2025s有欲考火必騎制,6人者JLm總易跟煉利藤

-----------------------------------------------------OLHJO-----------------------------------------------------

才點(diǎn)一數(shù)列.............................................................................1

考點(diǎn)二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)......................................................................6

考點(diǎn)三三角語(yǔ)數(shù)........................................................................11

考點(diǎn)日空間向量與立體幾何.............................................................21

專贏五穌計(jì)與概率.....................................................................29

考點(diǎn)六BI缽曲線的方程.................................................................36

L“綠水青山就是金山銀山.”我國(guó)某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，已知該地區(qū)有土地1萬(wàn)平方千米，其中

70%是沙漠,從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲I,同時(shí)原有綠洲的

4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠,設(shè)從今年起第n年綠洲面積為an萬(wàn)平方千米.

⑴求冊(cè)與“_1(口＞2)的關(guān)系；

(2)判斷｛M一看｝是不是等比數(shù)列,并說(shuō)明理由；

(3)至少經(jīng)過(guò)幾年，綠洲面積可超過(guò)60%?(lg2?0.301)

?M

2.已知數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=——---(riCN*).

nnn(n+2)

(1)計(jì)算(13+(14的值;

(2)熹是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是,應(yīng)為第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由.

3.已知等差數(shù)列｛%｝滿足(23>電,的+￡13=10,電,(12—1,￡13成等比數(shù)歹|.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)若0=&,求數(shù)列｛bn｝的前八項(xiàng)和Tn.

3n

4.若存在非零常數(shù)t,使得數(shù)列｛%｝滿足an+1-aia2a3…冊(cè)=力伽>1,nCN),則稱數(shù)列｛冊(cè)｝為“以⑴數(shù)

歹U”.

(1)判斷數(shù)列：1,3,5,11,152是否為“曲(2)數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

(2)若數(shù)列｛冊(cè)｝是首項(xiàng)為1的“H⑴數(shù)列”，數(shù)列｛0｝是等比數(shù)歹U,且｛狐｝與｛0｝滿足匯成=aia2a3

i=l

■■-an+log20，求t的值和數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式；

Sn-n

(3)若數(shù)列｛%｝是“H(t)數(shù)列“，S”為數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和，S>11>0,證明：土>Sn+1-Sn-e'

5.已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是1,其前幾項(xiàng)和是S“，且冊(cè)+1=冊(cè)+2n+1,HCN*.

(1)求a2,CI3的值及數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在實(shí)數(shù)九使得關(guān)于n的不等式4+S”W25期HCN*有解,求實(shí)數(shù)才取到最大值時(shí)n的值.

6.已知函數(shù)卬(①)的定義域?yàn)椤?，?duì)于任意的nEN*,數(shù)列｛a”｝,｛%｝滿足a”0C。，a”￥口,且@(冊(cè))=

?(圖),則稱｛%｝,｛.｝為"(x)下的一對(duì)學(xué)生數(shù)列”.

(1)若函數(shù)/(1)=㈤,請(qǐng)寫出“/(c)下的一對(duì)學(xué)生數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)函數(shù)gQ)=①+曰Q(O,k〉O)，若｛冊(cè)｝,｛口｝為“。(為下的一對(duì)攣生數(shù)列”，證明：④+

(3)設(shè)函數(shù)％0)=d)~e;若｛?｝,｛*｝為“％(比)下的一對(duì)攣生數(shù)列”，證明：數(shù)列｛金+或｝的前

X

2025項(xiàng)和大于4050.

考點(diǎn)二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

7.已知幕函數(shù)/(乃=(m2+3巾+3)爐時(shí)1為偶函數(shù).

(1)求/(c)的解析式；

(2)若/(a—1)>/(l+2a),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

8.已知定義在R上的函數(shù)/(乃=2士且滿足5/(2)=9/(1),且/(0)=0.

2x+b

(1)求/(①)的解析式,并判斷了(①)的奇偶性；

(2)證明：/(乃在R上為增函數(shù).

9.已知定義在R上的函數(shù)/(①)滿足/Q)—2/(-2；)=3x2-5x+2.

(1)求/(c)的解析式；

⑵若g(rc)=—/(c)—2/+1力在區(qū)間［a,a+l］內(nèi)有最小值2,求實(shí)數(shù)a的值.

O

???

1。.已知函數(shù)/（，）=a一不

（1）若/（2）=0,方程/（力）=。+/有唯一解,求/（2）的解析式；

（2）若6=0,判斷函數(shù)g（C）=（/—+~-的奇偶性并說(shuō)明理由.

\f{x）-a\

11.函數(shù)/（①）=lna3_a（：J）.

X-]-l

（1）Q=3時(shí)，討論/（/）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)/（力）有兩個(gè)極值點(diǎn)g、g，曲線g=/（力）上兩點(diǎn)（如/（0））、（gj（g））連線斜率記為k，求

證:R＞上了.

