第二章平面直角坐標系與函數(shù)復習講義

直角坐標系的引入是數(shù)學實現(xiàn)數(shù)與形的結合進行“量化”的基礎.中考中的選擇、填空的壓軸題對它的考查，往

往通過基于平面直角坐標系的圖形變換規(guī)律、函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象信息、特定函數(shù)的最值問題體現(xiàn)，一

般由“閱讀”與“問題”兩部分構成.它往往在“閱讀”部分提供一個信息，內(nèi)容多為再現(xiàn)一種圖形變換（或操作），或一個

函數(shù)圖象或過程，或給出一種新穎的解題方法等.解題時需先深入理解其內(nèi)容、過程、方法和思想，把握其本質(zhì)或

生成規(guī)律，再解答試題中提出的問題.解答這類問題的關鍵是明確題意，找出新圖形變換或圖象中變量的變化規(guī)

律，再確定相關特征量來解決問題.

函數(shù)圖象中的信息讀取題

解題策略閱讀函數(shù)圖象信息

基于函數(shù)圖象提供問題情境的一類試題是中考選擇或填空題中常見的壓軸題，此類問題往往需要結合實際情

境、挖掘、探求關鍵圖像信息.解題關鍵是理解函數(shù)圖象中的變化關系.

解決這類問題一般可以采用以下策略：

1.弄清橫坐標、縱坐標所表示的含義，包括實際意義、單位等，此類題目橫坐標大多數(shù)與時間有關；

2.研究關鍵點的意義，關鍵點包括始終點、轉(zhuǎn)折點、與坐標軸的交點；

3.圖象的變化趨勢，是上升還是下降，是直線還是曲線；

4.若在一個坐標系中有多個函數(shù)圖象，交點所表示的含義是什么；

5.對于較復雜的問題必要時要求出每段函數(shù)圖象的關系式進行求解.

精選例題

例l.A,B兩地相距的路程為240千米，甲、乙兩車沿同一線路從A地出發(fā)到B地，分別以一定的速度勻速

行駛.甲車先出發(fā)40分鐘后，乙車才出發(fā).途中乙車發(fā)生故障，修車耗時20分鐘，隨后，乙車車速比發(fā)生故障前減

少了10千米/小時（仍保持勻速前行），甲、乙兩車同時到達B地，甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車行駛時間x

（小時）之間的關系如圖所示，求乙車修好時，甲車距B地還有千米.

解析

觀察函數(shù)圖象，橫軸表示時間，單位是小時，縱軸表示的是甲、乙兩車相距的路程y（千米），而不是甲、乙車

距離出發(fā)地或終點的距離；與x的交點說明兩車相遇.整個過程甲車始終正常行駛；A點表示甲車開始出發(fā)，15點

乙車開始出發(fā)；

線段①上升，兩車距離越來越大，說明甲車行駛而乙車尚未出發(fā)，行駛時間是40分鐘，（注意時間單位），可

求出甲車的速度，進而可求出全程行駛時間；

線段②下降說明兩者的距離越來越短，乙車的速度大于甲車的速度，根據(jù)（|,30）、（2,10）可求出甲乙車的速度

差，進而求出乙車的速度，C點表示乙車追上甲車；

線段③說明乙車超過甲車，兩者距離越來越大，到達點D發(fā)生轉(zhuǎn)折，說明D點乙車發(fā)生故障，開始修車；

線段④⑤只有甲車行駛，點E說明甲車到達乙車發(fā)生故障的地點并開始超過乙車行駛；到達F點后發(fā)生轉(zhuǎn)

折，說明乙車修好開始行駛，此時說明D、F間的時間間隔為20分鐘，之后兩者之間的距離越來越近；

線段⑥比線段②下降慢，甲車速度沒變，乙車速度降低，最后共同到達終點G.

解由題意可得，

甲車的速度為：30+要=45千米/時，甲車從A地至!]B地用的時間為：240+45=5；（小時），

乙車剛開始的速度為：[45x2-10]+（2—|）=60千米/時,

乙車發(fā)生故障之后的速度為：60-10=50千米/時.

