專題01選擇壓軸題(函數(shù)類)

壓軸翹密押

通用的解題思路：

第一步:先判定函數(shù)的增減性：一次函數(shù)、反比例函數(shù)看左，二次函數(shù)看對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；

第二步：當(dāng)x=a時，y=ymin；當(dāng)x=b時，y=ymax；所以九正4丁4％ax?

一、二次函數(shù)的圖象與a、b.c的關(guān)系

1、確定a、b、c符號：

(1)。決定開口方向(。>0開口向上，開口向下)；

(2)a、b決定對稱軸與y軸位置(左同右異)；

(3)c決定與y軸交點(c=0經(jīng)過原點，。>0與丫軸正半軸相交，cV0與y軸負半軸相交)。

2、判斷與a、Ac相關(guān)的常見代數(shù)式與0的大小關(guān)系：

(1)看拋物線與％軸交點；

(2)看對稱軸的位置；

(3)代入特殊值。

二、二次函數(shù)求取值范圍之動軸定區(qū)間或者定軸動區(qū)間的分類方法：分對稱軸在區(qū)間的左邊、右邊、中間

三種情況。

b

(1)若自變量元的取值范圍為全體實數(shù)，如圖①，函數(shù)在頂點處%=——時，取到最值.

2a

b

(2)若加----,如圖②，當(dāng)1=加時，y-<ymax；當(dāng)工=〃時，y=ymin.

2a

b

(3)右----<加4九<〃，如圖③，當(dāng)工=加，y=-ymin；當(dāng)X=丁=Vmax.

2a

Ahhh

(4)若mSxWn,_&m<-----<n,nH------>----------m,如圖④，當(dāng)％=----，y=ymin；當(dāng)x=〃，

2a2a2a2a

y=Xnax.

1、關(guān)注橫、縱軸：從圖像上判定函數(shù)與自變量的關(guān)系，弄清橫、縱軸代表的意義；

2、關(guān)注特殊點：理解起點、終點；

3、關(guān)注每一截線段。

四、反比例函數(shù)中與k相關(guān)的求值分類方法

1、已知反比例函數(shù)求圖形面積，關(guān)鍵是確定相關(guān)點的坐標：

（1）若坐標可求，圖形面積易得；

（2）若坐標不可求，可利用k的幾何意義；

（3）也可設(shè)出點的坐標用式子表示。

2、確定反比例函數(shù)的解析式時，若無法直接求出其圖象上某點的坐標，則可以通過圖像上某點向坐標軸作

垂線，求出相應(yīng)圖形的面積，從而確定k的值，注意k的符號。

經(jīng)典例題

1.（2022?山東濟南?中考真題）拋物線y=-/+2TH%-根2+2與>軸交于點過點。作直線/垂直于y

軸，將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點M（m-Lyl，

N（m+1,丫2）為圖形G上兩點，若為<、2，則根的取值范圍是（）

A.m<-1或m>0B.--<m<-C.0<m<V2D.-1<m<1

【答案】D

【分析】求出拋物線的對稱軸、C點坐標以及當(dāng)X=7"-l和4〃2+1時的函數(shù)值，再根據(jù)/1<加+1,判斷出

M點在N點左側(cè)，此時分類討論：第一種情況，當(dāng)N點在y軸左側(cè)時，第二種情況，當(dāng)M點在y軸的右

側(cè)時，第三種情況，當(dāng)y軸在M、N點之間時，來討論，結(jié)合圖像即可求解.

【詳解】拋物線解析式y(tǒng)=-x2+2mx—m2+2變形為：y=2—（x—m）2,

即拋物線對稱軸為x="J

當(dāng)x=m-l時，有y=2—(m—l—m)2=1,

當(dāng)x=m+\時，有y=2—(m+1—m)2--1,

設(shè)01,1)為A點，(〃計1,1)為2點，

即點與80+1,1)關(guān)于拋物線對稱軸對稱,

當(dāng)x=0時，有y=2-(0-m)2=2—m2,

；.C點坐標為(0,2-巾2),

當(dāng)x=m時，有y=2—(m—m)2=2,

拋物線頂點坐標為(6,2),

?.?直線Ly軸，

直線I為y=2—m2,

點在N點左側(cè)，

此時分情況討論：

第一種情況，當(dāng)N點在y軸左側(cè)時，如圖，

由圖可知此時M、N點分別對應(yīng)A、B點、,即有乃=丫2=1，

此時不符合題意；

第二種情況，當(dāng)M點在y軸的右側(cè)時，如圖，

由圖可知此時M、N點滿足乃=y2,

，此時不符合題意；

第三種情況，當(dāng)y軸在河、N點之間時，如圖,

由圖可知此時A/、N點滿足為＜y2，

.??此時符合題意；

此時由圖可知：m-l＜O＜m+1,

解得一1＜彷VI,

綜上所述：m的取值范圍為：-1＜彷＜1,

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，注重數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2023?江蘇宿遷?中考真題）如圖，直線y=x+l、y=尤—1與雙曲線y=＞0）分別相交于點

