按通常矩陣的加法及數與矩陣的乘法，下列數域F上方陣集合是否構成F上的線性空間：全體形如的二階方陣的集合；（2）全體階對稱（或反對稱、上三角）矩陣的集合；（3）（為給定的階方陣）.解：（1）設①② ③存在零向量，使得對每個，④對每個，存在負向量,使得再令⑤⑥⑦⑧所以全體形如的二階方陣的集合構成F上的線性空間。（2）設是一個非空集合，是數域.因為為全體階對稱矩陣，所以令，其中，又在中有向量的加法，使得對任意的向量，有和向量.對每個純量及向量,有純量積.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③存在零向量，使得對每個,=4\*GB3④對每個,存在負向量,使得=5\*GB3⑤令=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧所以，（全體階對稱矩陣的集合）是上的一個線性空間（或向量空間）.（3）設是一個非空集合，是數域.因為（為給定的階方陣），所以令，其中，又在中有向量的加法，使得對任意的向量，有和向量.對每個純量及向量,有純量積.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③存在零向量，使得對每個,=4\*GB3④對每個,存在負向量,使得=5\*GB3⑤令=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧所以，（（為給定的階方陣））是上的一個線性空間（或向量空間）.2、正實數集R+=aa>0,a∈R。對R+，規(guī)定加法運算a⊕b=ab,?a,b∈R（1）證明：易得a⊕b=ab∈①a⊕b=ab=ba=b⊕a.②設?c∈R+，則③對?a∈R+，由a⊕x=ax=a,則x=1.故1是④對?a∈R+，由a⊕y=ay=1,則y=1a⑤設x,y∈R,a,b∈R+xy⊙⑥證明：1⊙1⊙a=a⑦證明：xx⊙⑧證明:x+y⊙（2）解：由（1）中知，全體正實數R+的零元素為1，再任取r∈設s=l⊙r=rl,則l=log3.在維線性空間中，下列維向量的集合，是否構成的子空間；解：分析：運用定理1.1（見課本P3）MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h4.在維線性空間中，下列子集是否構成的子空間：（1）；（2）。解：（1）任取,,有,,即,對加法運算不封閉由此可得子集不能構成的子空間。（2）任取,,有,,,,由此可得,則對加法及數乘運算封閉，因此構成的子空間。 7.試求ε1ε2ε3ε4到η1η2η3η4的過度矩陣。試求η1η2η3η4到ε1ε2ε3ε4的過度矩陣。求A=在兩組基下的坐標。解：設（η1η2η3η4）=（ε1ε2ε3ε4）A1由于：η1==-ε1+0ε2+0ε3+2ε4η2==0ε1+3ε2-1ε3+4ε4η3==2ε1+1ε2+0ε3+1ε4η4==1ε1-3ε2+0ε3+2ε4A1=A1即為所求過度矩陣使得（η1η2η3η4）=（ε1ε2ε3ε4）A1（2）由（1）知（η1η2η3η4）=（ε1ε2ε3ε4）A1則有（η1η2η3η4）A1-1=（ε1ε2ε3ε4）設A2=A1-1使用構造法（A1|E）(E|A2)得到A2=A1-1=使得（η1η2η3η4）A2=（ε1ε2ε3ε4）（3）A==-ε1+3ε2+0ε3+2ε4故得到A在ε1ε2ε3ε4下的坐標為（2）知（η1η2η3η4）A2=（ε1ε2ε3ε4）有=A2解得=故得到A在η1η2η3η4下的坐標為8.試證：在中，由（1，1，0，0），（1，0，1，1）生成的子空間與由（2，-1，3，3），（0，1，-1-，-1）生成的子空間相同。證明：由題意可得，即。試求的子空間的交的一組基。解：則有，化簡得，得到此時便是的一組基。試求的基和維數。解：已知，且又下面求，令對進行初等行變換得可知又由維數公式11證明：對于，由解得：則為的基dim=n-1對于，由解得的基為dim=1+=又即是+的基dim(+)=n由維數公式dim()=dim+dim-dim()所以dim()=n-1+1-n=0所以12.證明T1（x1,x2）=(x2,-x1);T2（x1,x2）=(x1,-x2)?（x1,x2）∈R2,是R2上的兩個線性變換，并求T1+T2證明:解：由可知，所以，到的過渡矩陣