設乙車發(fā)生故障時，乙車已經(jīng)行駛了a小時，

60a+50x（5i-----a）=240,

\36060）

解得，a=1.

，乙車修好時，甲車行駛的時間為：弓+（+曰=3小時.

OUJOUD

；?乙車修好時，甲車距B地還有：45x（5??）=90千米，故答案為90.

精選練習

1.快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)并且在同一條公路上勻速行駛.圖中折線表示

快、慢兩車之間的路程y（km）與它們的行駛時間x（h）之間的函數(shù)關系小欣同學結合圖像得出如下結論：

①快車途中停留了0.5h；②快車速度比慢車速度多20km/h；③圖中a=340；④快車先到達目的地.其中正確的

是（）

2.如圖，在四邊形ABCD中MD||BC,ND=90。,AB=4,BC=6,ABAD=30。,動點P沿路徑A—B—C—D從點A

出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點D運動，過點P作P”14D,垂足為點H,設點P運動的時間為x（單位：

s）,A4P”的面積為y,貝LIy關于x的函數(shù)圖像大致是（）

3.新龜兔賽跑的故事：龜兔從同一地點同時出發(fā)后，兔子很快把烏龜遠遠甩在后頭.驕傲自滿的兔子覺得自己

遙遙領先，就躺在路邊呼呼大睡起來當它一覺醒來，發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)超過它，于是奮力直追，最后同時到達終點.

用，S]、S2分別表示烏龜和兔子賽跑的路程，t為賽跑時間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（）

ABCD

精選例題

例2.在一條筆直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B兩地之間，甲車從A地沿這條公7km

路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地，在甲車出發(fā)至甲車到達C地的過程隹;氐乙

中，甲、乙兩車各自與C地的距離y(km)與甲車行駛時間t(h)之間的函數(shù)關系如圖所示.下列結\

論：①甲車出發(fā)2h時，兩車相遇;②乙車出發(fā)1.5h時兩車相距170km;③乙車出發(fā)21時，兩車[]之心

相遇；④甲車到達C地時，兩車相距40km.其中正確的是_(填寫所有正確結論的序號).

▲《解析

結合題目觀察函數(shù)圖象，橫軸表示時間，縱軸表示甲、乙兩車各自與C地的距離.所以甲乙圖象的第一個交點

不是表示甲乙車相遇，而是此時兩車到乙地距離相等；

A.分析甲車：初始時240km說明AC距離240km,甲車行駛4小時，可求出甲車速度為60km/h,2小時后可

求得甲車到C地還有120km;

B.分析乙車:開始1小時保持200km不變.說明B點距離C地200km,乙車尚未出發(fā),3.5小時到達C地，行駛了

2.5小時，可求出乙車的速度為80km/h；3.5小時后乙車在CA段行駛.

C.3.5小時后的交點表示甲乙車再次距離C地的距離相等，同時也表示兩車相遇.

①觀察函數(shù)圖象可知，當t=2時，兩函數(shù)圖象相交，結合交點代表的意義，即可得出結論①錯誤；②根據(jù)速度

=路程一時間分別求出甲、乙兩車的速度，再根據(jù)時間=路程一速度和可求出乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km，結

論②正確；③根據(jù)時間=路程+速度和可求出乙車出發(fā)2,八時，兩車相遇，結論③正確；④結合函數(shù)圖象可知當甲

到C地時，乙車離開C地0.5h,根據(jù)路程=速度x時間,即可得出結論④正確.綜上即可得出結論.

解①觀察函數(shù)圖象可知，當t=2時，兩函數(shù)圖象相交.

地位于A、B兩地之間，，交點代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，結論①錯誤；

②甲車的速度為240+4=60(/nn/m,,乙車的速度為200-(3.5-1)=80(km/h).,/(240+200-60-170)^(60+80)=1.5

(h),.?.乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km,結論②正確；

circled.(240+200-60)+(60+80)=22)一.?.乙車出發(fā)21時，兩車相遇,結論③正確；

@v80X(4-3.5)=40(km),...甲車至I」達C地時，兩車相距40km,結論④正確.