A、B、C、D.若四邊形2BCD的面積為4,貝果的值是（）

A.-B.比C.-D.1

425

【答案】A

【分析】連接四邊形48CD的對角線AC、BD,過。作。El%軸，過C作CF_Lx軸，直線y=x-1與x軸交

于點M,如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖像交點的對稱性判斷四邊形4BC。是平行四邊形，由平行四邊形性質(zhì)及平

11

面直角坐標系中三角形面積求法，確定SACOD=]S四邊形ABCD=1=50M-（DE+CF）,再求出直線y=x—

y=x—1

=k求出C、?？v坐標，代入方程求解即可得到答案.

{yx

【詳解】解：連接四邊形的對角線BD,過。作。%軸，過C作軸，直線了=第一1與％

軸交于點M,如圖所示：

根據(jù)直線y=%+1、y=%-1與雙曲線y=與也＞0）交點的對稱性可得四邊形是平行四邊形,

I1

S^COD=[S四邊形=1=-OM?（DE+CF）,

??,直線y=%-1與無軸交于點M,

???當(dāng)y=0時，%=1,即

y=%-1與雙曲線y=§也＞0）分別相交于點C、D,

~=k,即y=貝的2+y—k=o,由k>0,解得y=金尹生，

."”［土嚴一（土嚴）］=1,即AM不1=2,解得k=￡

故選：A.

【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平面直角坐標系

中三角形面積求法是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2023?遼寧?中考真題）如圖，/.MAN=60°,在射線4M,AN上分別截取AC=4B=6,連接BC,Z.MAN

的平分線交BC于點。，點￡為線段4B上的動點，作所，AM交2M于點F,作EGII4M交射線AD于點G,

過點G作GHLAM于點H,點E沿AB方向運動,當(dāng)點E與點8重合時停止運動.設(shè)點E運動的路程為x,

四邊形EFHG與AABC重疊部分的面積為S,則能大致反映S與尤之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【分析】

分三種情況分別求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的類型與其圖象的對應(yīng)關(guān)系進行判斷即可.

【詳解】解：'：^MAN=60°,AC=AB=6,

△力BC是邊長為6的正三角形，

'：AD^^/-MAN,

：.Z.MAD=乙NAD=30°,AD1BC,CD=DB=3,

①當(dāng)矩形EFG”全部在之中，即由圖1到圖2,此時0V%43,

圖1圖2

\'EG||AC,

：.^MAD=乙4GE=30°,

AZ.NAD=/.AGE=30°,

.\AE=EG=x,

在Rt△AEF中,Z.EAF=60°,

???E門F口=——AAET=8——X，

22

???S=@/；

2

②如圖3時，當(dāng)AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC,

則x+/x=6,解得x=4,

圖3圖4

如圖4,記BC,EG的交點為Q,則△EQB是正三角形,

/.EQ=EB=BQ=6—X,

/.GQ=%—(6—x)=2x—6,而NPQG=60°,

，PG=V3QG=V3(2x-6),

:?S~S矩形EFHG-S&PQG

731

=—-x(2%-6)xV3(2x-6)

=-+12A/3X—18^3)

③如圖6時，x=6,由圖3到圖6,此時4<xV6,

如圖5,同理△EKB是正三角形，

：.EK=KB=EB=6-x,FC=AC-AF=6--xEF=—x^

2f2

S=S梯形EKCF

1/1\V3

=](6—%+6——x

=——%2+3V3x,

8

因此三段函數(shù)的都是二次函數(shù)關(guān)系，其中第1段是開口向上，第2段、第3段是開口向下的拋物線,

故選：A.

【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，求出各種情況下S與x的函數(shù)關(guān)系式是正確解答的前提，理解各

種函數(shù)所對應(yīng)的圖象的形狀是解決問題的關(guān)鍵.

