與平行四邊形有關(guān)的題型復(fù)習(xí)講義

四邊形的綜合題是中考?？碱}型，常考的知識點有平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩正方形

本章綜述的性質(zhì)和判定，三角形的中位線、平行線分線段成比例、全等三角形與相似三質(zhì)和判定等，

命題角度靈活，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用的輔助線和識幾何模型.

解題策略

1.平行四邊形：對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.

性質(zhì)：對邊分別平行且相等，對角線互相平分，對角分別相等.

判定：對邊分別平行的四邊形為平行四邊形；

對邊分別相等的四邊形為平行四邊形；

一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形；

對角線互相平分的四邊形為平行四邊形；

兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形；

2.矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

性質(zhì)：具有平行四邊形的一切性質(zhì).四個角都是直角.對角線相等.

矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

對角線相等的平行四邊形是矩形；

有三個角是直角的四邊形是矩形.

3.菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

性質(zhì)：具有平行四邊形的一切性質(zhì).四條邊都相等；兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱

形的面積還等于對角線乘積的一半.

菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

判定：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

四邊相等的四邊形是菱形.

4.正方形：四條邊都相等，四個角都是直角.正方形既是矩形又是菱形，既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì).

模型一連對角線

把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形.

場景：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC.

結(jié)論:AABC%CDA.

ADAD

BCBC

模型二過一邊兩端點作對邊的垂線

把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形.

場景如圖,四邊形ABCD是平行四邊形，過A,D作AELBC于點E,DF，BC交BC延長線于點F.

結(jié)論:四邊形AEFD是矩形,AABE2DCF.

模型三延長一邊中點與頂點連線

把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形.

場景：如圖，E為平行四邊開鄉(xiāng)ABCD的邊CD的中點，延長AE交BC延長線于點F.

結(jié)論：△ADEFCE,,把平行四邊形ABCD轉(zhuǎn)化為和它等面積的△ABF.

模型四延長一邊上一點與一頂點連線

把平行四邊形轉(zhuǎn)化成平行線型相似三角形.

場景：如圖，E為平行四邊開鄉(xiāng)ABCD邊CD上任一點，延長AE交BC延長線于一點F.

結(jié)論：AADEAFBA.

模型五把對角線交點與一邊中點連接，構(gòu)造三角形中位線

場景:如圖，平行四邊形ABCD中。為AC,BD交點,E為CD的中點.

結(jié)論QE平行BC且等于|BC.

模型六把以一邊中點為端點的線段延長，構(gòu)造全等三角形

場景：如圖，F(xiàn)為平行四邊形ABCD邊CD的中點，E為AD上任一點，連接EF,并延長交BC延長線于點

N.

結(jié)論：AEFD三XNFC.

可以采用以下策略來判定平行四邊形：

1.有一組對邊平行時，證明這組對邊相等，或者另一組對邊平行；

2.有一組對邊相等時，證明這組對邊平行，或者另一組對邊相等；

3.有一條對角線的中點時，可通過作輔助線證明另外一條對角線也被這個中點平分；

4.有一組對角相等時，可通過平行證明另外一組對角也相等.

模型七其他常見模型

模型7-1:兩平行線間的距離相等一同底等高的三角形面積相等

場景：如圖，m\\n.

結(jié)論：SABC~SABD~^ABE-

mCDE

模型7-2:平行四邊形中有角平分線，則存在或構(gòu)建等腰三角形

場景如圖,在平行四邊形ABCD中,BE平分NABC.

結(jié)論:AABE是等腰三角形,AB=AE.

模型7-3:平行線中同旁內(nèi)角的角平分線相交，必出現(xiàn)直角

場景:如圖,mIIn,BC,AC分別為角平分線.

結(jié)論4=90。.

模型7-4:過對角線交點的直線平分平行四邊形的面積

場景：如圖，點0是平行四邊形對角線的交點，直線EF過點0.

精選例題

例1.如圖,MBCD的對角線AC,BD相交于點O,EF經(jīng)過點0,分別交AB,CD于點E,F,FE的延長線交CB的延

長線于點M.

(1)求證:OE=OF;

(2)若AD=4,AB=6,BM=1,求BE的長.

解析A

⑴由ABIICD,點。是對角線的中點由“8字”全等模型，可得OE=OF;

⑵點。是對角線的中點，根據(jù)模型五，取點AB的中點N,連接ON,可得"8字"相似模型和中位線，根據(jù)

所給的線段的長度可求BE的長.

解(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

.■.OA=OC,ABIICD.