故答案為②③④.

精選練習

4.甲乙兩車從A城出發(fā)前往B城，在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時刻t的對應關系如圖所示，則

下列結論錯誤的是().

A.甲車的平均速度為60km/hB.乙車的平均速度為100km/h

C.乙車比甲車先到B城D.乙車比甲車先出發(fā)1h

件

4。。

J分

第4題圖第5題圖

5.某快遞公司每天上午9:：00為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來繳收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件,

該時段內(nèi)甲、乙兩倉庫的快件數(shù)量y(件)與時間X(分)之間的函數(shù)圖象如圖所示，那么當兩倉庫快遞件數(shù)相同時,

此刻的時間為()

A.9:15B.9:20C.9:25D.9:30

函數(shù)圖象的性質(zhì)題

中考中考查函數(shù)的系數(shù)與函數(shù)圖象的關系的題型一般有兩種考查方式：

1.單獨考查函數(shù)系數(shù)對函數(shù)圖象的影響；

2.考查含有相同字母系數(shù)的兩個不同函數(shù)的圖象是否正確.

而這兩種考查方式都是建立在對函數(shù)解析式中字母系數(shù)對函數(shù)圖象的影響的充分理解和掌握的基礎上的，所

以解答的關鍵還是在于對函數(shù)知識的掌握程度，如二次函數(shù)的系數(shù)符號與其圖象的密切關系.同時，要善于用數(shù)形

結合的思想來思考問題.

解題策略一含有相同字母系數(shù)的兩個函數(shù)圖象的判斷

解答該類型題目時一般有兩種策略：分類討論和逐項排除法.

1.分類討論：即把函數(shù)圖象中的相同的字母系數(shù)分為大于0、小于。兩種情況，在同一個平面直角坐標系中分

別畫出兩種情況下函數(shù)的大致圖象，然后與選項逐一驗證即可；

2.逐項排除法：即對四個選項逐一驗證進行排除，其基本方法是，先假定某一選項中“較簡單”的函數(shù)圖象是正

確的，然后由此推斷該函數(shù)的字母系數(shù)的符號（正還是負）,再利用該字母系數(shù)的范圍驗證另外一個函數(shù)的圖象是否

符合，如果符合說明該選項的圖象都正確，如果不符合則該選項的函數(shù)圖象是錯誤的.

精選例題

例已知反比例函數(shù)y=受的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=ax2-2x和一次函數(shù)y=bx+a在同一平面直角坐

局解析

解析一：分類討論

由反比例函數(shù)圖象可知ab>0,故分a>0,b>0或者a<0,b<0兩種情況.

由二次函數(shù)y=a/_2x可知拋物線的圖象過原點，排除A選項；

如果a>0,b>0,則拋物線ax2-2x開口向上，對稱軸在y軸的右側，一次函數(shù)圖象過一、二、三象限，排除

B、D,選項C正確；

如果a<0,b<0,則拋物線ax2-2比開口向下，對稱軸在y軸的左側，一次函數(shù)圖象過二、三四象限，B、

C、D選項都錯誤；

所以只有a>0,b>0,選項C正確，故選C.

解析二：逐項排除

A項，拋物線圖象不過原點，所以選項A錯誤；

B項面一次函數(shù)圖象過一、二、四象限故a>0,b<0,ab<0,故選項B錯誤；

C項，假定一次函數(shù)圖象正確，由一次函數(shù)圖象過一、二、三象限,故a>0,b>0,此時拋物線y=ax2-2x

的圖象開口向上，對稱軸在y軸的右側，故拋物線的圖象正確，且滿足ab>0,故C正確；

D項，假定一次函數(shù)圖象正確，由一次函數(shù)圖象過二、三、四象限，故a<0,b<0,滿足ab>0,此時拋物線y

=a%2-2x的圖象開口向下，對稱軸在y軸的左側，故拋物線的圖象錯誤，雖然滿足ab>0,但選項D依然錯誤.