（3）盒子中有編號(hào)為1-100的100個(gè)小球（除編號(hào)外無(wú)區(qū)別），有放回的隨機(jī)抽取20個(gè)小球，記抽取的

20個(gè)小球編號(hào)各不相同的概率為p,求證：pV占.

e2

12.若將對(duì)于任意立、yGR總有f(x+n)+f(x-y)=2Hx)f(y)的函數(shù)稱為“類余弦型”函數(shù)?

(1)已知/Q)為“類余弦型”函數(shù)，且徐⑼>0，/(2)=?，求。1)的值；

O

⑵在⑴的條件下，若數(shù)列：冊(cè)=2/(九+1)-/⑺(nCN*),求log?等+log2岑H---Flog2-^-的值；

OOO

⑶若g(c)為“類余弦型”函數(shù)，且g(0)>0,對(duì)任意非零實(shí)數(shù)力，總有g(shù)⑴>1.設(shè)有理數(shù)21、/2滿足⑹

>I力J,判斷g(g)與g(0)的大小關(guān)系,并給出證明.

考點(diǎn)三三角圖數(shù)

13.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊是a、b、c,已知M+c=2b"為常數(shù).

⑴若久=0,a=2,求△ABC面積的最大值；

（2）若/!=1,cosA+cosC=，求sinB的值.

O

14.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(a—c),sin(B+C)=(fe—c)?(sinB+sinC),b=

V3.

⑴求8

⑵若|互1+於|=3,求△ABC的周長(zhǎng)；

⑶如圖，點(diǎn)。是ZVIB。外一點(diǎn),設(shè)ZBAC=ZDAC=0,且乙4。。=4兀，記ABCD的面積S,求S關(guān)

O

于。的關(guān)系式，并求S的取值范圍.

???

15.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系rcOy中，點(diǎn)尸0，9）繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角。至點(diǎn)

（1）試證明點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式：=xcos^^嗎,.

［y=resmc/+ycosc/

（2）設(shè)6G（0,2兀）,點(diǎn)^（0,-1）繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角e至點(diǎn)A，點(diǎn)A再繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)角6至點(diǎn)B,且直線P￡的斜率A；=—1，求角。的值；

（3）試證明方程為d+四功=6的曲線。是雙曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).

16.如圖所示，已知函數(shù)/（2）=Asin（o①+⑴V個(gè)）的圖象與直線J/=b（0<b〈A）相交.

⑴求函數(shù)/（①）的解析式；

（2）求函數(shù)g（rr）=/（必）+2cos（0c+?）在區(qū)間［—^-,1］內(nèi)的值域.

17.已知函數(shù)/⑺=24靖等+sin。-1,將函數(shù)/⑺的所有正的零點(diǎn)從小到大排列組成數(shù)列｛飆｝.記

[利表示不超過(guò)力的最大整數(shù),數(shù)列｛bJ滿足bn=[%+1].

⑴求數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式;

（2）從數(shù)列｛bn｝的前九項(xiàng)中（%>2）,隨機(jī)選出兩個(gè)不同的項(xiàng)相乘，所得結(jié)果為偶數(shù)的概率為Pn.是否

存在一個(gè)正整數(shù)N,當(dāng)時(shí)，恒有月〈言，若存在，求出N的最小值，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

5

匕r，且數(shù)列｛cj的前幾項(xiàng)和為S”,求證：S2“<ln2.

⑶數(shù)列｛4｝滿足品

18.用一個(gè)矩形鐵皮制作成一個(gè)直角圓形彎管（如圖1）：將該矩形鐵皮圍成一個(gè)圓柱體（如圖2）,再用一個(gè)

與圓柱底面所成45°的平面截圓柱，將圓柱截成兩段,再將這兩段重新拼接就可以得到直角圓形彎管.

現(xiàn)使用長(zhǎng)為2兀,寬為兀的矩形鐵皮制作一個(gè)直角圓形彎管，當(dāng)?shù)玫降闹苯菆A形彎管的體積最大時(shí)（不

計(jì)拼接損耗部分），解答下列問(wèn)題.

圖1

（1）求該直角圓形彎管的體積；

（2）已知在制造直角圓形彎管時(shí)截得的截口是一個(gè)橢圓,求該橢圓的離心率；

（3）如圖3,若將圓柱被截開(kāi)的一段的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開(kāi)，并展成平面圖形（如圖4）,證明：

該截口展開(kāi)形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象，并指出該正弦型函數(shù)的最小正周期與振幅.

考點(diǎn)四空間向量與立體幾何

19.如圖，四面體P-ABC中，上4=48=BC=1,PC=V3,PA-L平面ABC.

（1）求證：BC_L平面HLB；

（2）求二面角A-PC-B的大小.

20.如圖所示，在三棱柱ABC—中，H是正方形4415B的中心，AA、=2*1,CrH±平面

441&B，且例=無(wú)

⑴求異面直線AC與4瓦夾角的余弦值；

（2）求平面441G與平面4GBi夾角的正弦值.

???

21.如圖所示,在直二面角?！狝B—E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB,尸為CE上的

點(diǎn)，且口尸，平面ACE.

