)論可得CH//EF，【詳解】（1）∵G,H分別為FA,FD又BC//AD，BC=12∴四邊形BCHG是平行四邊形.（2）∵BE//FA，BE=12FA，G為FA中點，∴BE//FG，由（1）知：CH//BG，CH=BG，∴四邊形CEFH為平行四邊形，∴CE//FH，即CE【變式4-2】6．（2022·全國·高一專題練習）如圖，多面體ABCGDEF中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC//平面DEFG,平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC【答案】B，C，F(xiàn)，G四點共面，證明見解析【分析】要判斷四點共面，只要判斷三點共面，再證明第四個點在平面上，或者是證明四點在兩條平行的直線上，選擇后者，進行證明．【詳解】【證明】取DG中點P，連接PA，PF，如圖示：在梯形EFGD中，F(xiàn)P∥DE且FP＝DE．又AB∥DE且AB＝DE，∴AB∥PF且AB＝PF∴四邊形ABFP為平行四邊形，∴AP∥BF在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，∴B，C，F(xiàn)，G四點共面．◆類型2多線共面【方法總結(jié)】基本思路：兩條直線確定一個平面，然后證明其它直線在這個平面內(nèi)【例題4-3】（2023·全國·高一專題練習）已知：l?α，D∈α，A∈l，B∈l，【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平面基本性質(zhì)，如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi),可證明結(jié)論.【詳解】∵A同理BD?所以直線AD,BD,【變式4-3】1．（2022·高一課時練習）如圖，已知A，B，C，D是空間四點，且點A，B，C在同一直線l上，點D不在直線l上．求證：直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．【答案】證明過程見解析.【分析】運用平面基本事實進行證明即可.【詳解】因為點A，B，C在同一直線l上，點D不在直線l上．所以點A，B，D確定唯一的一個平面，設(shè)為α，所以l?α，因為C∈l，所以所以AD?【變式4-3】2．（2022·高一課時練習）已知a，b，c是空間三條直線，且a∥【答案】證明見解析【分析】根據(jù)a//b，可確定一個平面α，再證明【詳解】∵a//b，∴設(shè)a∩∴A∈∴A∈∴AB?α∴∴直線a，【變式4-3】3．（2023·高一課時練習）在正方體ABCD?(1)AA1與(2)點B、C1(3)畫出平面ACC1A1與平面BC【答案】(1)是，理由見解析(2)是，理由見解析(3)答案見解析【分析】（1）由兩平行直線可確定一平面，可得答案；（2）由不共線三點可確定一平面，可得答案；（3）如圖，找到兩平面的公共點，公共點連線為平面交線.【詳解】（1）是，平行直線確定一平面；（2）是，不在同一直線上三點確定一平面（3）如圖，設(shè)BD∩AC=O，又C1∈平面BC1D，O∈平面ACC1AC1O?平面ACC1A1如圖，設(shè)CD因O1∈平面ACD1，O1∈平面BDC1，則O1O2?平面ACD1，O1O2題型5三線共點【方法總結(jié)】基本思路：兩條直線交于一點，然后證明交點在其它直線上【例題5】如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：CE、D1F、DA三線共點．【證明】如圖，連接EF，CD1,A1B.因為E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，所以EF//BA1，EF=12A1B,A1BD1C，所以EF//CD1，且EF=12CD1,因為EF//CD1，EF<CD1，所以CE與D1設(shè)交點為P，則由P∈CE，CE?ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1，又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA，所以P∈直線DA.所以CE，D1F，DA三線共點.、【變式5-1】1.（2023春·全國·高一專題練習）如圖，已知平面α,β，且α∩β=l，設(shè)在梯形ABCD中，【答案】證明見解析【分析】設(shè)AB交CD于點M，再根據(jù)若兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，即可得證.【詳解】如圖，梯形ABCD中，因為AD∕∕所以AB與CD必交于一點，設(shè)AB交CD于點M，則M∈又因為AB?所以M∈又因為α∩β=所以AB,【變式5-1】2.如圖，四面體A-BCD中，E，G分別為BC，AB的中點，【證明】EF，BD交于一點.【證明】連接GH，EF，∵E，G分別為BC，AB的中點，∴EG//AC,EG=12AC,∵F∈CD,H∈DFFC=DHHA=23,因為O∈lEF?平面BCD，O∈lGH?平面ABD，所以O(shè)∈平面BCD∩平面ABD，∵平面BCD∩平面ABD=lBD，由公理2可知EF，GH，BD交于一點.【變式5-1】3.三棱錐A-BCD被一個平面所截，截面經(jīng)過AB，AD的中點E，F(xiàn)，與底面的邊CB，CD交于點G，H，且點G到BD的距離是C到BD的距離的，【證明】HF，GE交于一點Q，且Q，A，C共線.【證明】由平行公理4可知EF//GH.又G點到BD的距離是C點到BD的距離14-,E，F(xiàn)是AB，AD的中點，所以GH=34BD,EF=【變式5-1】4．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行關(guān)系可判斷四邊形BCQP為梯形，進而可證梯形的腰交于一點，根據(jù)兩平面相交，可判斷交點在交線上，即可說明三線共點.【詳解】如圖，連接PQ．由B1P=2PA1，又BC∥∴PQ∥BC，且∴四邊形BCQP為梯形，∴直線BP，CQ相交．設(shè)交點為R，則R∈BP，又BP?平面AA1B1∴R∈平面AA1B1∴R在平面AA1B1B∴直線AA題型6三點共線【方法總結(jié)】基本思路：尋找一條特殊線，證明所有點在這條直線上或兩點確定一條直線，然后證明其它點在這條直線上【例題6-1】（2023春·全國·高一專題練習）如圖所示．ABCD?A1B1C1①A、M、O三點共線；