壓軸題預(yù)測

L（2。24安徽合肥一模）對于二次函數(shù)y=a/+"+c,定義函數(shù)y=｛噂2m空贄）是它的相

關(guān)函數(shù).若一次函數(shù)y=x+l與二次函數(shù)y=/—4x+c的相關(guān)函數(shù)的圖象恰好兩個公共點，則c的值可

能是()

A.TB,0C.ID.2

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分兩種情況解答：①一次

函數(shù)y=x+1分別與y=x2—4x+c(x>0),y=—x2+4x—c(x<0)相交一點；②一次函數(shù)y=x+1

與y=/-4%+c(x20)有兩個交點，與y=-/+4x-c(x<0)不相交；求出c的取值范圍，即可求

解，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)工20時，二次函數(shù)y=/一4*+c的相關(guān)函數(shù)為y=-4%+c

當(dāng)x<0時，二次函數(shù)y=x2—4x+c的相關(guān)函數(shù)為y=—x2+4x—c,

...二次函數(shù)y=X2-4X+c的相關(guān)函數(shù)為y=二［

二次函數(shù)y=/一4%+。的圖象開口向上，與y軸的交點為(0,c),對稱軸為直線式=一盤=2,

當(dāng)04%V2時，y隨工的增大而減小，當(dāng)％>2時，y隨工的增大而增大；

二次函數(shù)y=-/+4%-c的圖象開口向下，與y軸的交點為(0,-c),對稱軸為直線久=一/=2,當(dāng)％<0

時，y隨式的增大而增大；

一次函數(shù)y=%+1與y軸的交點為(。,1)

一次函數(shù)y=%+1與二次函數(shù)y=%2-4%+c的相關(guān)函數(shù)的圖象恰好兩個公共點可分為兩種情況：

①一次函數(shù)y=%+1分別與y=x2-4%+c(x>0),y=-x2+4x-c(x<0)相交一點，

則有｛二11

解得c<-l;

②一次函數(shù)y=%+1與y=%2—4%+c(x>0)有兩個交點，與y=—x2+4%—c(x<0)不相交，

則有｛:已

解得c>1,

且％+1=—4%+c,

即/-5%+c-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

???4=(-5)2-4(c-1)>0,

解得C<

4

綜上所述，CV-1或IWcV?,

；.C的值可能是2,

故選：D.

2.（2024?山東濟南?一模）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都不大于〃（n>0）的點叫做這個函數(shù)圖

象的‘%階方點例如，點（1,3）與點C，2）都是函數(shù)y=2%+1圖象的“3階方點”.若y關(guān)于x的二次函

數(shù)y=（比—n）2+n2-6的圖象存在“w階方點”，則n的取值范圍是（）

A.1<n<|B.|<n<2C.2<n<3D.1<n<3

【答案】D

【分析】本題主要考查了二函數(shù)與幾何綜合，由二次函數(shù)解析式可知其頂點坐標在直線x=n上移動，當(dāng)

二次函數(shù)圖象過點（-九，-n）和點（n,初時為臨界情況，求出此時〃的值，進而可得〃的取值范圍.

【詳解】解：由題意得：二次函數(shù)3/=。一切2+/-6的圖象上的頂點坐標為：（n,/—6）,

丁丁關(guān)于元的二次函數(shù)y=（%-n）2+話一6的圖象存在“〃階方點”，

???二次函數(shù)y=（%—n）2+n2—6的圖象與以坐標為（―九,—九），（n,—ri）,（―幾九），（幾九）的正方形有交點，

當(dāng)二次函數(shù)y=（x-n）2+n2-6恰好經(jīng)過（一九，-n）時，貝咔彥+n-6=0,

解得：71=1或幾=—?（舍去）；

如當(dāng)二次函數(shù)y=（%-n）2+n2-6恰好經(jīng)過（九，九）時，則/-n-6=0,

解得九=3或九=-2（舍去）；

當(dāng)14九43時，二次函數(shù)y=（%-n）2+n2-6的圖象存在“九階方點”，

故選D.

3.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測)已知：m=|a2-a-1(0<a<4),n=^(1<6<4),m+n=2,則下

列說法中正確的是（）

A.九有最大值4,最小值1B.九有最大值3,最小值-1

C.九有最大值3,最小值1D.n有最大值3,最小值|

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值和根據(jù)反比例函數(shù)的增減性求最值，解題的關(guān)鍵是用函數(shù)思想解決問

題；根據(jù)函數(shù)的增減性求出最值，再結(jié)合不等式的性質(zhì)求”的范圍，進而可求"的最值；

【詳解】由題意得，m=la2-a-i-|（a-l）2-l,

?.」>0,

2

?,?當(dāng)。=1時，機有最小值-1,當(dāng)@=4時，M有最大值（

???—1<m<1,

4

…3,4>0,

???當(dāng)14b44時，n隨著b的增大而減小，

.?.當(dāng)人=4時，幾有最小值1,

當(dāng)。=1時，/有最大值4,

1<n<4,

???m+n=2,

???m=2—n,

7

—1<m<-

7

-1W2—TlW-，

2

解得：一|工九43,

v1<n<4,

1<n<3,

??.〃有最大值3,最小值1；

故選：C.