（1）求證：平面BCE；

（2）求證：平面BDF±平面ABCD.

22.如圖,在三棱柱ABC—中，CA=CB=CG,AACB=ZACG=冬，ZBCG=看，設(shè)酢=

O/

a,CB=b,CCr=c,N是4B的中點(diǎn).

⑴用4、發(fā)2表示向量力方；

（2）在線段OB上是否存在點(diǎn)河，使得入河，4N?若存在，求出河的位置，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

?M

23.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命

題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)R（R>0且k￥1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼

斯圓.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD—4KC77中，點(diǎn)“是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體表面

0a7。上一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且兩直線尸與平面。CC77所成的角相等.

（1）證明：點(diǎn)尸的軌跡是阿波羅尼斯圓的一段弧，并求出這段弧的長(zhǎng)度；

（2）求百?用的取值范圍；

（3）當(dāng)線段D'P最短時(shí),在線段4。上是否存在點(diǎn)N,使得D'P〃平面AMN，若有,請(qǐng)求出平面

4MV截正方體ABCD-A'B'C'D'的截面周長(zhǎng),若無(wú)，說(shuō)明理由.

24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中有兩個(gè)定點(diǎn)4—3,0),B(3,0)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)“在平面xOy中且河到4B兩

點(diǎn)的斜率乘積為一，點(diǎn)。為定點(diǎn)(—1,0)

O

(1)求動(dòng)點(diǎn)雙的軌跡方程

⑵如圖，在空間中有一點(diǎn)。在平面土。9上方，滿足CA，平面①Oy,且|GD|=4,探究直線GD與

CM的夾角是否為定值？若是定值,求出夾角角度，若不是定值，說(shuō)明理由.

(3)在平面xOy上過(guò)點(diǎn)T(0,2西)做直線Z,交點(diǎn)M的軌跡于P,Q兩點(diǎn)，設(shè)Q點(diǎn)關(guān)于"軸對(duì)稱的點(diǎn)為

連接HP,求當(dāng)點(diǎn)。到直線HP距離最大時(shí)，直線HP與平面4BC夾角的正切值.

考點(diǎn)五統(tǒng)計(jì)與機(jī)率

25.某學(xué)校為豐富學(xué)生活動(dòng)，積極開(kāi)展乒乓球選修課，甲乙兩同學(xué)進(jìn)行乒乓球訓(xùn)練，已知甲第一局贏的概

率為J,前一局贏后下一局繼續(xù)贏的概率為1,前一局輸后下一局贏的概率為J，如此重復(fù)進(jìn)行.

(1)求乙同學(xué)第2局贏的概率;

(2)記甲同學(xué)第i局贏的概率為R；

(i)求總

(ii)若存在i,使1—ln(R+1)+k>0成立,求整數(shù)k的最小值.

26.為提高我國(guó)公民整體健康水平，2022年1月，由國(guó)家衛(wèi)生健康委疾控局指導(dǎo)、中國(guó)疾病預(yù)防控制中心

和國(guó)家體育總局體育科學(xué)研究所牽頭組織編制的《中國(guó)人群身體活動(dòng)指南(2021)》(以下簡(jiǎn)稱《指

南》)正式發(fā)布，《指南》建議18-64歲的成年人每周進(jìn)行150-300分鐘中等強(qiáng)度或75-150分鐘高強(qiáng)

度的有氧運(yùn)動(dòng)(以下簡(jiǎn)稱為“達(dá)標(biāo)成年人”)，經(jīng)過(guò)兩年的宣傳,某體育健康機(jī)構(gòu)為制作一期《達(dá)標(biāo)成年

人》的紀(jì)錄片，采取街頭采訪的方式進(jìn)行拍攝，當(dāng)采訪到第二位“達(dá)標(biāo)成年人”時(shí),停止當(dāng)天采訪，記采

訪的18-64歲的市民數(shù)為隨機(jī)變量X(X>2)，且該市隨機(jī)抽取的18-64歲的市民是達(dá)標(biāo)成年人的概

率為《，抽查結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求某天采訪剛好到第五位可停止當(dāng)天采訪的概率；

(2)若抽取的18-64歲的市民數(shù)X為離散型隨機(jī)變量，求X的分布列，并求X不超過(guò)n的概率.

27.拿破侖排兵布陣是十分厲害的，有一次他讓士兵站成一排，解散以后馬上再重新站成一排，并要求這

些士兵不能站在自己原來(lái)的位置上.

（1）如果只有3個(gè)士兵，那么重新站成一排有多少種站法？4個(gè)呢？

（2）假設(shè)原來(lái)有n個(gè)士兵,解散以后不能站在自己原來(lái)位置上的站法為?！胺N，寫出Dn+1和Dn,

。一（九）2）之間的遞推關(guān)系,并證明：數(shù)列1TMn>2）是等比數(shù)列；

（3）假設(shè)讓站好的一排幾個(gè)士兵解散后立即隨機(jī)站成一排，記這些士兵都沒(méi)有站到原位的概率為2，

證明：當(dāng)?2無(wú)窮大時(shí)，2趨近于—.（參考公式：ex=l+x+,~\-----1—+.......）

e2!3!n!