精選練習

1.已知函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=ax+b與y=（的圖象為（）.

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù).y=ax+。和反比例函數(shù)y=（在同一平面直角坐

解題策略二二次函數(shù)字母系數(shù)與函數(shù)圖象的關系

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a*0）的系數(shù)符號與拋物線y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象有著密切的關系才艮據(jù)

拋物線的形狀可以判斷a,b,c的符號，反之a(chǎn),b,c的符號也可以確定拋物線y=a/+法+c（a*0）的大致形

狀與位置.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）的系數(shù)對函數(shù)圖象的影響一般有以下幾個方面：

La的正負決定拋物線的開口方向，間的大小決定拋物線開口的大小，|a|越大開口越?。?/p>

2.6=0,,即二次函數(shù)中不包含一次項，則對稱軸為y軸；

3.c為拋物線與y軸的交點的縱坐標，c>0,,交點在y軸的正半軸上，c<0,,交點在y軸的負半軸上；

4.a,b決定對稱軸的位置，a,b同號，對稱軸在y軸的左側，a,b異號，對稱軸在y軸的右側，對于結合圖

形判斷ma+nb=0（m,n是常數(shù)，式子中不包含c）是否正確，則將原式化簡成-*=-事然后與函數(shù)圖象中對稱軸

2a2n

進行比較，如果一致說明ma+nb=0正確，否則錯誤；

5.千萬不要忘記拋物線的對稱性和頂點坐標；

6.判斷am2+bm+c>。（或<0）,可在函數(shù)圖象上畫出.x=znm（垂直于x軸）的直線,看該直線與拋物線的交點

在x軸的上方或下方即可；對于am+bn+c>0（或<0）類型的式子，則將題目中的已知坐標代入進行化簡，然后用同一

個字母表示另外兩個字母，最后進行判斷；

7./—4ac的正負性是通過觀察圖象與x軸的交點來判斷的；

8.判斷ax2+bx+c=nr是否有根，可在坐標系中畫出.y=m,,看其與拋物線有幾個交點即可；

9.確定使得ax2+bx+c<0（>0）的x的范圍，常常先從圖象入手，觀察其在對應方程兩根之間還是兩根之

外.

精選例題

例1.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a*0）的圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2,0）和（3,0）之

間.對稱軸是x=l.對于下列說法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+bNm（am+b）（m為實數(shù)）;⑤當-l<x<3時,y>0.其中正

確的是（）.

A.①②④B.①②⑤

C.②③④D.③④⑤

本題給出了部分函數(shù)圖象、圖象的對稱軸及圖象與X軸的一個交點坐標范圍，所以利用數(shù)形結合的思想來解

答比較合適.由拋物線的開口方向可判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與。的關系，然后根據(jù)對稱

軸判定b與。的關系以及2a+b=0；a+bNm(am+b)可轉(zhuǎn)化成am2+bm+c<a+b+c,即該函數(shù)在x=m處的函數(shù)值

不大于其在X=1處的函數(shù)值，也就是x=l時，該函數(shù)有最大值.由部分圖象可觀察出當x取何值時y>0.

解①對稱軸在y軸右側,，a、b異號,ab<0,故①正確；

②：對稱軸x=-^=l,.-.2a+b=0;故②正確；

(3)2a+b=0,b=-2a,.,.當x=-l時,y=a-b+c<0,a--(-2a)+c=3a+c<0,故③錯誤；

④根據(jù)圖示知，當m=l時，有最大值；當m#l時，有am2+bm+c<a+b+c,所以a+bNm(am+b)(m為實

數(shù)).故④正確.

⑤如圖，當-l<x<3時,y不只是大于0.故⑤錯誤.

故選A.

例2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的大致圖象如圖所示，頂點坐標為(-2,-9a),下列結論:①4a+2b+c>0;

2

②5a-b+c=0;③若方程a(x+5)(x-l)=-l有兩個根Xi和x2，且x2,%i<3則一5<小<冷<1；④若方程\ax+bx

+c|=1有四個根，則這四個根的和為4其中正確的結論有().[[

A.1個B.2個\I/

C.3個D.4個”\二2o/~J

解析

解析一：利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可知拋物線的對稱軸為%=-白,將頂點坐標(2-9a)代入對稱軸的關系式中，

2a

可得到含a的式子，并可表示出b,c,從而將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含有一個字母系數(shù)的解析式，然后進行討論即可.