4.（2024.江蘇揚州.一模）平面直角坐標系％Oy中，直線y=3%與雙曲線y=^（憶>0）相交于48兩點，其

中點B在第三象限.設(shè)為雙曲線y=$（憶>0）上一點（點M異于點B）,直線AM,分別交支軸于

C,。兩點，則C,。兩點橫坐標的和為（）

A.0B.-1C.-1.5D.—2

【答案】D

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，確定直線AM,的解析式是解題的關(guān)

鍵.設(shè)4M,B三點坐標，根據(jù)題意可得k=3。2=—n,易得n=—3a2,SPM(-l,-3a2),分別表示出直

線4M,的解析式，令y=0可計算出點C和D的橫坐標，相加即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???直線y=3x與雙曲線y=E(k>0)相交于4B兩點，

設(shè)A(a,3a),則B(-a,-3a),

??k—CLx3a—3a2,

?；M(—l,n)為雙曲線y=>0)上一點，

??k——Tt,

??72——3a2,

/?M(-1,—3a,

設(shè)直線/M的解析式為y=krx+bi(k]H0),

將點/(a,3a),M(-1,—3Q2)代入，

可得[/=吃+'解得卜R，

1-3d"=-k[+%=-3a”+3a

直線的解析式為y=3ax+3a—3a2,

令y=0,可得3a%+3。-3a2=0,解得％=a-1,

???C(a-1,0),

設(shè)直線的解析式為y=k2x+b2(fc2W0)，

將點8(—a,—3a),M(—1,—3。2)代入，

可得「黑2=一心費，解得,

I—3a=-k，2+。2=-3a—3a

二?直線的解析式為y=—3ax—3a2—3a,

令y=0,可得—3a%—3a2—3。=o,解得工=一。一1,

D(-CL-1,0),

?*CL—1+(—CL—1)=-2,

AC,。兩點橫坐標的和為一2.

故選：D.

5.(2023?遼寧遼陽?模擬預(yù)測)如圖，等腰直角△ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角頂點/在直線y=

x上，4點橫坐標為1,兩條直角邊力8、AC分別平行于X軸、y軸，若雙曲線y=§(kH0)與△48C有交點,

則k的取值范圍()

A.1</c<2B.1<^<3C.1<fc<4D.1</c<4

【答案】C

【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求出4、B兩點坐標，再分別經(jīng)過4B兩點時k的

值即可得出k取值范圍，求出4、B兩點坐標是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???點4在直線y=%上，4點的橫坐標為1,

二?把％=1代入y=%得，y=1,

.X的坐標是(1,1),

VAB=/C=2,

???B點的坐標是(3,1),C點的坐標是(1,3),

???8。的中點坐標為(2,2),

當(dāng)雙曲線y=(經(jīng)過點(1,1)時，k=1；

當(dāng)雙曲線y=W經(jīng)過點(2,2)時，k=4；

Al<fc<4,

故選：C.

6.(2024.湖南常德.一模)將拋物線y=-/+2%+3中％軸上方的部分沿?zé)o軸翻折至反軸下方，圖像的其余

部分不變，得到的新圖像與直線y=%+m有4個交點，則機的取值范圍是()

7121

A.TH4-5B.<zu<—5C.-----<<—3D.TH2一3

44

【答案】C

【分析】本題考查拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a彳0)與x軸

的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于萬的一元二次方程.解方程-/+2乂+3=0得(-1,0),(3,0),再利用折疊的

性質(zhì)求出折疊部分的解析式為y=(%+1)(%-3),即y=/_2%-3(-1<%<3),然后求出直線y=%+

TH經(jīng)過點(3,0)時zn的值和當(dāng)直線y=%+m與拋物線y=%2-2%-3(-1<x<3)有唯一公共點時m的值，

即可得解.掌握拋物線與％軸交點坐標的求法及拋物線與直線交點坐標的求法是解題的關(guān)鍵.也考查了二

次函數(shù)圖像與幾何變換.

【詳解】解：對拋物線y=-/+2%+3,

當(dāng)y=0時，得：一第2+2%+3=0,

解得：x=-1或％=3,

???拋物線與%軸的交點為(一1,0)、(3,0),

???將拋物線y=-x2+2%+3中久軸上方的部分沿式軸翻折到%軸下方，圖像的其余部分不變，

「?新圖像中當(dāng)-1工％W3時，解析式為y=(%+1)(%-3),即y=%2-2%-3,如圖，

當(dāng)直線y=%+TH經(jīng)過點(3,0)時，此時直線y=%+zn與新函數(shù)圖像有3個交點，

把(3,0)代入直線y=%+血，解得：m=-3,

將直線y=%+巾向下平移時，有4個交點，

當(dāng)y=x2-2x-3與直線y=%+血有一個交點時，此時直線y=%+TH與新函數(shù)圖像有3個交點，

整理得：%2—3%—3—m=0,

.,.(-3)2-4(-3-m)=0,

解得：m=

4

綜上所述，新圖像與直線y=X+m有4個交點時，771的取值范圍是-?<771<-3.