28.某學(xué)校組織全校學(xué)生進(jìn)行了一次“兩會(huì)知識(shí)知多少”的問(wèn)卷測(cè)試.已知所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)均位于區(qū)

間［50,100］,從中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中a的值,并估算這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代

替)；

(2)現(xiàn)學(xué)校準(zhǔn)備利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從［80,90)和［90,100］的學(xué)生中抽取7人組成兩

會(huì)知識(shí)宣講團(tuán).

①求應(yīng)從［80,90)和［90,100］學(xué)生中分別抽取的學(xué)生人數(shù)；

②從選定的7人中隨機(jī)抽取2人對(duì)高一同學(xué)進(jìn)行宣講,設(shè)事件A=“至少有1人測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間

［90,100］w，求事件A的概率.

29.某購(gòu)物平臺(tái)為了吸引更多的顧客在線購(gòu)物，推出了人和B兩個(gè)套餐服務(wù)，并在購(gòu)物平臺(tái)上推出了優(yōu)惠

券活動(dòng)，顧客可自由選擇人和B兩個(gè)套餐之一，下圖是該購(gòu)物平臺(tái)7天銷售優(yōu)惠券的情況（單位:千

張）的折線圖：

「銷售量

2.80....................................................

（1）由折線圖可看出，可用回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；

（2）假設(shè)每位顧客選擇A套餐的概率為2，選擇8套餐的概率為|■，其中4包含一張優(yōu)惠券，B套餐

OO

包含兩張優(yōu)惠券,截止某一時(shí)刻，該平臺(tái)恰好銷售了幾張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為2,求2;

⑶記⑵中所得概率2的值構(gòu)成數(shù)列｛2｝（7iGN*）,求數(shù)列｛2｝的最值.

77n.

參考數(shù)據(jù)：22^=16.17,WX?仇=68.35,JZ（僅一歹）2=0.72,V7=2.646

i=li=lVi=l

TL

一（友―:（仇一3）

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=—---------

\*缶—92f（^―y）2

V?=1i=l

30.某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（指新能

源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到

如下的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值洌同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這

款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布,其中〃近似為樣本平均數(shù)亂。近似為樣

本標(biāo)準(zhǔn)差s.假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購(gòu)買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中

單次最大續(xù)航里程位于區(qū)間（250.25,399.5）的車輛數(shù)，求E（Z）；

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)

拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在①軸上從原點(diǎn)O出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都

客戶每擲一次硬幣,遙控車向右移動(dòng)一次，若擲出正面，遙控車向右移動(dòng)一個(gè)單位，若擲出反面，遙

控車向右移動(dòng)兩個(gè)單位,直到遙控車移動(dòng)到點(diǎn)（59,0）（勝利大本營(yíng)）或點(diǎn)（60,0）（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲

結(jié)束.若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點(diǎn)⑺,0）的概率為

2（lWnW60）,試證明數(shù)列｛2—是等比數(shù)列（2WnW59）,求出數(shù)列｛2｝（lWnW60）的通項(xiàng)公

式,并解釋這種游戲方案對(duì)意向客戶是否有吸引力.

參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量￡服從正態(tài)分布"（〃，犬），則0.6827,

尸（〃一2。<￡<〃+2。）=0.9545,9（〃-3。<￡<〃+3（7）=0.99731.

考點(diǎn)六n維曲線的方福

31.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩定點(diǎn)A(2,0),B(—2,0)連線的斜率之積為號(hào)，點(diǎn)F(—1,0),點(diǎn)

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)求|PQ|+F尸|的最大值.

32.已知拋物線C:y2=2Px(p>0)的焦點(diǎn)F(2,0)，直線l：y—kx+m(fe#：0)與C交于A,B兩點(diǎn)，且\FA\

+\FB\=8，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)。(森,0).

(1)求心的值；

(2)求4ABD面積的最大值.

?M

33.已知橢圓4+77=Ma>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,l),離心率為警，過(guò)點(diǎn)8(3,0)的直線I與橢圓交于不

底0-2

同的兩點(diǎn)“、N.

(1)求橢圓的方程；

(2)若\MN\=,求直線VN的方程.

34.已知雙曲線—衛(wèi)=l(a>0,6>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，離心率為V5.過(guò)右焦點(diǎn)尸的直線，與雙曲線

a2y

。的左、右兩支分別交于點(diǎn)A,8

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線0408(0為坐標(biāo)原點(diǎn))的傾斜角分別為a,8,且a+￡=兀+arctai4■，求直線I的方程；

(3)點(diǎn)河是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸且與直線Z垂直的直線小交直線O河于點(diǎn)尸，求三角形面積

的最小值.