解析二：(①4a+2b+c=ax22+2b+c,在圖象上畫出直線x=2,看其與拋物線的交點位置即可；

②5a-b+c不滿足am2+bm+c類型，則通過對稱軸和(-2,-9a)把b,c都用a表示出來,然后進行判斷，當然

①也可以采用此種方法.

③化簡可得ax2+4ax-5a=-1,與②相結合，然后作出y=-l,觀察其與拋物線交點橫坐標的范圍即可；

④把y=+法+。在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，形成“W”型，然后作出y=l,觀察其與拋物線交點

橫坐標，再利用拋物線的對稱性即可判斷.

解：拋物線的頂點坐標(2-9a),

2

=—2,4。；：=-9a,b=4a,c=—5a,/.拋物線的解析式為y=ax+4ax-5a,

4a+2b+c=4a+8a-5a=7a>0,故①正確.

5a-b+c=5a-4a-5a=-4a<0,故②錯誤.

22

拋物線y=ax+4ax-5a交x軸于(-5,0),(1,0),拋物線y=ax+4ax-5a與交點橫坐標即為xltx2,

尸laP+4x+d

(2,4a+2A+c)

J—t------x

匐產(chǎn)T

，若方程a（x+5）（%-1）=T有兩個根.Xi和久2,且Xi<久2,如圖.

則一5<久］<久2<1,

故③正確.

若方程\ax2+bx+c\-1有四個根,即ax2+4ax—5a+1=?；騛x2+4ax—5a—1-0,則這四個根的和為

（-京）+（-~a）=一8,故④錯誤.

故選B.

精選練習

1.如圖拋物線y=ax2+bx+c（a豐0）與x軸交于點（4,0）,其對稱軸為直線%=1,,結合圖象給出下列結論:

①ac<0;②4a-2b+c>0;③當.x>2時，y隨x的增大而增大；④關于x的一元二次方程ad+版+c=。有兩個不相

等的實數(shù)根.其中正確的結論有（）.

C.3個D.4個

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線％=1.下列結論：①abc<0;②3a+c>0;③（a+c）2-b

2<0;@a+b<m（am+b）（m為實數(shù)）.其中正確結論的個數(shù)為（）.

C.3個D.4個

3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線.%=.下列結論不正確的是（）.

A.b2>4acB.abc>0C.a—c<0D,由"+Na—為任意實數(shù)）

動點問題中的函數(shù)圖象題

動點問題中的函數(shù)圖象題，是中考常考的選擇題的壓軸題型之一，此類題目的解題方法是理解動點的完整運

動過程，“動中覓靜"在“靜”中運用相關知識探求目標量與動點的函數(shù)解析式或每部分的特點.有的題目還需要找

出目標函數(shù)的圖象，理解圖象中的關鍵點或者轉(zhuǎn)折點所表示的實際意義，還要理解圖象的含義，合理運用分類討

論解決問題.

解題策略一與面積有關的動點函數(shù)圖象題

與面積有關的動點函數(shù)圖象題，常規(guī)的解法有以下兩種：

1.特殊值法：根據(jù)特殊位置時的函數(shù)值找到圖象的特殊點，反之也可.確定圖形的關鍵點，改關鍵點（包括轉(zhuǎn)折

點），定點到不同運動路徑的最近點（一般作點到線段的垂線，利用“垂線段最短”解答）.

2.觀察法：根據(jù)題目描述，分析函數(shù)值在每段函數(shù)圖象中的變化.

