專(zhuān)題02幾何填空題--重慶中考?jí)狠S題

壓軸題密押

通用的解題思路:

通常考查的形式：翻折問(wèn)題、求解線(xiàn)段長(zhǎng)度

通常用到的輔助線(xiàn)及知識(shí)點(diǎn)：勾股定理、相似、等面積法

經(jīng)典例題

1.（中考真題）如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,A8=AC,點(diǎn)。為上一點(diǎn)，連接AD過(guò)點(diǎn)5作

BELAD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,若BE=4,CF=\,則EF的長(zhǎng)度為3.

【解答】-BELAD,CFLAD,

：.ZBEA=ZAFC=90°,

ZBAE+ZABE=90°,

VZBAC=90°,

：.ZBAE+ZFAC=90°,

AZFAC=/ABE,

在AABE和△CA/中，

'/BEA;NAFC

</ABE=/FAC，

AB=AC

AABE^ACAF(A4S),

：.AF=BE,AE=CF,

VBE=4,CF=1,

：.AF=BE=4fAE=CF=\,

：.EF=AF-AE=4-1=3,

故答案為：3.

壓軸題預(yù)測(cè)

1.在團(tuán)ABC。中，ZBAD的平分線(xiàn)交邊CD于點(diǎn)E,與邊的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)0,若點(diǎn)。恰好為線(xiàn)段

AE的中點(diǎn)，且tan/DAE上，EC=2,則的長(zhǎng)是—型

35

【解答】解：連接

???四邊形ABC。是平行四邊形，CE=2,

J.CD//AB,

：.ZDEA=ZBAE,

VZBAD的平分線(xiàn)交邊CD于點(diǎn)E,

：.ZDAE=ZBAE,

：.NDEA=NDAE,

：,ED=AD=BC,

：.AB=CD=ED+2=BC+2,

??,尸。垂直平分A3,點(diǎn)O是線(xiàn)段AE的中點(diǎn),

AZAFO=90°,AF=BF,AO=EO,

J.BE//FO,

：.ZBEC=ZABE=ZAFO=90°,

=tanZBAE—tanZDAE=—,

AB3

(BC+2)=2BC+_￡,

3333

VBE2+CE2=BC2,

/.(2.BC+A)2+22=靖，

33

整理得5BC2-16BC-52=0,

解得BC=空或BC=-2（不符合題意，舍去）,

5

的長(zhǎng)是空，

5

故答案為：26.

5

2.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為A8上一點(diǎn)，將△AEP沿所折疊后，點(diǎn)A恰好落

在CP上的點(diǎn)G處，過(guò)點(diǎn)尸作切〃AD交EG于點(diǎn)X,若AB=16,4。=24,則GW=21.

—8—

【解答】解：連接CE,

:四邊形ABC。是矩形，AB=16,AD=24,

；.Cr)=AB=16,BC=AD=24,ZA=ZB=ZD=90°,

:點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，

.".AE=DE=AAB=AX24=12,

22

由折疊得GE=AE=Z)E=12,GF=AF,ZEGF=ZA=90°,ZGEF=ZAEF,

?.ZCGE=180°-90°=90°,

在RtACGE和RtACDE中，

[CE=CE,

lGE=DE，

RtACGE^RtACDE(HL),

：.CG=CD=16,

；BC2+BF2=CF2,且BF=16-AF=16-GF,CF=16+GF,

.\242+(16-GF)2=(16+GF)2,

解得GF=9,

'：FH//AD,

：./HFE=ZAEF^ZGEF,

：.FH=EH=12-GH,

"：GF2+GH2=FH2,

：.92+GH2^(12-GH)2,

解得GH=21,

8

故答案為：21.

3.如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別是AC,上的兩點(diǎn)，BELEF,AF=2,則AE的