35.已知點(diǎn)斤i（—2,0）,尸2（2,0）分別為橢圓。:5+需=1的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)斤1且傾斜角為

a‘2

的直線Z與橢圓。交于48兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在必軸上方）.如圖，將平面以2/沿比軸向上

折疊，使二面角A——6為直二面角，折疊后在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4,

折疊前折疊后

⑴當(dāng)?！鰰r(shí)，

O

①求證：A'O±平面BEE；

②求直線A'F2與平面A'B'F,所成角的正弦值；

（2）是否存在。使得折疊后△48,月的周長(zhǎng)為15?若存在，求tan。的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

21

36.雙曲線C：4一￡=1的左、右焦點(diǎn)為斤1、斤2,右頂點(diǎn)為4。河的圓心在立軸上，位于A的右

9o

（1）求。M的最大半徑為多少，及此時(shí)。Af的方程；

（2）如圖1,在⑴的條件下，過(guò)雙曲線。上一點(diǎn)P作OM的切線，切點(diǎn)為Q,過(guò)P且垂直于工軸的直

線與雙曲線其中一條漸近線交于R,求\PQ\+\PR\的最小值：

（3）雙曲線右支上一點(diǎn)N在右焦點(diǎn)尸2的正上方，如圖2,將雙曲線的左支繞"軸翻折.使左右支所

在的兩個(gè)半平面所成的二面角大小為仇若V6W0,過(guò)N的直線小總與左支相交，以原雙曲線所在坐

標(biāo)平面的O為原點(diǎn)，過(guò)。垂直于刀O"平面方向?yàn)閆軸建立空間直角坐標(biāo)系,求直線771的一個(gè)方向向

量.

2025s有欲考火必騎制,6人者JLm總易跟煉利藤

-----------------------------------------OLHJO-----------------------------------------

才點(diǎn)一數(shù)列.............................................................................1

考點(diǎn)二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)......................................................................6

考點(diǎn)三三角語(yǔ)數(shù)........................................................................11

考點(diǎn)日空間向量與立體幾何.............................................................21

專贏五穌計(jì)與概率.....................................................................29

考點(diǎn)六BI缽曲線的方程.................................................................36

L“綠水青山就是金山銀山.”我國(guó)某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，已知該地區(qū)有土地1萬(wàn)平方千米，其中

70%是沙漠,從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲I,同時(shí)原有綠洲的

4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠,設(shè)從今年起第n年綠洲面積為an萬(wàn)平方千米.

⑴求冊(cè)與“_1（口>2）的關(guān)系；

（2）判斷｛M一看｝是不是等比數(shù)列,并說(shuō)明理由；

⑶至少經(jīng)過(guò)幾年，綠洲面積可超過(guò)60%?（lg2^0.301）

【答案】⑴冊(cè)=2（X1+■^■（九>2）

（2）是等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析

（3）至少經(jīng)過(guò)6年

【分析】（1）根據(jù)題意可得出a?=（1—0.04）a?_i+（1—a?_i）X0.16,化簡(jiǎn)可得冊(cè)與a?_1（n>2）的關(guān)系；

（2）利用待定系數(shù)法結(jié)合等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；

（3）求出數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式，然后解不等式a”>口，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）由題意n>2時(shí)，

an=（1—0.04）an_i+（1—an_i）x0.16=0.8an_i+0.16=-^an-i+,

所以，an—^-an-i+（n^2）.

（2）數(shù)列｛Q九一看｝是等比數(shù)列.理由如下：

由⑴得斯=”QX+4~（?2>2）,

設(shè)“+6=4（an_i+/），可得Q九二5an-i—§,所以，一名—，可得力=―常,

5555255

所以，%_.="（*一.）（心2）,且外一.=磊一.=4,?M

因此，數(shù)列是首項(xiàng)為一［,公比為g的等比數(shù)列.

是首項(xiàng)為一公比為日的等比數(shù)列,

(3)由⑵可知，數(shù)列

1

所以j一六-----1-X*--x信r+小

22

尸

(443，得《r

令冊(cè)=--X4

兩邊取常用對(duì)數(shù)，得(n-l)lg4<Ig^-，

55

Ig2-lg5_Ig2-(l-lg2)_21g2-l2x0.301-1

所以，？1—1〉——

21g2—lg521g2—(1—lg2)31g2—13x0.301—1

?訴］、，、K

=—c0.3e98七4.i1,所以，九>5.1,

一u.uy(

所以，至少經(jīng)過(guò)6年，綠洲面積可超過(guò)60%.

2.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=-J(nGN*).

n(n+2)

(1)計(jì)算。3+。4的值；

(2)焉是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是,應(yīng)為第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由.

■LZU

【答案】2.⑴哥

是數(shù)列｛冊(cè)｝的第1。項(xiàng).

【分析】(1)利用給定的遞推公式，代值計(jì)算即可.

(2)利用方程的正整數(shù)解即可得解.

【詳解】⑴數(shù)列｛&,｝中,%=標(biāo)/，痣=/=表,a'=心=擊

所以小+包=專+士=瑞.

⑵若卷為數(shù)列｛冊(cè)｝中的項(xiàng)，則而A=擊，

即n(n+2)=120,整理得n2+2n—120=0,而燈€N*,解得n=10,

所以焉是數(shù)列｛廝｝的第10項(xiàng).