故選：C.

7.(2023?安徽?二模)如圖，A,8兩點分別為。。與x軸，y軸的切點.AB=25C為優(yōu)弧4B的中點,

反比例函數(shù)丫=竽0>0)的圖象經(jīng)過點C,則上的值為()

A.3+2V2B.8C.16D.32

【答案】A

【分析】連接。A,OB,OC,過點C作CDLx軸于點。，延長4。交CD于點E,根據(jù)切線的性質(zhì)，等弧所對的圓

心角相等，易得AAOBACOE為等腰直角三角形，四邊形04BF為正方形，四邊形BDEO為矩形，求出點C

的坐標即可.

【詳解】解：連接O4OB,OC,過點C作軸于點D,延長力。交CD于點E,

貝ij：OA=OB=OC,

VA,B兩點分別為。。與x軸，y軸的切點,

：.OB1x軸，0A1y軸,

AOA||x軸，

AOA1OB,

...四邊形40BF為正方形；

".'AB=2迎，

/.OA=0B=2,

：.OC=2,BF=2；

?.?C￡>_Lx軸，OBJ.X軸，0410B,

二四邊形BDE。為矩形，

:.(OEC=90。，OE=OB=2/BOE=90°,OE=BD,

??,C為優(yōu)弧的中點，

1

J./-AOC=乙BOC=-(360°-90°)=135°,

:.乙COE=4BOC-乙BOE=45°,

.".OE=CE=—OC=V2,

2

."-CD=CE+DE=2+V2,DF=BF+BD=2+V2,

/.C(2+V2,2+V2),

?-2k=(2+V2)2-

：.k=3+2立，

故選A.

【點睛】本題考查求反比例函數(shù)的k值，同時考查了切線的性質(zhì)，等弧對等角，矩形的判定和性質(zhì)，等腰

三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，構(gòu)造特殊圖形.本題的綜合性較強，難

度較大.

8.(2023?安徽淮北?三模)如圖，在平面直角坐標系中，4(6,0)、B(0,8),點C在y軸正半軸上，點。

在x軸正半軸上，且CD=6,以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段4B于E、F,則線段EF的最大值為

()

A.3.6B.4.8C.3A/2D.3A/3

【答案】B

【分析】過CD的中點G作EF的垂線與4B交于點過點。作。HLAB于H,連接。G、FG,先求出。4=

6,0B=8,進而求出=10,再根據(jù)等面積法求出。H=4.8,由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到0G=

FG=3,由垂徑定理得到EF=2FM,由FM=A/9-G"2,可知當(dāng)GM最小時，F(xiàn)M最大，即EF最大，再由

OG+GM>OH,得到GM最不值=1.8,則FM謾大值==2.4,即可得到EF展大值=4.8.

【詳解】解：過CD的中點G作EF的垂線與力B交于點M,過點。作。H14B于連接。G、FG

,-?4(6,0),5(0,8)

***OA=6,OB=8,

；?AB=do#+OB2=10，

'：S^ABC=\OAOB=\AB-OH,

：.OH=空空=4.8；

AB

,:CD=6,/.COD=90°,G為CD的中點,

1

：.OG=FG=-CD=3,

2

VGM1FF,

工4GMF=90%EF=2FM,

JFM=y/GF2-GM2=79-GM?,

???當(dāng)GM最小時，F(xiàn)M最大，即EF最大，

\9OG+GM>OH,

A3+GM>4.8,

：.GM>1.8,即GM藻小值=1.8,

,FM數(shù)值=>/^^=24，

?'EF展大值=4-8-

故選B.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理、坐標與圖形、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識點,

正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?安徽蚌埠?一模）如圖，拋物線y=a/+b久+c（a片0）的對稱軸為直線x=-1,與x軸分別交于

A,8兩點，交y軸于點C.現(xiàn)有下列結(jié)論：①a+6+c>0；②爐―4ac>0；③3a+c<0；@ax2+

bx+a>0.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)x=1時丫=a+b+c>0,可判斷①；根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點，可判斷②；根據(jù)對稱