，NOAE=NOCF.

.?NAOE=NCOF,

."AOE%COF(ASA).

；QE=OF;

D

(2)取AB的中點N,連接ON,則ON是&ABC的中位線.

..01\||巾(2,易證301\1-38(：.

-,OA=OC,

11

???ON=-BC=2,BN=-AB=3.

22

???ONllBC,."ONEdMBE.

ON_NE_BN—BE

"BM~BE~BE'

cn/A23—BE

BM=1,???-=------.

1BE

例2.如圖在口ABCD中，點E是CD的中點點F是BC邊上的點AF=AD+FC,MBCD的面積為S,由A,E,F

三點確定的圓的周長為t.

(1)若AABE的面積為30,直接寫出S的值;

(2)求證:AE平分NDAF;

⑶若AE=BE,AB=4,AD=5,求t的值

解析

(1)作EG±AB于點G,由SABE=1x4BxEG=30得AB-EG=60,即可得出答案；

(2)點E是四邊形ABCD邊的中點，滿足模型三，可延長AE與BC延長線相交，結(jié)合"角平分線+平行線-

等腰三角形"，可證明結(jié)論；

(3)先證NABF=90°,得出AF2=AB2+BF2=16+(5-FC)2=(FC+AD)2=(FC+5先據(jù)此求得FC的長，從

而得出AF的長度，再由AE=HE,AF=FH知FE^AH,即AF是^AEF的外接圓直徑，從而得出答案.

解(1)如答圖1,作EG±AB于點G,

貝USABE=|x4BxEG=30,貝(JAB-EG=60,

，平行四邊形ABCD的面積為60；

⑵如答圖2,延長AE交BC延長線于點H,

??四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.ADllBC.

.-.zADE=zHCE,zDAE=zCHE.

???E為CD的中點，

.-.CE=DE.

."ADE當(dāng)HCE.

.-.AD=HC,AE=EH.

.-.AD+FC=HC+FC.

答圖2

由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH.

.-.zFAE=zCHE.

又.NDAE=NCHE,

..NDAE=NFAE.

/.AE平分NDAF;

⑶如答圖3,連接EF.

；AE=BE,AE=HE,

.".AE=BE=HE.

.-.zBAE=zABE,zHBE=zBHE.

?.zDAE=zCHE,

.-.zBAE+zDAE=zABE+zHBE,

即NDAB=NCBA.答圖3

由四邊形ABCD是平行四邊形得NDAB+NCBA=180°.

.-.zCBA=90o.

：.AF2=AB2+BF2=16+(5—FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2.

解得FC=1

29

???AF=FC+CH=y.

-,AE=HE,AF=FH,

.-.FE±AH.

.?.AF是AAEF的外接圓直徑.

.?.△AEF的外接圓的周長t=^n.

例3.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,AD=AC,AD，AGE是AB的中點,F是AC延長?

線上一點./

⑴若ED^EF,求證:ED=EF;―我/

(2)在(1)的條件下，若DC的延長線與FB交于點P,試判定四邊形ACPE是否為平行

四邊形?并證明你的結(jié)論(請先補全圖形，再解答)；AE—、

⑶若ED=EF,ED與EF垂直嗎？若垂直，請給出證明.

解析

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì):AD=AC,AD，AC'DAC和ABCA是等腰直角三角形，點E是斜邊中點，構(gòu)造斜邊中

線，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=AD,等量代換得到AC=CF,于是得到CP=\AB=AE,根據(jù)平行四邊形

的判定定理即可得到四邊形ACPE為平行四邊形;

⑶過點E作EM^DA交DA的延長線于點M,過點E作EN^FC交FC的延長線于點N,證得^AME當(dāng)CN

口ADE當(dāng)CFE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論

解Q)證明:在口ABCD中，

?.AD=AC,AD±AC,

.-.AC=BC,AC±BC.

如答圖L連接CE.

..E是AB的中點，

.■.AE=EC,CE±AB.

.".zACE=zBCE=45°.

.?.zECF=zEAD=135°.

?--ED±EF,

.-.zCEF=zAED=90o-zCED.

在MZEF和3ED中，

INCEF=ZAED,

=EA,ZEAD,

.'.△CEF^AED.

.-.ED=EF;

(2)如答圖2,由⑴知「CEF%AED,CF=AD.

?.AD=AC,.-.AC=CF.

?.?DPllAB,.,.FP=PB.

1

CP=-AB=AE.答圖2

2

..四邊形ACPE為平行四邊形；

⑶垂直.