長(zhǎng)為_(kāi)7的一

【解答】解：過(guò)E作〃&8交于交BC于N,

則四邊形是矩形，

:.AM=BN,MN=AB=5,

??,四邊形ABC。是正方形,

：.ZMAE=45°,

???LAME是等腰直角三角形,

：?BN=ME,

?：BELEF,

：.ZBEF=9Q°,

???ZFEM+ZEFM=ZFEM+NBEN=90°,

：.ZEFM=ZBENf

在AEFM與ABEN中,

'NEMF=NBNE

<ZEFM=ZBEN，

EM=BN

△EFAgABEN(AAS),

:?FM=EN,

設(shè)FM=EN=x,

\MN=EM+EN=2+2x=5,

?尤=3

2

'.AM=L,

2

4.如圖，在△ABC中，AB=CB,。為BC中點(diǎn)，將△ACD沿AO邊翻折，得到△AED,￡)E與AB相交于

點(diǎn)、F,DEIAB,AC=2V5,則上=-H

A

E,

ZF\/\

BDC

【解答】解：,?,0為3。中點(diǎn)，

?,S/\ABDSAACD,DC二1BC，

???將△ACO沿AD邊翻折得到△AE。，

,

:$AED=SAACD,DE=DC=-^-BCAE=AC=2遙,

??S^AED=SAABD,

?；DELAB,

/.1DE-AF=4-ABFD-gplBC-AF=AB-FD，

222

"：AB=CB,

：.AF^2FD,

設(shè)尸。=a,CD=BD=b,則AF=2a,AB=2b,

:.FB=AB-AF=2b-2a,EF=ED-FD=b-a,

在RtZXB/m中，由勾股定理可得BF2+F￡>2=B￡)2,即(2%-2a)2+/=廬①,

在中，由勾股定理可得石耳+硼2=&￡2,即(b-a)2+(2a)2=(2函V②，

由①得4(b-a)2—b2-a2—(b-a)(b+a),則4(b-a)—b+a,即》^^行；

3

將背a代入②得ea-a「+(2a)2=(2而產(chǎn)，貝U2/=%解得2卷后石(負(fù)值舍去);

DF=a="|V2'

故答案為:2^,

5.如圖，ZVIBC中，是NR4C的角平分線(xiàn)，BDLAD,垂足為。，過(guò)。作。石〃AC交AB于點(diǎn)E,過(guò)。

V127

作。P_LDE交AC于點(diǎn)R連接EF,已知A3=4,BD=3,貝!|斯=

.4―

【解答】解：延長(zhǎng)AC交3。的延長(zhǎng)線(xiàn)與“，如圖所示:

'：AD是NBAC的角平分線(xiàn)，

；.NBAD=NHAD,

'：BD.LAD,

：.ZBDA=ZHDA=90a,

在△A3。和中，

rZBAD=ZHAD

-ZBDA=ZHDA=90°，

AD=AD

.'.△ABD咨LAHD(AAS),

：.BD=HD,

即點(diǎn)。為即/的中點(diǎn)，

5L,：DE//AC,

.?.OE為①/的中位線(xiàn)，

.?.點(diǎn)￡為A8的中點(diǎn)，

在中，OE為斜邊A8的中點(diǎn)，43=4,

.?.OE=_1AB=2,

2

在中，AB=4,BD=3,

由勾股定理得：AD=JAB2_BD2=V7,

*：DE//AC,DFLDE,

：.DF±ACf

：.ZBDA=ZDFA=90°,

/BAD=/HAD,

：.ABDA^/\DFA9

：.BD：DF=AB：AD

即3：DF=4：V7,

.?.。尸=宜工

4

在Rt/XQEF中，DE=2,。尸=3巨，

4

由勾股定理得：￡/=’0后2+DF2=)，人.

故答案為：返之.

4

6.如圖，在Rt/VIBC中，NC=90°,NABC的平分線(xiàn)交邊AC于點(diǎn)。，Z)E_LAB于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在邊C8

上，^AD=DF,CF=2,BF=5,則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)是9.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,NABC的平分線(xiàn)交邊AC于點(diǎn)。，OE_LA8于點(diǎn)E,

:.DE=DC,

在RtABED與RtABCD中，

fDE=DC；

lBD=BD，

?.RtABED^RtABCD(HL),

：.BE=BC,

在RtAAZ)￡與RtAFDC中，

[AD=DF,

1DE=DC'

/.RtAADE^RtAFDC(HL),

：.AE^CF,

,:CF=2,BF=5,

：.BE=BC=2+5=1,

：.AB=AE+BE=2+1=9,

故答案為：9.