3.已知等差數(shù)列｛a1｝滿足&3>%的+(13=10,01?2-1,(13成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)若幻=上,求數(shù)列｛bn｝的前71項(xiàng)和黑.

3n

【答案】3.(l)an=3n—1

⑵北=1(7—竽)

【分析】(1)根據(jù)等差、等比中項(xiàng)可得的+。3=10,。1。3=16,結(jié)合題意解方程可得的,。3,進(jìn)而可得公差和通

項(xiàng)；

⑵由⑴可得：鼠=［［墨:-+1］，利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，則ai+a3=2a2=10,即a?=5,

又因?yàn)镼1Q—1,。3成等比數(shù)列，則。1。3=（。2-1）2=16,

聯(lián)立方程［的+。3110,解得或,

1。1。3=161。3=81。3=2

且。3>出，則11o，可知公差d=a2—a1=39

1。3=8

所以數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式Q九=2+3（n—1）—3n—1.

⑵由⑴可得…卜早/［展一^±1］,

所以北=乎7—號(hào)+￡—號(hào)+…+由一^±1］=?7—于｝

4.若存在非零常數(shù)土，使得數(shù)列｛冊(cè)｝滿足a“+i—aQa3…廝=471>1,迸刈，則稱數(shù)列｛%｝為⑴數(shù)

歹廠.

（1）判斷數(shù)列：1,3,5,11,152是否為“H⑵數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

71

（2）若數(shù)列｛冊(cè)｝是首項(xiàng)為1的⑴數(shù)列”，數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)歹U,且｛aJ與｛bn｝滿足匯成=aia2a3

1=1

■■-an+logzK，求t的值和數(shù)列｛6?｝的通項(xiàng)公式；

（3）若數(shù)列｛an｝是“H（t）數(shù)列“，S”為數(shù)列｛aj的前幾項(xiàng)和，a1>l,t>0,證明：t>S.—S”—e&f

【答案】4.（1）不是，理由見(jiàn)解析

n1

（2）t=-1,bn=2-.

（3）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由⑴數(shù)列”定義驗(yàn)證即可；

九十1n

（2）由題可得￡成=Q1Q2Q3…Q九斯+1+log2bn+i,與=Q1Q2a3…M+log2bzi相減結(jié)合⑴數(shù)列”定義可

4=12=1

得關(guān)于土的方程，即可得答案；

（3）要證t>Sfi+i—Sn—e'"一"等價(jià)于Gia????（!?<e'"-",即In?+Ina?~\---Flna”<5+a2H---Fan—九,構(gòu)造

函數(shù)/（2）=Inrr—m+1,利用其單調(diào)性可證明結(jié)論.

【詳解】（1）根據(jù)"Hp）數(shù)列”的定義，則力=2,故an+1-5a2a3…冊(cè)=2,

因?yàn)閍?—的=2成立，a3—a2al=2成立，a4-a3a2al=11—1x3x5=—402不成立，

所以1,3,5,11,152不是“H⑵數(shù)列”.

（2）由｛斯｝是首項(xiàng)為1的"H（t）數(shù)列"，則a2=1+t,CI3=2t+1,

由｛b“｝是等比數(shù)列，設(shè)公比為q,

n九+1

由匯二。1電。3…M+log2bn,則￡底=2a3…CLnan+1+log26n+i.

i=li=l

兩式作差可得a"i=?a2a3…冊(cè)（斯+1—1）+log2fe?+1-log26?,

即?n+i=?a2a3…a“（％+i=1）+log2g,

由｛a?｝是""ff（t）數(shù)列”，則an+i—aia2a3…a”=￡,對(duì)于n'l,nGN恒成立,

所以成+i=（an+1-t）（an+1-l）+log2g,

即(力+l)Qn+i=力+log2bn+i—log2bn對(duì)于九>1,71eN恒成立，

J(力+1)。2一1=log2[即JU+l)2-=log2q

，

'1(力+1)。3-1=log2Q'l(Z+l)(2^+l)-t=log2Q

因?yàn)榻獾?，?-Lq=2,

n-1

又由Qi=1,憂=Qi+log2bl，則bi=1,即bn=2,

故所求的力=一1,數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式勾=2-1.

(3)設(shè)函數(shù)/(力)=111/一力+1,則:(劣)=!—1,

令/'(力)=0,解得力=1,

當(dāng)力>1時(shí)，/(力)V0,則/(a?)=Inx—力+1在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞減，

且/⑴=Ini—1+1=0,又由｛QJ是“H⑴數(shù)列”,

即Q九+1—Q1Q2a3…冊(cè)="對(duì)于九>1,九EN恒成立，

因?yàn)閯t。2=。1+1>1,再結(jié)合

反復(fù)利用an+1=。1電。3…冊(cè)+力，可得對(duì)于任意的nAl,nEN,an>lf

則fMV/(I)=0,即IriM—Q九+1V0,則lnan<an-l,

Inai<ai—Lina2V。2—1,,lnan<an—1,

相加可得In?+lna2-\-----\-lnanV電+a2~\---\~an—n,S']???an)<.Sn—n,

又因?yàn)間=ln?在力G(0,+co)上單調(diào)遞增，所以QQ…MVeSnf,

Snn

又an+1-QQQ3…冊(cè)=九所以an+1-t<e~,

即Sn+i-Sn-t<es，、f,故Sn+「S「e&f.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)解題關(guān)鍵為理解“X⑴數(shù)列”的定義，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)/(/)=In力一力+1利

用單調(diào)性來(lái)證明lnan—an+1V0,進(jìn)而得到ln(QQ…冊(cè))<5八一口,得證.