軸為直線乂=一1,可得—；=一1,結(jié)合①可判斷③；根據(jù)丫=。/+6*+。與》軸的交點位置，可判斷

【詳解】解：由圖可知，當(dāng)％=1時，y=a+b+c>0,

故①正確；

???拋物線y=ax2+b%+c（aW0）與x軸有兩個交點，

???一元二次方程a/++。=o（aW0）有兩個不相等的實數(shù)根，

???A=/-4QC>0,

故②正確；

???拋物線y=ax2+bx+c（aW0）的對稱軸為直線式=—1,

bt

---=-1f

2a

???b=2a,

???a+b+c>0,

a+2a+c=3a+c>0,

故③錯誤;

由圖可知，當(dāng)％=-1時，y取最小值，最小值為a-8+c,

y=ax2+bx+a的圖象相當(dāng)于y=ax2+bx+c的圖象上向平移(a—c)個單位，

va—b+c+(a—c)=2a—h=0,

y=ax2+bx+。的圖象與％軸有且只有一個交點，

又??■拋物線開口向上，

???ax2+bx+a>0,

故④正確；

綜上可知，正確的有①②④，

故選C.

【點睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子的符號，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.(2023.安徽黃山.模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丫=梟2—去—四的圖象與X軸

交于點A,C兩點，與y軸交于點2,對稱軸與無軸交于點D,若P為y軸上的一個動點，連接PD,貝U

卜B+PD的最小值為()

A.這B.且C.73D.-V3

424

【答案】A

【分析】作射線B力，作PE1B4于E,作DF1BA于R交y軸于P,可求得乙48。=30。，從而得出PE=

:1PB,進而得出包>+彳1尸5=尸。+招，進一步得出結(jié)果.

22

【詳解】解：如圖,

作射線84作PE184于區(qū)作DF184于憶交y軸于P',

_V3

拋物線的對稱軸為直線久=-二

2XT2

0D=

2

當(dāng)久=0時，y——\/3?

：.0B=V3,

當(dāng)y=0時，梟2_費_乃=0,

??%]——1,%2=2,

???4-1,0),

/.OA=1,

z=-7==~f

,**tanABO=—OB63

：ZABO=30°,

1

：.PE=-PB,

2

：.-PB+PD=PD+PE>DF,當(dāng)點p在p時，PO+PE最小，最大值等于DF,

2

13

在尸中，^DAF=90°-Z-ABO=60°,AD=OD+PA=-+1=~,

?'-DF=AD-sin^DAE=-x---

224f

???GPB+PD)^/、=DF=￥，

故選：A.

【點睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，解直角三角形等知識，解

決問題的關(guān)鍵是用三角函數(shù)構(gòu)造［PB.

11.（2023?安徽合肥?模擬預(yù)測）如圖，RMABC中，乙4cB=90。，邊||%軸，頂點48均落在反比例

函數(shù)y=B（x>o,y>0）的圖象上，延長4B交x軸于點F,過點C作DEII4F,分別交。4,OF于點。、E,若

S"CO

OD=2AD,則可為（）

四邊形BCEF

1：5C.1：6D.V2：10

【答案】C

【分析】連接0C,延長4c交匯軸于G,過B作軸于H,過/作4Ply軸于P,延長交y軸于Q,依

據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意乂，即可得到S矩形4P0G=S矩形BQ0H，進而得出S矩形4PQC=S矩形BCGH，再根據(jù)

S&AOC矩形APQC，OD=2AD,即可得到S-co=^^LAOC=矩形APQC，即可求解?

【詳解】解：如圖所示，連接。C,延長4C交x軸于G,過B作BHlx軸于H,過4作4Ply軸于P,延長

BC交y軸于Q,

"\

?.?頂點48均落在反比例函數(shù)y=>0,y>0）的圖象上,

:矩形APOG=5矩形BQOH=k,

:，S矩形APQC=$矩形BCGH，

'：BC||GF

?c—c

??平行四邊形BCEF~'矩形BCGH，

:，S矩形APQC=S平行四邊形BCEF，

'：AC||PO,

:、SbAOC=55矩形APQC，

VOD=2AD,

?"△4C0=1$△/℃=/矩形APQC'

.S^ACD_1

??<?Af

,四邊形BCEF

故選：c.