7.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E為A。上一點(diǎn)，連接8R點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接EC交8P于點(diǎn)G.當(dāng)

BC=V6,B￡=V10,EG=?A。時(shí)，GB的長(zhǎng)度為返豆_

4-8-

【解答】解：過(guò)點(diǎn)G作GXLBC于H,

???四邊形A8C￡＞是矩形，

ZABC=90°,AD=BC=^,

VBC=V6,BE=yJ-LO,

""-C￡=7BE2+BC2=4,

?:EG=^-AD,

4

；.EG=旦，

2

，CG=4-3=5,

22

'：ZCHG=ZCBE=90a,

J.GH//BE,

.,.△CGHs^CBE,

???C-H=--H-G=--C-G，

BCBECE

5_

?CH_HG_」

..否一屈—W，_

.CH_5娓HC_5V_10

■,8-8-'

：.BH=BC-CH=A/6-SV6=3V6；

88

DC

8.如圖，四邊形ABC。是矩形，AB=3,AD=4我，點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別為邊AB,C￡）的中點(diǎn),點(diǎn)M是邊AD

上一點(diǎn).將△ABM沿BM翻折后得到△N8M,點(diǎn)N恰好在線(xiàn)段EF上，則點(diǎn)N與點(diǎn)D之間的距離為

V21.

\,把沿翻折.當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在EF上，

：.AB=NB,

又：點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別為邊AB,CD的中點(diǎn)，AB=3,皿=4/§，

：.EF//AD//BC,AE=BE=DF=CF^-AB=1-'

???EF=4?,

'：ZBAD=90°,

ZAEN=90°,即EFLAB,

:.NB=AN,

.?.△ABN為等邊三角形，

ZABN=60°,

???EN=BE，tanNABN#^，

故答案為：V21.

9.如圖，在四邊形ABEC中，/3EC和/BAC都是直角，＞AB^AC.現(xiàn)將△BEC沿BC翻折，點(diǎn)E的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為E,8E與AC邊相交于。點(diǎn)，恰好8E是/A8C的角平分線(xiàn)，若CE=E，則的長(zhǎng)為2M.

ZBE'C=NE=90°,CE'=CE=?,

'：BE'是/4BC的角平分線(xiàn)，

：.ZCBE'=/FBE',

"：BE'=BE',

:ABE'C^/XBE'F(ASA),

：.E'F=CE'=?,

：.CF=243,

VZFCA+ZF=90°,

ZDBA+ZF=90°,

：.ZFCA=ZDBA,

'：ZFAC^ZDAB=90°,

AB=AC,

；./\FCA絲ADBA(ASA),

：.BD=CF=2-/3.

故答案為：2M.

10.如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB^AC,ZA=40°,折疊該紙片，使點(diǎn)A落在點(diǎn)2處，折痕為

DE,則NCBE=300.

A

：.ZABC=ZC=180°"4C,°=7Q°；

20

由題意得：

AE=BE,

：.ZA=ZABE=40°,

:?NCBE=7U°-40°=30°,

故答案為：30.

11.如圖，在正方形ABC。中，AB=8,E是AB的中點(diǎn)，尸是3C延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，將△5E/沿EF折疊得到

△GEF,連接BG并延長(zhǎng)分別交ERAD于。、H兩點(diǎn)、,若GO=3GH,則BF的長(zhǎng)度為」底_.

【解答】解：：四邊形ABC。是正方形，AB=8,E是48的中點(diǎn),

：.BC^AB=8,/EBF=/B=9G°,

/.AE=EB=—AB=4,

2

ABEF沿EF折疊得到△GER

EE垂直平分BG,

OB=OG=3GH,/B0E=9Q°,

設(shè)GH=m,貝iJO8=OG=3機(jī)，NH=7m,

'：ZBOE=ZA=90°,ZEBO=ZHBA,

MBOEsABAH,

???BO=--B,E

BABH

???3m—_—4,

87m

._4V42

??YYl----------,

21

?r.P-4742

7

0￡=VBE2-OB2>

'：ZFBE=ZBOE,NFEB=NBEO,

.?.△EBFSAEOB,

??--B-F-=-B-E,

OB0E

.BF=4

"4^/42-4V7)

~T~

：.BF=4巫.

故答案為：476.

12.如圖，D,E是△ABC外兩點(diǎn)，連接AQ,AE,WAB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=40°.連接

CD,BE交于點(diǎn)、F,則/。尸￡的度數(shù)為140°

【解答】解：設(shè)A8交C。于點(diǎn)G,

VZBAD=ZCAE=40°,

/BAE=ZDAC=40°+ZBAC,

在△BAE和4c中,

'AB=AD

，NBAE=NDAC，

AE=AC

.'.△BAE咨ADAC(SAS),

ZABE=ZD,

：./BFD=ZBGD-ZABE=ZBGD-/D=NBAD=40°,

.\ZDF￡=180°-ZBFD=180°-40°=140°,

故答案為：140°.