②A、M、O、A1③A、M、C、O共面；

④B、B1其中正確的序號為_________．【答案】①③【分析】由公理1判斷①，由公理2判斷②和③，用反證法判斷④【詳解】連接A1C1，因為O是B平面AB1D1與平面AA1C對于①，M∈CA1,CA1?平面AA1對于②③，由①知A，M，O三點共線，所以A，M，O，A1對于④，連接BD，則B,B1,O都在平面BB1D1D上，若M∈平面BB1故答案為：①③【例題6-2】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線．【解析】在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α，平面BDEF為β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.則Q是α與β的公共點，同理P是α與β的公共點，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ.故P，Q，R三點共線．【變式6-2】1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點Q，求證：B，Q，D1三點共線．【證明】如圖，連接A1B，CD1，顯然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1?平面A1BCD1.同理BD1?平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C?平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1與ABC1D1的交線上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三點共線．【變式6-2】2．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1(1)證明：E、F、D、B四點共面；(2)對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC,(3)證明：BE、DF、CC【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）證明EF//BD，即可說明E、F、D、（2）先證明點O∈面AA1C1C和O∈面BDC1，即點O在面AA1C1C與面（3）延長DF,BE交于G,由于面DCG∩面BCG=CC1【詳解】（1）連接EF∵在長方體ABCD∵E、F分別是B1C1和∴E、F、D、B四點共面（2）∵∴A,O∈A∴O∈∵對角線A1C與平面BD∴O∈O在面AA1C1∴M∈面AA1∴面AA1C1C∴O∈即點C1（3）延長DF,BE∵DG?∴G∈∵BE?∴G∈∵面DCG∩面BCG=∴BE、DF、CC【變式6-2】3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG:(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，可得EF∥BD以及GH∥（2）因為AC是平面ABC和平面ACD的交線，只需證明P點是平面ABC和平面ACD的交點，即可證得P∈【詳解】（1）因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥在△BCD中，因為BGGC=DHHC所以EF∥所以E，F(xiàn)，G，H四點共面.（2）因為EG∩FH=由已知可得，E∈AB，G∈BC，所以EG?平面ABC，所以P同理P∈FH，F(xiàn)H?所以P為平面ABC與平面ADC的一個公共點.又平面ABC∩平面ADC=AC，所以所以P，A，C三點共線.【變式6-2】4．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC(1)C1(2)E、C、D1、F(3)CE、D1F、【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）可證C1、O、M三點在平面ACC1（2）可證EF//（3）設(shè)CE與D1F交于一點P，可得P在【詳解】（1）∵A1C∩平面BDC1=O又∵A1C?平面ACC1∵AC、BD交于點M，∴M∈AC，又AC?平面ACC1A1∴M∈平面ACC1A1又C1∈平面ACC1A∴C1、O、M三點在平面ACC1∴C1、O、M（2）連接EF，∵E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點，∴又∵BC?//A1D1∴BA1//（3）∵平面ABCD∩平面AD設(shè)CE與D1F交于一點P，則：P∈CE，∴P∈平面ABCD，同理，P∈平面∴P∈平面ABCD∩平面∴直線CE、D1F、題型7截面問題【方法總結(jié)】作圖原則（1）兩點確定一條直線.（2）只有同一個平面的兩條直線的才會相交，作出的交點才是實際的交點.（3）如果已知兩個不重合平面有一個共公點，則該兩個平面的交線必過此公共點.【例題7】（2023·全國·高一專題練習）用一個平面去截一個正方體，截面邊數(shù)最多有（