理曲如答圖3,過點E作EM，DA交DA的延長線于點M,過點E作EN，F(xiàn)C交AC于點N.

?.zNAE=zEAM=45°,

..EM=EN.

又.NNAM=NANE=NAME=90°,

..四邊形AMEN是正方形.

..NNEM=90°.

在RtADME與RbFNE中,

(EM=EN,

lED=EF,

.1△DME%FNE.答圖3

.-.zDEM=zFEN.

.?.zFEN+zDEN=zDEM+zDEN=90°.

.-.zDEF=90°.

.-.ED±EF.

例4.如圖，在口ABCD中,DC>AD,四個角的平分線AE,DE,BF,CF的交點分別是E,F,過點E,F分別作DC與AB

間的垂線MM與NW,在DC與AB上的垂足分別是點M,N與M1,W,連接EF.

(1)求證:四邊形EFNM是矩形；

(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的長.

“解析

(1)圖中出現(xiàn)平行線中同旁內(nèi)角的角平分線，符合模型7-3,可得NDEA=NBFC=90。，且有角平分線上的點垂

直于角的一邊，可以考慮角平分線的性質(zhì)，作角的另一邊的垂線，結(jié)合矩形的判定定理即可證明；

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)，平行線中同旁內(nèi)角的角平分線相交出現(xiàn)垂直，可得NDEAngOMEFnMNnCD-DM-

CN,如果證明口1\/1=口641\/1=人6=^\1,可得至!!MN=CD-AD,故只需證明AGEA2ANFC'DME2ADGE,即可得至I」EF的

長.

解Q)證明:如圖，過點E,F分別作AD,BC的垂線，垂足分別是點G,H.

?.zEDA=zEDC,zEAB=zDAE,EG±AD,EM±CD,EM'±AB,

.-.EG=ME,EG=EM'.

'1'

.?.EG=ME=ME=-MM.

2

同理，可___證FH=N/F=N1F=/：NN.

.?CDIIAB,MM'1.CD,NN'_LCD,

MM'=NN

.-.ME=NF=EG=FH.

又.MM'llNN',MM'J_CD,

..四邊形EFNM是矩形；

(2)/DCllAB,

.-.zCDA+zDAB=180o.

???NEDA=-ZCDA.^DAE=-^DAB,

22

..NEDA+NDAE=90°.

在RbDEA中”AE=4,DE=3,

AD=V32+42=5.

1.四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.zDAB=zDCB.

1-1

又ZDAE=上NDAB/NCF=-ZDCB,

22

.-.zDAE=zNCF.

由⑴知GE=NF,

在Rt△GEA和Rt△NFC中,

ZDAE=NNCF,

ZEGA=NFNC=90°,

."GEA當(dāng)NFC.

.-.AG=CN.

在RbDME和RbDGE中，

；DE=DE,ME=GE,

.“DME學(xué)DGE.

.-.DG=DM.

.-.DM+CN=DG+AG=AD=5.

.■.MN=CD-DM-CN=9-5=4.

?.?四邊形EFNM是矩形，

；.EF=MN=4.

例5.如圖,SBC中,D是AB上一點DE^AC于點E,F是AD的中點FG_LBC于點G,與DE交于點H若FG=

AF,AG平分/CAB,連接GE,GD.

(1)求證:AECG學(xué)GHD;

(2)小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)AD=AC+EC.請你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論;

CB

⑶若NB=30°,判定四邊形AEGF是否為菱形,并說明理由.G

解析

(1)題目中有角平分線，且FG=AF,根據(jù)模型7-2:角平分線+平行線一等腰三角形模型，推導(dǎo)出FGUAE,從

而可得NDHG為直角，四邊形CEHG為矩形得出NC=90°,結(jié)合F是AD的中點等條件即可判定4CG學(xué)GHD;

⑵AC,CE,AD分別在/CAB的兩邊上，且AG為NCAB的平分線NC=90°,欲證AD=AC+EC,可利用角平分線

垂兩邊模型(或者對角互補模型)；

(3)依據(jù)NB=30，EDllBC,可得NADE=30。,根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，結(jié)合四邊形AEGF是平行

四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形.

⑴解如答圖1；.AF=FG,

.-.zFAG=zFGA.

/AG平分NCAB,

.,.zCAG=zFAG.

答圖1

.,.zCAG=zFGA.

..ACIIFG.

-.DE±AC,

/.FG±DE.

-.FG±BC,

.-.DEllBC.

.?.AC±BC.

.?.zC=zDHG=90°,zCGE=zGED.