與面積有關的動點函數(shù)圖象題，一般采用以下解題策略：

1.確定圖形的關鍵點，改關鍵點（包括轉(zhuǎn)折點），定點到不同運動路徑的最近點（一般作點到線段的垂線，利用

“垂線段最短”解答）；

2.分類討論，根據(jù)關鍵點把運動路徑分為不同的部分，單獨求出每一部分的函數(shù)解析式（注意取值范圍）；

3.必要時采用割補法，把不規(guī)則圖形分為幾部分，分別求出各部分的面積后，再求和（差）得到結果；

4.結合每段路徑的解析式判斷選項中的圖象是否正確.

此類面積問題一般都與時間有關，面積的函數(shù)解析式都是時間的函數(shù)，為了快速解決問題，可以采用排除法.

使用排除法時有以下小技巧：

1.首先明確面積的表達公式，面積一般是兩條線段乘積的形式（梯形面積是線段和與另一條線段的乘積形式）.

2.然后確定該面積公式中的線段的長度是否隨時間發(fā)生變化.

⑴如果兩條線段的長度都發(fā)生變化，則其乘積會出現(xiàn)平方項，函數(shù)圖象一般是曲線型（此時需要注意兩者乘積

也可能為常數(shù)，此時函數(shù)圖象應該為一條水平線段）,然后根據(jù)平方項系數(shù)的正負再確定是上凸還是下凹.

（2）如果只有一條線段的長度隨時間發(fā)生變化，而另一條線段的長度不隨時間改變，則圖象一般是直線型（斜線

段）.

⑶如果兩條線段的長度都不發(fā)生改變，乘積為常數(shù)，此時函數(shù)圖象應該為一條水平線段.

3.要充分利用圖形的特點，比如對稱性等.如果圖形對稱，則函數(shù)圖象也經(jīng)常是對稱的.

4.注意初始和終點時面積的變化情況，注意最大值和最小值出現(xiàn)的時間點.

當然，排除法不見得能解決所有這類問題，必要時可結合函數(shù)常規(guī)方法一同使用，這樣能加快解答速度和準

確率.

精選例題

例1如圖.正方形ABCD的邊長為2cm,動點P,Q同時從點A出發(fā)，在正方形的邊上,分別按A-D-C,ATBTC

的方向，都以lcm/s的速度運動,到達點C時運動終止.連接PQ,設運動時間為xs,△APQ的面積為.川出則下列圖

象中能大致表示y與x的函數(shù)關系的是（）.

iJ,/cm2Aj/cm2Ay/cm2

tpn小,

2入，2個.2個，

°24x/s024Vs02%xls024x/s

&----------------'cA.

B.C.D.

解析

根據(jù)題意，當點P在AD上運動時，AP=AQ^x,此時SAPQ=\AQ-AP=|/；當點p在CD上運動時,（CP

=CQ=^-x,PD=x-2,此時SAPQ=S—SCPQ，—S^BQ，—Sap，。由此可得△APQ的面積y與x的關

系，進而可判斷出y關于x的函數(shù)的圖象的大致形狀.

解①當(0<%<2時,

.正方形的邊長為2cm,

11

Q2

???y=SAPQ=-AQ-AP=-X-,

②當2WxW4時，

正方修

y~=S48co—SACFQ'—S^NiQ，-S&WD'

=2x2—|(4—久乃—|x2x(x—2)—|x2x(x-2)=-jx2+2x

；.y與x之間的函數(shù)關系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項，只有A選項圖象符合.

故選A.

例2.如圖在正方形ABCD中,AB=3cm,,動點M自點A出發(fā)沿AB方向以每秒1cm的速度運動，同時點N

自點D出發(fā)沿折線DC-CB以每秒2cm的速度運動，到達點B時運動同時停止.設△4MN的面積為y（單位：（c/

）,,運動時間為x（單位：秒）,則下列圖象中能大致反映y與x之間函數(shù)關系的是（）.

解析

分兩部分計算y與x的函數(shù)解析式：①當點N在CD上時，易得SAMN的解析式為一個一次函數(shù);②當點N在C

B上時，底邊AM變化彳導出.SWMN的解析式為一個開口向下的二次函數(shù).

解法一.??點N自點D出發(fā)沿折線.DC-CB以每秒2cm的速度運動，到達點B時運動同時停止,

???點N運動到點C的時間為t=3+2=1.5（秒）.