5.已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是1,其前n項(xiàng)和是Sf且&-=+2n+1,九GN*.

(1)求出，Q3的值及數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在實(shí)數(shù)九使得關(guān)于n的不等式入+Sn&25n,n￡N*有解,求實(shí)數(shù)A取到最大值時(shí)n的值.

【答案】5.⑴。2=4,03=9,Q九="

(2)4或5

【分析】(1)用累加法得到數(shù)列通項(xiàng)公式；

⑵求出數(shù)列前九項(xiàng)和S”列出不等式，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)求最大值，并找到最大值點(diǎn).

【詳解】(1)???an+1=。九+2n+1,???an+1-an=2n+1

當(dāng)n>2時(shí)，一an_i+an_x—an_2H-----\-a2—aY+ax,

即an—2m—1)+1+2(7i—2)+1H-----卜2X1+1+1=n?,

當(dāng)n=1時(shí)，Qi=伊=1也滿足%=稼,

：?Qn=*

a2=4,a3=9.

⑵由⑴可知s-皿里*3,

0

.1?n(n+l)(2n+l).i—crn(n+l)(2n+l)_150n—n(n+l)(2n+l)

AH-ocrASZoTL——

6f00

人“150n-n(n+l)(2n+l)_-2n3-3n2+149n_n3n2,149

?八n—6—6

1（n）=—蘇一九+42，當(dāng)？i44時(shí)，7（口）>0,當(dāng)n=5時(shí)，f，（n）<0

??"⑷=70=/（5）

:,于（n）的最大值為70,即當(dāng)？1=4或九=5時(shí)，/1取得最大值70,

???/）取得最大值時(shí)，口取4或5.

6.已知函數(shù)8（/）的定義域?yàn)閷?duì)于任意的71eN*,數(shù)列｛冊(cè)｝,｛bj滿足M，第e。，。九￥八且0（。九）

0（吼）,則稱｛冊(cè)｝,也｝為“8（0下的一對(duì)攣生數(shù)列”.

（1）若函數(shù)/（0=|⑹，請(qǐng)寫出“/（力）下的一對(duì)攣生數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)函數(shù)g（力）=/+■|~（名〈o，k〉。），若｛QJ，｛&n｝為“。（力）下的一對(duì)攣生數(shù)列”，證明：冊(cè)+勾v

—2y/k；

⑶設(shè)函數(shù)%3）=，若｛%｝,｛*｝為?3）下的一對(duì)攣生數(shù)列”，證明：數(shù)列｛品+或｝的前

2025項(xiàng)和大于4050.

【答案】6.（1）H，｛-n｝為“/（，）下的一對(duì)攣生數(shù)列”，理由見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

（3）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）用列舉特殊數(shù)列法來(lái)理解新定義的數(shù)列，即可得解；

（2）利用對(duì)鉤函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合均值不等式，即可得證；

（3）通過(guò)求導(dǎo)來(lái)掌握函數(shù)的單調(diào)性和取值規(guī)律，再把新定義的數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)特殊不等式來(lái)進(jìn)行證明

即可.

【詳解】⑴因?yàn)楹瘮?shù)/（c）=㈤的定義域?yàn)镽,且為偶函數(shù),

對(duì)任意的nGN*,—nW都有f(—n)—\—n\—\n\—f(n),

故數(shù)列｛n｝,｛-n｝為“f（x）下的一對(duì)攣生數(shù)列”.

（2）由題意得g（Q八）=g（bj,所以飆+&=勾+*,

因式分解得（斯一K）（I——a）=0,

\aj>n'

因?yàn)閮?cè)W6九，則Q九一b九W0,所以1------=0,即ab=k.

期&71nn

因?yàn)閐nV0,6rlV0,所以一an>0,—bn>0,

所以"；鼠>J（—Qn）（—bJ=y/anbn=4,當(dāng)且僅當(dāng)an=bn時(shí)取等號(hào),

而Q九W⑥，故一->Vk，即冊(cè)+bn<—2Vfc.

（3）由h｛x）———0°，得人（力）的定義域?yàn)椋優(yōu)W0｝,

x

表導(dǎo)得〃（劣）_IJ—De'+eK力—lyk-Oiye，_（力一1）叫"+1）

x2X2

當(dāng)⑦>1時(shí)，ft/（a?）>0,當(dāng)0V/V1或/V0時(shí)，hr（力）<0,

所以函數(shù)九（力）在（-oo,0）,（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增，

易知當(dāng)力V0時(shí)，h｛x）V0,當(dāng)0時(shí)，h｛x｝>0.