??.F是AD的中點,FGllAE,

??.H是ED的中點

.■.FG是線段ED的垂直平分線.

，GE=GD/GDE=NGED.

..NCGE=NGDE.

."ECG%GHD;

⑵證明如答圖2,過點G作GP^AB于點P.

，GC=GP,而AG=AG.

.“CAG學(xué)PAG.

.■.AC=AP.

由(1)可得EG=DG,答圖2

」.RtAECG2RbDPG.

,?.EC=PD.

.■.AD=AP+PD=AC+EC;

⑶四邊形AEGF是菱彩

證明:,./B=30°,

.-.zADE=30o.

?-AE=加

.-.AE=AF=FG.

由⑴得AEllFG,

二?四邊形AEGF是平行四邊形.

二?四邊形AEGF是菱形.

例6.如圖L在矩形ABCD中,P為CD邊上一點(DP<CP)/APB=90。.將AADP沿AP翻折得到xAD'P,PD

的延長線交邊AB于點M,過點B作BNIIMP交DC于點N.

(1)求證：AD2=DPPC;

⑵請判斷四邊形PMBN的形狀，并說明理由；

⑶如圖2,連接AC,分別交PM,PB于點E,F.若答=*求啜的值.

AD2AE

解析

(1)由ND=NAPB=NC根據(jù)"一線三等角"相似模型可得AADPiPCB彳導(dǎo)到結(jié)論；

(2)易知四邊形PMBN是平行四邊形，由NDPA=NAPM=NPAB,結(jié)合直角三角形，易得NMPBWPBM,得PM=

BM,所以四邊形PMBN是菱形；

⑶可設(shè)DP=1,AD=2,由⑴可求得PC=4,AB=5,由于CPIIAB根據(jù)"8字"相似模型，可證WCFSABAFFPCE”

△MAE根據(jù)相似的性質(zhì)，用AC分別表示出AE和EF即可.

解(1)如答圖1"四邊形ABCD是矩形,

.-.AD=BC.

?.zAPB=90°,

..NAPD+NCPB=NCPB+NPBC=90°.

..NAPD=NPBC.

...△APD-APBC.

AD_DP

"PC—BC

.?.ADBC=DPPC.

即AD2=DP?PC；

⑵如答圖2,/DPllAB,

.?.zDPA=zPAM.

由題意，可知NDPA=NAPM,

.?.zPAM=zAPM.

?.-zAPB-zPAM=zAPB-zAPM,

即NABP=NMPB.

.-.AM=PM.

PM=MB,

又易證四邊形PMBN是平行四邊形，

二四邊形PMBN是菱形；

(3)如答圖3,由于c=q,

因此可設(shè)DP=1,AD=2.

由(1)可知AD2=DP-PC,

.■,4=1.PC.

.-.PC=4,AB=DC=5.

?.CPllAB,

???△PCF△BAF.

.CF_PC_4

??AF~AB~5'

.ZF_5

,,——■

AC9

又易證PCEMAE.AM==*

,CE_PC_4_84」

,,——=——■

AEAM-25

AE_5

??AC-13'

???EF=AF-AE=-AC-—AC=—AC.

913117

20”

.EF-n74c—4

AE24c9

精選練習(xí)

1.如圖，在平行四邊形ABCD中點、E在邊BC上，連接AE,EM12E,,垂足為點E,交CD于點M,.4F1BC,垂

足為點F,BH14E,,垂足為點H,交AF于點N,點P是AD上一點連接CP.

(1)若DP=2AP=4,CP=V17,CD=5,求△4CD的面積；

⑵若AE=BN,AN=CE,求證：AD=s/2CM+2CE.

2.如圖，過平行四邊形ABCD買隔線AC與BD的交點E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB,BC,CD,DA于

點P,M,Q,N.

(1)求證：△PBE=AQDE;

(2)順次連接點P,M,Q,N,求證:四邊形PMQN是菱形.

3.如圖矩形ABCD中，AB>4D,,把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處,AE交CD于點

F,連接DE.

(1)求證：6.ADE=△CED;

(2)求證：ADEF是等腰三角形.

4.如圖，掙必邊族BCD的對角線AC,BD相交于點0,過點。作EF1AC,,分別交AB,DC于點E,F,連接A

F,CE.

(1)若OE=*求EF的長；

(2)判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.

5如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E在AD邊上運動，且不與點A和點D重合，連接CE,過點

C作(CF1CE交AB的延長線于點F,EF交BC于點G.