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?浙江溫州?一模）如圖，AAOC的頂點力在第一象限內(nèi)，邊。C在久軸正半軸上，點。為原點，反比

例函數(shù)y=>0）交力。于點E,交力C于點B,且點E為4。中點，AB=4BC,若AABE的面積為14,貝?味

的值為（）

【答案】C

【分析】題目主要考查分比例函數(shù)與三角形面積綜合問題，根據(jù)題意，過點E作于點F確定

S^BEC=^SAABE=設(shè)E（a,￡），設(shè)C（b,O），利用三角形面積及相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可，作出

相應(yīng)輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵

【詳解】解：由題意得：y=—（x>0）,OE^AE^^-OA,AB=4BC,S^=14,

XNABE

過點E作EF1/C于點R過點A作/Hl%軸，過點B作夕1%軸，如圖所示：

：.AH||BJ,

：.△BCJ-LACH,

?S"BE_1所48_

??~-i-q,

SABEC-EFBC

:?S^BEC~4LABE—29

設(shè)o

：.A(2a,^\,

設(shè)C(瓦0),

：.0C=b,且S-0c=??OC=[x.=)

又S-ioc=2S“A￡C=2(SAABE+^ABEC)=35,

,,.—=35,

a

..BC5,

*AC

2k

五=5,

yB

2k.5aSa

Xo=k—

5a'b2k2

b—2a

整理得：b=寸,

8

代入些=35得：k=

a3

故選：c

13.（2024?四川達州.一模）在平面直角坐標系xOy中，直線y=fcc（k為常數(shù)）與拋物線y=：/—2交于

A,B兩點，且4點在y軸左側(cè)，P點的坐標為（0,-4）,連接24,PB.有以下說法：①4APO=4BP0；②

P（J2=PA-PB；③APAB面積的最小值為2e.其中所有的正確說法是（）

A.①B.①②C.①③D.②③

【答案】A

{y=kx

=工尤2_2得/一3米一6二0，從而得出血+

y-3%

n=3k,mn=-6,待定系數(shù)法得出直線P4的解析式為：y=—久-4,從而得出直線P4與x軸的交點

m

坐標為(部,0),同理可得：直線P8的解析式為：y4,直線PB與x軸的交點坐標為(彘,0),

由懸+懸=。得出直線24、PB關(guān)于y軸對稱，即可判斷①；由直線P4PB關(guān)于y軸對稱，得出點2關(guān)

于y軸的對稱點4落在P8上，連接。4,貝!|。4=。4NP04="。4,^.T^PO2=PAPB,即P。？=

PA'-PB,證明APCM'SAPB。得出NAOP=NPB。，再由三角形外角的定義及性質(zhì)即可判斷②；表示出

SAPAB=SAPAO+SAPBO=279kz+24,再由二次根式的性質(zhì)即可得出答案，從而判斷③?

【詳解】解：設(shè)/(?n,/c7n),B(n,nk),其中mV0,n>0,

(y=kxi

聯(lián)立12得-x1-2=kx.

(y=-%-23

整理得：x2-3kx-6=0

???m+n=3fc,mn=—6,

設(shè)直線24的解析式為：y=ax+b,

P(0,-4)代入解析式得：?心、二1kM

km+4

a=----

解得:m

b=-4

???直線弘的解析式為：y=*-4,

八,ikm4-4.C

令A(yù)y=°，則r71=》一4=0,

4m

解得久

=km+4f

二直線P4與％軸的交點坐標為（蒜,0）,

同理可得：直線PB的解析式為：y=^x-4,直線PB與％軸的交點坐標為（懸,0）,

4m,4n八

,**-k-m--+--4--1--k--n-+--4-=0,

二直線P4與x軸的交點與直線PB與x軸的交點關(guān)于y軸對稱，即直線24、PB關(guān)于y軸對稱,

AAPO=^BPO,故①正確，符合題意；

??,直線P4PB關(guān)于y軸對稱，

二點4關(guān)于y軸的對稱點4落在PB上，

連接。4,貝1|。4=。4,/.POA=/.POA',

答圖I

假設(shè)P02=P4-P8,即PO2=PA-PB,

.PO_PB

?'PA'~P0'

???乙BPO=乙BPO,

/.△POA'fPBO,

???4POA'=乙PBO,

Z.AOP=乙PBO,

???PB。的外角，

???4AOP>4PBO,故假設(shè)不成立，故②錯誤，不符合題意;

S^PABS&PAO+S^PBO

1,、1

=-OP-(―m)+-OP-n

1

-OP■(ji-m)

=2(n—m)

=2y/（m+n）2—4mn

=2V9k2+24,

當(dāng)k=0時，APHB面積有最小值，最小值為4聲，故③錯誤，不符合題意；

綜上所述，正確的是①，

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形

外角的定義及性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

14.（2024?安徽合肥?一模）如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=BC.4B與矩形DEFG的一邊EF都在直線I

上，其中48=4、DE=1>EF=3,且點B位于點E處.將△ABC沿直線，向右平移，直到點2與點E重合

為止.記點B平移的距離為％,AABC與矩形DEFG重疊區(qū)域面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）

D.