）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【答案】B【分析】根據(jù)平面及其基本性質(zhì)，結(jié)合圖形進行分析判斷即可得到答案．【詳解】正方體有六個面，用一個平面去截一個正方體，截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，如圖所示，因此截面邊數(shù)最多有6條．故選：B．【變式7-1】1．（2022·高一課時練習）一個正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，作正方體的對角面，所得的截面圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對角線組成的面稱為對角面，易得正方體的對角面是一個矩形，而球截面在矩形正中間，與矩形的兩條邊相切，據(jù)此即可判斷【詳解】由組合體的結(jié)構(gòu)特征可知球與正方體的各面相切，而與各棱相離，所以截面圖形中的圓與上下底面的對角線相切，與兩側(cè)棱相離，只有B符合故選：B【變式7-1】2．（2023·全國·高一專題練習）如下圖所示，在正方體ABCD?A1B1A．三角形

B．矩形 C．正方形 D．菱形【答案】D【分析】根據(jù)題意作出截面圖形，然后利用正方體的性質(zhì)求解即可.【詳解】分別取BB1,CC如圖D1EBF即為過點由題意可知：A1E//GB且所以A1G//EB，又因為GF//B1所以A1D1//GF且A所以D1F//EB，同理又因為EB=BF，所以平行四邊形故選：D.【變式7-1】3．（2022·高一單元測試）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4、BC=3，M、N分別為棱AB、BB1A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【答案】C【分析】找到截面與長方體的平面的交線，判斷為五邊形.【詳解】如圖所示，延長MN、A1B1，使MN∩A∵AB=4、BC=3、∴A1C1∵M、N分別為棱AB、BB∴BM=∴A1∵A1TC1D1=∴T、P、D1三點共線，∴D延長NM、A1A，使NM∩A1∴Q在截面上，連接QM、KM，∵AQ//A∴AK=12AA1，∴AK//又M為AB中點，A、B、M三點共線，∴M、N、K三點共線，∴截面為五邊形D1故選：C．【變式7-1】4．（多選）（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1A．l過點BB．l不一定過點BC．DP的延長線與D1D．DQ的延長線與D1【答案】BC【分析】連接PB1、DB1，在正方體中可得四邊形DPB1Q是平行四邊形，由點共面得點共線可判斷AB；DP的延長線與D由點共面得點共線可判斷CD.【詳解】連接PB1、QB1，在正方體連接CN，則DP//所以四邊形DPB1Q是平行四邊形，B1∈平面DP所以B1如圖DP的延長線與D1A1的延長線的交點F，DQ的延長線與D因為DF?平面DPB1Q，所以因為D1A1?平面A1B1因為DQ?平面DPB1Q，所以因為D1C1?平面A1B1故C錯誤，D正確.故選：BC.【變式7-1】5．（多選）（2023·全國·高一專題練習）如圖，在所有棱長均為2的正三棱柱ABC?A1B1C1中，點M是棱BC的中點，CNA．當λ=12時，α截正三棱柱B．當λ=1時，α截正三棱柱ABC?C．α截正三棱柱ABC?A1BD．若λ∈(12,1)，則【答案】ABD【分析】利用平面的基本性質(zhì)畫出不同λ對應的截面圖形，結(jié)合已知求它們的面積判斷各選項正誤.【詳解】A：λ=12時，過B作與面AMN平行的平面α，如下圖面BD所以BD=DC1=5,B：λ=1時，過B作與面AMN平行的平面α，如下圖面BEA1所以BA1=22,EAC：由B知：λ=1時，平面α與ABCD：若G為CC1中點，當N在GC利用平面的基本性質(zhì)畫出平面α與ABC?結(jié)合上述分析：G→故選：ABD題型8計算相關(guān)問題【例題8】（2022·全國·高一假期作業(yè)）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1A．92 B．94 C．95【答案】B【分析】首先作出截面，再求截面面積.【詳解】如圖，取AA1的中點N，連接MN，NB，四邊形BC1MN即過C1，B，M三點的截面，此截面為等腰梯形，上底NM=1所以梯形的面積S=故選：B【變式8-1】1．（2021·高一課時練習）在四棱錐P-ABCD中，AD//BC，AD=2A．1 B．32 C．2 【答案】C【解析】首先通過延長直線DC,AB，交于點G，平面BAE變?yōu)镚AE，連結(jié)PG，EG交于點F，再根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，求【詳解】延長DC,AB，交于點G，連結(jié)PG，EG交PC于點∵AD//BC，且AD=2BC又∵點E是PD的中點，∴PC和GE是△∴點F是重心，得PFFC故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是找到PC與平面BAE的交點，即將平面BAE轉(zhuǎn)化為平面GAE是關(guān)鍵.【變式8-1】2．（2020春·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？茧A段練習）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AA．32 B．C．1 D．2【答案】B【分析】分別取BC,AA1,CC【詳解】分別取BC,AA1容易得出FG//EH,且FG即經(jīng)過E，F(xiàn)，G三點的截面圖形為正六邊形EHNGFM連接MN,EG因為MN=AC則截面圖形的面積為(故選：B【點睛】本題主要考查了由平面的基本性質(zhì)作截面圖形以及相關(guān)計算，屬于中檔題.【變式8-1】3．（多選）（2023春·全國·高一專題練習）已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，2AA1=3AB=12，點M是線段BA．10+82 B．10+72 C．9+82【答案】ACD【分析】先證明截面四邊形A1【