由于無(wú)(4)=h(dn),

故要證數(shù)列｛q+*｝的前2025項(xiàng)和大于4050，可證金+或>2,

不妨令h(*l)=九(力2)，21〈n2,則0V±1VI,力2>1,

即證/1+/2>2,即證/2>2—力1.

又九(力)在(1,+00)上單調(diào)遞增，

所以只需證h(x2)>九(2—g),(提示：因?yàn)?<41<1,所以2—力1>1)

又以/J=h(x2),

所以只需證h(xi)>無(wú)(2—力J.

令F(工)=跟工)一伙2—0(0</<1),則F(工)=(「[*。_(：??”=

(，一1)2[(2-2”一比2-。]n

--------還為--------

只需證F(c)>0.

令？?2(0)=(2—x)ex—xe2~x(0<x<l),

因?yàn)楫?dāng)OViVl時(shí)，T(2—x)>0,(6一I)?〉0,所以只需證771(力)>0.

易知m/(力)=(l—x)(ex—e2~x),因?yàn)?。〈力V1,所以m/(力)<0,

所以m(x)單調(diào)遞減，則m(T)>(2—1)Xe1—1Xe2-1=0,

故F(N)>0,即九(為)>九(2—為)，故為+為2>2,

故品+心>2,

則(。1+4)+(c2+d2)H---F(C2025+^2025)>2X2025=4050

所以數(shù)列｛品+dj的前2025項(xiàng)和大于4050.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.用枚舉法理解新定義，即通過(guò)舉例子的方式，將抽象的新定義轉(zhuǎn)化為具體的、簡(jiǎn)單的應(yīng)

用，從而加深對(duì)信息的理解；

1.會(huì)轉(zhuǎn)化，即會(huì)用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化新定義所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清嘶描述，那么說(shuō)明對(duì)此定義理解得較為透

徹；

2.找關(guān)系，即發(fā)現(xiàn)新定義與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)新定義的本質(zhì)特征與規(guī)律.

考點(diǎn)二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

7.已知幕函數(shù)/(乃=(*+3巾+3)"”T為偶函數(shù).

⑴求/3)的解析式；

(2)若/(a—1)>/(l+2a),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】7.(1)/(?)=s-4

⑵(—co,-2]U[0,1)U(1,+℃)

【分析】(1)根據(jù)森函數(shù)的定義可解得參數(shù)小的值，再根據(jù)函數(shù)/(⑼為偶函數(shù)即可求解；

(2)結(jié)合氟函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性、定義域求解.

【詳解】(1)函數(shù)/(2)=(m2+3m+3)a?3m-1為氟■函數(shù)，,m2+3m+3=1,即？n?+3m+2=0,解得?n=

—1或m=—2.

當(dāng)m=-1時(shí)，/(c)=ar",滿足/(—①)=/(c)，此時(shí)f(x)為偶函數(shù)，符合題意;

當(dāng)m=-2時(shí)，/(/)=不滿足/(—①)=/3),此時(shí)f(x)不是偶函數(shù)，不符合題意.

綜上可得，/(切=k4.

?M

⑵由⑴得/⑺=/-4=±，所以/（,）在（0,+8）上單調(diào)遞減，在（-00,0）上單調(diào)遞增且/（⑼為偶函數(shù),

X4

因?yàn)椋?（1+2Q）,

（Q—1#0,

所以（1+2QW0,,

1|Q-1|4|1+2al

解得a4-2或OWaVl或Q＞1.

故實(shí)數(shù)Q的取值范圍為（-a）,-2］U［0,l）U（l,+oo）.

8.已知定義在R上的函數(shù)/（為=2士里滿足5/（2）=9/（1）,且/（0）=0.

2x+b

（1）求/（,）的解析式,并判斷了Q）的奇偶性；

⑵證明：/（為在R上為增函數(shù).

【答案】8.（1）/（,）奇函數(shù).

2"+1

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題意求出解析式，利用奇偶性定義即可得結(jié)論;

（2）利用單調(diào)性的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明即可.

【詳解】（1）由y（o）=0得，=0,所以1+Q=0,即a=—l,

又5/（2）=9/（1）,所以5'察；=9＞＜思，解得6=1,所以/（力）=三；

22+b幺十。2"+1

又函數(shù)/（力）的定義域?yàn)镽,于（-X）==:+1=—/（6），故函數(shù)/（力）為奇函數(shù).

⑵證明：設(shè)任意實(shí)數(shù)力I?e凡且力1＜62,

2儂一12^-1_（2的-1）（2由+1）—（2的一1）（2也+1）

/（劣2）—/（61）

2%+12刺+1（2儂+1）（2血+1）

2的+電|之出2±1—]—2*i+*22的|2電+]2（2也一2的）

&+1）⑵+1）