分兩部分進行討論：

①當0<x<1.5時,如答圖1,此時N在DC上，

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SMN=y=-AM-AD=-xx3^-x.

A答圖1

②當l.5<x<3時,如答圖2,此時N在BC上,

；.DC+CN=2x,

；.BN=6-2x,

SAMN—y—|i4M-BN-|■久(6—2x)=—x2+3%.

故選A-ME

姣圖2

解法二當點N在DC上運動時，SAMN=V=\AM-AD,AM變動，AD不變，乘積改變，所以排除B,D選項;

當點N在CB上運動時,SAMN=y=AM-BN,AM,BN都變動，所以函數(shù)圖象為曲線型排除C選項.故選A.

例3.如圖，點P是菱形ABCD邊上的一動點，它從點A出發(fā)沿A-B-C—D路徑勻速運動到點口.設4PAD的面

積為y,點P的運動時間為x,則y關于x的函數(shù)圖象大致為（）.

題目可分為三段考慮：AB段，BC段，CD段.

解分三種情況：

①當點P在AB邊上時，

如答圖1,設菱形的高為h,y=^AP-h,

；AP隨x的增大而增大，h不變，函數(shù)圖象為直線型,

，y隨x的增大而增大，故選項C,D不正確.

②當點P在邊BC上時，

如答圖-.2.y=\AD-%,AD和h都不變.

在這個過程中，y不變，

答圖2

此時函數(shù)圖象應該為平行于x軸的一條線段，故選項A不正確.

③當點P在邊CD上時，如答圖3,y=\PD-h.

VPD隨x的增大而減小，h不變，

，y隨x的增大而減小.

?，點P從點A出發(fā)沿A-B-C-D路徑勻速運動到點D,

點P在三條線段上運動的時間相同，故選項D不正確.答圖3

故選B.

精選練習

1.如圖，邊長都為4的正方形ABCD和正三角形EFG如圖放置,AB與EF在一條直線上，點A與點F重合.現(xiàn)

將.△EFG沿AB方向以每秒1個單位的速度勻速運動，當點F與點B重合時停止，在這個運動過程中,正方形A

BCD和△EFG重疊部分的面積S與運動時t的函數(shù)圖像大致是(

2.如圖，在△4BC中,NB=90。,AB=3cm,BC=6cm,,動點P從點A開始沿AB向點B以Icm/s的速度移動，動

點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動.若P,Q兩點分別從A,B兩點同時出發(fā)，點P到達點B時運動

停止，則△PBQ的面積S與出發(fā)時間t的函數(shù)關系的圖象大致是().

3如圖，在RtAABC中,N4CB=90。,AC=BC=2VxCD14B于點D.點P從點A出發(fā)，沿A—DIC的路徑

運動，運動到點C停止，過點P作PE±AC于點E,作PF1BC于點F.設點P運動的路程為x,四邊形CEPF的面積為

A.B.C.D.

解題策略二與線段長度有關的動點函數(shù)圖象問題

此類型問題的解題策略與前面的類似.在應用排除法時，還需要注意以下幾點：

1.如果求線段長度需要用到勾股定理時，其函數(shù)圖象一般為曲線型；

2.要充分利用全等、相似等幾何知識進行分析解答；

3.一定要分析圖形的特點，尤其是注意對稱性的應用.

精選例題

例)如圖，等邊△ABC的邊長為3cm,動點P從點A出發(fā)以每秒1cm的速度，沿A-B-C的方向運動，到達點C

時停止.設運動時間為x

此題需要分類討論：①當0MxM3時，即點P在線段AB上時，將相關線段的長度代入該等式，即可求得y

與x的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)解析式確定該函數(shù)的圖象.②當3<%<6時，即點P在線段BC上時，y與x的函

數(shù)解析式是.y=(6-%)2=(%-6)2(3<%<6),根據(jù)該函數(shù)解析式可以確定該函數(shù)的圖象.