(1)求證：ACDE三'CBF-,

⑵當(dāng)DE=襯，求CG的長；

⑶連接AG,在點E運動過程中,四邊形CEAG能否為平行四邊形?若能，求出此時DE的長；若不能，說

明理由.

Dl_______C

A

B

6.在口ABCD中,BE平分NABC交AD于點E.

Si圖2

Q)如圖1,若ND=30°,AB=述求AABE的面積;,

⑵如圖2,過點A作ADDC,交DC的延長線于點F,分別交BE,BC于點GH,且AB=AF.求證:ED-AG=FC.

7.如圖,正方形ABCD的對角線交于點。點E,F分別在AB,BC上(AE<BE),且NE0F=9(TQE,DA的延長線交于

點M,OF,AB的延長線交于點N,連接MN.

⑴求證:OM=ON;

(2)若正方形ABCD的邊長為4,E為0M的中點，求MN的長.

精選練習(xí)

1.解：(1)作CGJ_AD于點G,如答圖1.

設(shè)PG=x廁DG=4-x.

在RtAPGC中,(GC2=CP2-PG2=17—%2.

在RtADGC中,(GC2=CD2-GD2=52-(4-%)2=9+8%—%2.

???17-%2=9+8%—%2.

解得x=l,即PG=1.

/.GC=4.

：DP=2AP=4,

AD=6.

1i

???SACD=-xADxCG=-x6x4=12;

⑵證明:連接NE,如答圖2.

VBH±AE,AF_LBC,AE_LEM,

JNAEB+NNBF=NAEB+NEAF=NAEB+NMEO90。.

???ZNBF=ZEAF=ZMEC.

在^NBF和aEAF中，

ZNBF=Z.FAE,

乙BFN=^AFE,

、AE=BN,

：.ANBF^AEAF(AAS).

???BF=AF,NF=EF.

ZABC=45°,ZENF=45°,FC=AF=BF.

ZANE=ZBCD=135°,AD=BC=2AF.iSAANE和^ECM中,

2MEC=A.EAF,

AN=EC,

、乙ANE=乙ECM,

：.△ANE^AECM(ASA).

.\CM=NE.

又..=^NE=^MC,

...AF=—MC+EC.

2

AD=V2MC+2EC.

2.證明:⑴：四邊形ABCD是平行四邊形,；.EB=ED,AB〃CD.

/.ZEBP=ZEDQ.

ZEBP=乙EDQ,

在仆PBE和4QDE中，［EB=ED,

Z-BEP=Z-DEQ,

APBE^AQDE(ASA);

(2)如圖.

,/APBE^AQDE,

/.EP=EQ,

同理:△BME絲△DNE(ASA).

；.EM=EN.

四邊形PMQN是平行四邊形.

VPQXMN,

四邊形PMQN是菱形.

3.解析:⑴根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出AD=BC,AB=CD,結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出AD=CE,AE=CD,進而即可證出△A

DE^ACED(SSS);

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出/DEF=ZEDF,利用等邊對等角可得出EF=DF,由此即可證出△DEF是等

腰三角形.

證明：(1)：四邊形ABCD是矩形，

；.AD=BC,AB=CD.

由折疊的性質(zhì)可得：BC=CE,AB=AE.

；.AD=CE,AE=CD.

在4ADE和4CED中，

AD=CE,

AE=CD,

.DE=ED,

：.AADE^ACED(SSS);

(2)由⑴得△ADE^ACED.

/./DEA=/EDC,即/DEF=NEDF.

,>.EF=DF.

??.△DEF是等腰三角形.

4.解:⑴：四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AB〃CD,

AO=CO,

ZFCO=ZEAO,

XVZAOE=ZCOF,

AAOE^ACOF(ASA).

OE=OF=2

.*.EF=2OE=3;

(2)四邊形AECF是菱形.

理由:「△AOE四△COF,

；.AE=CF.

又；AE〃CF,

四邊形AECF是平行四邊形.

又：EF_LAC,

..?四邊形AECF是菱形.

5.解:(1)如圖，在正方形ABCD中,DC=BC,/D=NABC=NDCB=90。,

ZCBF=180°-ZABC=90°,ZDCE+ZBCE=ZDCB=90°.

VCFXCE,

DC

：.ZECF=90°.E4

：.ZBCF+ZBCE=90°.

4i-----------

AZDCE=ZBCF.B

在^CDE和^CBF中，

ZD=(CBF,

DC=BC,

、乙DCE=Z-BCF,

AACDE^ACBF;

(2)在正方形ABCD中,AD〃BC,

.".