13.如圖，在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=Y|^，點(diǎn)。為斜邊油的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線(xiàn)段BC

上一點(diǎn)，連接AE,在AE上取點(diǎn)F,連接BF.DF,若/瓦加=45°,且DF=近，則線(xiàn)段CF的長(zhǎng)為

V13.

-----1.

2----

【解答】解：連接C。，作。M_L￡）尸于作DNLBF于N,

VZMFD=45°,

...△A。尸為等腰直角三角形,

:.DF=DM=M，MF=ax&=2,

"：DN±BF,

：.DN=MN=FN=^MF=1,

2

"：AC=BC,ZACB=90°,。為AB中點(diǎn)，

/.AD=C￡)=BD=-1AB=—X、匡

22V22

NCDB=NMDF=90°,

：.ZBDM=ZCOF=9Q°-ZMDC,

在和△DCF中，

'DM=DF

<ZBDM=ZCDF-

DB=DC

:.ADBM”ADCF(SAS),

：.BM=CF,

-1-

故答案為：'亙-1.

2

14.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=4遙，將△ABC繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△48C,滿(mǎn)

足A181〃AC,過(guò)點(diǎn)8作BEL41C,垂足為E,連接AE,若以ABE=4&ACE,則A8的長(zhǎng)為4旄.

如圖:

'：AiBi//AC,

???ZAi=ZAiCA,

??,將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△AiBiC

???NAi=N8AC,

???ZA1CA=ZBAC,

：.CD=ADf

VZACB=90°,

：.ZCBD+ZBAC=90°=ZA\CA+ZBCD9

:./CBD=/BCD,

:,BD=CD,

:.BD=CD=AD,

SABDE=SAADE=—SMBE,

2

***SAABE=4SAACE,

S/\BDE=SAADE=2s△ACE,

.SAACE

^AADE2

-CE_1

??--------9

DE2

設(shè)CE=x,貝IJOE=2無(wú)，CD=3x=BD=AD,

；?B￡=VBD2-DE2=心,

ABC=VBE2-K;E2=&X,

?；/BCE=/CBA,NBEC=9Q°=NBCA,

:.△BCEs^ABC,

?BE=BC

"ACAB'

VAC=4V5,

.x*V5x*V6

??布=AB，

；.AB=4,后.

故答案為：476.

15.如圖，矩形ABC。中，AB=3娓,BC=12,E為AD中點(diǎn)，尸為A8上一點(diǎn)，將AAE尸沿跖折疊后,

點(diǎn)A恰好落到CP上的點(diǎn)G處，則折痕EF的長(zhǎng)是2任.

【解答】解：如圖，連接EC,

?..四邊形A8C￡)為矩形，

ZA=ZD=90°,BC=AD=n,DC=AB=3娓,

為4。中點(diǎn)，

：.AE=DE=1AD=6

2

由翻折知，0△GEF,

：.AE=GE=6,ZAEF=ZGEF,ZEGF=ZEAF=90°=ZD,

：.GE=DE,

；.EC平分4DCG,

：.ZDCE=ZGCE,

,//GEC=90°-ZGCE,/DEC=90°-ZDCE,

：.ZGEC=ZDEC,

：.ZFEC=ZFEG+ZGEC=Ax180°=90°,

2

.\ZFEC=ZD=90°,

又「NDCE=NGCE,

:.△FECS^EDC,

???F-E=--EC,

DEDC

EC=VDE2+DC2=V62+(3V6)2=3，

.FE3V10

6376

.".FE=2A/15,

故答案為：2后.

16.如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,ZDCB=120°,連接AC,BD,點(diǎn)E,b分別是

線(xiàn)段AC,5。的中點(diǎn)，若EF=1,貝!]BD的長(zhǎng)為2y.