【答案】D

【分析】先根據(jù)CB經(jīng)過點。和C2經(jīng)過點。時計算出x=1和久=3,再分0W比Wl,l<x〈3和3<xW4三

種情況討論，畫出圖形，利用面積公式解答即可.

【詳解】解：當(dāng)8c經(jīng)過點。時，如圖所示：

c

???(DBE=45°,

???DE=1,4DEB=90°,

LCDE1-

???EB=---=-=1；

tan451

當(dāng)ZC經(jīng)過點。時，如圖所示:

??.AE=1,

EB=AB-AE=4-1=3；

①當(dāng)01時，如圖所示:

???HE=tan45°?EB=x,

111

.■.y^-EB-HE^-x-x^-x2o；

②當(dāng)l<x43時，如圖所示:

此時，MN=1,/.MBN=45°,

???EB=x,

??.EN=EB-NB=x—l,

???四邊形。ENM是矩形，

DM=EN=x—1,

y=1(DM+EB)?DE=|(x—l+x)xl=x—

③當(dāng)3cxM4時，如圖所示：

此時/R=1,ZJBR=45°

BR=1,

???EB=x,

ER=DI=x—1,AE=AB—EB=4—x,

4=45。，

??.TE=AE-tan45°=4—x,

???DE=1,

DT=-TE=1-(4-%)=%-3,

???DG||AB,

???Z-DKT=45°,

2

y=S四邊形DERI+SAIRB-SADTK=1X（X-1）+|X1X1-|X（%-3）=~|^2+4x-5.

故選：D.

【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解三角形等知識，關(guān)鍵

是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行運算.

15.（2024?安徽?一模）如圖，在四邊形48CD中，乙4=60。，CD1AD,^BCD=90°,AB=BC=動點

P,Q同時從4點出發(fā)，點Q以每秒2個單位長度沿折線4-B-C向終點C運動；點P以每秒1個單位長度沿

線段4D向終點D運動，當(dāng)其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動.設(shè)運動時間為久秒，△力PQ的面積

【分析】

分當(dāng)0Wx<2時，點Q在2B上和當(dāng)2WxW4時，點Q在上，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過Q作QN_L4D于N,當(dāng)0Wx<2時，點Q在AB上，

：.AAQN=90°-60°=30°,

AN^AQ=|x2x=x,

QN=JAQ2-AN2=V3x)

y=|XAPXNQ=|X%XV3x=-yx2,

當(dāng)2WxW4時，點Q在BC上，過點B作BM,力。于點M,

\'BMAD,4=60°,

：.2LABM=30°,

AA/=—AB=—x4=2,

22

BM=VAB2-AM2=2上，

'：CD1AD,QN1AD,

：.QN||CD,

J.Z.BQN=乙BCD=90°,

,：BM1AD,CDLAD,

...四邊形BMNQ是矩形，

QN=BM=2V3,

y=^AP-QN=|xX2A/3=V3x,

綜上所述，當(dāng)0W%<2時的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)2WXW4時，函數(shù)圖象是直線的一

部分，

故選：D.

【點睛】

本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，矩形的性質(zhì)，勾股定理，30度直角

三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?安徽?模擬預(yù)測）如圖，△力BC為等腰直角三角形，ZACB=90°,AB=2,正方形DEFG的邊長為

1,且力B與DE在同一條直線上，AABC從點B與點。重合開始，沿直線DE向右平移，直至點4與點E完全重

合時停止.設(shè)BD的長為與正方形DEFG重合部分（圖中陰影部分）的面積為y,則y與x之間的函數(shù)

圖像大致是（）

CGF

A.

【答案】B

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，拋物線的解析式及其圖像，分割法計算面積，分類思想，圖

像信息的獲取與處理，利用分類思想，表示不同階段的圖形面積，再畫出大致圖像即可.

【詳解】解：①當(dāng)0WxW1時，為等腰直角三角形，ZACB=90。,=2,正方形OEFG的邊長為

1,

:.乙GDE=9Y/DBC=45°

?.?設(shè)8。的長為x,

：.y^-BD2=-x2；

,22

??,設(shè)BO的長為X,

：.BE=BD-DE=x-1,AD=AB-BD=2-x,

ZCAB=ZDBC=45°,

：.y=-IABGD--1ADr2l--BEo2

J222

Ill

=-x2x1--(2-x)2--Cx-I)2

2,n3(3V.3

=—x+3%——=—x——+一；

2\2/4

③當(dāng)2<xW3時，根據(jù)題意，得4。=B0—28=x—2,

AE=DE-AD=1-(x-2)=3-x,

：.y=-AE2

72

=|(3-x)2.

觀