解法一如圖，過點C作(CD_L4B很!=|cm,CD=1bcm,點P在AB上時,4P=xm,PD=|j-x|cm.

y=PC2=(|V3)2+(|-%)'=%2-3%+9(0<%<3),該函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線.

②當3〈久W6時，即點P在線段BC上時,PC=(6-%)cm(3<%<6);

則y=PC2=(6—x)2=(x—6)2(3<x<6).B

?,?該函數(shù)的圖象是在：3<%<6上的拋物線.

A'C

故選c.

解法二由于△ABC是等邊三角形，如圖，點A,B關于CD對稱，所以PC的長度在AB段上也關于CD對

稱，且CD為PC最小值時的位置，所以其圖象也應該出現(xiàn)對稱，所以排除A,B選項.在BC上方法同解法一.

精選練習

1.如圖,A48c為等邊三角形，點P從A出發(fā)，沿ATB—C—A做勻速運動，則線段AP的長度y與運動時間

x之間的函數(shù)關系圖象大致是（）.

4

y

0

2.已知點P為某個封閉圖形邊界上一定點，動點M從點P出發(fā)，沿其邊界順時針勻速運動一周.設點M的運動

y與x的函數(shù)圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（）.

A.C.D.

3.如圖,A,B是半徑為1的OO上兩點，且（0A10B,點P從點A出發(fā),在。0上以每秒1個單位長度的速度勻速

運動，回到點A運動結束.設運動時間為x（單位：s）,弦BP的長為y,那么下列圖象中可能表示y與x函數(shù)關系的

是（）.

找規(guī)律題⑶-----函數(shù)

與函數(shù)圖象相關的圖形規(guī)律探究題常以選擇題或填空題的形式壓軸出現(xiàn)彳主往先給出一系列圖形的運動變化過

程，該系列圖形中往往有一個頂點在所給函數(shù)的圖象上，通常求該系列圖形中特定點的坐標、特定線段的長度或

特定圖形的面積.解題時需先理解該圖形的運動過程，把握其本質(zhì)或生成規(guī)律，并借助圖形與函數(shù)圖象的公共點探

求、歸納出其規(guī)律（較常見的是圖形成倍變化規(guī)律）.此類問題看似繁瑣，但只要耐心地一步步計算，往往不難解決.

解題策略圖形成倍變化規(guī)律

1.變換前：寫出第一次變換前的目標量，如點的坐標、線段長、圖形的周長或面積等；

2.變換中：借助系列圖形與函數(shù)圖象的公共點計算出第一次變換、第二次變換、第三次變換后的目標量，如變

換后的點的坐標、線段長、圖形的周長或面積等；

3.歸納后：歸納出后一個目標量（點的坐標、線段、周長、面積等）與前一個目標量存在的倍數(shù)關系m；

4.寫結果：根據(jù)上述步驟歸納出的規(guī)律寫出第n次變換后求到的目標量（點的坐標、線段、周長、面積為n”a）.

精選例題

例1.如圖，在平面直角坐標系中，直線h-.y=日久+1與直線l2-.y=百久交于點A］，過點Ai作x軸的垂線,

垂足為點B］，過點Bi作b的平行線交11于點A2；過點A2作x軸的垂線，垂

足為點B2；過點B2作I2的平行線交11于點A3；過點A3作x軸的垂線，垂

足為點B3…按此規(guī)律，則點A□的縱坐標為（）.

解析

先求出11,12這兩條直線的交點心的坐標，從而可得點，%的坐標；再求直線的解析式，與直線11

的解析式聯(lián)立成方程組，解得點兒的坐標，從而可得點&的坐標；同理，求出點人,扇的坐標，從而找出點A口

的縱坐標的規(guī)律.

y=x+

解把公y=去+1與l2-.y=信聯(lián)立成方程組\~L解得"=］''點4的坐標為（爭）點B］的坐

.y=A/3X.（y=5,‘'一

標為（爭0）；直線的解析式為y=百［-亨），與讖立成方程組解得點兒的坐標為（#，），點史的坐標為

（W，0）;4B2的解析式為y=