【解答】解：連接ObBE,

VZABC=ZADC=90°，點(diǎn)E是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，

CE—DE—BE—X,

丁點(diǎn)尸是線(xiàn)段5。的中點(diǎn)，

：.DF=BF,

：?EF_LBD,

?:CE=DE=BE,

:?/CDE=NDCE,NEDB=NEBC,

ZDCB=120°,

：.ZCDE+ZCBE=ZDCE+ZBCE=ZDCB=nO°,

AZZ)EB=360°-120°-120°=120°,

：.ZDEF=ZBEF=60°,

?；EF=1,

：.DF=BE=MEF=V3,

ABD=2V3,

故答案為：2A/3.

17.如圖，矩形紙片ABC。中，E為2C的中點(diǎn)，連接AE,將△ABE沿AE折疊得到△APE,連接C?若

AB=4,BC=6,則C尸的長(zhǎng)為—?dú){

【解答】解：連接8R交AE于點(diǎn)O,

由折疊可知：

BE=EF,ZAEB=ZAEF,AE±BF,OB=OF,

:點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

:.BE=CE=EF=3,

：.NEFC=ZECF,

"?/BEF=ZECF+ZEFC,

：.ZAEB=ZECF,

：.AE//CF,

：./BFC=NBOE=90°,

在中，由勾股定理得：

A￡=VAB2+BE2=5,

.K0=AB?BE=4X3=12

"AE5~5'

.?.BF=280=21,

5

在Rt^BCF中，由勾股定理得：

22

CF=7BC-BF=荷-普）3=普'

V0D

故答案為：巡

5

18.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=9Q°,AB=4,BC=3,點(diǎn)。、點(diǎn)E分別為邊AC上兩點(diǎn)，將邊沿

BD翻折，使得點(diǎn)C落在邊AC上的點(diǎn)F處,再將邊AB沿BE翻折，使得點(diǎn)A落在BF的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)

G處，則△8EG的面積為2支

-25一

【解答】解：.將邊2C沿8。翻折，使得點(diǎn)C落在邊AC上的點(diǎn)尸處,

C.BDLAC,CD=DF,ZCBD=ZFBD,

VZABC=90°,AB=4,BC=3,

：-AC=VAB2+BC2=5，

75AACB=yAB-BC=yAC-BD-

.&D=AB"BC=4X3=12

"AC5T"

22

：,CD=VBC-BD=（營(yíng)J=得'

VDD

:將邊AB沿BE翻折，使得點(diǎn)A落在BF的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)G處，

/ABE=ZFBE,LABE當(dāng)AGBE,

VZABC=90°,

：.ZEBF+ZDBF^^-xgg°=45°,

/.ABED是等腰直角三角形，

；.Z）E=BD=超，

5

???35咤-看卻

過(guò)E作EHLAB于H,

J.EH//BC,

△AEHs^ACB,

.EH_AE

"BC'AC

_4

.EH?

?-.......—

35

「?△BEG的面積=的面積=JAB，EH=!X4乂4=普，

222525

故答案為：24

25

19.如圖，在三角形ABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,點(diǎn)。、點(diǎn)E分別為線(xiàn)段AC、A8上的點(diǎn)，連

結(jié)QE.將△AOE沿。E折疊，使點(diǎn)A落在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)尸處，止匕時(shí)恰好有/8EE=30°,則CF

的長(zhǎng)度為一空告蹌

【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作ENLBC于點(diǎn)N,

VZACB=90°,AB=5,AC=4,

BC=VAB2-AC2=3,

設(shè)NE=x,

?:/BFE=3Q°,

：.EF=2x,NF=y/3x,

由折疊得：AE=EF=2x,

：.BE=AB-AE=5-lx,

?:NE"AC,

:?△BNEs^BCA,

?NE=BE=BN

**ACBABC

???—x—_5-2x=BN

453

解得：尸幽BN=在

1313

:.NF=MX=2。爪,CN=BC-BN=3-叵=生,

131313

/.CF=NF-CN=型叵-24=222/^-24.

131313

故答案為：空算.

20.如圖，矩形紙片ABC。，AD^12,AB=4,點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，將△￡＜：￡＞沿。E向上翻折，點(diǎn)C的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)。落在線(xiàn)段AD上，點(diǎn)M,N分別是線(xiàn)段與線(xiàn)段BC上的點(diǎn)，將四邊形ABNM沿MN向上翻折,

點(diǎn)8恰好落在線(xiàn)段。E的中點(diǎn)⑶處.則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)

【解答】解：如圖，作2下，2C于尸，連接28,交于G,連接3M,

由題意可知，四邊形COCE,是正方形，